資源簡介

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第十三章
三角形
八年級數學人教版·上冊
13.3.1 三角形的內角
教學目標
2.會運用三角形內角和定理進行計算.（難點）
1.會用平行線的性質與平角的定義證明三角形內角和等于180°.（重點）
3.了解直角三角形兩個銳角的關系.（重點）
4.掌握直角三角形的判定.（難點）
5.會運用直角三角形的性質和判定進行相關計算.（難點）
新課導入
我的形狀最小，那我的內角和最小.
我的形狀最大，那我的內角和最大.
不對，我有一個鈍角，所以我的內角和才是最大的.
一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內角和的理解，請同學們作為小判官給它們評判一下吧.
情境引入
新課導入
我們在小學已經知道，任意一個三角形的內角和等于180°，與三角形的形狀、大小無關，所以它們的說法都是錯誤的.
思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗證三角形的內角和為180°呢
折疊
還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？
新課導入
三角形的三個內角拼到一起恰好構成一個平角.
觀測的結果不一定可靠，還需要通過數學知識來說明.從上面的操作過程，你能發現證明的思路嗎？
還有其他的拼接方法嗎？
探究：在紙上任意畫一個三角形，將它的內角剪下拼合在一起.
一、三角形的內角和定理的證明
新知探究
驗證結論
三角形三個內角的和等于180°.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
證法1：過點A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(兩直線平行,內錯角相等)
∠C=∠2.
(兩直線平行,內錯角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
新知探究
證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(兩直線平行，內錯角相等)
∠B=∠2.
(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
新知探究
C
B
A
E
D
F
證法3：過D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(兩直線平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(兩直線平行，同旁內角相補)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同學們還有其他的方法嗎？
新知探究
思考：多種方法證明三角形內角和等于180°的核心是什么？
借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉化成一個平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
C
B
A
1
2
新知探究
知識要點
在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.
思路總結
為了證明三個角的和為180°,轉化為一個平角或同旁內角互補等，這種轉化思想是數學中的常用方法.
作輔助線
新知探究
例1 如圖，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分線，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
二、三角形的內角和定理的運用
新知探究
【變式題】如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，
求∠EDC，∠BDC的度數．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
新知探究
例2 如圖，在△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC
于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
新知探究
基本圖形
由三角形的內角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的內角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
總結歸納
4
新知探究
例3 在△ABC 中， ∠A 的度數是∠B 的度數的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度數.
解: 設∠B為x°，則∠A為(3x)°，
∠C為(x ＋ 15)°， 從而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度數分別為99°， 33°， 48°.
幾何問題借助方程來解. 這是一個重要的數學思想.
新知探究
【變式題】在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數．
解析：根據已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內角和求
出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據角平分線的定義求出∠ACE，
即可求得∠DCE的度數．
比例關系可考慮用方程思想求角度.
新知探究
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
設∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°.
新知探究
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是_________三角形 .
練一練：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，則∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 則∠A= ，
∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
新知探究
北
.
A
D
北
.
C
B
.
東
E
例4 如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80 °方向，C島在B島的北偏西40 °方向.從B島看A,C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A，B兩島的視角∠ACB是多少度？
三角形的內角和定理也常常用在實際問題中.
新知探究
解： ∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°
-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °- ∠ABC- ∠ CAB
=180°-60°-30° =90°.
答：從B島看A,C兩島的視角∠ABC是60 °,從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
東
E
新知探究
【變式題】如圖，B島在A島的南偏西40°方向，C島在A島的南偏東15°方向，C島在B島的北偏東80°方向，求從C島看A，B兩島的視角∠ACB的度數.
解：如圖，
由題意得BE∥AD,∠BAD=40°，
∠CAD=15°，∠EBC=80°，
∴∠EBA=∠BAD=40°，
∠BAC=40°+15°=55°,
∴∠CBA=∠EBC-∠EBA=80°-40°=40°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
=180°-55°-40°=85°．
D
E
新知探究
問題1：如下圖所示是我們常用的三角板,兩銳角的度數之和為多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
問題引導
三、直角三角形的兩個銳角互余
新知探究
問題2：如圖，在Rt△ABC中， ∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因為 ∠C=90°，由三角形內角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質呢？
新知探究
A
B
C
直角三角形的兩個銳角互余．　　
應用格式：
在Rt△ABC 中，
∵∠C =90°，
∴∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
總結歸納
新知探究
方法一（利用平行的判定和性質）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性質）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如圖 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于點O，∠A
與∠D有什么關系？
圖
典例精析
┐
┐
新知探究
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如圖 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于點O，∠A與
∠C有什么關系？請說明理由.
圖
與圖 有哪些共同點與不同點？
┐
新知探究
例2 如圖， ∠C=∠D=90 °,AD，BC相交于點E. ∠CAE與∠DBE有什么關系？為什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
新知探究
解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°.
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【變式題】如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A與∠BFC又有什么關系？為什么？
┐
┐
新知探究
思考：通過前面的例題，你能畫出這些題型的基本圖形嗎？
基本圖形
∠A=∠C
∠A=∠D
總結歸納
┐
┐
┐
新知探究
問題：有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？
如圖，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形嗎？
在△ABC中，因為 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
四、有兩個角互余的三角形是直角三角形
B
C
A
新知探究
A
B
C
應用格式：
在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形．
有兩個角互余的三角形是直角三角形.　　
總結歸納
新知探究
典例精析
例3 如圖，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：是.理由：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
新知探究
例4 如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，△ABD是直角三角形嗎？為什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
課堂小結
三角形的
內角和定理
證明
了解添加輔助線的方法及其目的
內容
三角形內角和等于180 °
直角三角形的性質與判定
性質
直角三角形的兩個銳角互余
判定
有兩個角互余的三角形是直角三角形
課堂小測
1.求出下列各圖中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
課堂小測
2.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
課堂小測
3.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
課堂小測
4.如圖，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．
求∠ADC的度數.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.
課堂小測
5.如圖，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度數．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
拓 展
課堂小測
6.如圖，一張長方形紙片，剪去一部分后得到一個三角形，則圖中∠1+∠2的度數是________.
90°
7.如圖，AB，CD相交于點O，AC⊥CD于點C，若∠BOD=38°，則∠A=___.
52°
第6題圖
第7題圖
直角三角形
8.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，則這個三角形是____________.
課堂小測
9.如圖所示，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，與∠1互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD和∠A D．∠BCD
C

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