資源簡介

3.2　拋物線的簡單幾何性質
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　由拋物線的標準方程探究其幾何性質
1.若點(m,n)在拋物線y2=-13x上,則下列點中一定在該拋物線上的是(　　)
A.(-m,-n)　　　　　　B.(m,-n)　　　
C.(-m,n)　　　　　　 D.(-n,-m)
2.已知等邊三角形的一個頂點位于原點,另外兩個頂點在拋物線y2=4x上,則這個等邊三角形的邊長為(　　)
A.8
3.(多選題)平面內到定點F(0,1)和定直線l:y=-1的距離相等的動點的軌跡為曲線C.關于曲線C,下列結論正確的有(　　)
A.曲線C的方程為x2=4y
B.曲線C關于y軸對稱
C.若點P(x,y)在曲線C上,則y≥2
D.若點P在曲線C上,則點P到直線l的距離d≥2
4.已知點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F為焦點),若P為C上的一個動點,設點Q的坐標為(3,0),則|PQ|的最小值為　　　　.
題組二　由拋物線的幾何性質求標準方程
5.以x軸為對稱軸,坐標原點為頂點,焦點與原點之間的距離為2的拋物線的方程是(　　)
A.y2=8x　　　　　　B.y2=-8x
C.y2=8x或y2=-8x　　D.x2=8y或x2=-8y
6.設O為坐標原點,直線x=2與拋物線C:y2=2px(p>0)交于D,E兩點,若OD⊥OE,則C的標準方程為(　　)
A.y2=8x　　　　　　B.y2=2x
C.y2=x　　　　　　 D.y2=x
7.(多選題)設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F.點M在y軸上,若線段FM的中點B在拋物線上,且點B到拋物線準線的距離為,則點M的坐標可以為(　　)
A.(0,-1)　　　　　　B.(0,-2)　　　
C.(0,2)　　　　　　 D.(0,1)
8.斜率為的直線l過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,若l與圓M:(x-2)2+y2=12相切,則p=(　　)
A.12　　　B.8　　　C.10　　　D.6
9.寫出一個同時滿足下列條件①②的拋物線的方程:　　　　.
①以原點為頂點;②以橢圓+x2=1的一個焦點為拋物線的焦點.
10.已知拋物線C的頂點在原點,對稱軸為坐標軸,且過(-1,1),(1,),(2,-2),(-1,-2)四點中的兩點,則拋物線C的方程為　　　　.
11.若拋物線的頂點在原點,開口向上,F為焦點,M為準線與y軸的交點,A為拋物線上一點,且|AM|=,|AF|=3,求此拋物線的標準方程.
12.已知拋物線y=ax2(a>0)的焦點為F,P為拋物線上的動點,M為其準線上的動點,若△FPM是邊長為2的等邊三角形,求此拋物線的標準方程.
題組三　拋物線的焦點弦問題
13.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線與C交于M,N兩點,若|MN|=10,則線段MN的中點到y軸的距離為(　　)
A.8　　　B.6　　　C.4　　　D.2
14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓=1的右焦點重合,斜率為k(k>0)的直線l經過點F,且與C交于點A,B.若|AF|=2|BF|,則k=(　　)
A.1　　　B.
15.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作傾斜角為的直線,交拋物線于A,B兩點,若=2,則實數p的值為(　　)
A.
16.已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點,點A與拋物線C的焦點F之間的距離為12,點A到y軸的距離為9.
(1)求p的值;
(2)若斜率為1的直線l經過拋物線C的焦點F,且與拋物線C相交于M,N兩點.求線段MN的長.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　拋物線的幾何性質及其應用
1.已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點為坐標原點O,并且經過點M(3,y0),若點M與該拋物線的焦點F之間的距離為6,則|OM|=(　　)
A.5　　　B.3
2.在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:y2=8x,P為x軸正半軸上一點,線段OP的垂直平分線l交C于A,B兩點,若∠OAP=120°,則四邊形OAPB的周長為(　　)
A.64　　　D.80
3.(多選題)已知P(x,y)為曲線x=2上一動點,則(　　)
A.
B.存在一個定點和一條定直線,使得P到定點的距離等于P到定直線的距離
C.P到直線y=-x-2的距離的最小值小于
D.的最小值為6
4.已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交于A,B兩點,且,拋物線的準線l與x軸交于點C,AA1⊥l于點A1,若四邊形AA1CF的面積為5,則準線l的方程為(　　)
A.x=-
C.x=-2　　　　　　 D.x=-1
5.(多選題)已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線AB,CD過焦點F,分別交拋物線Γ于點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),其中A,C位于x軸同側,且直線BC經過點,記直線BC,AD的斜率分別為kBC,kAD,則下列結論正確的有　　(　　)
A.y1y2=-p2
B.直線AD過定點
C.=4
D.|AD|的最小值為2p
6.一個工業凹槽的截面是一條拋物線的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10],在凹槽內放入一個清潔鋼球(規則的球體),要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部,則清潔鋼球的最大半徑為(　　)
A.
7.已知點A(0,2),拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,線段FA交拋物線于點B.過B作l的垂線,垂足為M,若AM⊥MF,則△AFM的面積S=　　　　.
8.已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,定點A(1,2)和動點P都在拋物線C上,點B(2,0),則的最大值為　　　　.
9.已知拋物線C:y2=2px(0(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l與拋物線C交于A,B兩點,O為坐標原點,OA⊥OB,求證:AB過定點.
答案與分層梯度式解析
3.2　拋物線的簡單幾何性質
基礎過關練
1.B　由拋物線方程可知其關于x軸對稱,故點(m,-n)一定在該拋物線上.故選B.
2.A　由題意,可設另外兩個頂點的坐標分別為(m>0),則tan 30°=,解得m=4,故這個等邊三角形的邊長為2m=8.故選A.
3.AB　由拋物線的定義知,曲線C是以F為焦點,直線l為準線的拋物線,其關于y軸對稱,方程為x2=4y,所以A,B正確;由x2=4y知y≥0,點P到直線l的距離d≥1,所以C,D錯誤.故選AB.
4.答案　2
解析　∵點M(1,m)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,且|MF|=2(F為焦點),∴1-=2,解得p=2,
∴拋物線C:y2=4x.
設P(x0,y0)(x0≥0),則=4x0,
則|PQ|2=(x0-3)2+=(x0-3)2+4x0=(x0-1)2+8,
當x0=1時,|PQ|2取得最小值8,
∴|PQ|的最小值為2.
5.C　依題意設拋物線的方程為y2=±2px(p>0).因為焦點與原點之間的距離為2,所以=2,所以p=4,所以拋物線的方程為y2=8x或y2=-8x.故選C.
6.B　在y2=2px(p>0)中,令x=2,得y2=4p,解得y=±2,
不妨設D(2,2),如圖,
因為OD⊥OE,所以=2×2-4p=0,解得p=1,
故C的標準方程為y2=2x.故選B.
7.BC　設M(0,y0),易知F,則B,過點B作準線的垂線,垂足為B1,如圖所示:
則|BB1|=,解得p=,
∴拋物線方程為y2=2x,且B,
又點B在拋物線上,
∴,解得y0=±2.
∴點M的坐標為(0,2)或(0,-2).故選BC.
8.A　拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為,則直線l的方程為y=,即p=0.因為l與圓M:(x-2)2+y2=12相切,所以圓心(2,0)到l的距離d=,解得p=12(負值舍去).故選A.
9.答案　x2=4y(答案不唯一)
解析　因為橢圓+x2=1的焦點在y軸上,且c==1,所以橢圓的上焦點為(0,1),下焦點為(0,-1),不妨以橢圓的上焦點為拋物線的焦點,設拋物線的方程為x2=2py(p>0),則=1,即p=2,所以x2=4y.(答案不唯一)
10.答案　y2=2x
解析　由所經過的點所在象限及對稱性,結合拋物線的對稱性可知,點(-1,1)和點(1,)不可能同時在拋物線C上,點(-1,1)和點(-1,-2)不可能同時在拋物線C上,點(2,-2)和點(-1,-2)不可能同時在拋物線C上,點(1,)和點(-1,-2)也不可能同時在拋物線C上,(-1,1),(2,-2)兩點分別位于第二、四象限,這樣的拋物線不存在,所以拋物線C只能過點(1,),點(2,-2),根據兩點位置可設C:y2=2px(p>0),代入(1,),得2=2p,即p=1,所以y2=2x,此拋物線過點(2,-2),滿足題意.
綜上,拋物線C的方程為y2=2x.
11.解析　設所求拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),設A(x0,y0),由題知M.
因為|AF|=3,所以y0+=3.
因為|AM|=,所以=17,
所以=8,代入方程=2py0,得8=2p·,解得p=2或p=4.
故所求拋物線的標準方程為x2=4y或x2=8y.
12.解析　因為△FPM為等邊三角形,所以|PM|=|PF|,由拋物線的定義可得PM垂直于拋物線的準線.
設P(m,am2),則M,又F,
所以有
所以拋物線的標準方程為x2=2y.
13.C　如圖所示,設MN的中點為D,分別作MA,NB,DC垂直于準線于A,B,C三點,設CD交y軸于點E,易得CD為直角梯形ABNM的中位線,所以|CD|=,由拋物線的定義易得,|MA|+|NB|=|MN|=10,所以|CD|=5,又拋物線的準線方程為x=-1,所以|CE|=1,故線段MN的中點到y軸的距離為|DE|=|CD|-|CE|=4,故選C.
14.D　由橢圓方程可知F(3,0),則C:y2=12x,由題意可設直線l的方程為x=y+3,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x,得y2-y-36=0,即y1y2=-36,又|AF|=2|BF|,所以y1=-2y2,所以y2=-3,所以x1=6,x2=,則k=.故選D.
15.B　易得F,設直線AB的方程為y=,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-7px+,又|AF|=x1+=2 p=1.
16.解析　(1)設A(x,y),由題意得|AF|=9+=12,∴p=6.
(2)由(1)知拋物線C:y2=12x,則焦點F(3,0),
根據題意,得直線l:y=x-3.
聯立消去y,得x2-18x+9=0,
Δ=182-4×9>0,
設M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=18,
∴|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+p=18+6=24.
能力提升練
1.B　由題意設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),因為點M(3,y0)到焦點F的距離為6,所以|MF|=3+=6,則p=6,所以拋物線的方程為y2=12x,令x=3,可得=36,所以|OM|=.故選B.
2.A　由題意得,線段AB與OP互相垂直平分,則四邊形OAPB為菱形.設點P(2t,0),t>0,則線段OP的垂直平分線l的方程為x=t,令l與x軸交于點H,如圖,
因為∠OAP=120°,所以∠OAH=∠OAP=60°,所以|AH|=,所以點A的坐標為,將其代入拋物線C:y2=8x,得=8t,所以t=24,在直角三角形OAH中,|OA|=2|AH|=2×,所以四邊形OAPB的周長為4|OA|=64.故選A.
BD　由x=2,得x2=4y(x≥0),則曲線x=2為拋物線x2=4y的右半部分(包括原點).拋物線x2=4y的焦點為F(0,1),準線l:y=
-1,=|PF|≥1,故A錯誤.由拋物線的定義易知B正確.原點到直線y=-x-2的距離為,其為點P到直線y=-x-2的距離的最小值,故C錯誤.設點A(1,5)到準線l:y=-1的距離為d,則=|PF|+|PA|≥d=5+1=6,故D正確.故選BD.
4.D　解法一:由題意知F,準線l的方程為x=-,設A(x1,y1),B(x2,y2),則,由,得,即x2=(3p-2x1)①.由題意知直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=k(k≠0),代入拋物線方程并整理,得k2x2-(k2p+2p)x+=0,所以x1x2=②.聯立①②,消去x2得2-3px1+p2=0,解得x1=p或x1=(舍去),所以|y1|=p,因為·|y1|=5,所以,所以p=2,所以準線l的方程為x=-1,故選D.
解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),∠xFA=θ,則|AF|=,因為,所以|AF|=2|FB|,即,解得cos θ=,
則sin θ=,因為四邊形AA1CF是直角梯形,其中|CF|=p,|AA1|=|AF|=p,高為|AF|sin θ=p·p,所以四邊形AA1CF的面積為,所以p=2,所以準線l的方程為x=-1,故選D.
5.ABD　由拋物線Γ:y2=2px可得F.
設直線AB的方程為x=ty+,
由得y2-2pty-p2=0,
∴y1y2=-p2,
同理可得y3y4=-p2,故A正確.
由對稱性可知,若直線AD過定點,則定點在x軸上,假設定點為M(m,0),
由直線BC經過點N,可得,
∴y2,
∴p2,
∵y1y2=-p2,y3y4=-p2,∴y1y4=-2p2,
由A,M,D三點共線得,
∴(x1-m)y4=(x4-m)y1,∴y1,
∴=p,
∴直線AD過定點(p,0),故B正確.
kBC=,同理kAD=,不為常數,故C錯誤.
設直線AD的方程為x=ny+p,
由得y2-2pny-2p2=0,
∴y1+y4=2pn,y1y4=-2p2,
∴|AD|=·|y1-y4|=,
當n=0時,|AD|的值最小,最小值為2p,故D正確.
故選ABD.
6.答案　B
信息提取　①凹槽的截面是一條拋物線的一部分,它的方程是x2=2y,y∈[0,10];②清潔鋼球的截面為圓;③求球的最大半徑.
數學建模　建立拋物線與圓的位置關系求解實際問題.根據所給拋物線方程作出相應的平面直角坐標系,設鋼球的圓心為(0,y0)(y0>0),表示出拋物線上的點(x,y)與圓心之間的距離的平方,結合鋼球需觸及凹槽的最底部這一條件,根據二次函數的性質求出y0的取值范圍,即可確定清潔鋼球的最大半徑.
解析　如圖所示:
設鋼球的圓心為(0,y0)(y0>0),若鋼球觸及凹槽的最底部,則鋼球的半徑r=y0,拋物線上的點(x,y)與圓心之間的距離的平方為d2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=y2+2(1-y0)y+,
若d2的最小值在(0,0)時取到,則鋼球觸及凹槽的最底部,
故此二次函數的對稱軸位置應在y軸的左側,所以1-y0≥0,所以y0≤1,
所以0所以清潔鋼球的最大半徑為1.
7.答案　
解析　如圖所示:
由拋物線的定義可知|BF|=|BM|,F.
∵AM⊥MF,∴由直角三角形的性質可知B為線段AF的中點,
∴B,
把點B的坐標代入拋物線方程,得1=2p×,解得p=(負值舍去),
∴B,
∴S△AFM=2S△BFM=2×.
8.答案　
解析　因為點A(1,2)在拋物線上,所以4=2p,解得p=2,
所以拋物線C的方程為y2=4x,其焦點為F(1,0).
設動點P(x,y)(x≥0),則y=±2,不妨令P(x,2),結合拋物線的定義可知x=|PF|-1,
當x=0時,P(0,0),=0;
當x>0時,,當且僅當x=2時取“=”.
綜上可知,.
9.解析　(1)由題可知|y0|=4,
∵|DE|=,
整理,得p2-68p+256=0,
解得p=4或p=64,
∵0∴拋物線C的方程為y2=8x.
(2)證明:當直線l的斜率為0時,直線l與拋物線交于一點,不符合題意,
∴直線l的斜率不為0,
可設直線l的方程為x=my+n(n≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去x并整理,得y2-8my-8n=0,
則Δ=64m2+32n,y1+y2=8m,y1y2=-8n,
∴x1·x2==n2,
∵OA⊥OB,∴=x1x2+y1y2=n2-8n=0,
∴n=8,此時滿足Δ>0,
∴AB過定點(8,0).
1§3　拋物線
3.1　拋物線及其標準方程
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　拋物線的定義
1.在平面內,“點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離”是“點P的軌跡為拋物線”的(　　)
A.充分不必要條件　　　　　　
B.必要不充分條件
C.充要條件　　　　　　
D.既不充分也不必要條件
2.已知動圓M經過定點A(1,0),且和直線x=-1相切,則點M的軌跡方程為(　　)
A.y2=2x　　　　　　 B.y2=4x
C.y2=-2x　　　　　　D.y2=-4x
3.若點P與點(0,2)之間的距離比點P到直線y=-1的距離大1,則點P的軌跡方程為(　　)
A.y2=4x　　　B.x2=4y　　　C.y2=8x　　　D.x2=8y
題組二　拋物線的標準方程及其應用
4.拋物線y2=x的準線方程為(　　)
A.x=
C.x=-
5.已知拋物線y2=2px(p>0)上橫坐標為3的點M到焦點F的距離為6,則p=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8
6.設拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,若點A(,2)在C上,則|AF|=(　　)
A.
7.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,P(0,2),點Q在拋物線C上,且PQ⊥PF,則|QF|=(　　)
A.4　　　B.5　　　C.8　　　D.9
8.拋物線x=上的點與其焦點的距離的最小值為(　　)
A.2　　　B.1　　　C.
9.已知拋物線y2=-8x的焦點與雙曲線-y2=1的左焦點重合,則實數m的值為　　　　.
10.已知拋物線C的準線與圓M:(x+2)2+(y+2)2=16相切,請寫出一個拋物線C的標準方程:　　　　.
11.分別根據下列條件,求拋物線的標準方程.
(1)準線方程是4y+1=0;
(2)拋物線的焦點是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點;
(3)拋物線的焦點F在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點A,|AF|=5.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　拋物線的標準方程及其應用
1.拋物線有如下光學性質:經過拋物線焦點的光線經拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對稱軸(或在對稱軸上);反之,平行于拋物線對稱軸(或在對稱軸上)的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線E:y2=2px(1A.　　　D.3
2.設A是拋物線C:y2=-4x上的動點,B是圓M:(x+8)2+y2=1上的動點,則|AB|的最小值為(　　)
A.-1
C.2-1　　　　　　 D.27
3.已知拋物線C:y=x2的焦點為F,O為坐標原點,點A在拋物線C上,且|AF|=2,P是拋物線C的準線上一動點,則|PA|+|PO|的最小值為(　　)
A.
C.3
4.(多選題)已知拋物線x2=4y的焦點為F,A,B是拋物線上兩動點,下列說法正確的有(　　)
A.拋物線的準線方程為x=-1
B.若|AF|+|BF|=8,則線段AB的中點到x軸的距離為3
C.以線段AF為直徑的圓與x軸相切
D.以線段AB為直徑的圓與準線相切
5.已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線為l,與x軸平行的直線與C和l分別交于A,B兩點,若|AF|=|BF|,則|AB|=　　　　.
6.拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,其準線與雙曲線=1相交于A,B兩點,若△ABF為等邊三角形,則p=　　　　.
7.已知O為坐標原點,P(a,0)(a>0),Q為拋物線y2=x上任意一點,且|PQ|≥|PO|恒成立,則實數a的取值范圍是　　　　.
8.某學習小組研究一種衛星接收天線(如圖①所示),發現其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線,經反射聚焦到焦點處(如圖②所示),已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m,深度為1 m,求該拋物線的標準方程及其焦點坐標.
答案與分層梯度式解析
§3　拋物線
3.1　拋物線及其標準方程
基礎過關練
1.B　當定點在定直線上時,點P的軌跡可以是過該定點且與該定直線垂直的直線;若點P的軌跡為拋物線,則點P到某定點的距離等于其到某條定直線的距離,故應為必要不充分條件.故選B.
2.B　因為動圓M經過定點A(1,0),且和直線x=-1相切,所以點M到點A(1,0)的距離等于它到直線x=-1的距離,即M的軌跡是以點A(1,0)為焦點,直線x=-1為準線的拋物線,設拋物線的方程為y2=2px(p>0),則=1,解得p=2,故所求軌跡方程為y2=4x.故選B.
3.D　由題意得,點P與點(0,2)之間的距離等于點P到直線y=-2的距離,所以點P的軌跡是以(0,2)為焦點,直線y=-2為準線的拋物線,設其方程為x2=2py(p>0),則=2,解得p=4,所以點P的軌跡方程是x2=8y.故選D.
4.D　拋物線y2=x的焦點在x軸上,且開口向右,故2p=1,∴-,∴拋物線y2=x的準線方程為x=-,故選D.
5.C　記拋物線y2=2px(p>0)的準線為l,作MN⊥l,垂足為N,如圖,
由拋物線的定義可知,|MN|=|MF|,則3+=6,解得p=6.故選C.
6.C　解法一:因為點A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以C:x2=y,其準線方程為y=-.
由拋物線的定義知,|AF|=2+.故選C.
解法二:因為點A(,2)在C上,所以()2=2p·2,解得p=,所以F,
所以|AF|=.故選C.
7.B　由題意得F(1,0),設Q(y0≥0),因為PQ⊥PF,所以=0,則·(1,-2)=0,所以-2(y0-2)=0,即-8y0+16=0,所以y0=4,所以Q(4,4),所以|QF|=4+1=5,故選B.
8.B　拋物線的方程可化為y2=4x,設焦點為F,則F(1,0),準線方程為x=-1.設拋物線上的動點P(x0,y0),根據拋物線的定義可知,|PF|=1+x0,因為x0∈[0,+∞),所以|PF|=1+x0≥1,故該拋物線上的點與其焦點的距離的最小值為1.故選B.
9.答案　3
解析　易得拋物線y2=-8x的焦點為(-2,0),結合題意得m+1=(-2)2,則m=3.
10.答案　y2=-8x(答案不唯一)
解析　若拋物線的對稱軸為坐標軸,頂點為原點,
則拋物線C的準線方程可能為x=2,x=-6,y=2,y=-6,
所以拋物線C的標準方程可能為y2=-8x,y2=24x,x2=-8y,x2=24y.
11.解析　(1)準線方程4y+1=0可化為y=-,所以拋物線的焦點在y軸上,開口向上,設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0),則,所以p=,
所以拋物線的標準方程是x2=y.
(2)雙曲線的標準方程為- =1,左頂點為(-3,0),
所以拋物線的焦點為(-3,0),所以拋物線的開口向左,設拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0),則=3,所以p=6,
所以拋物線的標準方程是y2=-12x.
(3)若拋物線的開口向右,設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),當y=-3時,x=,
則|AF|==5,即p2-10p+9=0,解得p=1或p=9,
所以拋物線的標準方程為y2=2x或y2=18x.
若拋物線的開口向左,設拋物線的標準方程為y2=-2px(p>0),當y=-3時,x=-,
則|AF|==5,解得p=1或p=9,
所以拋物線的標準方程為y2=-2x或y2=-18x.
綜上可知,拋物線的標準方程為y2=±2x或y2=±18x.
能力提升練
1.D　由題知拋物線的焦點F,AB∥x軸,將y=2p代入y2=2px,得x=2p,則B(2p,2p),由題可知B,F,C三點共線,所以直線BC的方程為y=,即y=,代入拋物線方程并整理,得8x2-17px+2p2=0,設該方程的兩實根分別為x1,x2,則x1+x2=,則|BC|=x1+x2+p=p,又點A(8,2p)到直線BC的距離d=,由S△ABC=·|BC|·d=p·,解得p=3或p=1(舍去).故選D.
2.C　圓M:(x+8)2+y2=1的圓心為M(-8,0),半徑為1,設A,則|AM|2=(m2-24)2+28,當m2=24時,|AM|2取得最小值28,所以|AM|min=2,所以|AB|min=2-1.故選C.
3.A　易得拋物線的準線方程為y=-1.
∵|AF|=2,∴點A到準線的距離為2,故A點的縱坐標為1,把y=1代入拋物線方程,可得x=±2.
不妨設點A在第一象限,則A(2,1),設點O關于準線y=-1的對稱點為M,則M(0,-2),連接AM,PM,如圖:
則|PO|=|PM|,于是|PA|+|PO|=|PA|+|PM|≥|AM|,當且僅當A,P,M三點共線時,等號成立.
故|PA|+|PO|的最小值為|AM|=.故選A.
4.BC　對于A,拋物線x2=4y的準線方程為y=-1,焦點為F(0,1),故A錯誤;對于B,設點A(x1,y1),B(x2,y2),由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=y1+y2+2=8,解得y1+y2=6,所以線段AB的中點到x軸的距離為=3,故B正確;對于C,|AF|=y1+1,AF的中點坐標為,所以AF的中點到x軸的距離為|AF|,所以以線段AF為直徑的圓與x軸相切,故C正確;對于D,因為點A,B沒有任何限制條件,可以是拋物線上任意兩點,所以以線段AB為直徑的圓與準線不一定相切,故D錯誤.故選BC.
5.答案　4
解析　由拋物線的定義可知|AF|=|BF|=|AB|,所以△ABF為等邊三角形.
設準線l與x軸交于點H,則|FH|=2,∠FBH=30°,所以|AB|=|BF|=2|FH|=4.
6.答案　6
解析　由題意得,F,準線方程為y=-.將y=-=1,得x=±,又△ABF為等邊三角形,∴|AF|=,由勾股定理得|AF|2-=p2,可得p2=36,又p>0,∴p=6.
7.答案　
解析　設Q(x0,y0),則=x0.
因為|PQ|≥|PO|恒成立,
所以≥a,
則有-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因為x0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
進而有a≤恒成立,故a≤.
又a>0,所以a的取值范圍是.
8.信息提取　①曲面與軸截面的交線為拋物線;②接收天線的口徑(直徑)為4.8 m,深度為1 m;③求拋物線的標準方程及其焦點坐標.
數學建模　建立拋物線模型研究實際問題.在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系,使接收天線的頂點與原點重合,焦點在x軸正半軸上(焦點在坐標軸上的位置可任選,合理即可),根據題意將有關數據轉換成拋物線上的點的坐標,從而求得拋物線的標準方程以及焦點坐標.
解析　如圖所示,在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系,使接收天線的頂點與原點重合,焦點在x軸正半軸上.
設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),由已知條件可得,點A(1,2.4)在拋物線上,
所以2.42=2p,解得p=2.88,
所以拋物線的標準方程為y2=5.76x,焦點坐標為(1.44,0).
1(共15張PPT)
§3 拋物線
知識點 1 拋物線的定義
知識 清單破
　　平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等的點的集合(或軌跡)叫作拋
物線.
這個定點F叫作拋物線的焦點,這條定直線l叫作拋物線的準線.
知識點 2 拋物線的標準方程及其簡單幾何性質
標準方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
開口方向 向右 向左 向上 向下
焦點坐標
準線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
對稱軸 x軸 y軸
頂點 坐標原點 離心率 e=1 參數p的 幾何意義 參數p表示焦點到準線的距離,p越大,開口越大 知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.拋物線實質上就是雙曲線的一支. (　 )
2.方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線,其焦點坐標是 ,準線方程是x=
- .(　 )
3.無論拋物線的開口方向如何變化,焦點到準線的距離始終是不變的. (　 )


√
提示
拋物線與雙曲線有本質的區別,雙曲線有漸近線,而拋物線沒有.
方程y=ax2(a≠0)化為標準形式為x2= y(a≠0),它表示焦點在y軸上的拋物線,其焦點坐標
為 ,準線方程是y=- .
提示
4.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p. (　 )
5.在拋物線的標準方程中,p(p>0)是焦點到準線的距離. (　 )
6.已知P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p>0)上一點,F為焦點,則|PF|=x0+ . (　 )
√
√

過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線交拋物線于點 , ,所以弦長為2p.
提示
1.求拋物線的標準方程的步驟
(1)定位:根據題中條件確定拋物線的焦點位置并設出方程.
(2)定量:求出方程中p的值,從而求出方程.
2.求拋物線標準方程的兩種常用方法
(1)定義法:先判斷所求點的軌跡是否符合拋物線的定義,若符合,再根據定義求出方程.
(2)待定系數法:先設出拋物線的方程,再根據題中條件確定參數的值.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 拋物線的標準方程
典例 已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,A(2,m)是拋物線C上的一點,且|AF|=4,則拋物線C的
方程是 (　 )
A.y2=4x　 B.y2=8x
C.y2=16x　 D.y2=32x
B
解析 由題意可得|AF|=2+ =4,解得p=4,則拋物線C的方程是y2=8x,故選B.
1.拋物線的幾何性質與拋物線的標準方程密切相關,通過先定性(開口方向),再定量(焦準距p)
建立它們的聯系.
2.拋物線與雙曲線的一支都是開口的不封閉的光滑曲線,但它們有本質的區別,雙曲線有漸近
線,而拋物線沒有.作圖時通常用有無漸近線來區分它們.
3.與橢圓、雙曲線比較,拋物線性質的特點
(1)拋物線只位于半個坐標平面內,顯然它可以無限延伸,但沒有漸近線.
(2)拋物線只有一條對稱軸,沒有對稱中心.
(3)拋物線只有一個頂點,一個焦點,還有一條準線.
(4)拋物線的離心率是確定的(e=1).
講解分析
疑難 2 拋物線的幾何性質
4.拋物線的通徑
(1)拋物線的通徑:過焦點且與對稱軸垂直的直線與拋物線交于兩點M1,M2,線段M1M2叫作拋物
線的通徑,將x= 代入y2=2px(p>0),得y=±p,故拋物線y2=2px(p>0)的通徑長為2p.
(2)通徑的幾何意義:通徑長為2p,p越大,通徑越長,拋物線的開口越大;反之,p越小,通徑越短,拋
物線的開口越小.
典例 已知正三角形的一個頂點位于坐標原點,另外兩個頂點在拋物線y2=2x上,求這個正三角
形的邊長.
解析 由題意得,正三角形另外兩個頂點關于x軸對稱,設其中一個頂點的坐標為 (y0>
0),邊長為a,
則有tan = ,解得y0=2 ,
又sin = = ,所以a=4 .
有關拋物線焦點弦的結論
如圖,已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦,拋物線的焦點為F,A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的傾斜
角為θ,則有:

(1)|AB|=x1+x2+p= ;
講解分析
疑難 3 拋物線的焦點弦問題
(2)x1x2= ,y1y2=-p2, · =- p2;
(3)|AF|= ,|BF|= ;
(4) + = ;
(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切;
(6)以AB為直徑的圓與準線相切;
(7)A,O,B'共線,A',O,B共線;
(8)∠A'FB'=90°;
(9)S△AOB= ;
(10)拋物線在A,B處的切線互相垂直且交點在準線上.
典例 已知拋物線y2=4x,經過其焦點F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點,且|MF|
=3|NF|,則k=　　　 .
解析 解法一:分別過M,N兩點作準線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S,
設|NF|=m(m>0),則|MF|=3m,
由拋物線的定義得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
則sin∠MNS= = ,即∠MNS=30°,
故直線l的傾斜角等于60°,
所以k=tan 60°= .
解法二:設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
因為|MF|= ,|NF|= ,且|MF|=3|NF|,
所以 = ,
解得cos θ= ,
所以k=tan θ= .
解法三:拋物線y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,
又因為|MF|=3|NF|,
所以|MF|=4,|NF|= ,
于是|MN|= .
設直線l的傾斜角為θ,則θ∈ ,
所以 = ,
解得sin θ= (負值舍去),
故k=tan θ= .
方法點撥 解決拋物線的焦點弦問題,熟記常用的結論非常關鍵,這樣可以快速解決問題.

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