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第十三章
三角形
八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版·上冊(cè)
13.2.2 三角形的中線、角平分線、高
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握三角形的中線、角平分線、高的概念.（重點(diǎn)）
2.掌握三角形的中線、角平分線、高的畫法.
3.掌握鈍角三角形的兩短邊上高的畫法.（難點(diǎn)）
新課導(dǎo)入
復(fù)習(xí)回顧
定義 圖示
垂線
線段中點(diǎn)
角平分線
O
B
A
A
B
當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線
把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)
一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫作這個(gè)角的平分線
新課導(dǎo)入
畫一畫
如圖，P為線段AB右上方一點(diǎn)，過點(diǎn)P作線段AB的垂線.
P ●
A
B
新知探究
問題1 如圖，如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？
A
C
B
AC=BC= AB
一、三角形的中線
新知探究
問題2 如圖，如果點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，那么線段AD就稱為△ABC的中線．類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線？
A
B
C
定義：
如圖，連接△ABC的頂點(diǎn)A和它所對(duì)的邊BC的中點(diǎn)D,所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的中線.
想一想：由三角形的中線能得到什么結(jié)論？
BD=CD= BC
D
新知探究
畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點(diǎn)有什么規(guī)律？
畫圖發(fā)現(xiàn)
三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn).這一點(diǎn)我們稱為三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
取一塊質(zhì)地均勻的三角形木板，頂住三條中線的交點(diǎn)，木板會(huì)保持平衡，這個(gè)平衡點(diǎn)就是這塊三角形木板的重心.
新知探究
問題3 如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷
△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系？為什么？
B
C
D
E
A
答：相等，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形等底同高，所以它們面積相等.
問題4 通過問題3你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
答：三角形的中線能將三角形的面積平分.
新知探究
典例精析
例1：如圖，在△ABC中，E是BC上的一點(diǎn)，EC＝2BE，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4.
新知探究
方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí)，面積的比等于高的比．
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
新知探究
問題1 如圖，若OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結(jié)論？
A
C
B
O
∠AOC= ∠BOC
問題2 你能用同樣的方法畫出任意一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分線與角的角平分線相同嗎
相同點(diǎn)是： ∠ABD= ∠ CBD;
不同點(diǎn)是：前者是線段，后者是射線.
二、三角形的角平分線
新知探究
問題4：請(qǐng)畫出這個(gè)三角形的另外兩條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么？
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．
A
B
C
D
E
F
問題3：一個(gè)三角形有幾條角平分線？
3條
稱之為三角形的內(nèi)心．
新知探究
觀察銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，你又有
什么發(fā)現(xiàn)？
新知探究
例2：如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,
∠AED=80°，求∠ECD的度數(shù).
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
典例精析
∴∠ACB =∠AED=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
E
D
C
B
A
新課導(dǎo)入
問題1 什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？
定義 如圖，從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高線.三角形的
高線簡稱三角形的高.
問題2 由三角形的高你能得到什么結(jié)論？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B
C
D
垂足
注意:
標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的字母.
三、三角形的高
新知探究
高的敘述方法（如圖）：有三種
②AD⊥BC,垂足為D.
③點(diǎn)D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
A
B
C
D
新知探究
銳角三角形的三條高
問題1 每人畫一個(gè)銳角三角形.
(1) 你能畫出這個(gè)三角形的三條高嗎
(2) 這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？
O
問題2 銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是外部
A
B
C
D
E
F
銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn).
銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部.
探究交流
新知探究
直角三角形的三條高
問題：在紙上畫出一個(gè)直角三角形.
A
B
C
(1)畫出直角三角形的三條高.
直角邊BC上的高是______;
AB
直角邊AB上的高是 ;
CB
(2)它們有怎樣的位置關(guān)系？
D
斜邊AC上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三條高交于直角頂點(diǎn).
新知探究
A
B
C
D
E
F
鈍角三角形的三條高
問題：
(1) 鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？
(2)它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？
O
鈍角三角形的三條高不相交于一點(diǎn)
鈍角三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)
新知探究
三角形的三條高的特性
高所在的直線是否相交
高之間是否相交
高在三角形內(nèi)部的數(shù)量
鈍角三角形
直角三角形
銳角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三條高所在直線的交點(diǎn)的位置
三角形
內(nèi)部
直角頂點(diǎn)
三角形
外部
新知探究
典例精析
例3：如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD＝4，若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，求BP的最小值.
解：根據(jù)垂線段最短，可知當(dāng)BP⊥AC時(shí)，BP有最小值．
由△ABC的面積公式可知,
AD·BC ＝ BP·AC.
代入數(shù)值，可解得BP＝4×6÷5=4.8 .
新知探究
方法總結(jié):面積法的應(yīng)用：若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積(但不
求出面積)，利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.
三角形的 重要線段 概念 圖形 表示法
三角形 的高線 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段 ∵AD是△ABC的高線.
∴AD⊥BC，
∠ADB=∠ADC=90°
三角形 的中線 三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段 ∵ AD是△ABC的邊BC上的中線.
∴ BD=CD= BC
三角形的 角平分線 三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分線,
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
新知探究
課堂小結(jié)
三角形重要線段
高
鈍角三角形兩短邊上的高的畫法
中線
會(huì)把原三角形面積平分
一邊上的中線把原三角形分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差
角平分線
課堂小測(cè)
1．下列說法正確的是 （　　）
A．三角形三條高都在三角形內(nèi)
B．三角形三條中線相交于一點(diǎn)
C．三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外
D．三角形的角平分線是射線
B
課堂小測(cè)
2．在△ABC中，AD為中線，BE為角平分線，則以下等式：
①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．
其中正確的是 （　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
課堂小測(cè)
3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，圖中線段中可以作為△ABC的
高的線段有（　）
A．2條 B．3條
C．4條 D．5條
4.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC 的邊BC上的高 ( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
D
C
B
A
課堂小測(cè)
5.填空：
(1)如圖①，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，則AB=2 ，BD= ，AE= .
(2)如圖②，AD,BE,CF是△ABC的三條角平分線，則∠1= ， ∠3=_________， ∠ACB=______.
圖①
圖②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
答案不唯一
課堂小測(cè)
6.如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，S△AEC=3cm2，
則S△ABC =______.
12cm2
D
C
B
A
E
課堂小測(cè)
7.在△ABC中,CD是中線,已知BC-AC=5cm, △DBC的周長為25cm,求△ADC的周長.
A
D
B
C
解： ∵CD是△ABC的中線，
∴BD=AD .
∵BC-AC=5cm,
∴ △DBC與△ADC的周長差是5cm,
又∵ △DBC的周長為25cm，
∴ △ADC的周長=25-5=20(cm).

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