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第二章　圓錐曲線
§1　橢圓
1.1　橢圓及其標準方程
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　橢圓的定義及其應用
1.已知F1,F2分別是橢圓E:=1的左、右焦點,P是橢圓E上一點,若|PF1|=2,則|PF2|=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5
2.已知點P(x,y)滿足方程=6,則點P的軌跡為(　　)
A.圓　　　　　　B.橢圓　　　
C.直線　　　　　D.線段
3.已知a為實數,則“a>5”是“方程=1表示的曲線為橢圓”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.已知F為橢圓E:=1的右焦點,直線mx-y+m=0與橢圓交于點A,B,則△AFB的周長為(　　)
A.4　　　B.2
5.若橢圓+y2=1上一點A到左焦點F1的距離為2,B為AF1的中點,O是坐標原點,則|OB|的值為(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
題組二　橢圓的標準方程
6.過點(,2),且與橢圓=1有相同焦點的橢圓的標準方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.以兩條坐標軸為對稱軸的橢圓過點P和Q,則此橢圓的標準方程是(　　)
A.+x2=1
B.+y2=1
C.+y2=1或+x2=1
D.以上都不對
8.已知F1(-1,0),F2(1,0)是橢圓C的兩個焦點,過F2且垂直于x軸的直線交C于A,B兩點,且|AB|=,則橢圓C的標準方程為(　　)
A.+y2=1
C.=1
9.已知圓B:(x+2)2+y2=64,點A(2,0),動點C為圓B上任意一點,則AC的垂直平分線與BC的交點P的軌跡方程是　　(　　)
A.=1
C.=1
10.已知圓C1:(x+)2+y2=1與圓C2:(x-)2+y2=9相交于A,B兩點,若圓C1,C2的圓心為橢圓E的焦點,A,B在橢圓E上,則橢圓E的標準方程為　　　　　　　　.
11.如圖,已知橢圓C的中心為原點O,F(-2,0)為C的左焦點,P為C上一點,且滿足|OP|=|OF|,|PF|=4,求橢圓C的標準方程.
題組三　橢圓的方程的應用
12.已知橢圓=1的一個焦點坐標為(0,2),則k的值為(　　)
A.3　　　B.5　　　C.11　　　D.83
13.點P(4cos α,2sin α)(α∈R)與橢圓C:=1的位置關系是(　　)
A.點P在橢圓C上
B.不能確定,與α的取值有關
C.點P在橢圓C內
D.點P在橢圓C外
14.(多選題)已知曲線C:=1,則(　　)
A.當m=8時,C是圓
B.當m=10時,C是焦距為4的橢圓
C.當C是焦點在x軸上的橢圓時,5D.當C是焦點在y軸上的橢圓時,815.已知F1,F2分別是橢圓=1的左、右焦點,P為橢圓上一點,且|PF2|=|F1F2|,則點P到x軸的距離為(　　)
A.1　　　B.2　　　C.
16.已知橢圓+y2=1的左、右焦點分別是F1,F2,P是橢圓C上的一點,且∠F1PF2=,求△F1PF2的面積.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　橢圓的定義的應用
1.已知F1,F2為橢圓=1的兩個焦點,P為橢圓上一點,3|PF2|=5|PF1|,則△PF1F2的面積為(　　)
A.　　　　　　B.6
C.8　　　　　　 D.2
2.已知F1,F2是橢圓C:=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)
A.13　　　B.12　　　C.25　　　D.16
已知P為橢圓=1上一點,F1,F2為該橢圓的兩個焦點,若
∠F1PF2=60°,則=(　　)
A.　　　B.3　　　C.6　　　D.2
4.已知點A(1,1),F1是橢圓5x2+9y2=45的左焦點,P是橢圓上的動點,則|PA|+|PF1|的最大值和最小值分別為(　　)
A.6+
C.6+2
題組二　橢圓的標準方程及其應用
5.已知橢圓方程為=1(a>b>0),其右焦點為F(4,0),過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為(1,-1),則橢圓的方程為(　　)
A.=1
C.=1
6.一個動圓與圓C1:x2+(y+3)2=1外切,與圓C2:x2+(y-3)2=81內切,則這個動圓圓心的軌跡方程為(　　)
A.=1
C.=1
7.如圖,F1,F2分別為橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓上,△POF2是邊長為2的正三角形,則b2的值是　　　　.
8.已知點P是橢圓=1上一點,橢圓的左、右焦點分別為F1,F2,若銳角△F1PF2外接圓的半徑為4,則△F1PF2的面積是　　　　.
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓C上一點,∠F1PF2=120°,|PF1|=2+.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求點P的坐標.
答案與分層梯度式解析
第二章　圓錐曲線
§1　橢圓
1.1　橢圓及其標準方程
基礎過關練
1.C　由橢圓E:=1可知a=3,因為P是橢圓上一點,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,而|PF1|=2,所以|PF2|=6-|PF1|=4.故選C.
2.B　設點A(2,0),B(-2,0),則可表示|PA|,可表示|PB|,所以|PA|+|PB|=6,又|AB|=4<6,所以點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓.故選B.
3.A　由方程=1表示的曲線為橢圓,得解得a>1且a≠4,因為{a|a>5} {a|a>1且a≠4},所以“a>5”是“方程=1表示的曲線為橢圓”的充分不必要條件.故選A.
4.C　直線mx-y+m=0恒過定點(-1,0),而點(-1,0)恰為橢圓E的左焦點,記F1(-1,0).由橢圓的定義知,△AFB的周長=|AF|+|AB|+|BF|=|AF|+|AF1|+|BF1|+|BF|=2a+2a=4a=8.故選C.
5.B　由已知得a=3,設橢圓的右焦點為F2,則|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是△AF1F2的中位線,所以|OB|==2.故選B.
6.D　橢圓=1的焦點為(0,3)和(0,-3),設所求橢圓的標準方程為=1(a>b>0),則=1.故選D.
7.A　設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),則
∴橢圓的標準方程為+x2=1.故選A.
8.B　由題可設橢圓C的標準方程為=1(a>b>0),將x=1代入,得=1,解得y=±,
所以結合a>b>0,解得
所以橢圓C的標準方程為+y2=1,故選B.
9.C　由題意得|PA|=|PC|,則|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4,故點P的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,其中a=4,c=2,∴b2=a2-c2=16-4=12,∴點P的軌跡方程是=1,故選C.
10.答案　=1
解析　易得圓C1的圓心為C1(-,0),半徑r1=1,圓C2的圓心為C2(,0),半徑r2=3,圓C1與圓C2的兩個交點分別為(-,-1),不妨令A(-,-1).
由題意可設橢圓E的方程為=1(a>b>0),
則2a=|AC1|+|AC2|=r1+r2=1+3=4,2c=|C1C2|=2,
所以a=2,c=,所以b2=a2-c2=2,
故橢圓E的標準方程為=1.
11.解析　由題意可得,該橢圓的半焦距c=2,設橢圓C的標準方程為=1(a>b>0),右焦點為F1,則F1(2,0),連接PF1,如圖.
因為|OP|=|OF|,所以|OP|=|OF1|,
所以PF⊥PF1.
又|PF|=4,|FF1|=4,
所以|PF1|==8,
所以2a=|PF|+|PF1|=12,即a=6,
所以b2=a2-c2=16,
所以橢圓C的標準方程為=1.
12.A　由橢圓=1的一個焦點坐標為(0,2),得橢圓的焦點在y軸上,a2=7,b2=k且c=2,又c2=a2-b2,所以7-k=4,解得k=3.故選A.
13.D　把(4cos α,2sin α)(α∈R)代入橢圓方程的左邊,得=4(cos2α+sin2α)=4>1,因此點P在橢圓C外.故選D.
14.AB　對于A,當m=8時,曲線C:x2+y2=3,該曲線為圓,故A正確;對于B,當m=10時,曲線C:+y2=1,該曲線為橢圓且焦距為2=4,故B正確;對于C,若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,則解得815.C　由橢圓方程=1,知a=3,b=,c=2,則|PF2|=|F1F2|=2c=4,|PF1|=2a-2c=2,
在△PF1F2中,cos∠PF2F1=,
∴sin∠PF2F1=,∴點P到x軸的距離h=|PF2|·sin∠PF2F1=.故選C.
16.解析　因為∠F1PF2=,
所以|PF1|2+=4c2=4×(4-1)=12,
又|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以|PF1|·|PF2|
==2,
所以=1.
能力提升練
B　由橢圓方程=1,得a=4,c=2,故|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=4,又3|PF2|=5|PF1|,所以|PF1|=3,|PF2|=5,所以△PF1F2為直角三角形,
∠PF1F2=90°,所以×3×4=6.故選B.
C　由橢圓的方程知a=5,由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=2a=10,
∴|MF1|·|MF2|≤=25(當且僅當|MF1|=|MF2|=5時取等號),∴|MF1|·|MF2|的最大值為25.故選C.
3.D　根據橢圓的方程可知a=2,c==1.設||=n,由橢圓的定義和余弦定理得可得mn=4,故=mncos 60°=4×=2.故選D.
4.A　設橢圓的右焦點為F2,把橢圓方程化為標準形式為=1,由已知得|PF1|+|PF2|=2a=6 |PF1|=6-|PF2|,∴|PA|+|PF1|=6-(|PF2|-|PA|).①當|PA|≥|PF2|時,有|PA|-|PF2|≤|AF2|,等號成立時|PA|+|PF1|的值最大,此時P是射線AF2與橢圓的交點,則|PA|+|PF1|的最大值是6+.②當|PA|≤|PF2|時,有|PF2|-|PA|≤|AF2|,等號成立時|PA|+|PF1|的值最小,此時P是射線F2A與橢圓的交點,則|PA|+|PF1|的最小值是6-.故選A.
5.C　設M(1,-1),則kFM=,設A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,兩式相減,得=0,即=0,即a2=3b2,又c=4,a2=b2+c2,所以a2=24,b2=8,故橢圓的方程為=1.故選C.
6.A　設動圓的半徑為r,圓心為M,根據題意可知,C1(0,
-3),C2(0,3),|MC1|=1+r,|MC2|=9-r,|C1C2|=3-(-3)=6,|MC1|+|MC2|=1+r+9-r=10>6,故動圓圓心的軌跡為焦點在y軸上的橢圓,且焦點為C2(0,3)和C1(0,-3),其中2a=10,2c=|C1C2|=6,則a=5,c=3,所以b2=a2-c2=25-9=16,故動圓圓心的軌跡方程為=1.
7.答案　2
解析　因為△POF2是邊長為2的正三角形,所以c=|OF2|=2,點P的坐標為(1,),
又點P在橢圓上,所以=1,①
結合a2=b2+c2,得a2=b2+4,②
聯立①②可解得b2=2.
8.答案　
解析　由已知得|F1F2|=2c=2,在銳角△F1PF2中,由正弦定理得=2R(R為△F1PF2外接圓的半徑),即=8,
解得sin∠F1PF2=,故∠F1PF2=,
在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosF1PF2=|F1F2|2=48,
因為|PF2|+|PF1|=8,
所以82-3|PF2||PF1|=48,解得|PF2||PF1|=,
所以|PF2||PF1|sin∠F1PF2=.
9.解析　(1)由題及橢圓的定義,得a==2,
在△PF1F2中,-2|PF1|·|PF2|cos 120°=)=15,即4c2=15,得c2=,
∴b2=a2-c2=4-,
故橢圓C的方程為+4y2=1.
(2)設點P的坐標為(m,n),
∵|PF1|>|PF2|,∴m>0.
|PF1||PF2|sin 120°=,
又,
∴,解得n=±,
∵點P在橢圓C上,∴=1,
解得m=(負值舍去),
故點P的坐標為.
2(共19張PPT)
§1 橢圓
知識 清單破
知識點 1 橢圓的定義
知識點 2 橢圓的標準方程及其幾何性質
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準 方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
圖形
焦點坐標 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c),
F2(0,c)
范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a
對稱性 對稱軸為x軸、y軸,對稱中心為原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),
B1(-b,0),B2(b,0)
軸長 長軸長為2a,短軸長為2b 離心率 e= (0橢圓的通徑,其長度為 知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.動點P到兩定點A(0,-2),B(0,2)的距離之和為4,則點P的軌跡是橢圓. ( )
忽視了橢圓定義中2a>|F1F2|>0這一條件.
2.橢圓3x2+2y2=1的焦點在x軸上. ( )
該橢圓的標準方程為 + =1,可知其焦點在y軸上.
3.方程mx2+ny2=1(m>0,n>0)表示的曲線是橢圓. ( )
當m=n>0時,該方程表示的曲線是圓.



提示:忽視了橢圓定義中2a>|F1F2|>0這一條件.
提示
提示
提示
4.橢圓的離心率e越大,橢圓就越圓. ( )
5.點P(2,1)在橢圓 + =1的內部. ( )
6.兩個點可以確定橢圓的標準方程. ( )



提示
提示
提示
橢圓 + =1(a>b>0)中,因為a>c>0,所以0 越小,因此橢圓越扁;反之,e越接近于0,橢圓越接近于圓.
∵ + >1,∴點P在橢圓的外部.
由橢圓的標準方程可知,橢圓關于x軸,y軸對稱,關于原點中心對稱,故不關于上述對稱的
兩個點才能確定橢圓的標準方程.
1.用定義法求橢圓的標準方程
　　根據橢圓的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出橢圓的標準方程.
2.用待定系數法求橢圓的標準方程的一般步驟
(1)定位置:根據條件判斷橢圓的焦點是在x軸上,還是在y軸上,還是兩個坐標軸上都有可能.
(2)設方程:根據上述判斷,設方程為 + =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)或mx2+ny2=1(m>0,n>
0,m≠n).
(3)找關系:根據已知條件建立關于a,b(或m,n)的方程組.
(4)得方程:解方程組,將解代入所設方程,寫出標準方程.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 橢圓的標準方程
3.利用橢圓的幾何性質確定橢圓的標準方程
(1)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程為 + =k1(k1>0,焦點在x軸上)或
+ =k2(k2>0,焦點在y軸上).
(2)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同焦點的橢圓方程為 + =1(k典例 已知F1,F2分別是橢圓E:x2+ =1(0點,若|AF1|=3|BF1|,AF2⊥x軸,求橢圓E的方程.
解析 由題意可得,F1(-c,0),F2(c,0).
∵AF2⊥x軸,
∴|AF2|=b2,
∴A點的坐標為(c,b2).
設B點的坐標為(x,y),
則由|AF1|=3|BF1|,得 =3 ,
即(-c-c,0-b2)=3(x+c,y-0),
∴ 解得
∴B點的坐標為 ,將其代入橢圓方程,得 + =1,
又1=b2+c2,
∴b2= ,c2= ,
∴橢圓E的方程為x2+ y2=1.
焦點三角形及其解法
(1)橢圓上異于長軸端點的一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.解
關于橢圓的焦點三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、余弦定理等知識.
(2)焦點三角形的常用公式:
①焦點三角形的周長C=2a+2c.
②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
③設P(xP,yP),則焦點三角形的面積S=c|yP|= |PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan .
④當且僅當點P位于短軸端點時,∠F1PF2最大,此時滿足cos∠F1PF2=1-2e2.
講解分析
疑難 2 橢圓的焦點三角形問題
典例 已知P是橢圓 + =1上一點,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,∠F1PF2=60°.
(1)求△F1PF2的面積;
(2)求點P的坐標;
(3)求 · 的值.
解析 (1)由橢圓方程知a2=25,b2= ,
所以c2= ,則c= ,即2c=5.
在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60°,
即25=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|.①
由橢圓的定義知10=|PF1|+|PF2|,所以100=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|.②
②-①,得3|PF1||PF2|=75,
所以|PF1||PF2|=25,
所以 = |PF1||PF2|sin 60°= .
(2)設P(x0,y0),則 = |F1F2||y0|,
即 = ×5×|y0|,得|y0|= ,
所以y0=± ,將 代入橢圓方程,得 + =1,
解得 =0,所以x0=0,
所以點P的坐標為 或 .
(3)由(1)可得F1 ,F2 ,
由(2)可得P 或P ,
所以 = , = 或 = , = ,
故 · =- + = .
方法點撥 1.橢圓的定義具有雙向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),則點M的軌跡是橢圓;
反之,對橢圓上任意一點M,|MF1|+|MF2|=2a.
2.應用橢圓的定義能對一些長度進行相互轉化,從而簡化解題過程.因此,解題過程中涉及橢
圓上的點到焦點的距離問題時,應先考慮能否利用橢圓的定義求解.
1.求橢圓的離心率的兩種常用方法
(1)易求a,c時,直接用e= 求解;易求b,c時,利用e= 求解;易求a,b時,利用e= =
= 求解.
(2)若a,c的值不可求,則可列出只含a,c的齊次方程,列式時常用 代替式子中的b,然后將
等式兩邊同時除以a的最高次冪,從而利用e= 將其轉化為只含未知數e的方程,解方程即可.
此時要注意02.求橢圓的離心率的取值范圍
(1)根據條件建立關于a,b,c的不等式,借助a2=b2+c2將其轉化為關于a,c的齊次不等式,再將不等
講解分析
疑難 3 橢圓的離心率
式兩邊同時除以a的最高次冪,得到關于e的不等式,解不等式即可求得e的范圍.此時要注意0<
e<1.
(2)解題時常用幾何性質結合幾何圖形得到等量關系或不等關系,這樣可以簡化運算.
典例 (1)已知橢圓C: + =1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,上頂點為B,且BF⊥BA,則橢圓
C的離心率e的值是　　　 ;
(2)已知橢圓 + =1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,
則橢圓的離心率e的取值范圍為　　　 .
解析 (1)根據題意,得A(a,0),B(0,b),F(-c,0),∴ =(a,-b), =(-c,-b).
∵BF⊥BA,∴ · =0,
即(a,-b)·(-c,-b)=0,∴b2=ac,
又∵c2=a2-b2,∴c2-a2+ac=0,等式兩邊同時除以a2,得 + -1=0,
即e2+e-1=0,
解得e=- (舍去)或e= .
故答案為 .
(2)由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,∴|OP|=c≥b,
即c2≥a2-c2,∴a≤ c,
∵e= ,0基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　由橢圓方程研究其簡單幾何性質
1.(多選題)已知橢圓C:+y2=1,則下列關于橢圓C的說法正確的是(　　)
A.離心率為
B.焦點坐標為(±2,0)
C.橢圓C上的點到焦點的最短距離為1
D.橢圓C上的點的橫坐標的取值范圍是[-3,3]
2.橢圓=1與=1(0A.有相等的長軸長　　　　　B.有相等的焦距
C.有相同的焦點　　　　　　D.有相同的頂點
3.在橢圓=1中,A1,A2分別為橢圓的左、右頂點,F1為橢圓的左焦點,M是橢圓上的點,則△MF1A2的面積的最大值為(　　)
A.16　　　B.32　　　C.16
4.若P是橢圓+y2=1上一動點,A(0,3),則|PA|的最大值為　　　　.
5.已知F1,F2為橢圓C:=1的兩個焦點,P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,則四邊形PF1QF2的面積為　　　　.
題組二　橢圓的離心率
6.某地的旅游地圖如圖所示,它的外輪廓線是橢圓,根據圖中的數據可得該橢圓的離心率為(　　)
A.
C.
7.比較下列四個橢圓的形狀,其中更接近于圓的是(　　)
A.9x2+y2=36　　　　　　B.3x2+4y2=48
C.x2+9y2=36　　　　　　D.5x2+3y2=30
8.已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿足MF1⊥MF2的點M總在橢圓內部,則橢圓離心率的取值范圍是(　　)
A.
C.
9.設橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M,N在橢圓C上(點M位于第一象限),且點M,N關于原點O對稱,若|MN|=|F1F2|,|MF2|=|NF2|,則橢圓C的離心率為(　　)
A.
10.已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,點P在C上,且|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,則橢圓C的離心率為　　　　.
11.橢圓=1(a>b>0)的中心在原點,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,A,B分別是橢圓的上頂點和右頂點,P是橢圓上一點,且PF1⊥x軸,PF2∥AB,求橢圓的離心率.
題組三　由橢圓的簡單幾何性質求橢圓的方程
12.F,A分別為橢圓的一個焦點和頂點,若橢圓的長軸長是10,O為坐標原點,且cos∠OFA=,則橢圓的標準方程為(　　)
A.=1
B.=1
C.=1或=1
D.=1或=1
13.已知橢圓E:=1(b>0)的兩條弦AB,CD相交于點P(點P在第一象限內),且AB⊥x軸,CD⊥y軸.若|PA|∶|PB|∶|PC|∶|PD|=1∶3∶2∶4,則b=(　　)
A.2　　　B.
14.阿基米德是古希臘著名的數學家、物理學家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積的結論.已知在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的面積為8π,且橢圓的離心率為,則橢圓C的標準方程是(　　)
A.=1
C.=1
15.已知橢圓C:=1(a>b>0)的右焦點為F(1,0),A,B為橢圓C的左、右頂點,且|AF|=3|FB|,則橢圓C的方程為　　　　　　.
16.如圖,橢圓=1(a>b>0)的離心率e=,F,A分別是橢圓的左焦點和右頂點,P是橢圓上任意一點,若的最大值是12,求橢圓的方程.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　橢圓的簡單幾何性質及其應用
1.過點(2,1),焦點在x軸上且與橢圓=1有相同的離心率的橢圓方程為(　　)
A.=1
C.=1
2.橢圓有一個光學性質:從橢圓一個焦點發出的光線,經過橢圓反射后,一定經過另一個焦點.假設光線沿直線傳播且在傳播過程中不會衰減,橢圓的方程為=1,則光線從橢圓的一個焦點發出,到首次回到該焦點所經過的路程不可能為(　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
3.已知水平地面上有一籃球,球的中心為O',在斜平行光線的照射下,籃球的陰影為一橢圓(如圖),在平面直角坐標系中,橢圓中心O為原點,橢圓的方程為=1,籃球與地面的接觸點為H,則|OH|等于(　　)
A.
C.
4.已知點P在離心率為的橢圓E:=1(a>b>0)上,F是橢圓的一個焦點,M是以PF為直徑的圓C1上的動點,N是半徑為2的圓C2上的動點,圓C1與圓C2外離且圓心距|C1C2|=,若|MN|的最小值為1,則橢圓E的焦距的取值范圍是　(　　)
A.[1,3]　　　　　　B.[2,4]
C.[2,6]　　　　　　D.[3,6]
5.(多選題)某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓,如圖所示,已知它的近地點A(離地面最近的點)距地面m千米,遠地點B(離地面最遠的點)距地面n千米,并且F,A,B三點在同一直線上,地球的半徑約為R千米,設該橢圓的長軸長、短軸長、焦距分別為2a,2b,2c,則(　　)
A.a-c=m+R　　　　　　B.a+c=n+R
C.2a=m+n　　　　　　 D.b=
6.已知點F為橢圓C:=1的右焦點,點P是橢圓C上的動點,點Q是圓M:(x+3)2+y2=1上的動點,則的最小值是(　　)
A.
7.已知P為橢圓=1(a>b>0)上的任意一點,P到焦點的距離的最大值為2+,最小值為2-,則的取值范圍是　　　　.
8.已知F是橢圓=1(a>b>0)的右焦點,點P在橢圓上,且P到原點O的距離等于半焦距,△POF的面積為6,則b=　　　　.
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)已知點A(0,1),若點B在橢圓C上,求線段AB長度的最大值.
題組二　求橢圓的離心率的值或取值范圍
10.(多選題)已知點F1,F2分別是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點,P是橢圓上的一點(異于左、右頂點),若存在以c為半徑的圓內切于△PF1F2,則該橢圓的離心率可能為(　　)
A.
11.已知A,P,Q為橢圓C:=1(a>b>0)上不重合的三點,且P,Q關于原點對稱,若kAP·kAQ=-,則橢圓C的離心率為(　　)
A.
12.已知橢圓C:=1(a>b>0),P是橢圓C上的點,F1(-c,0),F2(c,0)分別是橢圓C的左、右焦點,若≤2ac恒成立,則橢圓C的離心率e的取值范圍是(　　)
A.-1]
C.-1,1)
13.設F1,F2分別為橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點,過F1的直線交橢圓于A,B兩點,且AF1⊥AF2,,則橢圓C的離心率為　　　　.
14.已知橢圓=1(a>b>0)上有一點A,它關于原點的對稱點為B,F為橢圓的右焦點,且滿足AF⊥BF,設∠ABF=α,且α∈,求該橢圓的離心率e的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
1.2　橢圓的簡單幾何性質
基礎過關練
1.BD　由橢圓方程+y2=1,可知a=3,b=1,所以c=2,所以離心率e=,故A錯誤;易知焦點坐標為(±2,0),故B正確;由橢圓的幾何性質,得橢圓上的點到焦點的最短距離為a-c=3-2,故C錯誤;因為橢圓C的焦點在x軸上,所以橢圓上的點的橫坐標的取值范圍是[-a,a],即[-3,3],故D正確.故選BD.
2.B　對于橢圓=1,a=5,b=3,c=4,設橢圓=1的左、右焦點分別為F1,F2,則F1(-4,0),F2(4,0),長軸長2a=10,焦距2c=8.對于橢圓=4,設橢圓=1(03.A　由題意可知當M為短軸端點時,△MF1A2的面積取得最大值.因為橢圓方程為=1,所以a=5,b=4,c=3,因此△MF1A2的面積的最大值為×8×4=16.故選A.
4.答案　4
解析　令P(x,y),則|PA|=,又x2=4(1-y2),所以|PA|=,又-1≤y≤1,所以當y=-1時,|PA|取得最大值,最大值為4.
5.答案　18
解析　橢圓C:=1的長半軸長a=2,短半軸長b=3,半焦距c=,
由P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,得|OP|=|OQ|,又|OF1|=|OF2|,故四邊形PF1QF2為平行四邊形,不妨設F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,如圖,
又|PQ|=|F1F2|,所以 PF1QF2為矩形,
故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=60,
而|PF1|+|PF2|=2a=4,所以四邊形PF1QF2的面積S=|PF1||PF2|=[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]=18.
6.B　由題意可知2a=25.5,2b=20.4,則c=,所以橢圓的離心率e=.故選B.
7.B　由9x2+y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴離心率e=;由3x2+4y2=48,得=1,a2=16,b2=12,∴c2=4,∴離心率e=;由x2+9y2=36,得=1,a2=36,b2=4,∴c2=32,∴離心率e=;由5x2+3y2=30,得=1,a2=10,b2=6,∴c2=4,∴離心率e=,且e越接近于0,橢圓就越接近于圓,∴橢圓3x2+4y2=48更接近于圓.故選B.
8.B　由MF1⊥MF2,得M在以F1F2為直徑的圓上,此圓的方程為x2+y2=c2,由題知圓在橢圓內部,故c9.B　根據題意可作圖如下:
因為|MN|=|F1F2|,線段MN,F1F2互相平分,
所以四邊形MF1NF2是矩形,其中∠F1MF2=.
設|MF2|=x,則|MF1|=2a-x,
在Rt△MF1F2中,|MF1|2+|MF2|2=|F1F2|2,即(2a-x)2+x2=4c2,
整理得x2-2ax+2b2=0,解得x=a±.
由于點M在第一象限,所以x=a-,
由|MF2|=|NF2|,得|MN|=2|MF2|,即2c=2(a-),
又b2=a2-c2,所以c2+2ac-2a2=0,所以-2=0,即e2+2e-2=0,解得e=-1+或e=-1-(舍去).故選B.
10.答案　
解析　因為|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c,
所以2a=6c e=.
11.解析　如圖所示,由已知得A(0,b),B(a,0),F2(c,0),P,
所以=(a,-b).
因為PF2∥AB,
所以-2bc+a·=0,化簡得b=2c.
所以a=c,
所以橢圓的離心率e=.
12.C　當焦點在x軸上時,不妨設F,A分別為右焦點與下頂點,如圖所示,cos∠OFA=,
由已知得2a=10,所以a=5,c=4,則b2=a2-c2=9,
所以橢圓的標準方程為=1.
同理,當焦點在y軸上時,橢圓的標準方程為=1.
故選C.
13.D　設P(m,n),|PA|=t,則A(m,n+t),B(m,n-3t),C(m+2t,n),D(m-4t,n),
由題意知A,B關于x軸對稱,C,D關于y軸對稱,
所以n+t+n-3t=0,m+2t+m-4t=0,
即n=t,m=t,所以A(t,2t),C(3t,t),
因為A,C在橢圓E上,所以
即,解得b=(負值舍去).故選D.
14.B　由題意可得
故橢圓C的標準方程為=1,故選B.
15.答案　=1
解析　因為|AF|=a+c,|FB|=a-c,|AF|=3|FB|,
所以a+c=3(a-c),又c=1,所以a=2,
所以b2=a2-c2=3,
所以橢圓C的方程為=1.
16.解析　由題意知A(a,0),F(-c,0).
∵e=,∴a=3c.
設P(x0,y0),則-3c≤x0≤3c.
∵=(a-x0,-y0),
∴=(-c-x0,-y0)·(a-x0,-y0)
=-ac+cx0-ax0+
=-ac+cx0-ax0+
=-(a-c)x0+b2-ac
=-(a-c)x0+a2-c2-ac
=-2cx0+5c2
=(x0-9c)2-4c2,-3c≤x0≤3c.
∴當x0=-3c時,有最大值,且最大值為12c2,∴12c2=12,∴c2=1,∴a2=9,b2=a2-c2=8,
∴橢圓的方程為=1.
能力提升練
1.D　因為所求橢圓的焦點在x軸上且與橢圓=1有相同的離心率,所以可設所求橢圓的方程為=λ(λ>0).由橢圓過點(2,1),可得=λ,解得λ=,故所求橢圓的方程為,即=1.故選D.
2.B　由已知可得a2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,所以a=2,c=1.①若光線從橢圓的一個焦點沿x軸方向發出,到長軸端點(較近的)反射后再次回到該焦點,則所經過的路程為2(a-c)=2;②若光線從橢圓的一個焦點沿x軸方向發出,到長軸端點(較遠的)反射后再次回到該焦點,則所經過的路程為2(a+c)=6;③若光線從橢圓的一個焦點沿非x軸方向發出,則所經過的路程為4a=8.故選B.
3.答案　B
信息提取　①根據平行光線照射特點可知,|AB|等于橢圓的長軸長,球的直徑等于橢圓的短軸長;②橢圓的方程為=1;③三角形O'HO為直角三角形.
數學建模　通過一個關于橢圓與球的實際問題,結合平行光線照射的特點與球的性質建立關于橢圓的方程與性質的數學模型.在平行光線照射過程中,橢圓的短半軸長等于球的半徑,球心到橢圓中心的距離等于橢圓的長半軸長,過球心向地面作垂線,垂足即為接觸點H,得到一個直角三角形,求|OH|即可.
解析　連接OO',O'H,O'A,O'B.
由橢圓方程可知,橢圓的長軸長為4,短軸長為2.在平行光線照射的過程中,橢圓的短半軸長等于球的半徑,所以球的半徑為.
因為AA',AB,BB'均與球相切,
所以∠O'AB+∠O'BA=(∠A'AB+∠B'BA)=,
所以∠AO'B=.
又O是AB的中點,故|OO'|=|AB|=2.
在直角三角形O'HO中,|O'H|=,∠O'HO=,
所以|OH|=.故選B.
4.C　因為M是以PF為直徑的圓C1上的動點,N是半徑為2的圓C2上的動點,圓C1與圓C2外離且圓心距|C1C2|=,|MN|的最小值為1,所以|C1C2|=2+1+,解得|PF|=3,又因為P在橢圓E上,所以a-c≤|PF|≤a+c,因為橢圓E的離心率為,所以a=2c,所以c≤3≤3c,故1≤c≤3,所以2≤2c≤6.
5.ABD　由題意可得(*)
∴a-c=m+R,a+c=n+R,故A,B正確;
由(*)得m+n=2a-2R,即2a=m+n+2R,故C不正確;
由(*)可得∴(m+R)(n+R)=a2-c2,
∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R),
∴b=,故D正確.
故選ABD.
6.B　如圖所示,
由橢圓方程=1,知a=5,b=4,c=3,則F(3,0),
圓M:(x+3)2+y2=1的圓心為M(-3,0),半徑r=1,
易知圓心M(-3,0)為橢圓C的左焦點,由橢圓的定義可得|PF|+|PM|=2a=10,∴|PF|=10-|PM|,
由橢圓的幾何性質可得a-c≤|PM|≤a+c,即2≤|PM|≤8,
由圓的幾何性質可得|PQ|≤|PM|+|QM|=|PM|+1,
所以-1≥,
所以.故選B.
7.答案　[1,+∞)
解析　因為點P到橢圓焦點的距離的最大值為2+,最小值為2-,
所以
所以|PF1|+|PF2|=2a=4,
所以=1,
當且僅當|PF1|=|PF2|=2時,等號成立.
所以的取值范圍是[1,+∞).
8.答案　2
解析　設P(x,y),則
由②得x2=c2-y2,
代入①式得=1 y2= |y|=.
∴S△POF=|OF|·|y|=b2=6,
∴b2=12,又b>0,∴b=2.
9.解析　(1)依題意,得2c=2,所以c=,離心率e=,所以a=2,
所以b=,
所以橢圓C的標準方程為=1.
(2)設B(x0,y0),y0∈[-],則=1,
所以.
由兩點間的距離公式,得|AB|=,
所以當y0=-1,x0=±時,線段AB的長度最大,為.
10.CD　由橢圓的性質可知,×2c×b,∵存在以c為半徑的圓內切于△PF1F2,∴c≤×2c×b,∴a+c≤b,
∴(a+c)2≤2b2=2(a2-c2),∴3c2+2ac-a2≤0,∴3e2+2e-1≤0,∴-1≤e≤.又011.A　解法一:設A(x0,y0),P(x1,y1),x0≠±x1,∵P,Q關于原點對稱,∴Q(-x1,-y1),則kAP=,∴kAP·kAQ=,∵A,P均在橢圓上,∴=1 =1 -b2·,∴kAP·kAQ=,∴橢圓C的離心率e=.
解法二:不妨令P,Q分別為橢圓的左、右頂點,依據橢圓的第三定義,有kAP·kAQ=-=e2-1,∴橢圓C的離心率e=.
知識拓展　橢圓的第三定義
與兩定點A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積為-(a>b>0)或e2-1(012.D　設P(x0,y0),則=1,-a≤x0≤a,=(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=+b2-c2,因為a>b>0,所以1->0,又0≤≤a2,所以當=a2時,取得最大值,為a2+b2-c2=a2-c2,又≤2ac恒成立,故a2-c2≤2ac,所以e2+2e-1≥0,又013.答案　
解析　因為,所以|AF1|=2|F1B|,設|F1B|=m,則|AF1|=2m,|AB|=3m,由橢圓的定義得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m.因為AF1⊥AF2,所以|AB|2+,即(3m)2+(2a-2m)2=(2a-m)2,解得m=,所以|AF1|=,在Rt△AF1F2中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即a2=4c2,即,故e=.
14.解析　如圖所示,設橢圓的左焦點為F1,連接AF1,BF1,則四邊形AFBF1為矩形,
∴|AB|=|FF1|=2c,|AF|+|BF|=2a.
∵|AF|=2csin α,|BF|=2ccos α,
∴2csin α+2ccos α=2a,
∴e=.
∵α∈,
∴sin,
∴,
∴橢圓的離心率e∈.
1

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