資源簡介

§2　雙曲線
2.1　雙曲線及其標準方程
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　雙曲線的定義及其應(yīng)用
1.已知M(-3,0),N(3,0),|PM|-|PN|=6,則動點P的軌跡是　　(　　)
A.一條射線　　　　　B.雙曲線右支
C.雙曲線　　　　　　D.雙曲線左支
2.過雙曲線x2-y2=8的右焦點F2有一條弦PQ,|PQ|=7,F1是雙曲線的左焦點,那么△F1PQ的周長為(　　)
A.28　　　　　　B.14-8
C.14+8
3.設(shè)F1,F2分別是雙曲線=1的下、上焦點,P是該雙曲線上的一點,且3|PF1|=5|PF2|,則△PF1F2的面積等于(　　)
A.14
4.已知雙曲線=1(m>0)的左、右焦點分別是F1,F2,焦距為8,點M是雙曲線上一點,且|MF1|=5,則|MF2|=　　　　.
5.點P是雙曲線=1左支上的一點,其右焦點為F,若M為線段FP的中點,且M到坐標原點的距離為7,則|PF|=　　　　.
題組二　雙曲線的標準方程
6.若雙曲線=1的焦點與橢圓=1的長軸端點重合,則m的值為(　　)
A.2　　　B.4　　　C.-2　　　D.-4
7.方程=1(θ∈R)所表示的曲線是　(　　)
A.焦點在x軸上的橢圓
B.焦點在y軸上的橢圓
C.焦點在x軸上的雙曲線
D.焦點在y軸上的雙曲線
8.已知雙曲線C的左、右焦點分別為F1(-4,0),F2(4,0),M是雙曲線上一點且||MF1|-|MF2||=2,則雙曲線C的標準方程為(　　)
A.=1
C.=1
9.求滿足下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)經(jīng)過點A(4,3),且a=4;
(2)經(jīng)過點A).
題組三　雙曲線的綜合運用
10.許多建筑融入了數(shù)學元素后更具神韻,數(shù)學賦予了建筑活力,數(shù)學的美也被建筑表現(xiàn)得淋漓盡致.已知圖1中是單葉雙曲面(由雙曲線繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形)型建筑,其上、下底面與地面平行,圖2是其最細處附近的截面圖形.現(xiàn)測得下底面直徑AB=20米,上底面直徑CD=20米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底面等距離的G處的直徑等于CD,則最細部分處的直徑為(　　)
　
A.10米　　　　　　B.20米
C.10米　　　　　D.10米
11.雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F1(2,0),點A的坐標為(0,1),點P為雙曲線左支上的動點,且△APF1周長的最小值為8,則a為(　　)
A.　　　C.2　　　D.1
12.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,O為坐標原點,P是雙曲線C右支上一點,|OP|=|OF2|,且△POF1的面積為4,則實數(shù)b=(　　)
A.　　　D.4
13.已知雙曲線=1的左、右焦點分別為F1,F2,P為雙曲線右支上一點,且PF2的中點M在以O(shè)為圓心,OF1為半徑的圓上,則|PF2|=　　　　.
14.雙曲線x2-=1的左、右焦點分別是F1,F2,第一象限內(nèi)的一點P在雙曲線上,O是坐標原點.
(1)若|,求點P的坐標;
(2)設(shè)||=n,若∠F1PF2=90°,求m+n的值.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　雙曲線的方程及其綜合應(yīng)用
1.已知點A(0,-),B(2,0),P為函數(shù)y=2圖象上的一點,則|PA|+|PB|的最小值為(　　)
A.1+2　　　B.7　　　C.3　　　D.不存在
2.已知F1,F2為橢圓)和雙曲線x2-=1(b2>0)的公共焦點,P為它們的公共點,且∠F1PF2=,則△PF1F2的面積為(　　)
A.
3.一動圓P過定點M(-4,0),且與圓N:(x-4)2+y2=16相切,則動圓圓心P的軌跡方程是(　　)
A.=1(x≥2)　　　　 B.=1(x≤2)
C.=1
4.已知雙曲線C:=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,A為雙曲線C左支上一點,直線AF2與雙曲線C的右支交于點B,且|AB|=15,∠F1AF2=,則|AF1|+|AF2|=(　　)
A.　　　B.26　　　C.25　　　D.23
5.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線與雙曲線的右支相交于A,B兩點,|BF1|=2|BF2|=4|AF2|,且△ABF1的周長為10,則雙曲線C的焦距為　　　　.
6.過雙曲線x2-=1的右支上一點P分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1作切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為　　　　.
7.中國海軍在某次演習中派出三艘艦艇,某時刻三艘艦艇呈“品”字形列陣(此時艦艇可視作靜止的點),如圖中A,B,C,且OA=OB=OC=3,假設(shè)可疑艦艇在某處發(fā)出信號,A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早(注:信號傳播速度為v0),C處艦艇保持靜止.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼?并求可疑艦艇所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程;
(2)在A,B兩處艦艇對可疑艦艇攻擊后,C處艦艇派出無人機到可疑艦艇處觀察攻擊效果,則無人機飛行的最短距離是多少
答案與分層梯度式解析
§2　雙曲線
2.1　雙曲線及其標準方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　因為|PM|-|PN|=6=|MN|,所以動點P的軌跡是一條射線.
規(guī)律總結(jié)　已知定點M,N及動點P,當||PM|-|PN||<|MN|時,點P的軌跡是雙曲線;當||PM|-|PN||=|MN|時,點P的軌跡是兩條分別以M,N為端點的射線;當||PM|-|PN||>|MN|時,點P的軌跡不存在.
2.C　方程x2-y2=8可化為,c=4.根據(jù)雙曲線的定義,得|PF1|-|PF2|=4,∴△F1PQ的周長=|PF1|+|QF1|+|PQ|=7+8,故選C.
3.D　由題意得點P在雙曲線的下支上,|F1F2|=2|PF2|=4,所以|PF2|=6,|PF1|=10,在△PF1F2中,由余弦定理得,cos∠F1PF2=,所以sin∠F1PF2=,所以|PF1||PF2|sin∠F1PF2=.故選D.
4.答案　7或3
解析　由已知得a2=m2,b2=15,2c=8,∴m2+15=42,解得m=1(m=-1舍去),即a=1.當M是雙曲線左支上一點時,|MF2|-|MF1|=2a=2,則|MF2|=7≥a+c=5,當M是雙曲線右支上一點時,|MF1|-|MF2|=2a=2,則|MF2|=3≥c-a=3.綜上所述,|MF2|=7或|MF2|=3.
5.答案　22
解析　設(shè)雙曲線的左焦點為F',連接PF',則OM(O為坐標原點)是△F'PF的中位線,∴|OM|=|PF'|,∵M到坐標原點的距離為7,∴|PF'|=14,又由雙曲線的定義得|PF|-|PF'|=2a=8,∴|PF|=8+|PF'|=22.
6.A　易得橢圓=1的長軸端點為(0,2),(0,-2),所以雙曲線的焦點為(0,2),(0,-2),故2+m=4,解得m=2.故選A.
7.C　∵-1≤sin θ≤1,∴2sin θ+4>0,sin θ-3<0,∴方程=1(θ∈R)所表示的曲線是焦點在x軸上的雙曲線.故選C.
8.D　設(shè)雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0),半焦距為c,則c=4,2a=2,故a=,b2=c2-a2=16-5=11.所以雙曲線C的標準方程為=1.故選D.
9.解析　(1)因為a=4>3,所以雙曲線的焦點在x軸上,設(shè)雙曲線的標準方程為=1(b>0),
因為點A(4,3)在雙曲線上,所以=1,解得b2=9,
所以雙曲線的標準方程為=1.
(2)設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2=1(mn<0),
因為點A)在雙曲線上,
所以
所以雙曲線的標準方程為=1.
10.B　取CD的中點E,以EG所在直線為y軸,EG的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系,如圖所示.
易知D(10,-60),O為雙曲線的中心.
設(shè)雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0),則所以最細部分處的直徑為2a=20(米).故選B.
11.D　設(shè)該雙曲線的左焦點為F,如圖所示,
由雙曲線的定義可得|PF1|=|PF|+2a.
易得|AF|=|AF1|==3,|AP|+|PF|≥|AF|=3,當且僅當A,P,F三點共線時等號成立,
所以△APF1的周長為|AP|+|AF1|+|PF1|=|AF1|+|AP|+|PF|+2a≥|AF1|+|AF|+2a=6+2a,當且僅當A,P,F三點共線時,△APF1的周長取得最小值,即6+2a=8,解得a=1.故選D.
12.C　因為△POF1的面積為4,
所以△PF1F2的面積為8.
又|OP|=|OF2|,
所以|OP|=|OF2|=|OF1|=|F1F2|,
所以△PF1F2為直角三角形,且PF1⊥PF2.
設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則|m-n|=2a,m2+n2=4c2,
所以mn==2b2,
所以mn=b2=8,
又b>0,所以b=2.故選C.
13.答案　4
解析　如圖,由雙曲線方程=1,得a2=16,b2=20,則c==6,則|OM|=|OF1|=6,
易知OM為△F1PF2的中位線,∴|PF1|=2|OM|=12,
∴|PF2|=|PF1|-8=4.
14.解析　(1)設(shè)P(x,y),x>0,y>0,
則
∴P(,2).
(2)易知雙曲線中a=1,b=2,∴c=,
∴∴2mn=16,
∴(m+n)2=20+16=36,∴m+n=6.
能力提升練
1.B　由y=2-x2=1(y>0).設(shè)點A'(0,),易知點A'(0,)分別為雙曲線-x2=1的上、下焦點.由雙曲線的定義得|PA|-|PA'|=4,則|PA|+|PB|=4+|PA'|+|PB|≥4+|BA'|=7.故選B.
2.C　根據(jù)題意作出圖形如下,
由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2,由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2,
所以|PF1|=-1,
則.故選C.
3.C　由已知得N(4,0),當兩圓內(nèi)切時,定圓N在動圓P的內(nèi)部,有|PN|=|PM|-4;當兩圓外切時,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4<|MN|=8,由雙曲線的定義知,點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線,且2a=4,c=4,所以a2=4,b2=12,故動圓圓心P的軌跡方程為=1.故選C.
4.B　由雙曲線的定義得,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,令|BF2|=x,則|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=,
則cos∠F1AB=,
即,解得x=3,故|AF1|=8,|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故選B.
5.答案　
解析　不妨設(shè)B在第一象限內(nèi),根據(jù)題意作出圖形,如圖所示,
設(shè)|AF2|=m,則|BF2|=2m,|BF1|=4m,
由雙曲線的定義得,|BF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|,
即4m-2m=|AF1|-m,得|AF1|=3m.
又△ABF1的周長為10,
∴m+2m+4m+3m=10,解得m=1.
在△AF1F2和△BF1F2中,cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0,
即=0,解得c=(負值舍去),
所以雙曲線C的焦距為.
6.答案　13
解析　由已知得c2=1+15=16,所以雙曲線的焦點坐標為(±4,0),圓C1的圓心為C1(-4,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(4,0),半徑r2=1,∵PM,PN分別為兩圓的切線,∴|PM|2=|PC1|2-=|PC2|2-1,∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3,∵P為雙曲線右支上的點,且雙曲線的焦點為C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(當P為雙曲線的右頂點時取等號),∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值為13.
7.信息提取　①OA=OB=OC=3;②設(shè)可疑艦艇的位置為P,則滿足|PB|-|PA|=4;③無人機到可疑艦艇位置的最短距離即兩點間的最短距離.
數(shù)學建模　以實際問題中的動點與兩定點間的距離之差是定值為背景,建立雙曲線模型.
解析　(1)以O(shè)為坐標原點,AB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標系.設(shè)可疑艦艇的位置為P(x,y),
由題意可知|PB|-|PA|=v0×=4,|AB|=6,又4<6,因此P點的軌跡是以A,B為焦點,4為實軸長的雙曲線的左支,故2a=4,c=3,∴a=2,b=,
∴所求的軌跡方程為=1(x≤-2).
(2)取曲線=1(x≤-2)上任意一點M(x0,y0)(x0≤-2),于是=1,即+4,
由題意知,求出M、C間的最短距離即可,
|MC|=
=
=,
當y0=時,|MC|min=.
∴無人機飛行的最短距離是2.
1(共20張PPT)
§2 雙曲線
知識點 1 雙曲線的定義
知識 清單破
知識點 2 雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
圖形
焦點坐標 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
范圍 x≤-a或x≥a,且y∈R y≤-a或y≥a,且x∈R
對稱性 對稱軸:x軸、y軸;對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
離心率 e= ,e∈(1,+∞) 漸近線 y=± x y=± x
實、虛 軸 兩個頂點間的線段A1A2叫作雙曲線的實軸,它的長度等于2a,
其中a叫作雙曲線的實半軸長;線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,
它的長度等于2b,其中b叫作雙曲線的虛半軸長 a,b,c的關(guān)系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.已知點A(1,0),B(-1,0),若|AC|-|BC|=2,則點C的軌跡是雙曲線. (　 )
2.在雙曲線的標準方程 - =1中,a>0,b>0,且a≠b. (　 )
3.雙曲線上的點到兩焦點的距離之差的絕對值為定值. (　 )
4.共漸近線的雙曲線的離心率相同. (　 )
5.雙曲線C1: - =1(a>0,b>0)與C2: - =1的漸近線方程相同. (　 )




√
提示
提示
提示
因為|AC|-|BC|=2=|AB|,所以點C的軌跡不是雙曲線.
a,b之間的大小關(guān)系沒有限制.
C1的漸近線方程為y=± x,C2的漸近線方程為y=± x.兩雙曲線的漸近線不一定相同.
6.雙曲線的離心率越大,開口越大. (　 )
7.橢圓的離心率與雙曲線的離心率的取值范圍相同. (　 )

√

提示
橢圓的離心率的取值范圍是(0,1),雙曲線的離心率的取值范圍是(1,+∞).
1.定義中的限制條件:“小于|F1F2|”“絕對值”“常數(shù)不等于零”.
(1)當2a<|F1F2|時,動點的軌跡是雙曲線.若將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”,其余條件不變,
此時動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條射線;若將其改為“大于|F1F2|”,其余條件不變,此時
動點的軌跡不存在.
(2)若定義中沒有“絕對值”,即|MF1|與|MF2|僅滿足|MF1|-|MF2|=2a(a>0),則當2a<|F1F2|時,軌跡
是雙曲線的一支;當2a=|F1F2|時,軌跡是以F2為端點的一條射線;當2a>|F1F2|時,軌跡不存在.
(3)若將“常數(shù)不等于零”改為“常數(shù)等于零”,則此時動點的軌跡是線段F1F2的垂直平分
線.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 如何運用雙曲線的定義解決雙曲線問題
2.設(shè)F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點,若點M在雙曲線的右支上,則|MF1|>|MF2|,|MF1|-|MF2|=2a
(a>0);若點M在雙曲線的左支上,則|MF1|<|MF2|,|MF1|-|MF2|=-2a(a>0),因此得到|MF1|-|MF2|=±2a.
這與橢圓的定義中|MF1|+|MF2|=2a是不同的.
典例 雙曲線 - =1上的點P到一個焦點的距離為11,則它到另一個焦點的距離為 ( )
A.1或21　　　　 B.14或36
C.1　　　　　　　 D.21
D
解析 設(shè)點P到另一個焦點的距離為m(m>0),
∵點P到一個焦點的距離為11,
∴由雙曲線的定義得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a=5,c=7,m≥c-a,∴m≥7-5=2,
∴m=1不符合題意,舍去.故選D.
1.用定義法求雙曲線的標準方程
　　根據(jù)雙曲線的定義確定a,b的值,結(jié)合焦點位置寫出雙曲線的標準方程.
2.用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程的四個步驟
(1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上,還是二者都有可能.
(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點的位置,設(shè)其方程為 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦點位置不
定時,亦可設(shè)為mx2+ny2=1(mn<0).
(3)尋關(guān)系:根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b或m,n的方程組.
(4)得方程:解方程組,將a,b或m,n的值代入所設(shè)方程即可.
講解分析
疑難 2 雙曲線的標準方程
3.利用雙曲線的幾何性質(zhì)設(shè)雙曲線方程的方法與技巧
(1)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程為 - =λ(λ>0)和 - =λ(λ>
0).
　　注意:僅以離心率不能確定焦點位置.
(2)與漸近線有關(guān)的雙曲線方程的設(shè)法:
①與雙曲線 - =1(a>0,b>0)具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為 - =λ(λ≠0).
②漸近線方程為y=±kx(k≠0)的雙曲線方程可設(shè)為k2x2-y2=λ(λ≠0).
③漸近線方程為ax±by=0(a>0,b>0)的雙曲線方程可設(shè)為a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
(3)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)共焦點的雙曲線方程可設(shè)為 - =1(λ≠0,-b2<λ典例 求適合下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)a=2 ,經(jīng)過點A(2,-5),焦點在y軸上;
(2)經(jīng)過點P ,Q ;
(3)與雙曲線 - =1有公共焦點,且過點(3 ,2);
(4)雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,且雙曲線經(jīng)過點(4,4 ).
解析 (1)因為雙曲線的焦點在y軸上,所以可設(shè)雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).因為
a=2 ,且點A(2,-5)在雙曲線上,所以 - =1,解得b2=16.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(2)解法一:若雙曲線的焦點在x軸上,設(shè)雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
因為點P 和點Q 在雙曲線上,
所以 此方程組無實數(shù)解.
若雙曲線的焦點在y軸上,設(shè)雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
因為點P 和點Q 在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設(shè)雙曲線的方程為 + =1(mn<0).因為P,Q兩點在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
(3)解法一:設(shè)雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),由題意易求得c=2 ,
所以a2+b2=(2 )2.
因為雙曲線過點(3 ,2),
所以 - =1,
所以a2=12,b2=8,
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設(shè)雙曲線的方程為 - =1(-4將(3 ,2)代入,得 - =1,
解得k=4或k=-14(舍去).
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(4)解法一:因為雙曲線的一條漸近線方程為2x-y=0,所以可設(shè)雙曲線的方程為4x2-y2=λ(λ≠0),
又雙曲線經(jīng)過點(4,4 ),所以4×42-(4 )2=λ,解得λ=16,所以雙曲線的標準方程是 - =1.
解法二:根據(jù)題意,2×4>4 ,所以點(4,4 )在直線y=2x的右下方,所以該雙曲線的焦點在x軸
上,設(shè)其標準方程為 - =1(a>0,b>0),則 =2,所以b=2a,又雙曲線經(jīng)過點(4,4 ),所以 -
=1,即 - = =1,解得a2=4,所以b2=16,所以雙曲線的標準方程是 - =1.
1.求與雙曲線的性質(zhì)有關(guān)的問題的步驟
(1)將雙曲線的方程化為標準形式: - =1 (a>0,b>0);
(2)根據(jù)已知條件確定a,b的值(注意分母分別為a2,b2,而不是a,b);
(3)求出c的值,再由雙曲線的幾何性質(zhì)求解.
2.與雙曲線有關(guān)的其他幾何性質(zhì)
(1)通徑:過雙曲線 - =1 (a>0,b>0)的焦點作垂直于實軸的直線,該直線被雙
曲線截得的弦叫作通徑,其長度為 .
(2)焦點三角形:雙曲線上的點P(不在坐標軸上)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形.設(shè)
講解分析
疑難 3 雙曲線的幾何性質(zhì)
∠F1PF2=θ,則焦點三角形的面積S= .
(3)距離:雙曲線 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一點M到左焦點的距離的最小值為a+c,到右
焦點的距離的最小值為c-a.焦點到漸近線的距離為b.
(4)中點弦:設(shè)M為雙曲線 - =1(a>0,b>0)的弦AB(AB不平行于坐標軸)的中點,O為坐標原
點,則有kAB·kOM= .
3.等軸雙曲線
中心在原點,以坐標軸為對稱軸,實半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫作等軸雙曲線.它有如
下性質(zhì):
(1)方程形式為x2-y2=λ(λ≠0);
(2)漸近線方程為y=±x,所以兩條漸近線互相垂直,并且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角;
(3)實軸長和虛軸長都等于2a,離心率e= .
典例 (1)雙曲線x2-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于 (　 )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,P為該雙曲線上一點,若△PF1F2為等腰直角三角形,
則該雙曲線的離心率為 (　 )
A. +1　 B. +1　 C.2 　 D.2
B
B
思路點撥 (1)求出雙曲線的頂點坐標及漸近線方程 求頂點到漸近線的距離.(2)不妨設(shè)
點P在雙曲線的右支上 根據(jù)雙曲線的定義和三角形特征推出∠PF2F1為直角 轉(zhuǎn)化
為直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系 建立關(guān)于a,c的方程求離心率
解析 (1)雙曲線x2-y2=1的頂點坐標為(±1,0),漸近線方程為y=±x,即x±y=0,
∴頂點到漸近線的距離為 .
(2)不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形,
∴只能是∠PF2F1=90°,
∴|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
∴(2a+2c)2=(2c)2+(2c)2,
即c2-2ac-a2=0,
等式兩邊同除以a2,得e2-2e-1=0.
∵e>1,∴e= +1.2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　由雙曲線的方程研究其簡單幾何性質(zhì)
1.(多選題)已知F1,F2分別是雙曲線C:=1的上、下焦點,點P在C上,且C的實軸長等于虛軸長的2倍,則(　　)
A.m=2
B.頂點坐標為(±2,0)
C.C的離心率為
D.C的漸近線方程為y=±2x
2.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,焦距為6,點M在雙曲線C上,且MF⊥AF,|MF|=2|AF|,則雙曲線C的實軸長為(　　)
A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8
3.已知雙曲線C:=1的上、下焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線C上,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.的最大值為4
B.的最大值為2
C.的最小值為-4
D.的最小值為-2
4.若點A(10,2)是雙曲線my2-4x2+4m=0上的點,試求該雙曲線的實軸長、虛軸長、焦距、焦點坐標、頂點坐標.
題組二　雙曲線的離心率
5.北京冬奧會火種臺(如圖1)以“承天載物”為設(shè)計理念,創(chuàng)意靈感來自中國傳統(tǒng)青銅禮器——尊的曲線造型,其基座沉穩(wěn),象征“地載萬物”,頂部舒展開闊,寓意迎接純潔的奧林匹克火種.如圖2,一種尊的外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所成的曲面,尊高50 cm,上口直徑為 cm,底座直徑為25 cm,最小直徑為20 cm,則這種尊的軸截面的邊界所在雙曲線的離心率為(　　)
　
A.2　　　B.
6.已知橢圓C:=1的離心率與雙曲線C':=1(b>0)的離心率互為倒數(shù),則b=(　　)
A.2　　　C.4　　　D.6
7.已知A,B分別為雙曲線E的左、右頂點,點M在雙曲線E上,滿足△ABM為等腰三角形,頂角為120°,則雙曲線E的離心率為(　　)
A.
8.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),若雙曲線上存在一點P,使,求該雙曲線的離心率的取值范圍.
題組三　雙曲線的漸近線
9.已知雙曲線C:=1的一個焦點為(0,),則該雙曲線的漸近線方程為(　　)
A.y=±x
C.y=±2x　　　　　　D.y=±4x
10.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為2,則其漸近線的傾斜角為(　　)
A.
C.
11.已知方程=1表示雙曲線.
(1)求實數(shù)m的取值范圍;
(2)當m=2時,求雙曲線的焦點到漸近線的距離.
題組四　由雙曲線的簡單幾何性質(zhì)求其方程
12.中心在原點,實軸在x軸上,一個焦點在直線x-4y+2=0上的等軸雙曲線的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　　　D.y2-x2=4
13.已知雙曲線C:mx2-ny2=1(m>0,n>0)的離心率為,虛軸長為4,則C的方程為(　　)
A.3x2-4y2=1　　　　　　 B.x2-=1
C.=1
14.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=-x,且焦點到漸近線的距離為1,則雙曲線C的標準方程為(　　)
A.-y2=1
C.=1
15.在平面直角坐標系xOy中,過雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右頂點作x軸的垂線,與C的一條漸近線相交于點A,若以C的右焦點為圓心、4為半徑的圓經(jīng)過A,O兩點,則雙曲線的標準方程為　　　　　　　　.
16.雙曲線E:=1(a>0,b>0)的漸近線為菱形OABC的邊OA,OC所在的直線(O為坐標原點),點B(2,0)為雙曲線的焦點,若∠AOC=120°,則雙曲線的方程為　　　　　　.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用
1.已知雙曲線C:=m(m≠0),則當實數(shù)m變化時,這些雙曲線有(　　)
A.相同的焦點　　　　　　B.相同的實軸長
C.相同的離心率　　　　　D.相同的漸近線
2.直線l過圓M:(x-4)2+y2=1的圓心,且與圓M相交于A,B兩點,P為雙曲線=1右支上一個動點,則的最小值為(　　)
A.-2　　　　　　B.1
C.2　　　　　　 D.0
3.(多選題)如圖,F1,F2是雙曲線C1:x2-=1與橢圓C2的公共焦點,A是C1,C2在第一象限內(nèi)的交點,若|F1F2|=|F1A|,則(　　)
A.雙曲線的漸近線方程為y=±8x
B.橢圓的離心率為
C.橢圓的方程為=1
D.△AF1F2的面積為8
4.小明同學發(fā)現(xiàn)家中墻壁上燈光的邊界類似雙曲線的一支,O為雙曲線的一支的頂點.小明經(jīng)過測量得知,該雙曲線的漸近線互相垂直,且AB與OC垂直,其中C為AB的中點,AB=80 cm,OC=20 cm,若該雙曲線的焦點位于直線OC上,則距點O較近的焦點距點O　　　　cm.
5.已知雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為e,若雙曲線上存在一點P,使=e,則的值為　　　　.
題組二　雙曲線的離心率
6.雙曲線的光學性質(zhì):如圖①,從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射,反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個光學性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分,如圖②,其方程為=1(a>0,b>0),F1,F2為其左、右焦點,若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后,滿足∠BAD=90°,tan∠ABC=-,則該雙曲線的離心率e=(　　)
　
A.
C.
7.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0),A為C的上頂點,B(0,5a).若在C的漸近線上存在一點P,使得∠APB=90°,則C的離心率e的取值范圍為(　　)
A.
C.
8.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為C上一點,且∠F1PF2=60°,則當C的離心率e=　　　　時,滿足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.
9.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A、B,點C(0,2b),若線段AC的垂直平分線過點B,則該雙曲線的離心率為　　　　.
10.已知雙曲線Q:=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為,過雙曲線的右焦點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點,設(shè)A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2,且d1+d2=6.
(1)求雙曲線Q的離心率;
(2)求雙曲線Q的方程.
11.雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左頂點為A,右焦點為F,動點B在C上.當BF⊥AF時,|AF|=|BF|.
(1)求C的離心率;
(2)若B在第一象限,證明:∠BFA=2∠BAF.
題組三　雙曲線的漸近線
12.已知F為雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點,過點F作x軸的垂線,且與雙曲線及它的漸近線在第一象限內(nèi)依次交于點A,B.若|AB|=|AF|,則雙曲線C的漸近線方程為(　　)
A.y=0
C.y=0
13.已知雙曲線Γ:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,直線y=kx與Γ交于A,B兩點(點A在第一象限),線段AF的中點為P,O為坐標原點.若|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,則Γ的兩條漸近線的斜率之積為(　　)
A.-4-2
C.3-2
答案與分層梯度式解析
2.2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.CD　由題意得,a2=m,b2=5-m,且a=2b,所以m=4(5-m),解得m=4,故A錯誤;因為a2=m=4,焦點在y軸上,所以頂點坐標為(0,±2),故B錯誤;因為a2=4,b2=1,所以c2=5,故離心率e=,故C正確;因為雙曲線的焦點在y軸上,所以漸近線方程為y=±x,即y=±2x,故D正確.故選CD.
2.A　把x=c代入=1,得y=±,即|MF|=,因為|AF|=a+c,|MF|=2|AF|,所以=2(a+c),結(jié)合a2+b2=c2,得c2-a2=2ac+2a2,又c=3,所以a2+2a-3=0,解得a=1(負值舍去),則2a=2.故選A.
3.D　根據(jù)題意,得F1(0,),設(shè)P(x,y),x∈R,則-y)·(-x,--y)=x2+y2-6,又y2=4=4+2x2,所以=x2+4+2x2-6=3x2-2,因為x∈R,所以當x=0時,取得最小值-2,沒有最大值.故選D.
4.解析　因為點A(10,2)在雙曲線my2-4x2+4m=0上,
所以m-4×102+4m=0,解得m=25,
所以雙曲線的方程為25y2-4x2+100=0,即=1,
所以雙曲線的焦點在x軸上,且a2=25,b2=4,c2=25+4=29,
因此實軸長為2a=10,虛軸長為2b=4,焦距為2c=2,焦點坐標為(,0),頂點坐標為(-5,0),(5,0).
5.B　如圖,設(shè)雙曲線的標準方程為=1(a>0,b>0),
由最小直徑為20 cm,可知a=10,
設(shè)點A,0則=1,
所以t=32,b=24,
所以c==26,故e=.故選B.
6.B　由橢圓C:=1的離心率與雙曲線C':=1(b>0)的離心率互為倒數(shù),且橢圓C:=1的離心率為,得雙曲線C':=1(b>0)的離心率為=2,所以b=2.故選B.
7.D　不妨設(shè)點M在第一象限內(nèi),如圖所示,
設(shè)雙曲線E的方程為=1(a>0,b>0),
∵△ABM是頂角為120°的等腰三角形,
∴|BM|=|AB|=2a,∠MBx=60°,
∴點M的坐標為(2a,a),
又∵點M在雙曲線E上,
∴4-=1,整理,得a2=b2,而c2=a2+b2=2a2,
∴e2==2,因此e=.故選D.
8.解析　在△PF1F2中,由正弦定理得,因為,所以.
因為a所以|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF2|=,
又|PF2|>c-a,所以>c-a,整理得e2-2e-1<0,
所以19.C　由題意得,該雙曲線的焦點在y軸上,則雙曲線C:=1,所以a2=4,b2=-m,c2=()2=5,由c2=a2+b2可得4-m=5,解得m=-1,所以b2=1,即雙曲線C的方程為-x2=1,所以該雙曲線的漸近線方程為y=±2x.故選C.
10.D　∵雙曲線C的離心率e==2,解得(負值舍去),
又雙曲線C:=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,即y=±x,
所以其漸近線的斜率為或-,所以其漸近線的傾斜角為.故選D.
11.解析　(1)因為方程=1表示雙曲線,所以(4-m)(2+m)>0,解得-2故實數(shù)m的取值范圍為(-2,4).
(2)當m=2時,雙曲線的方程為=1.
所以a=,
所以雙曲線的焦點為(,0),
易得漸近線方程為y=±x,
故焦點到漸近線的距離d==2.
12.B　因為雙曲線的實軸在x軸上且焦點在直線x-4y+2=0上,所以雙曲線的焦點在x軸上,令y=0,得x=-2,則c=2.因為雙曲線為等軸雙曲線,所以a=b,又a2+b2=c2,所以a2=b2=4,所以雙曲線的方程為=1,即x2-y2=4.故選B.
13.D　將雙曲線方程化為標準形式為=1,
由題意可得
所以C的方程為=1.故選D.
14.A　易知雙曲線的右焦點為(c,0),
由題意可得
又c2=a2+b2,∴a2=3,b2=1,∴雙曲線C的標準方程為-y2=1.故選A.
15.答案　=1
解析　設(shè)右焦點為F(c,0),由題意得雙曲線的漸近線方程為y=±x,不妨設(shè)A(a,b),由題意得|OF|=|AF|=4,所以c=4,所以(4-a)2+b2=16,又c2=a2+b2,所以a=2,b=2,所以雙曲線的標準方程為=1.
16.答案　x2-=1
解析　不妨設(shè)A在第一象限內(nèi).由題意知OA所在直線的傾斜角為∠AOC的一半,即∠AOB=60°,故=tan 60°=,又點B(2,0)為雙曲線的焦點,所以a2+b2=4,所以4a2=4,解得a=1(負值舍去),故b=.所以雙曲線的方程為x2-=1.
能力提升練
1.D　當m>0時,方程=m可化為=1,則a=2,雙曲線C的焦點在x軸上,實軸長為4,離心率為,漸近線方程為y=±x;當m<0時,方程=m可化為=1,則a=,雙曲線C的焦點在y軸上,實軸長為2,離心率為,漸近線方程為y=±x.所以這些雙曲線有相同的漸近線.故選D.
2.D　由題意,得圓M的圓心M的坐標為(4,0),半徑為1.設(shè)P(x0,y0),x0≥3,則)·()·(-8x0+8,令f(x)=x2-8x+8,其圖象開口向上,對稱軸為直線x=,因為x0≥3,所以當x0=3時,取得最小值,且最小值為×9-8×3+8=0.故選D.
3.BD　設(shè)雙曲線的方程為=1(a1>0,b1>0),橢圓的方程為=1(a2>b2>0),則=8,所以a1=1,b1=2,c=3,所以
F1(-3,0),F2(3,0),|F1F2|=6,所以|F1A|=6.由雙曲線的定義可得,|F1A|-|F2A|=2a1=2,所以|F2A|=4.由橢圓的定義可得,|F1A|+|F2A|=10=2a2,所以a2=5,所以-c2=16,所以橢圓的方程為=1,所以橢圓的離心率e=,故B正確,C錯誤;對于A,根據(jù)雙曲線的方程易知,雙曲線的漸近線方程為y=±x,故A錯誤;對于D,在△AF1F2中,由余弦定理得cos∠F1AF2=,所以
sin∠F1AF2=,所以|AF1||AF2|
sin∠F1AF2=,故D正確.故選BD.
4.答案　30-30
信息提取　①燈光的邊界類似雙曲線的一支;②漸近線互相垂直;③AB=80 cm,OC=20 cm.
數(shù)學建模　利用雙曲線模型解決問題.先建立平面直角坐標系,設(shè)雙曲線的方程為=1(a>0,b>0),根據(jù)題意求方程,再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.
解析　以O(shè)C所在直線為x軸,垂直于OC的直線為y軸且使O為雙曲線的右頂點,建立平面直角坐標系(圖略).設(shè)該雙曲線的方程為=1(a>0,b>0).
因為該雙曲線的漸近線互相垂直,所以a=b.
由題意知,=1,
所以a=b=30,又c2=a2+b2,所以c=30,
故距點O較近的焦點距點O(30-30)cm.
5.答案　2
解析　由雙曲線方程x2-=1得a=1,c=2,由雙曲線的定義得||||=2,因為=e=2,所以由正弦定理得=2,可求得||=2,又||=4,根據(jù)余弦定理可得cos∠PF2F1=,所以|·||·cos∠PF2F1=2×4×=2.
6.B　如圖所示,連接AF1,BF1,易知F1,A,D共線,F1,B,C共線,AB⊥DF1.
設(shè)|AF1|=m,|AF2|=n,
由題意得tan∠ABF1=tan(180°-∠ABC)=-tan∠ABC=,所以|AB|=,
在Rt△ABF1中,|BF1|=,
由雙曲線的定義可得
即
在Rt△AF1F2中,,即(3a)2+a2=(2c)2,即4c2=10a2,∴e=.
故選B.
方法點睛　雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)之一,求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)有兩種常見方法:
①求出a,c的值,代入公式e=求解;
②根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,結(jié)合b2=c2-a2將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范圍).
7.D　設(shè)AB的中點為D,A(0,a),B(0,5a),則D(0,3a),
依題意,以D(0,3a)為圓心,2a為半徑的圓與漸近線ax-by=0有公共點,如圖,
所以D(0,3a)到漸近線ax-by=0的距離d=≤2a,即3b≤2c,即9b2≤4c2,
即9c2-9a2≤4c2,即5c2≤9a2,即,
所以1<,故e∈.
故選D.
8.答案　
解析　如圖,在△PF1F2中,由sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2得|PF1|=3|PF2|,
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2|PF2|=2a,
所以|PF2|=a,|PF1|=3a,
在△PF1F2中,∠F1PF2=60°,
由余弦定理,得4c2=9a2+a2-2×3a×a×cos 60°,
整理,得4c2=7a2,所以e2=,即e=.
故當e=時,滿足sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.
9.答案　
解析　因為雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A,B,
所以A(-a,0),B(a,0),|AB|=2a,
又C(0,2b),線段AC的垂直平分線過點B,
所以|BC|=|BA|,即=2a,得b2=a2,
所以c2=a2+b2=a2+a2,
因此e=.
10.解析　(1)∵雙曲線Q:=1(a>0,b>0)的一條漸近線的傾斜角為,
∴,即b=a,
∴c==2a,
∴雙曲線Q的離心率e==2.
(2)由題意可畫出圖形,如圖所示:
CD是該雙曲線的一條漸近線y=x,即bx-ay=0.
作AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,垂足分別為C,D,E,則四邊形ACDB是梯形.
∵F是AB的中點,∴|EF|==3,
又F(c,0),∴由點到直線的距離公式可得|EF|==b,
∴b=3,又b=,
故雙曲線Q的方程為=1.
11.解析　(1)當BF⊥AF時,|BF|=|AF|=a+c,
∵|BF|=,
∴a2+ac=c2-a2,
∴2a2+ac-c2=0,∴e2-e-2=0,即(e-2)(e+1)=0,
又e>1,∴e=2.
(2)證明:設(shè)B(x,y),x>0,y>0,當x≠c時,tan∠BAF=kAB=,由(1)可知b=a,c=2a,
∴tan 2∠BAF=
=
==-kBF=tan∠BFA.
∵∠BAF,∠BFA∈,
∴∠BFA=2∠BAF.
當x=c時,|BF|=|AF|,∠BFA=90°=2∠BAF.
綜上,∠BFA=2∠BAF.
12.B　由題意得F(c,0),雙曲線C的漸近線方程為y=±x.設(shè)點A,B的縱坐標分別為y1,y2,y1>0,y2>0,
所以A(c,y1),將其代入雙曲線C的方程中,得=1,所以y1=,
所以|AF|=,易得y2=,所以|BF|=.
因為|AB|=|AF|,所以|BF|=2|AF|,即,
即c=2b,所以a=b,故,
所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x,即x±y=0,故選B.
13.B　如圖,設(shè)雙曲線Γ的左焦點為F1,連接AF1,
根據(jù)雙曲線Γ與直線y=kx的對稱性,知|OA|=|OB|.
因為|OA|=|OF|,2|OP|=|OB|,線段AF的中點為P,
所以|AF1|=2|OP|=c,OP⊥AF,又|OF|=c,|OP|=c,所以|PF|=c,|AF|=2|PF|=c.
根據(jù)雙曲線的定義,知|AF1|-|AF|=2a,
所以c-c=2a,
所以,
所以,所以,
所以雙曲線Γ的兩條漸近線的斜率之積為-,故選B.
1

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