資源簡介

第六章　概率
§1　隨機事件的條件概率
1.1　條件概率的概念
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　利用定義求條件概率
1.根據歷年的氣象數據,某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25,刮四級以上大風的概率為0.4,既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.2,則在刮四級以上大風的情況下,發生中度霧霾的概率為(　　)
A.0.5　　　B.0.625　　　C.0.8　　　D.0.9
2.逢年過節走親訪友,成年人喝酒是經常的事,但是飲酒過度會影響健康,某調查機構進行了針對性的調查研究.據統計,一次性飲酒4.8兩,誘發某種疾病的頻率為0.04,一次性飲酒7.2兩,誘發這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率,已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發這種疾病,則他還能繼續飲酒2.4兩,未誘發這種疾病的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.某企業將生產出的芯片依次進行智能檢測和人工檢測兩道檢測工序,經智能檢測為次品的芯片會被自動淘汰,合格的芯片進入流水線并由工人進行人工檢測.已知某批芯片經智能檢測顯示的合格率為90%,最終的檢測結果的次品率為30%,則在智能自動檢測結束并淘汰了次品的條件下,人工檢測一枚芯片恰好為合格品的概率為　　　　.
題組二　利用古典概型求條件概率
4.甲、乙兩名學生在學校組織的課后服務活動中,準備從①②③④⑤這5個項目中分別隨機選擇其中1個項目,記事件A:甲和乙選擇的項目不同,事件B:甲和乙恰好一人選擇①,則P(B|A)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.袋中裝有大小、質地完全相同的3個小球,小球上分別標有數字4,5,6.每次從袋中隨機摸出1個小球,記下它的號碼,放回袋中,這樣連續摸三次.設事件A為“三次記下的號碼之和是15”,事件B為“三次記下的號碼不全相等”,則P(B|A)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.某校舉辦中學生乒乓球比賽,高一年級初步推選3名女生和4名男生參賽,并從中隨機選取3人組成代表隊參賽,在代表隊中既有男生又有女生的條件下,女生甲被選中的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.如圖所示,對編號為1,2,3,4的格子涂色,有紅、黃、藍、綠四種顏色可供選擇,要求相鄰格子不同色,則在1號格子涂紅色的條件下,4號格子也涂紅色的概率是　　　　.
題組三　條件概率的性質及應用
8.(多選題)下列說法錯誤的是(　　)
A.P(A|B)=P(B|A)
B.0C.若B與C是兩個互斥事件,則P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)
D.P(AB|A)=P(B)
9.有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍色、黑色各兩瓶,某同學從中隨機抽取兩瓶,若取得的兩瓶墨水中有一瓶是藍色,則另一瓶是紅色或黑色的概率為　　　　.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　條件概率的綜合應用
1.甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區服務活動,社區服務活動共有關懷老人、環境監測、教育咨詢、交通宣傳四個項目,每人限報其中一項,記事件A為“四名同學所報項目各不相同”,事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”,則P(A|B)的值為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.已知甲罐中有5個紅球,5個白球,乙罐中有3個紅球,7個白球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐,再從乙罐中隨機取出一球,用A1表示事件“從甲罐中取出的球是紅球”,A2表示事件“從甲罐中取出的球是白球”,B表示事件“從乙罐中取出的球是紅球”,則下列結論正確的是(　　)
A.P(B|A2)=
B.P(B|A1)=
C.P(B|A1)+P(B|A2)=
D.P(A1A2)=
3.已知某家族有A、B兩種遺傳性狀,該家族某位成員出現A性狀的概率為,出現B性狀的概率為,A、B兩種遺傳性狀都不出現的概率為,則該成員在出現A性狀的條件下,出現B性狀的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.甲、乙2名同學和另外5名同學站成兩排拍照,前排3人,后排4人.若每個人都隨機站隊,且前后排不認為相鄰,則在甲、乙站在同一排的條件下,兩人不相鄰的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
5.從集合{-3,-2,-1,1,2,3,4}中隨機選取一個數記為m,從集合{-2,-1,2,3,4}中隨機選取一個數記為n,則在方程=1表示雙曲線的條件下,方程=1表示焦點在y軸上的雙曲線的概率為　　(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.1889年7月,由恩格斯領導的第二國際在巴黎舉行代表大會,會議上宣布將5月1日定為國際勞動節.在五一假期期間,某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班,每天只需1人值班,且每人至少值班1天,已知甲在五一假期期間值班2天,則甲連續值班的概率是　　　　.
7.設b和c分別是拋擲一枚骰子先后兩次得到的點數.
(1)求方程x2+bx+c=0有實根的概率;
(2)求在先后兩次出現的點數中有5的條件下,方程x2+bx+c=0有實根的概率.
答案與分層梯度式解析
第六章　概率
§1　隨機事件的條件概率
1.1　條件概率的概念
基礎過關練
1.A　設發生中度霧霾為事件A,刮四級以上大風為事件B,
則P(B)=0.4,P(AB)=0.2,
所以P(A|B)==0.5.
故在刮四級以上大風的情況下,發生中度霧霾的概率為0.5.故選A.
A　設事件A表示“這人一次性飲酒4.8兩未誘發這種疾病”,事件B表示“這人一次性飲酒7.2兩未誘發這種疾病”,則P(A)=1-0.04=0.96,
P(B)=1-0.16=0.84,
所以P(B|A)=.
故選A.
3.答案　
解析　設事件A表示“一枚芯片經智能檢測為合格品”,事件B表示“人工檢測一枚芯片恰好為合格品”,
則P(A)=,
所以P(B|A)=.
4.B　由題意知,n(A)==8,
所以P(B|A)=.故選B.
5.A　事件A所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),(6,4,5),(5,5,5),共7個,事件AB所包含的基本事件有(4,5,6),(4,6,5),(5,4,6),(5,6,4),(6,5,4),(6,4,5),共6個,所以P(B|A)=.故選A.
6.B　設事件A表示“代表隊中既有男生又有女生”,事件B表示“女生甲被選中”,
則在代表隊中既有男生又有女生的條件下,女生甲被選中的概率為P(B|A).
由題意得,n(A)==8+6=14,
∴P(B|A)=.故選B.
7.答案　
解析　設事件A表示“1號格子涂紅色”,事件B表示“4號格子涂紅色”,
則P(B|A)=.
8.ABD　對于A,前者是事件B發生的條件下事件A發生的概率,而后者是事件A發生的條件下事件B發生的概率,故A中說法錯誤;對于B,條件概率的性質與其他概率的性質一樣,概率范圍應該為0≤P(B|A)≤1,故B中說法錯誤;易知C中說法正確;對于D,不能把條件概率中事件的分界線當分數線處理,故D中說法錯誤.故選ABD.
9.答案　
解析　設事件A為“其中一瓶是藍色”,事件B為“另一瓶是紅色”,事件C為“另一瓶是黑色”,事件D為“另一瓶是紅色或黑色”,則D=B∪C,且B與C互斥,易求得P(A)=,故P(D|A)=P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)=.
能力提升練
1.D　由題意得P(B)=,
故P(A|B)=.
故選D.
2.C　對于A,當A2發生時,乙罐中有3個紅球,8個白球,所以P(B|A2)=,故A錯誤.
對于B,當A1發生時,乙罐中有4個紅球,7個白球,所以P(B|A1)=,故B錯誤.
對于C,P(B|A1)+P(B|A2)=,故C正確.
對于D,因為A1,A2是對立事件,所以P(A1A2)=0,故D錯誤.
故選C.
3.B　記事件E:該家族某位成員出現A性狀,事件F:該家族某位成員出現B性狀,則P(E)=,則P(E∪F)=1-P(,
又因為P(E∪F)=P(E)+P(F)-P(EF),
所以P(EF)=P(E)+P(F)-P(E∪F)=,
所以P(F|E)=.
故選B.
4.B　記事件A表示“甲、乙站在同一排”,事件B表示“甲、乙不相鄰”,
則n(A)==2 160,n(AB)==960.
由條件概率公式,得P(B|A)=.
故選B.
5.A　設事件A為“方程=1表示雙曲線”,事件B為“方程=1表示焦點在y軸上的雙曲線”,
由題意得,P(A)=,則P(B|A)=.故選A.
6.答案　
解析　記“甲在五一假期期間值班2天”為事件A,“甲連續值班”為事件B,
則n(A)==24,
所以P(B|A)=,
所以甲在五一假期期間值班2天的情況下連續值班的概率為.
7.解析　(1)設該試驗的樣本空間為Ω,記“方程x2+bx+c=0沒有實根”為事件A,“方程x2+bx+c=0有兩個相同實根”為事件B,“方程x2+bx+c=0有兩個相異實根”為事件C,則Ω={(b,c)|b,c=1,2,…,6},
A={(b,c)|b2-4c<0,b,c=1,2,…,6},
B={(b,c)|b2-4c=0,b,c=1,2,…,6},
C={(b,c)|b2-4c>0,b,c=1,2,…,6},
所以Ω中的樣本點個數為36,A中的樣本點個數為17,B中的樣本點個數為2,C中的樣本點個數為17.又B、C是互斥事件,故所求概率P=P(B)+P(C)=.
(2)記“先后兩次出現的點數中有5”為事件D,“方程x2+bx+c=0有實根”為事件E,易得P(D)=,
P(DE)=,
所以P(E|D)=.
11.3　全概率公式
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　全概率公式及其應用
1.設A,B為兩個事件,已知P(A)=,則P(A|B)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.在3張彩票中有2張有獎,甲、乙兩人先后從中各取一張,則乙中獎的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.每年的6月6日是全國愛眼日,某位志愿者跟蹤調查電子產品對視力的影響,據調查,某高校大約有45%的學生近視,而該校大約有20%的學生每天操作電子產品超過1 h,這些人的近視率約為50%.現從每天操作電子產品不超過1 h的學生中任意調查一名學生,則他近視的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.浙江省高考實行“七選三”選科模式,賦予了學生充分的自由選擇權.甲、乙、丙三所學校分別有75%,60%,50%的學生選了物理,這三所學校的學生數之比為1∶1∶2,現從這三所學校中隨機選取一名學生,則這名學生選了物理的概率為　　　　.
題組二　貝葉斯公式
5.“狼來了”的故事大家小時候應該都聽說過:小孩第一次喊“狼來了”,大家信了,但去了之后發現沒有狼;第二次喊“狼來了”,大家又信了,但去了之后又發現沒有狼;第三次狼真的來了,但是這個小孩再喊狼來了就沒人信了.從數學的角度解釋這一變化,假設小孩是誠實的,則他出于某種特殊的原因說謊的概率為0.1;小孩是不誠實的,則他說謊的概率是0.5.最初人們不知道這個小孩誠實與否,所以在大家心目中每個小孩是誠實的概率是0.9.已知第一次他說謊了,那么他是誠實的小孩的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.某電子設備制造廠所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造廠提供的,根據以往的記錄有下表所示的數據.設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的且無區別標志.
元件制造廠 次品率 提供元件的份額
甲 0.02 0.15
乙 0.01 0.80
丙 0.03 0.05
(1)在倉庫中隨機取一個元件,求它是次品的概率;
(2)在倉庫中隨機取一個元件,若已知取到的是次品,則此次品出自甲工廠的概率是多少
答案與分層梯度式解析
1.3　全概率公式
基礎過關練
1.B　由P(B)=,得P(,顯然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故選B.
2.B　設甲中獎為事件A,乙中獎為事件B,
則P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|.
故選B.
3.A　設事件A1表示“操作電子產品超過1 h的學生”,A2表示“操作電子產品不超過1 h的學生”,B表示“任意調查一名學生,此人近視”,則樣本空間Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.2,P(A2)=0.8,P(B|A1)=0.5,P(B)=0.45,由題意,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2×0.5+0.8×P(B|A2)=0.45,解得P(B|A2)=,故選A.
4.答案　
解析　設事件A表示“這名學生來自甲學校”,事件B表示“這名學生來自乙學校”,事件C表示“這名學生來自丙學校”,事件D表示“這名學生選了物理”,
則P(A)=,
所以P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)·P(D|C)=.
5.D　設事件A表示“小孩誠實”,事件B表示“小孩說謊”,
則P(B|A)=0.1,P(B|)=0.1,
則P(AB)=P(A)P(B|A)=0.9×0.1=0.09,
P()=0.1×0.5=0.05,
故P(B)=P(AB)+P(B)=0.14,
故P(A|B)=.
故選D.
6.解析　設事件A表示“取到的是一個次品”,事件B1表示“所取到的產品是由甲工廠提供的”,事件B2表示“所取到的產品是由乙工廠提供的”,事件B3表示“所取到的產品是由丙工廠提供的”,
則P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.
(1)由全概率公式可得P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.012 5,
即在倉庫中隨機取一個元件,它是次品的概率為0.012 5.
(2)由貝葉斯公式得P(B1|A)==0.24,
即在取到的元件是次品的條件下,此次品出自甲工廠的概率是0.24.
11.2　乘法公式與事件的獨立性
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　乘法公式
1.已知P(B|A)=,則P(AB)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(多選題)下列說法一定不成立的是(　　)
A.P(B|A)B.P(B)=P(A)P(B|A)
C.P(AB)=P(A)P(B)　　　　　　
D.P(A|A)=0
3.設P(A|B)=P(B|A)=,則P(B)等于　　　　.
4.設不透明的袋中有5個紅球,3個黑球,2個白球,有放回地隨機摸球三次,每次摸一球,則第三次才摸到白球的概率為　　　　;若以同樣的方式不放回摸球,則第三次才摸到白球的概率為　　　　.
題組二　事件的獨立性
5.已知事件A,B,且P(A)=0.2,P(B)=0.8,則下列說法正確的是(　　)
A.若A B,則P(A∪B)=0.8,P(AB)=0.6
B.若A與B互斥,則P(A∪B)=0.8,P(AB)=0
C.若A與B相互獨立,則P(A∪B)=1,P(AB)=0
D.若A與B相互獨立,則P(A∪B)=0.84,P(AB)=0.16
6.有6個相同的小球分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次,每次取1個小球,甲表示事件“第一次取出的小球上的數字為2”,乙表示事件“第二次取出的小球上的數字為3”,丙表示事件“兩次取出的小球上的數字之和為8”,丁表示事件“兩次取出的小球上的數字之和為7”,則(　　)
A.丙與丁相互獨立　　　　　　B.甲與丙相互獨立
C.乙與丙相互獨立　　　　　　D.乙與丁相互獨立
7.如圖,已知電路中有5個開關,開關S5閉合的概率為,其他開關閉合的概率都是,且各開關是否閉合相互獨立,則燈亮的概率為(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
8.已知A,B兩個盒子中均有除顏色外其他完全相同的3個紅球和3個白球,甲從盒子A中,乙從盒子B中各隨機取出一個球,若2個球同色,則甲勝,且將取出的2個球全部放入盒子A中;若2個球不同色,則乙勝,且將取出的2個球全部放入盒子B中.按上述規則重復兩次后,盒子A中恰有8個球的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.甲、乙兩人參加玩游戲活動,每輪游戲活動由甲、乙各玩一盤,已知甲每盤獲勝的概率為,乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動中,甲和乙獲勝與否互不影響,各輪結果也互不影響,則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤的概率為　　　　.
答案與分層梯度式解析
1.2　乘法公式與事件的獨立性
基礎過關練
1.C　P(AB)=P(B|A)P(A)=,故選C.
2.AD　∵P(B|A)=,03.答案　
解析　∵P(AB)=P(B|A)P(A)=,
∴P(B)=.
4.答案　
解析　設事件A表示“第一次未摸到白球”,事件B表示“第二次未摸到白球”,事件C表示“第三次摸到白球”,
則事件“第三次才摸到白球”可表示為ABC.
有放回時:P(A)=,
則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=.
不放回時:P(A)=,
則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=.
5.D　對于A,若A B,則P(AB)=P(A)=0.2,故A錯誤;
對于B,若A與B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B錯誤;
對于C,D,若A與B相互獨立,則P(AB)=P(A)P(B)=0.16,
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.84,故C錯誤,D正確.
故選D.
D　兩次取出的小球上的數字之和為8有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),共5種情況,所以P(丙)=,兩次取出的小球上的數字之和為7有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種情況,所以P(丁)=,P(甲)=P(乙)=,P(丙丁)=0≠P(丙)·P(丁),故A錯誤;
P(甲丙)=≠P(甲)·P(丙),故B錯誤;P(乙丙)=≠P(乙)·P(丙),故C錯誤;P(乙丁)==P(乙)·P(丁),故D正確.
故選D.
7.A　解法一:燈亮的對立事件為燈不亮,則得到燈不亮的條件是S1,S2至少有一個斷開,且S3,S4,S5同時斷開,
∴燈亮的概率P=1-.
解法二:根據串聯、并聯,得燈亮有三種情況:
①S5閉合,則燈亮的概率P1=;
②S5斷開,S1,S2均閉合,則燈亮的概率P2=;
③S5斷開,S1,S2至少有一個斷開,S3,S4至少有一個閉合,則燈亮的概率P3=.
綜上,P(燈亮)=P1+P2+P3=.故選A.
8.C　若兩次取球后,盒子A中恰有8個球,則兩次取球均為甲勝,
若第一次取球甲、乙都取到紅球,則概率為,
則第一次取球后盒子A中有4個紅球和3個白球,盒子B中有2個紅球和3個白球,
第二次取同色球為取到紅球或取到白球,概率為,
故盒子A中有8個球的概率為.
同理,若第一次取球甲、乙都取到白球,且兩次取球后盒子A中有8個球的概率為.
故盒子A中恰有8個球的概率是,
故選C.
9.答案　
解析　設事件A1,A2分別表示甲在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤,事件B1,B2分別表示乙在兩輪玩游戲活動中共獲勝1盤、2盤,
則P(A1)=2×,
P(B1)=2×,
則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動中共獲勝3盤的事件為A1B2∪A2B1,且A1B2,A2B1互斥,
其概率為P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=.
1(共16張PPT)
§1 隨機事件的條件概率
知識點 1 條件概率
知識 清單破
　
1.條件概率的概念
設A,B是兩個事件,且P(A)>0,則稱P(B|A)= 為在事件A發生的條件下事件B發生的條件概
率.
2.條件概率的性質
　　設P(A)>0,則
(1)P(B|A)∈[0,1].
(2)若B與C是兩個互斥事件,則P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A).
(3)設 和B互為對立事件,則P( |A)=1-P(B|A).
　
　　由條件概率的定義P(B|A)= 可知,P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0),同理,P(AB)=P(B)
P(A|B)(其中P(B)>0),稱這兩個公式為乘法公式.
知識點 2 乘法公式
1.事件A與事件B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).
2.當P(B)>0時,事件A與B相互獨立的充要條件是P(A|B)=P(A).
知識點 3 事件的獨立性
1.樣本空間的劃分
　　設Ω是試驗E的樣本空間,B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一組事件,若
(1)BiBj= ,其中i≠j(i, j=1,2,…,n),
(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω,
則稱B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分.
2.全概率公式
設B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則對任意一個事件A有P(A)=
P(Bi)P(A|Bi),稱該式為全概率公式.
知識點 4 全概率公式
設B1,B2,…,Bn為樣本空間Ω的一個劃分,若P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),則P(Bi|A)=
,稱該式為貝葉斯公式.
知識點 5 貝葉斯公式*
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.在事件A發生的條件下,事件B發生,相當于事件A,B同時發生. (　 )
2.P(A)=P(B)P(A|B)+P( )P(A| ).(　 )
3.全概率公式的主要作用是“由結果推測原因”. (　 )
4.P(A|B)= = . (　 )
√
√


提示
全概率公式的主要作用是“由原因推測結果”.
提示
根據全概率公式可得當00時,有P(A|B)=
= .
條件概率的求法
(1)在樣本空間Ω中,先求概率P(AB)和P(A),再按定義計算P(B|A);
(2)隨機事件A的樣本點構成了一個小樣本空間A,在樣本空間A中求事件B的概率,就得到
P(B|A).
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 條件概率的求法
典例 現有6個節目準備參加比賽,其中4個舞蹈節目,2個語言類節目,如果不放回地依次抽取2
個節目,求:
(1)第1次抽到舞蹈節目的概率;
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈節目的概率;
(3)在第1次抽到舞蹈節目的條件下,第2次抽到舞蹈節目的概率.
解析 設第1次抽到舞蹈節目為事件A,第2次抽到舞蹈節目為事件B,則第1次和第2次都抽到
舞蹈節目為事件AB.
(1)從6個節目中不放回地依次抽取2個的事件數n(Ω)= =30,
根據分步乘法計數原理,知n(A)= =20,
于是P(A)= = = .
(2)因為n(AB)= =12,
所以P(AB)= = = .
(3)解法一:由(1)(2)可得,在第1次抽到舞蹈節目的條件下,第2次抽到舞蹈節目的概率為P(B|A)
= = = .
解法二:因為n(AB)=12,n(A)=20,
所以P(B|A)= = = .
　　當所求事件的概率比較復雜時,往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件,求
出這些簡單事件的概率,再利用概率的加法公式便可求得較復雜事件的概率.
求較復雜事件的概率的一般步驟:
(1)列出題中涉及的各個事件,并且用適當的符號表示;
(2)厘清事件之間的關系,列出關系式;
(3)根據事件之間的關系準確選取概率公式進行計算.
　　當直接計算符合條件的事件的概率較復雜時,可先間接地計算其對立事件的概率,再求
出符合條件的事件的概率.
講解分析
疑難 2 求較復雜事件的概率
典例 某次考試的規則如下:從20道題中隨機抽取6道題,若考生至少能答對其中的4道題,則考
試通過;若至少能答對其中的5道題,則獲得優秀.已知某考生能答對20道題中的10道題,并且
知道他在這次考試中已經通過,求他獲得優秀的概率.
解析 設事件A為“該考生6道題全答對”,
事件B為“該考生答對了其中的5道題”,
事件C為“該考生答對了其中的4道題”,
事件D為“該考生在這次考試中通過”,
事件E為“該考生在這次考試中獲得優秀”,
則A,B,C兩兩互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,
由古典概型的概率公式及加法公式可知,
P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = .
因為P(AD)=P(A),P(BD)=P(B),
所以P(E|D)=P[(A∪B)|D]=P(A|D)+P(B|D)= + = + = .
所以在他已經通過的條件下,獲得優秀的概率是 .
　　全概率公式的意義在于,當直接計算事件A發生的概率P(A)較為困難時,可以先找到樣本
空間Ω的一個劃分,如Ω=B1∪B2∪…∪Bn,B1,B2,…,Bn兩兩互斥,將B1,B2,…,Bn看成是導致A發生
的一組原因,這樣事件A就被分解成了n個部分,分別計算P(A|B1),P(A|B2),…,P(A|Bn),再利用全
概率公式求解.
運用全概率公式的一般步驟如下:
(1)求出樣本空間Ω的一個劃分B1,B2,…,Bn;
(2)求P(Bi)(i=1,2,…,n);
(3)求P(A|Bi)(i=1,2,…,n);
(4)求目標事件的概率P(A).
講解分析
疑難 3 對全概率公式的理解與應用
典例 甲、乙、丙三個地區暴發了某種流行病,三個地區感染此病的比例分別為 , , .若三
個地區人口相近,現從這三個地區中任意抽取一個人.
(1)求此人感染此病的概率;
(2)若此人感染此病,求此人來自乙地區的概率.
解析 將甲、乙、丙三個地區依次編號為1,2,3,設Ai=抽取的人來自第i個地區,i=1,2,3,B=抽
取的人感染此病.
則P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,
P(B|A1)= ,P(B|A2)= ,P(B|A3)= .
(1)P(B)= P(Ai)P(B|Ai)= .
(2)P(A2|B)= = .

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