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第十三章
三角形
八年級數學人教版·上冊
13.3.2 三角形的外角
教學目標
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能夠在復雜圖形中找出外角.（難點）
3.掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角
的和．（重點）
4.會利用三角形的外角性質解決問題.
新課導入
復習引入
1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,則∠C= .
3.什么是三角形的內角？其內角和等于多少？
48 °
三角形相鄰兩邊組成的角叫作三角形的內角，
它們的和是180 °.
2.如圖，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°,
則∠ACB= ，∠ACD= .
A
B
C
D
50 °
130°
新課導入
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
問題：發現懶羊羊獨自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進到C處，然后再折回到B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶羊羊.已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉多少度角才能直達B處？∠BCD的度數又是多少？
新課導入
利用“三角形的內角和為180°”來求∠ACB，你會嗎？
思考：像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質.
這節課讓我們一起來探討吧.
B
D
C
A
O
●
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形內角和易得
∠ACB=180°－∠A－∠CBA=70 ° ，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
新知探究
定義
如圖，把△ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一個外角
C
B
A
D
一、三角形的外角的概念
新知探究
問題1 如圖，延長AC到E,∠BCE是不是△ABC的一個外角？∠DCE是不是△ABC的一個外角？
E
在三角形每個頂點處都有兩個外角.
∠ACD 與∠BCE為對頂角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一個外角，∠DCE不是△ABC的一個外角.
問題2 如圖，∠ACD與∠BCE有什么關系？在三角形的每個頂點處有多少個外角？
新知探究
A
B
C
畫一畫 畫出△ABC的所有外角，共有幾個呢
每一個三角形都有6個外角．
每一個頂點相對應的外角都有2個，且這2個角為對頂角.
新知探究
三角形的外角應具備的條件：
①角的頂點是三角形的頂點；
②角的一邊是三角形的一邊；
③另一邊是三角形中一邊的延長線.
∠ACD是△ABC的一個外角
C
B
A
D
每一個三角形都有6個外角．
總結歸納
新知探究
F
A
B
C
D
E
如圖,∠ BEC是哪個三角形的外角？∠AEC是哪個三角形的外角？∠EFD是哪個三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
練一練
新知探究
三角形的外角
A
C
B
D
相鄰的內角
不相鄰的內角
問題1 如圖，△ABC的外角∠BCD與其相鄰的內角∠ACB有什么關系？
∠BCD與∠ACB互補.
二、三角形的外角的性質
新知探究
問題2 如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內角(∠A，∠B)有什么關系？
三角形的外角
A
C
B
D
相鄰的內角
不相鄰的內角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行線的方法證明此結論嗎？
新知探究
D
證明：過C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（兩直線平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（兩直線平行，內錯角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.
驗證結論
新知探究
三角形內角和定理的推論
A
B
C
D
(
(
(
三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.
應用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一個外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知識要點
推論是由定理直接推出的結論.和定理一樣，推論可以作為進一步推理的依據.
新知探究
練一練：說出下列圖形中∠1和∠2的度數：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
新知探究
例1 如圖,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度數.
∵ ∠BEC是△AEC的一個外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一個外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ,∠BEC=60°
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
典例精析
新知探究
例2 如圖，P為△ABC內一點，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，
求∠A的度數．
解析：延長BP交AC于E或連接AP并延長，構造三角形的外角，再利用外角
的性質即可求出∠A的度數．
E
新知探究
解：延長BP交AC于點E，
則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
【變式題】 (一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路點撥：添加適當的輔助線將四邊形問題轉化為三角形問題.
新知探究
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：連接AD并延長于點E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你發現了什么結論？
新知探究
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延長BD交AC于點E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.
)
2
F
解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯系起來求解.
總結
新知探究
如圖 ，試比較∠2 、∠1的大小；
如圖 ，試比較∠3 、∠2、 ∠1的大小.


圖
圖
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
三角形的外角大于與它不相鄰的內角.
新知探究
例3 如圖， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？
解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你還有其他解法嗎？
三、三角形的外角和
解法二：過A作AM平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAM，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3
= ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM
= 360°.
M
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM，
結論：三角形的外角和等于360°.
思考 你能總結出三角形的外角和的數量關系嗎？
D
E
F
新知探究
課堂小結
三角形的外角
定義
角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長線
性質
三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
課堂小測
1.判斷下列命題的對錯.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的內角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一個外角等于兩個內角的和. （ ）
（4）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.（ ）
（5）三角形的一個外角大于任何一個內角. （ ）
（6）三角形的一個內角小于任何一個與它不相鄰的外角.（ ）
×
×
×
√
√
√
課堂小測
2.如圖，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F 等于（ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
課堂小測
3.（1）如圖，∠BDC是________的外角,也是 的外角；
（2）若∠B=45 °， ∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,試求∠AEC的度數.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：（2）根據三角形外角的性質有
∠ADC= ∠B+ ∠BCE,
∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE.
所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE
=45 °+20 °+36 °
=101 °.
課堂小測
解：（1）因為∠ADC是△ABD的外角.
4 .如圖，D是△ABC的BC邊上一點,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，
求：（1）∠B 的度數；（2）∠C的度數.
（2）在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180 -40 -70 =70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因為∠B=∠BAD，
A
B
C
D
·
課堂小測
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
5.如圖，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數.
能力提升：
課堂小測
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如圖，試求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________.
360°

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