資源簡介

(共14張PPT)
　　在隨機試驗中,我們確定了一個對應關系,使得樣本空間的每一個樣本點都用一個確定
的數值表示.在這個對應關系下,數值隨著試驗結果的變化而變化.像這種取值隨著試驗結果
的變化而變化的量稱為隨機變量.隨機變量常用字母X,Y,ξ,η等來表示.
§2 離散型隨機變量及其分布列
知識點 1 隨機變量
知識 清單破
1.離散型隨機變量
取值能夠一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量.
2.離散型隨機變量的分布列
　　若離散型隨機變量X的取值為x1,x2,…,xn,…,隨機變量X取xi的概率為pi(i=1,2,…,n,…),記作
P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①
①式也可以列成表如下:
知識點 2 離散型隨機變量的分布列
xi x1 x2 … xn …
P(X=xi) p1 p2 … pn …
　　上述表格或①式稱為離散型隨機變量X的分布列,簡稱為X的分布列.
3.離散型隨機變量分布列的性質
(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);
(2)p1+p2+…+pn+…=1.
　　如果隨機變量X的分布列如下表:
知識點 3 兩點分布
X 1 0
P p q
　　其中0努利分布).
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.隨機試驗的結果與隨機變量是一種映射關系,即每一個試驗結果都有唯一的隨機變量的值
與之對應. (　 )
2.離散型隨機變量的分布列中,各概率之和可以小于1.(　 )
3.離散型隨機變量的所有取值有時無法一一列出. (　 )
4.離散型隨機變量的分布列中,每個隨機變量的取值對應的概率都相等. (　 )
√



提示
提示
提示
依據隨機變量的概念可知,每一個隨機變量的取值都是由試驗結果得到的,故是一種映
射關系.
離散型隨機變量的取值是有限的,且每一個取值都對應一個概率值,故可以一一列.
分布列中的每個隨機變量的取值代表的隨機事件并非都是等可能發生的事件.
5.若隨機變量X的分布列如下表所示,則X服從兩點分布. (　 )

X 2 5
P 0.3 0.7
服從兩點分布的隨機變量的可能取值為0,1.
提示
求離散型隨機變量X的分布列的步驟

講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求離散型隨機變量的分布列
典例 某農戶計劃于2024年年初開始種植某新型農作物.已知該農作物每年每畝的種植成本
為2 000元,根據前期各方面調查發現,該農作物的市場價格和畝產量均具有隨機性,且兩者互
不影響,其具體情況如下表:
該農作物畝產量(kg) 900 1 200
概率 0.5 0.5
該農作物市場價格(元/kg) 30 40
概率 0.4 0.6
設2024年該農戶種植該農作物一畝的純收入為X元,求X的分布列.
解析 由題意知,900×30-2 000=25 000,1 200×30-2 000=34 000,900×40-2 000=34 000,1 200×40-
2 000=46 000.
所以X的可能取值為25 000,34 000,46 000.
設A表示事件“該農作物畝產量為900 kg”, 表示事件“該農作物畝產量為1 200 kg”,B表
示事件“該農作物市場價格為30元/kg”, 表示事件“該農作物市場價格為40 元/kg”,
則P(A)=0.5,P( )=0.5,P(B)=0.4,P( )=0.6.
所以P(X=25 000)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2;
P(X=34 000)=P( )P(B)+P(A)P( )=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5;
P(X=46 000)=P( )P( )=0.5×0.6=0.3.
所以X的分布列為
X 25 000 34 000 46 000
P 0.2 0.5 0.3
1.離散型隨機變量的分布列是基本計數原理、排列組合、概率求解與其他知識的綜合.解決
此類問題的關鍵:
(1)確定隨機變量的可能取值;
(2)厘清隨機變量取某些值時對應的事件是什么;
(3)利用兩個基本計數原理及排列、組合的知識求出試驗的樣本空間與所求事件各自包含的
樣本點數.
2.離散型隨機變量的性質容易和其他知識相結合,所涉及的參數范圍(最值)問題容易與函
數、基本不等式相結合,做題時需注意分布列的性質與其他模塊內容的聯系.
講解分析
疑難 2 離散型隨機變量的分布列及其綜合應用
典例 第33屆夏季奧林匹克運動會將于2024年在巴黎舉辦,其中游泳比賽分為預賽、半決賽
和決賽三個階段,只有預賽、半決賽都獲勝才有資格進入決賽.假設甲在預賽和半決賽中獲
勝的概率分別為 和 ,乙在預賽和半決賽中獲勝的概率分別為 和 ,丙在預賽和半決賽中
獲勝的概率分別為p和 -p,其中 (1)甲、乙、丙三人中,哪個人進入決賽的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽的概率為 ,求p的值;
(3)在(2)的條件下,設甲、乙、丙三人中進入決賽的人數為ξ,求ξ的分布列.
解析 (1)甲進入決賽的概率為 × = ,乙進入決賽的概率為 × = ,丙進入決賽的概率為p
· =- + ,
因為 顯然,乙進入決賽的可能性更大.
(2)由(1)知甲、乙進入決賽的概率分別為 , ,甲、乙、丙三人中恰有兩人進入決賽分為三
種情況:甲和乙進入決賽而丙未進,乙和丙進入決賽而甲未進,甲和丙進入決賽而乙未進,所以
有 × × + × × + × × p× = ,
整理得12p2-16p+5=0,解得p= 或p= ,
因為 (3)由(2)知,丙進入決賽的概率為 × = ,
所以甲、乙、丙三人進入決賽的概率分別為 , , .
根據題意,ξ的可能取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)= × × = ,
P(ξ=1)= × × + × × + × × = ,
P(ξ=2)= × × + × × + × × = ,
P(ξ=3)= × × = ,
所以隨機變量ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P §2　離散型隨機變量及其分布列
2.1　隨機變量　　　　2.2　離散型隨機變量的分布列
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　隨機變量
1.袋中有3個白球、5個黑球,從中任取2個球,下列選項中可以用隨機變量表示的是(　　)
A.至少取到1個白球
B.至多取到1個白球
C.取到白球的個數
D.取到球的個數
2.先后拋擲一顆骰子兩次,記隨機變量ξ為兩次擲出的點數之和,則ξ的取值集合是(　　)
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4,5,6,7}
C.{2,4,6,8,10,12}
D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
3.甲、乙兩班進行足球對抗賽,共進行三場,每場比賽贏了的隊伍得3分,輸了的隊伍得0分,平局兩隊各得1分.用ξ表示甲的得分,則{ξ=3}表示(　　)
A.甲贏三場
B.甲贏一場、輸兩場
C.甲、乙平局三次
D.甲贏一場、輸兩場或甲、乙平局三次
題組二　離散型隨機變量及其分布列
4.下面給出的四個隨機變量中是離散型隨機變量的為(　　)
①高速公路上某收費站在半小時內經過的車輛數X1;
②一個沿直線y=2x進行隨機運動的質點離坐標原點的距離X2;
③某同學射擊3次,命中的次數X3;
④某電子元件的壽命X4.
A.①②　　　B.③④　　　C.①③　　　D.②④
5.數字1,2,3,4任意排成一列,如果數字k恰好出現在第k個位置上,則稱有一個“巧合”,則“巧合”個數ξ的分布列為　　　　.
6.一個口袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數為ξ.
(1)列表說明可能出現的結果與對應的ξ的值;
(2)若規定抽取的3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判斷η是不是離散型隨機變量.
7.已知新高考數學共4道多項選擇題,評分標準是每題滿分5分,全部選對得5分,部分選對得2分,有錯選或不選的得0分.每道多項選擇題共有4個選項,正確答案往往為兩項或三項.為了研究多項選擇題的答題規律,某數學興趣小組研究發現:多項選擇題正確答案是“選兩項”的概率為,正確答案是“選三項”的概率為.現有學生甲、乙兩人,由于數學基礎一般,多項選擇題完全沒有思路,只能靠猜.
(1)已知某題的正確答案是“選兩項”,求學生甲不得0分的概率;
(2)學生甲的答題策略是“猜一個選項”,學生乙的答題策略是“猜兩個選項”,試寫出甲、乙兩名學生得分的分布列.
題組三　離散型隨機變量的性質
8.隨機變量ξ的分布列如下表:
ξ -1 0 1
P a b c
其中2b=a+c,則P(|ξ|=1)等于(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.已知離散型隨機變量X的分布列如表所示,則常數c為(　　)
X 0 1
P 9c2-c 3-8c
A.　　　B.　　　C.　　　D.
10.設X是一個離散型隨機變量,其分布列如下表,則q等于　　　　.
X -1 0 1
P 1-q q2
11.設隨機變量X的分布列為P=ak(k=1,2,3,4,5).
(1)求常數a的值;
(2)求P;
(3)求P.
12.已知隨機變量X的分布列如表所示.
X -2 -1 0 1 2 3
P
(1)求隨機變量Y=X2的分布列;
(2)若P(Y題組四　兩點分布
13.已知隨機變量X服從兩點分布,且P(X=1)=0.6.設Y=3X-2,則P(Y=-2)=(　　)
A.0.6　　　B.0.3　　　C.0.2　　　D.0.4
14.已知袋內有5個白球和6個紅球,從中摸出2個球,記X=則X的分布列為　　　　.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機變量的分布列的性質及其應用
1.某銀行有一自動取款機,在某時刻恰有k(k∈N)個人正在使用或等待使用該取款機的概率為p(k),根據統計得到p(k)=則在該時刻沒有人正在使用或等待使用該取款機的概率為(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　 D.
2.同時擲兩顆質地均勻的骰子,觀察朝上一面出現的點數.設兩顆骰子出現的點數分別為X1,X2,記X=min{X1,X2},則P(2≤X≤4)=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.若隨機變量X的分布列如表所示,則a2+b2的最小值為　　　　　.
X 0 1 2 3
P a b
題組二　離散型隨機變量的分布列的綜合應用
4.如圖所示,A,B兩點由5條線并聯,它們在單位時間內能通過的最大信息量依次為2,3,4,3,2.現記從中任取三條線且在單位時間內都通過最大信息量的總量為ξ,則P(ξ≥8)=　　　　.
5.為了促進消費,某商場針對會員客戶推出會員積分兌換商品活動:每位會員客戶可在價值80元,90元,100元的A,B,C三種商品中選擇一種使用積分進行兌換,每10積分可兌換1元.已知參加活動的甲、乙兩位客戶各有1 000積分,且甲兌換A,B,C三種商品的概率分別為,乙兌換A,B,C三種商品的概率分別為,且他們兌換何種商品相互獨立.
(1)求甲、乙兩人兌換同一種商品的概率;
(2)記X為兩人兌換商品后的積分總余額,求X的分布列.
6.現有8名在校大學生報名參加在校大學生兼職村團支部副書記選拔,其中籍貫是黃山區的有1人,籍貫是屯溪區的有3人,籍貫是歙縣的有4人.
(1)若8人中有2人入選,求入選的2人籍貫是不同地區的概率;
(2)若8人中有3人入選,設籍貫是歙縣的入選人數為X,在已知入選3人中籍貫是黃山區的人數和籍貫是屯溪區的人數都不超過籍貫是歙縣的人數的條件下,求隨機變量X的分布列.
答案與分層梯度式解析
§2　離散型隨機變量及其分布列
2.1　隨機變量
2.2　離散型隨機變量的分布列
基礎過關練
1.C　選項A,B是隨機事件;選項D中,取到球的個數是定值2;選項C中,取到白球的個數的可能取值為0,1,2,可以用隨機變量表示.故選C.
2.D　
3.D　由題意得ξ=3可以分成兩種情況,得分分別為3+0+0,1+1+1,即甲贏一場、輸兩場或甲、乙平局三次.故選D.
4.C　
5.答案　
ξ 0 1 2 4
P
解析　ξ的可能取值為0,1,2,4,則P(ξ=0)=.
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2 4
P
6.解析　(1)列表如下:
結果 取得3 個黑球 取得1個白 球,2個黑球 取得2個白 球,1個黑球 取得3 個白球
ξ 0 1 2 3
(2)由題意可得η=5ξ+6,由(1)知ξ的可能取值為0,1,2,3,所以η對應的值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,故η的可能取值為6,11,16,21.顯然η是離散型隨機變量.
7.解析　(1)在某題的正確答案是“選兩項”的條件下,學生甲不得0分的情況有兩種:
①只選一個選項,得2分的概率P1=;
②選兩個選項,得5分的概率P2=.
所以在某題的正確答案是“選兩項”的條件下,學生甲不得0分的概率P=P1+P2=.
(2)設學生甲的得分為X,則X的可能取值為0,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 2
P
設學生乙的得分為Y,則Y的可能取值為0,2,5,
P(Y=2)=,
P(Y=5)=,
P(Y=0)=1-,
所以Y的分布列為
Y 0 2 5
P
8.D　∵2b=a+c,且a+b+c=1,∴2b+b=1,
∴b=.
故選D.
9.A　由離散型隨機變量分布列的性質,知
所以c=,故選A.
10.答案　
解析　由題意得所以q=.
11.解析　隨機變量X的分布列為
X 1
P a 2a 3a 4a 5a
(1)由a+2a+3a+4a+5a=1,得a=.
(2)解法一:P.
解法二:P.
(3)因為,所以X=.
所以P.
12.解析　(1)由隨機變量X的分布列知,Y的可能取值為0,1,4,9,
則P(Y=0)=.
所以隨機變量Y的分布列如表所示.
Y 0 1 4 9
P
(2)因為P(Y所以實數x的取值范圍是(4,9].
13.D　當Y=-2時,-2=3X-2,解得X=0,所以P(Y=-2)=P(X=0)=1-P(X=1)=1-0.6=0.4.故選D.
14.答案　
X 0 1
P
解析　由題意得,X的可能取值為0,1,
則P(X=0)=.
所以X的分布列如表所示.
X 0 1
P
能力提升練
1.B　由題意知,p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0)p(0)=1,解得p(0)=,
即在該時刻沒有人正在使用或等待使用該取款機的概率為.故選B.
2.B　由題意,隨機變量X滿足2≤X≤4的事件是X=2、X=3、X=4這3個互斥事件的和,而P(X=2)=,所以P(2≤X≤4)=.故選B.
3.答案　
解析　由a+b+=1,可得a+b=,b∈,
所以a2+b2=.
故a2+b2的最小值為.
4.答案　
解析　解法一(直接法):由題意得,ξ的可能取值為7,8,9,10,
則P(ξ=7)=,
P(ξ=9)=,
所以ξ的分布列為
ξ 7 8 9 10
P
所以P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=.
解法二(間接法):由題意得,ξ的可能取值為7,8,9,10,故P(ξ≥8)與P(ξ=7)是對立事件,
所以P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-.
5.解析　(1)由題可知,甲、乙兩人兌換同一種商品的概率為.
(2)由題意,兌換A,B,C三種商品所需的積分分別為800,900,1 000,
則X的取值可能為0,100,200,300,400,
P(X=0)=,
P(X=100)=,
P(X=200)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
所以X的分布列為
X 0 100 200 300 400
P
6.解析　(1)設事件A表示“入選的2人籍貫是不同地區”,則P(A)=1-.
(2)由題意,籍貫是歙縣的人數至少是1人,X的可能取值為1,2,3,則滿足條件的情況共有=40種,則P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
1

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