資源簡介

(共17張PPT)
　　直線與圓錐曲線的交點個數(shù)體現(xiàn)了直線與圓錐曲線的位置關系,判斷直線l與圓錐曲線C
的位置關系時,可將直線l的方程與曲線C的方程聯(lián)立,消去變量y(或x),得到一個關于變量x(或
y)的方程,再根據(jù)此方程進行判斷.下面以消去變量y得到方程ax2+bx+c=0為例進行說明:
(1)當a≠0時,若Δ>0,則直線l與曲線C相交;若Δ=0,則直線l與曲線C相切;若Δ<0,則直線l與曲線
C相離.
(2)當a=0時,即得到一個一元一次方程,則直線l與曲線C相交,且只有一個交點,此時,若C為雙
曲線,則l平行于雙曲線的漸近線;若C為拋物線,則l平行或重合于拋物線的對稱軸.
提醒 (1)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形:相切和相交.當
§4 直線與圓錐曲線的位置關系
知識點 1 直線與圓錐曲線的交點
知識 清單破
直線與雙曲線的漸近線平行且直線與雙曲線相交時,直線與雙曲線只有一個交點;當直線與
拋物線的對稱軸平行或重合時,直線與拋物線相交,也只有一個交點.
(2)過雙曲線外一點P的直線與雙曲線只有一個公共點的情形如下:
①P點在兩條漸近線之間(不包括兩條漸近線)且含虛軸的區(qū)域內時,有與漸近線平行的兩條
直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線,共4條與雙曲線只有一個公共點的直線;
②P點在兩條漸近線之間(不包括兩條漸近線)且含實軸的區(qū)域內時,有與漸近線平行的兩條
直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線,共4條與雙曲線只有一個公共點的直線;
③P點在兩條漸近線上但非原點時,只有兩條與雙曲線只有一個公共點的直線:一條是與另一
漸近線平行的直線,一條是切線;
④P為原點時不存在這樣的直線.
(3)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點.
設斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線的兩個交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= ·|x2-x1|=
或|AB|= ·|y2-y1|= .直線的斜率不存在
時,|AB|=|y1-y2|.
知識點 2 弦長公式
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.過橢圓外一點一定能作兩條直線與已知橢圓相切. (　 )
2.過點A(0,1)的直線一定與橢圓x2+ =1相交. (　 )
3.過點A(1,0)作與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點的直線,這樣的直線可作2條. (　 )
4.若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線相切. (　 )
√
√


可作3條,其中1條垂直于x軸,另外2條分別平行于兩條漸近線.
提示
1.直線與圓錐曲線相交所得弦的長
解決相交弦的長度問題,有兩種方法:
(1)求出直線與圓錐曲線的兩個交點坐標,用兩點間的距離公式求弦長;
(2)根據(jù)“設而不求”的思想,通過一元二次方程根與系數(shù)的關系,并借助弦長公式求解.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 直線與圓錐曲線的相交弦問題
2.直線與圓錐曲線相交弦的中點問題
　　直線與圓錐曲線相交弦的中點問題即中點弦問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差
法”求解.
(1)利用根與系數(shù)的關系:將直線方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,消元后得到一個一元二次方程,
利用根與系數(shù)的關系和中點坐標公式建立等式求解,注意不能忽視對判別式的討論.
(2)點差法:若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A,B,一般地,設A(x1,y1),B(x2,y2),代入圓錐曲線方程,
通過作差,構造關于x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2的式子,從而建立中點坐標和斜率的關系.
典例 過點P(4,2)作直線AB,與雙曲線C: -y2=1相交于A,B兩點,若P為線段AB的中點,則|AB|=
(　 )
A.2 　 B.2 　 C.3 　 D.4
D
解析 解法一:由題意可知,直線AB的斜率存在.設直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k
(x-4)+2.
由 消去y并整理,得(1-2k2)·x2+8k(2k-1)x-32k2+32k-10=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
因為P(4,2)為線段AB的中點,
所以x1+x2=- =8,解得k=1,
所以x1x2= =10,
所以|AB|= · =4 .
故選D.
解法二:設A(x1,y1),B(x2,y2),
則 - =1①, - =1②.
①-②得 (x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
因為P(4,2)為線段AB的中點,
所以x1+x2=8,y1+y2=4.
所以4(x1-x2)-4(y1-y2)=0,
即x1-x2=y1-y2,
所以直線AB的斜率k= =1,
則直線AB的方程為y=x-2.
由 消去y并整理,得x2-8x+10=0,
所以x1+x2=8,x1x2=10,
所以|AB|= · =4 .
故選D.
解決圓錐曲線中的最值與范圍問題,一般有兩種途徑:一是利用代數(shù)方法,即把要求的幾何量
或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(或解析式),常用的代數(shù)方法有:判別式法、不等式
法、函數(shù)最值法;二是從幾何角度考慮,利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及圖形的幾何性
質求解.
講解分析
疑難 2 圓錐曲線中的最值與范圍問題
典例 拋物線y=2x2上有一動弦AB,其中點為M,且弦AB的長為3,則點M的縱坐標的最小值為( )
A. 　 B. 　 C. 　 D.1
A
解析 易知直線AB的斜率存在.設直線AB的方程為y=kx+b,
由 得2x2-kx-b=0,
由題意可得Δ>0,即k2+8b>0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2= ,x1x2=- ,
因為|AB|= · =3,
所以b= × ,AB的中點M的縱坐標yM= = + =(x1+x2)2-2x1x2= +b= +
= + - ≥2 - = ,當且僅當 = ,即k=± 時取等號,
所以點M的縱坐標的最小值為 ,故選A.
　　圓錐曲線中的探索性問題主要包括定值、定點等存在性問題.解決方法如下:
(1)從特殊情況入手,探索定值、定點,再推理論證該定值、定點與變量無關.
(2)直接推理計算,并在計算推理過程中消去參數(shù),或求出參數(shù)的值,從而得到定值、定點.
講解分析
疑難 3 圓錐曲線中的探索性問題
典例 已知橢圓C:x2+2y2=a2(a>0)的一個頂點和兩個焦點構成的三角形的面積為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線y=k(x-1)與橢圓C交于A,B兩點,在x軸上是否存在點M(m,0),使得對任意的k∈R,
· 為定值 若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
解析 (1)設橢圓的短半軸長為b,半焦距為c,則b2= ,
由c2=a2-b2得c2=a2- = ,
由題意得 ×b×2c=4,
即 × ×2 =4,
所以a2=8,b2=4,
故橢圓C的方程為 + =1.
(2)存在.
由 得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2= ,x1x2= ,
所以 · =(x1-m,y1)·(x2-m,y2)
=x1x2-m(x1+x2)+m2+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+k2+m2
=(k2+1)· -(m+k2)· +k2+m2
=- +m2,
當5+4m=16,即m= 時, · =- ,為定值,
故存在點M ,使得 · 為定值.4　直線與圓錐曲線的位置關系
4.1　直線與圓錐曲線的交點
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　直線與橢圓的交點
1.直線y=x被橢圓x2+=1所截得的線段的長度為(　　)
A.
2.若直線mx-ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓=1的交點個數(shù)是(　　)
A.至多為1　　　　　　B.2
C.1　　　　　　 D.0
3.若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓=1總有公共點,則實數(shù)m的取值范圍為　　　　.
題組二　直線與雙曲線的交點
4.直線y=x+3與雙曲線=1(a>0,b>0)的交點個數(shù)是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.1或2　　　D.0
5.若直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,則實數(shù)k的取值范圍是　　(　　)
A.(-)
C.(-)　　　　　　 D.(-1,1)
6.過點P(4,3)與雙曲線=1只有一個公共點的直線的條數(shù)為　(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
題組三　直線與拋物線的交點
7.若過點P(0,2)的直線l與拋物線C:y2=2x有且只有一個公共點,則這樣的直線l共有(　　)
A.1條　　　B.2條　　　C.3條　　　D.4條
8.兩條直線y=kx(k>0),y=-2kx分別與拋物線y2=4x交于異于原點的A,B兩點,且直線AB過點(1,0),則k=(　　)
A.　　　D.2
9.已知直線x-y+=0與拋物線y=x2交于A,B兩點,過線段AB的中點P作一條垂直于x軸的直線m與直線l:y=-交于點Q,則△QAB的面積為(　　)
A.
10.已知拋物線C:y2=2px(p>0),A是拋物線C上的點.
(1)求拋物線C的方程及p的值;
(2)直線l與拋物線C交于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,y1y2<0,且=3,求|y1|+2|y2|的最小值并證明直線l過定點.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　直線與圓錐曲線的交點
1.斜率存在的直線l過點(0,-1)且與雙曲線C:-x2=1有且只有一個公共點,則直線l的斜率為(　　)
A.±　　　　　　B.±2
C.2或或±2
2.曲線=1與直線=1的公共點的個數(shù)為(　　)
A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
3.已知動圓M恒過點F(1,0),且與直線x=-1相切,設圓心M的軌跡為曲線C,直線l1:x-my-=0與曲線C交于P,Q兩點(點P在x軸上方),與直線x=-1交于點R,若|QF|=3,則=(　　)
A.
4.已知兩點A(-4,0),B(4,0),若直線上存在點P,使得|PA|-|PB|=4,則稱該直線為“點定差直線”.下列直線中,不是“點定差直線”的是(　　)
A.2x-y+4=0　　　　　　 B.x+y-1=0
C.x-y+1=0　　　　　　D.x-y+1=0
5.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1作直線l與一條漸近線垂直,垂足為M,直線l交雙曲線右支于點N,,則雙曲線的離心率e=(　　)
A.　　　D.2
6.已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F的直線交拋物線于A,B兩點,若,則點A的坐標為　　　　.
7.設經過拋物線y2=8x的焦點F且斜率為1的直線l與拋物線交于A,B兩點,拋物線的準線與x軸交于C點,則cos∠ACB=　　　　.
8.已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率的積為,記M的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程,并說明C是什么曲線;
(2)已知直線l:y=x-3與曲線C交于D,E兩點,且曲線C上存在點P,使得(O為坐標原點),求m的值及點P的坐標.
9.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點為F(-2,0),上頂點為B(0,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點M,N,且線段MN的中點G在圓x2+y2=1上,求m的值.
題組二　與交點有關的最值(或范圍)問題
10.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　)
A.[2,+∞)　　　　　　B.(1,2)
C.(2,+∞)　　　　　　D.(1,2]
11.若點(m,n)在橢圓9x2+y2=9上,則的最小值為(　　)
A.-　 B.-　 C.-　 D.-
12.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,A,B是橢圓C的長軸的端點,直線x=m(-aA.
13.過拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設P為拋物線上的一動點,Q(1,2).若,則|PF|+|PQ|的最小值是(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
14.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以F2為圓心,C的虛半軸長為半徑的圓與C的右支恰有兩個交點,分別記為M,N,若四邊形F1MF2N的周長為4,則C的焦距的取值范圍為　　　　.
15.若M是橢圓=1上的任意一點,則點M到直線x+y-7=0的距離的最大值為　　　　.
16.已知O為坐標原點,橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點F2恰為拋物線D:y2=4x的焦點,以F1F2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個公共點.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)若直線l與D相交于A,B兩點,記點A,B到直線x=-1的距離分別為d1,d2,|AB|=d1+d2.直線l與C相交于E,F兩點,記△OAB,△OEF的面積分別為S1,S2.
①證明:△EFF1的周長為定值;
②求的最大值.
答案與分層梯度式解析
§4　直線與圓錐曲線的位置關系
4.1　直線與圓錐曲線的交點
基礎過關練
1.B　聯(lián)立=1,所以x=±,所以y=±.故直線y=x被橢圓x2+=1所截得的線段的長度為.故選B.
2.B　由題意知,圓心(0,0)到直線mx-ny-4=0的距離d=>2,整理得m2+n2<4,所以P(m,n)在以(0,0)為圓心,2為半徑的圓內,又因為橢圓=1中a=3,b=2,所以P(m,n)在橢圓內,所以過點P(m,n)的直線與橢圓=1有2個交點.
3.答案　1≤m<5
解析　由題意得0因為直線y=kx+1過定點(0,1),設為P,且直線與橢圓=1總有公共點,
所以點P在橢圓上或在橢圓的內部,即≤1,解得m≥1,
所以1≤m<5.
4.A　雙曲線=1的漸近線方程為y=±x,因為直線y=x+3與雙曲線的一條漸近線平行,且在y軸上的截距為3,所以直線y=x+3與雙曲線=1的交點個數(shù)是1.故選A.
5.D　當直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的漸近線y=±x平行時,k=±1,此時直線與雙曲線的左支或右支只有一個交點,如圖所示:
因為直線l:y=kx+2與雙曲線C:x2-y2=4的左、右兩支各有一個交點,所以實數(shù)k的取值范圍為(-1,1),故選D.
6.B　因為雙曲線的方程為=1,所以a=4,b=3,其漸近線方程為y=±x,易知點P(4,3)在直線y=x上,如圖所示:
當過點P(4,3)的直線與直線y=-x平行或與x軸垂直(過右頂點)時,與雙曲線只有一個公共點,
所以這樣的直線有2條.故選B.
7.C　(1)當直線l的斜率不存在時,直線l為y軸,與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,符合題意.
(2)①當直線l與拋物線y2=2x的對稱軸平行,即直線l的方程為y=2時,與拋物線y2=2x有且只有一個公共點,符合題意;
②當直線l的斜率存在且不為0時,設直線方程為y=kx+2(k≠0),代入拋物線方程 y2=2x,消去y,得k2x2+2(2k-1)x+4=0,則Δ=4(2k-1)2-16k2=0,解得k=,故直線l的方程為y=x+2.
綜上,符合題意的直線l共有3條.故選C.
8.C　聯(lián)立x≠0,可得即A,
同理可得B,
因為直線AB過點(1,0),所以kAB=,解得k2=2,又k>0,所以k=.故選C.
9.B　聯(lián)立不妨令A,B,如圖,
因為P為線段AB的中點,所以P,
則|PQ|==1,
所以S△QAB=|PQ|·.故選B.
10.解析　(1)將A的坐標代入y2=2px,得p=1,∴拋物線C的方程為y2=2x.
(2)設直線l的方程為x=my+t,
由消去x并整理,得y2-2my-2t=0,
∴y1+y2=2m,y1y2=-2t<0,即t>0.
∴+y1y2=t2-2t=3,解得t=3或t=-1(舍去),
∴y1y2=-6,
∴|y1|+2|y2|≥2,
當且僅當|y1|=2|y2|,即|y1|=2時等號成立.
∴|y1|+2|y2|的最小值為4.
∵t=3,∴直線l:x=my+3,其恒過定點(3,0).
能力提升練
1.D　由題意,設直線l的方程為y=kx-1,代入雙曲線方程,化簡可得(k2-4)x2-2kx-3=0,當k2=4,即k=±2時,(k2-4)x2-2kx-3=0只有一解,滿足直線l與雙曲線有且只有一個公共點;當k≠±2時,令Δ=4k2+12(k2-4)=0,解得k=±,此時方程有兩個相等的實數(shù)根,滿足直線l與雙曲線有且只有一個公共點.綜上,k=±2或k=±.故選D.
2.B　當y≥0時,曲線=1的方程為=1,表示橢圓的上半部分(含與x軸的交點),此時曲線與直線=1的交點為(0,3),(4,0);
當y<0時,曲線=1的方程為=1,表示雙曲線在x軸下方的部分,
其一條漸近線方程為=0,此時曲線與直線=1無交點.
綜上所述,曲線=1與直線=1的公共點的個數(shù)為2.
故選B.
3.C　由題意得,點M與點F(1,0)之間的距離等于點M到直線x=-1的距離,所以點M的軌跡為拋物線,其方程為y2=4x,
如圖所示,
由拋物線的定義得,|QF|=3=xQ+1,解得xQ=2.
聯(lián)立消去y并整理,得x2-(4m2+2)x+5=0,∴2xP=5,得xP=,
則.故選C.
4.A　結合雙曲線的定義,滿足|PA|-|PB|=4的點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線C的右支,易得雙曲線C的標準方程為=1,漸近線方程為y=±x,
依題意,若某直線為“點定差直線”,則這條直線必與雙曲線C的右支相交,
直線x-y+1=0,x-y+1=0與雙曲線C的右支相交,
直線x+y-1=0與雙曲線C的一條漸近線平行,與右支有一個交點,
直線2x-y+4=0與雙曲線C無交點,
故選A.
5.B　已知F1(-c,0),不妨取其中一條漸近線為y=-x,
由兩直線垂直,斜率乘積為-1,得過F1的直線l的方程為y=(x+c),
由所以點M的坐標為,
因為,所以yN=4yM,故yN=,
因為點N在直線l上,所以(x+c),得x=,所以點N的坐標為,
又點N在雙曲線上,所以=1,
化簡,得9c2=25a2,故e=.故選B.
6.答案　(2,2)或(2,-2)
解析　由題意可知,拋物線的焦點為F(1,0),設直線AB的方程為x=my+1,
由消去x得y2-4my-4=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1y2=-4,
∵,∴-y1=2y2,即y2=-,
∴y1y2=-=-4,解得y1=±2=2,
∴點A的坐標為(2,2)或(2,-2).
7.答案　
解析　由題意得F(2,0),C(-2,0),直線l的方程為y=x-2,不妨設點A在第一象限,如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立消去y,并整理得x2-12x+4=0,
解得x1=6+4,
則A(6+4),
故|AC|=,
|BC|=,
|AB|=x1+x2+4=16,
在△ABC中,由余弦定理,得cos∠ACB=.
8.解析　(1)因為動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率的積為,所以,
即曲線C的方程為=1(x≠±2),C是除去左、右兩個頂點的雙曲線.
(2)聯(lián)立消去y,得x2-12x+22=0.
設D(x1,y1),E(x2,y2),則x1+x2=12,y1+y2=x1+x2-6=6,
設P(x0,y0),由得(x1+x2,y1+y2)=(mx0,my0),
故=1,所以m2=18,
所以m=±3,
當m=3時,P(2);
當m=-3時,P(-2).
9.解析　(1)由題意可得c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,
故橢圓C的方程為=1.
(2)設點M,N的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),線段MN的中點G的坐標為(x0,y0),
由消去y,得3x2+4mx+2m2-8=0,則Δ=96-8m2>0,所以-2,
因為x1+x2=-,
所以x0=,
又因為點G(x0,y0)在圓x2+y2=1上,
所以=1,
解得m=±,滿足-2,
所以m的值為±.
10.A　若直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線的斜率的絕對值,即≥4,∴e≥2.故選A.
11.D　求的最小值即求點(m,n)與點(3,0)連線的斜率的最小值,設過點(m,n)和點(3,0)的直線方程為y=k(x-3),聯(lián)立 (9+k2)x2-6k2x+9(k2-1)=0,
易知當Δ=0時,直線斜率取得最小值,即Δ=(-6k2)2-4(9+k2)[9(k2-1)]=0 k2=,故當k=-時,斜率取得最小值,即的最小值為-.故選D.
12.C　由題意,不妨設A(-a,0),B(a,0),P(m,y0),Q(m,-y0),
將點P的坐標代入橢圓C的方程,得=1,
∴,
∵k1=,
∴k1k2=,
故k1,k2同號,
故≥2,當且僅當4|k1|=|k2|=時取等號,
即.
故選C.
13.C　解法一:由題意可知F,直線AB的斜率存在且不為0.
設直線AB的方程為y=kx+,代入x2=2py得x2-2pkx-p2=0.
由根與系數(shù)的關系得xA+xB=2pk,xAxB=-p2,
所以|AB|=2p(1+k2).同理,|CD|=2p.
所以,
所以2p=4,即p=2.故x2=4y.分別過點P,Q作PM,QN垂直于拋物線的準線于M,N,連接MQ(圖略),則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,當Q,P,M三點共線且M與N重合時,等號均成立.故選C.
解法二:設直線AB的傾斜角為θ,直線CD的傾斜角為β,β>θ,則,
因為兩條焦點弦互相垂直,所以β=+θ,
所以,所以2p=4,即p=2.故x2=4y.
分別過點P,Q作PM,QN垂直于拋物線的準線于M,N,連接MQ(圖略),則由拋物線的定義可得|PF|=|PM|,所以|PF|+|PQ|=|PM|+|PQ|≥|MQ|≥|QN|=3,當Q,P,M三點共線且M與N重合時,等號均成立.故選C.
方法點撥　拋物線的焦點弦公式
已知AB是過拋物線的焦點F的一條弦,設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的傾斜角是θ,直線AB的斜率為k.對于拋物線y2=2px(p>0),焦點弦|AB|=;對于拋物線x2=2py(p>0),焦點弦|AB|==2p(1+k2).
14.答案　[,2)
解析　易知點M,N關于x軸對稱,且|MF2|=b,由雙曲線的定義可得|MF1|=b+2a,
由題意可得|MF1|+|MF2|=2a+2b=2,所以a+b=1,則b∈(0,1),
所以c2=a2+b2=(1-b)2+b2=2b2-2b+1=2,
所以≤c<1,所以≤2c<2.
當b=時,a=,此時b>c-a,
即此時以F2為圓心,C的虛半軸長為半徑的圓與C的右支恰有兩個交點,符合題意.
因此,C的焦距的取值范圍為[,2).
15.答案　6
解析　設與直線x+y-7=0平行的直線方程為x+y=m(m≠7),當此直線與橢圓=1相切時,
聯(lián)立得25x2-18mx+9m2-144=0,
則Δ=(-18m)2-4×25×(9m2-144)=0,
解得m=5或m=-5.所以與直線x+y-7=0平行,且與橢圓=1相切的直線的方程為x+y=±5.
取離直線x+y-7=0較遠的切線x+y=-5,
此時切點M是橢圓=1上到直線x+y-7=0的距離最大的點,此距離的最大值等于兩平行直線間的距離d=.
16.解析　(1)因為F2為拋物線D:y2=4x的焦點,所以F2(1,0),所以c==1.
又因為以F1F2為直徑的圓與橢圓C僅有兩個公共點,所以b=c,
所以a=,b=1,
所以橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)①證明:由題知,直線x=-1為拋物線D的準線,
由拋物線的定義知|AB|=d1+d2=|AF2|+|BF2|.
又因為|AB|≤|AF2|+|BF2|,當且僅當A,B,F2三點共線時等號成立,
所以直線l過定點F2.
根據(jù)橢圓的定義得|EF|+|EF1|+|FF1|=|EF2|+|EF1|+|FF1|+|FF2|=4a=4.
即△EFF1的周長為定值.
②若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=1.
此時|AB|=4,|EF|=,所以.
若直線l的斜率存在,則可設直線l:y=k(x-1)(k≠0),設A(x1,y1),B(x2,y2),
由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2=.
設E(x3,y3),F(x4,y4),
由得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,
則x3+x4=,
所以|EF|=·|x3-x4|=,
則.
綜上,.
14.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　相交弦問題
1.已知雙曲線C:x2-y2=2,過其右焦點的直線交雙曲線于A,B兩點,若AB中點的橫坐標為4,則弦AB的長為(　　)
A.3
2.(多選題)已知橢圓C的中心為坐標原點O,焦點F1,F2在y軸上,短軸長為2,離心率為,過焦點F1作y軸的垂線交橢圓C于P,Q兩點,則下列說法正確的有(　　)
A.橢圓C的方程為x2+=1
B.橢圓C的方程為+y2=1
C.|PQ|=
D.△PF2Q的周長為4
3.過點M(2,1)的直線l與橢圓=1相交于A,B兩點,且M恰為AB的中點,則直線l的方程為　　　　　　　.
4.已知過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F,斜率為1的直線l交拋物線于A,B兩點,且|AB|=8.
(1)求拋物線C的方程;
(2)在拋物線C上求一點D,使得點D到直線x-y+3=0的距離最短.
題組二　直線與圓錐曲線的綜合問題
5.已知橢圓C:=1的上、下焦點分別為F1,F2,O為坐標原點.
(1)若點P在橢圓C上,且|PF1|=|PF2|,求∠F1PF2的余弦值;
(2)若直線l:x-y+1=0與橢圓C交于A,B兩點,記M為線段AB的中點,求直線OM的斜率.
6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,點P(2,y0)在拋物線C上,且|PF|=3.
(1)求拋物線C的方程;
(2)若直線l過點F且與拋物線C交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線交x軸于點N,交直線l于點M,求證:為定值.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　與弦長有關的問題
1.已知雙曲線C:=1(a>0),過其右焦點F的直線與雙曲線C交于A,B兩點,且|AB|=16,若這樣的直線有4條,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.
C.　　　　　　 D.(0,8)
2.如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A,B,C,若|BC|=2|BF|,|AF|=3,則拋物線的標準方程是　　　　.
3.如圖,設P是圓x2+y2=16上的動點,點D是點P在x軸上的射影,M為PD的中點.
(1)當點P在圓上運動時,求點M的軌跡C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截得的線段的長度.
題組二　直線與圓錐曲線的綜合問題
4.已知拋物線C:y2=4x,O為坐標原點,過點A(4,0)的一條直線l與拋物線C交于M,N兩點,則△MON為(　　)
A.鈍角三角形
B.直角三角形
C.銳角三角形
D.鈍角、直角、銳角三角形均有可能
5.法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓,這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓Г:=1(a>b>0)的蒙日圓為C:x2+y2=a2,過C上的動點M作Г的兩條切線,分別與C交于P,Q兩點,直線PQ交Г于A,B兩點,則下列結論不正確的是(　　)
A.橢圓Г的離心率為
B.△MPQ面積的最大值為a2
C.M到Г的左焦點的距離的最小值為
D.若動點D在Г上且不與A,B重合,直線DA,DB的斜率存在且不為0,分別記為k1,k2,則k1k2=-
6.(多選題)設A,B是拋物線C:y2=4x上的兩點,F為拋物線的焦點,O是坐標原點,OA⊥OB,則下列說法正確的是(　　)
A.直線AB過定點(4,0)
B.O到直線AB的距離不大于2
C.|OA|·|OB|≥32
D.連接AF,BF并延長分別交拋物線C于D,E兩點,則kDE=4kAB
7.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,過點F2且垂直于x軸的垂線在x軸上方交雙曲線C于點M,則tan∠MF1F2=　　　　.
8.從①離心率e=;②橢圓C過點;③△PF1F2面積的最大值為這三個條件中任選一個,補充在下面橫線處,并解決下面兩個問題.
設橢圓C:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F1且斜率為k的直線l交橢圓于P,Q兩點,已知橢圓C的短軸長為2,　　　　.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若線段PQ的中垂線與x軸交于點N,求證:為定值.
9.如圖,已知雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0),焦點到漸近線的距離為1.M,N兩動點在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一象限和第四象限,P是直線MN與雙曲線右支的一個交點,,cos∠MON=.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)當λ=1時,求的取值范圍;
(3)試用λ表示△MON的面積S,設雙曲線C上的點與其焦點的距離的取值范圍為集合Ω,若∈Ω,求S的取值范圍.
答案與分層梯度式解析
4.2　直線與圓錐曲線的綜合問題
基礎過關練
1.D　雙曲線C:=1,則c2=4,設雙曲線C的右焦點為F,則F(2,0),
易得過F的直線的斜率存在,設直線方程為y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
所以xA+xB=,
因為AB中點的橫坐標為4,所以xA+xB==8,解得k2=2,所以xAxB==10,則(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24,則|AB|=.故選D.
2.ACD　設橢圓C的方程為=1(a>b>0),
由已知得,2b=2,∴b=1,
又,a2=b2+c2,∴a2=3.
∴橢圓C的方程為x2+=1,故A正確,B錯誤.
△PF2Q的周長為4a=4,故D正確.
如圖,F1(0,-,
∴|PQ|=,故C正確.
故選ACD.
3.答案　x+y-3=0
解析　由橢圓方程得a2=16,b2=8,則a=4,b=2,
因為<1,所以點M在橢圓內.
當直線l的斜率不存在時,直線l:x=2,當x=2時,y=±,不妨令A(2,),
顯然M不是線段AB的中點,所以直線l的斜率存在,設為k.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則=1,
兩式相減并化簡,得-,
即-·k=k k=-1,
所以直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.
4.解析　(1)由已知得焦點F,
∴直線l的方程為y=x-,
聯(lián)立消去y并整理,得x2-3px+=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,
|AB|==x1+x2+p=4p=8,∴p=2,
∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)設D,則點D到直線x-y+3=0的距離d=,
當y0=2時,dmin=,此時=1,∴D(1,2).
5.解析　(1)由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=6,
則|PF1|=|PF2|=3,
易知|F1F2|=2,
在△PF1F2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=.
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則
①-②得,=0,
則=0,即=0,
即kOM·kAB+=0,
因為直線l:x-y+1=0的斜率kAB=1,
所以kOM=-,故直線OM的斜率為-.
6.解析　(1)由拋物線的定義得|PF|=2+=3,∴p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x.
(2)證明:由題意知直線l的斜率存在且不為0,
易知F(1,0),設直線l的方程為x=ty+1(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由消去x并整理,得y2-4ty-4=0,
則y1+y2=4t,
∴x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,∴M(2t2+1,2t),
∴直線MN的方程為y-2t=-t(x-2t2-1).
令y=0,得x=2t2+3,∴N(2t2+3,0),
∴|MN|2=4+4t2,|FN|=2t2+2,
∴=4,為定值.
能力提升練
1.B　由已知,得F(c,0),在=1(a>0)中,令x=c,則y=±,
當A,B在雙曲線的右支上時,則有|AB|min=;
當A,B在雙曲線的兩支上時,則有|AB|min=2a,
因為|AB|=16,且這樣的直線有4條,
所以即實數(shù)a的取值范圍是.故選B.
2.答案　y2=3x
解析　如圖所示,過點A作AA1⊥準線于點A1,過點B作BB1⊥準線于點B1,設準線與x軸交于點D.
由拋物線的定義可知,|AA1|=|AF|=3,|BB1|=|BF|,
∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,
∴在Rt△CB1B中,∠BCB1=30°,
∴在Rt△CA1A中,|AC|=2|AA1|=6,
∴F為線段AC的中點,線段DF為△CA1A的中位線,
∴|DF|==p,
∴拋物線的標準方程為y2=3x.
3.解析　(1)設點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x',y'),
由題意得
因為點P在圓x2+y2=16上,所以x'2+y'2=16,
即x2+(2y)2=16,整理得=1,
故點M的軌跡C的方程為=1.
(2)過點(3,0)且斜率為的直線方程為y=(x-3),
設該直線與C的交點為A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得89x2-384x+176=0,
所以x1+x2=,
故|AB|=
=
=,
所以所求直線被C所截得的線段的長度為.
4.B　設直線l的方程為x=my+4.
由消去x并整理,得y2-4my-16=0.
設M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=4m,y1y2=-16.
所以=x1x2+y1y2=(my1+4)(my2+4)+y1y2=m2y1y2+4m(y1+y2)+16+y1y2=0,
所以OM⊥ON.
故△MON為直角三角形.故選B.
5.B　依題意,過橢圓Γ的上頂點作y軸的垂線,過橢圓Γ的右頂點作x軸的垂線,則這兩條垂線的交點(a,b)在圓C上,
所以a2+b2=a2,得a2=2b2,所以橢圓Γ的離心率e=,故A中結論正確;
因為點M,P,Q都在圓C上,且∠PMQ=90°,所以PQ為圓C的直徑,所以|PQ|=2×a,
所以△MPQ面積的最大值為a2,故B中結論不正確;
設M(x0,y0),Γ的左焦點為F(-c,0),連接MF(圖略),
因為c2=a2-b2=a2,所以|MF|2=(x0+c)2+ax0,
又-a≤x0≤a,
所以(2-)a2≤|MF|2≤(2+)a2,
則M到Γ的左焦點的距離的最小值為,故C中結論正確;
易知直線PQ經過坐標原點,由此易得點A,B關于原點對稱,
設A(x1,y1),D(x2,y2),則B(-x1,-y1),k1=,
因為=0,所以,所以k1k2=-,故D中結論正確.
故選B.
6.ACD　當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+b,k≠0,與C的方程y2=4x聯(lián)立并消去y,得k2x2+(2kb-4)x+b2=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,
因為OA⊥OB,
所以=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
即(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
所以(1+k2)·+kb·+b2=0,解得b=0或b=-4k,
當b=0時,直線AB經過原點,故A,B中有一點與原點重合,不符合題意,舍去,
當b≠0時,b=-4k,直線AB的方程為y=k(x-4),它過定點(4,0).
當直線AB的斜率不存在時,
不妨設A(m,2),m>0,
由OA⊥OB,得=m2-4m=0,
解得m=4或m=0(舍去),
所以直線AB也過定點(4,0).
綜上,直線AB過定點(4,0),故A正確.
當直線AB的斜率不存在時,直線AB的方程為x=4,
此時O到直線AB的距離為4,大于2,故B錯誤.
當直線AB的斜率不存在時,不妨設點A在第一象限,則A(4,4),B(4,-4),
此時|AB|=8,S△ABO=|AB|×4=16;
當直線AB的斜率存在時,b=-4k,
|AB|=,
此時點O到直線AB的距離為,
故S△ABO=>16.
綜上,S△ABO≥16.
因為OA⊥OB,所以S△ABO=|OA|·|OB|≥16,即|OA|·|OB|≥32,故C正確.
設直線AB:x=my+4(m≠0),
將x=my+4代入y2=4x,得y2-4my-16=0,
所以y1+y2=4m,y1y2=-16,
由題意得F(1,0),
設直線AD:x=ny+1,D(x3,y3),E(x4,y4),
將x=ny+1代入y2=4x,得y2-4ny-4=0,
則y1y3=-4,則y3=-,
同理可得y4=-,
所以kDE=,
因為kAB=,所以kDE=4kAB,故D正確.
故選ACD.
7.答案　
解析　因為雙曲線C的一條漸近線方程是y=x,所以,
又c2=a2+b2,所以,
由題意得,點M的橫坐標為c,
將其代入雙曲線方程,得=1,即,即y2=,
又點M在x軸的上方,所以M,
所以tan∠MF1F2=.
8.解析　(1)選①,
由題意可得
∴橢圓C的方程為=1.
選②,依題意得2b=2,
∴橢圓的方程為=1.
又點在橢圓上,∴=1,
解得a2=4,故橢圓C的方程為=1.
選③,由題意得當P為上、下頂點時,最大,
因此,,即bc=,
又2b=2,∴c=1,
從而a2=1+3=4.
故橢圓C的方程為=1.
(2)證明:(i)當k=0時,由(1)可得|PQ|=2a=4,|NF1|=c=1,
∴=4.
(ii)當k≠0時,由(1)可得F1(-1,0).
設直線PF1的方程為y=k(x+1),
由消去y,得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
設P(x1,y1),Q(x2,y2),
顯然Δ>0,且x1+x2=-,
∴|PQ|=
=
=,
y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=,
∴線段PQ的中點為,
則線段PQ的中垂線的方程為y-,
令y=0,可得x=-,即N,
又F1(-1,0),
∴|NF1|=,
∴=4,
綜上,為定值4.
9.解析　(1)雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0.
設∠MON=2θ.
由a>0,b>0得tan θ=,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ=,即a2=4b2.
易得=1,所以b=1,所以a2=4,
所以雙曲線C的方程為-y2=1.
(2)結合(1),設M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0,
當λ=1時,,則P,
所以=1,整理得mn=1.
又,
所以mn≤-mn=-1,當且僅當m=n=1時,等號成立.所以∈(-∞,-1].
(3)同(2),設M(2m,m),N(2n,-n),m>0,n>0.
由),
即(1+λ),
則.
所以P.
把點P的坐標代入雙曲線的方程得=1,即(m+λn)2-(m-λn)2=(1+λ)2,
所以mn=.
當直線MN的斜率不存在時,其方程為x=2m.
當直線MN的斜率存在時,kMN=,
所以直線MN的方程為y-m=(x-2m),
即(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0.
經檢驗,斜率不存在時,直線方程也滿足上式,所以直線MN的方程為(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0,
點O到直線(m+n)x-2(m-n)y-4mn=0的距離d=,
又|MN|=,
所以S=·|MN|·d=2mn=+1.
記雙曲線的左、右焦點分別為F1(-,0),P(x,y)(x≥2),則|PF1|>|PF2|.
又|PF2|=
=x-2,
所以|PF2|∈[-2,+∞),即雙曲線C上的點與其焦點的距離的取值范圍Ω=[-2,+∞).
因為∈Ω,所以λ∈[5-10,+∞).
令f(x)=+1,x∈[5-10,+∞),
任取x1,x2∈[5-10,+∞),且x1則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·<0,所以f(x1)所以f(x)在x∈[5-10,+∞)上單調遞增,
因此f(x)min=f(5,
即Smin=.
所以S∈.
1

展開更多......

收起↑