資源簡介

§3　離散型隨機變量的均值與方差
3.1　離散型隨機變量的均值
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機變量的均值
1.已知離散型隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P a
則EX=(　　)
A.　　　B.2　　　C.　　　D.3
2.在概率論和統(tǒng)計學(xué)中用協(xié)方差來衡量兩個變量的總體誤差,對于離散型隨機變量X,Y,定義協(xié)方差為Cov(X,Y)=E(XY)-EX·EY,已知X,Y的分布列如下表所示,其中0X 1 2
P p 1-p
　
Y 1 2
P 1-p p
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
3.一個口袋中裝有編號分別為1,2,3,4的4個球,現(xiàn)從口袋中隨機取出2個球,用X表示取出球的最大編號,則EX=(　　)
A.2　　　B.3　　　C.　　　D.
4.對某種型號的儀器進行質(zhì)量檢測,每臺儀器最多可檢測3次,一旦發(fā)現(xiàn)問題,則停止檢測,否則一直檢測到3次為止,若該儀器一次檢測中出現(xiàn)問題的概率為0.2,設(shè)檢測次數(shù)為X,則X的數(shù)學(xué)期望為　　　　.
5.小青準(zhǔn)備用9萬元全部投資A,B兩種股票,已知兩種股票收益相互獨立,且這兩種股票的買入都是每股1萬元,每股收益的分布列如下表所示,若投資A種股票a萬元,則小青兩種股票的收益期望和為　　　　萬元.
股票A的每股收益分布列
收益X/萬元 -1 0 3
概率 0.3 0.2 0.5
股票B的每股收益分布列
收益Y/萬元 -3 4
概率 0.4 0.6
6.假設(shè)兩個隊進行一系列比賽,一直到其中有一隊贏了2局才結(jié)束.假設(shè)各局比賽勝負(fù)是相互獨立的,并且A隊獲勝的概率為p,則當(dāng)比賽的局?jǐn)?shù)的期望最大時,p=　　　　　　.
7.某職稱考試有A,B兩門課程,每年每門課程均分別有一次考試機會,若某門課程今年通過,則下一年不再參加該科考試,只要在連續(xù)兩年內(nèi)兩門課程均通過就能獲得該職稱.某考生準(zhǔn)備今年兩門課程全部參加考試,預(yù)測每門課程今年通過的概率均為;若兩門課程今年均沒有通過,則明年每門課程通過的概率均為;若今年只有一門課程沒有通過,則明年這門課程通過的概率為.
(1)求該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱的概率;
(2)設(shè)該考生兩年內(nèi)參加考試的次數(shù)為隨機變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
題組二　離散型隨機變量的均值的性質(zhì)
8.設(shè)ξ的分布列如表所示,η=2ξ+5,則Eη等于(　　)
ξ 1 2 3 4
P
A.　　　B.　　　C.　　　D.
9.已知隨機變量X的分布列如表所示,則E(X+a)=(　　)
X 1 2 3
P a
A.　　　B.　　　C.　　　D.
題組三　離散型隨機變量的均值的應(yīng)用
10.某單位有200名職工,想通過驗血的方法篩查某種病毒攜帶者,假設(shè)攜帶病毒的人占5%,每個人是否攜帶病毒互不影響.現(xiàn)有兩種篩查方案:
方案1:對每個人的血樣逐一化驗,需要化驗200次;
方案2:隨機按10個人為一組分組,然后將各組10個人的血樣混合后再化驗,如果混合血樣呈陰性,說明這10個人的血樣全部為陰性;如果混合血樣呈陽性,說明這10個人中至少有一個人的血樣呈陽性,就需要對這10個人每個人再分別化驗一次.
(1)某夫妻二人都在這個單位工作,若按照方案1,隨機進行逐一篩查,則他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率是多少
(2)若每次化驗的費用為16元,采用方案2進行化驗時,此單位大約需要花費多少元 (參考數(shù)據(jù):0.9510≈0.60)
11.某工廠兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)甲、乙兩種元件,元件質(zhì)量按測試指標(biāo)劃分:指標(biāo)大于或等于76為正品,小于76為次品.現(xiàn)分別從兩條生產(chǎn)線上隨機抽取元件甲和元件乙各100件進行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下:
測試指標(biāo) [60,68) [68,76) [76,84) [84,92) [92,100]
元件甲 12 8 40 33 7
元件乙 17 8 40 28 7
(1)試分別估計生產(chǎn)一件元件甲、一件元件乙為正品的概率;
(2)生產(chǎn)一件元件甲,若是正品則盈利90元,若是次品則虧損10元;生產(chǎn)一件元件乙,若是正品則盈利100元,若是次品則虧損20元,在(1)的前提下:
①求生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤不少于300元的概率;
②記X,Y分別為生產(chǎn)1 000件元件甲和1 000件元件乙所得的總利潤,試比較EX和EY的大小.(結(jié)論不要求證明)
答案與分層梯度式解析
§3　離散型隨機變量的均值與方差
3.1　離散型隨機變量的均值
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　由題意得=1,解得a=,
故EX=1×.
故選A.
2.A　XY的分布列為
XY 1 2 4
P p(1-p) p2+(1-p)2 p(1-p)
E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,
EX=2-p,EY=p+1,
所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.
故選A.
3.C　由題意得,X的可能取值為2,3,4,
則P(X=2)=.
因此X的分布列為
X 2 3 4
P
EX=2×.
故選C.
4.答案　2.44
解析　由題意知,X的可能取值為1,2,3,
則P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8×0.8=0.64,
所以EX=1×0.2+2×0.16+3×0.64=2.44.
5.答案　10.8
解析　由題中兩種股票每股收益的分布列可知,
EX=-1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2(萬元),EY=-3×0.4+4×0.6=1.2(萬元),
所以兩種股票的收益期望和為aEX+(9-a)EY=1.2a+(9-a)×1.2=1.2×9=10.8(萬元).
6.答案　
解析　設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為2,3,
P(X=2)=p2+(1-p)2,P(X=3)=(1-p)2p=2p(1-p),
所以X的分布列為
X 2 3
P p2+(1-p)2 2p(1-p)
所以EX=2p2+2(1-p)2+6p(1-p)=-2,所以當(dāng)p=時,EX取得最大值.
7.解析　(1)設(shè)該考生兩年內(nèi)可獲得該職稱為事件A,
則P(A)=.
(2)由題意得,X的可能取值為2,3,4,則
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的分布列為
X 2 3 4
P
EX=2×=3.
8.D　Eξ=1×,所以Eη=E(2ξ+5)=2Eξ+5=2×.
故選D.
9.C　依題意可得+a=1,解得a=,所以EX=1×=2,所以E(X+a)=E.故選C.
10.解析　(1)由題意得,他們二人恰好是先篩查的兩個人的概率P=.
(2)按方案2,設(shè)每組需要化驗的次數(shù)為X,則X的可能取值為1,11.
P(X=1)=(1-0.05)10=0.9510≈0.60,
P(X=11)=1-0.60=0.40,
所以X的分布列為
X 1 11
P 0.60 0.40
EX=1×0.60+11×0.40=5.
總的化驗次數(shù)為×EX=100,
故此單位大約需要花費100×16=1 600(元).
11.解析　(1)抽取的100件元件甲中正品的頻率為,抽取的100件元件乙中正品的頻率為,所以生產(chǎn)一件元件甲為正品的概率為,生產(chǎn)一件元件乙為正品的概率為.
(2)①設(shè)生產(chǎn)的5件元件乙中正品的件數(shù)為x,則次品的件數(shù)為5-x,由題意知100x-20(5-x)≥300,所以x=4或x=5.設(shè)“生產(chǎn)5件元件乙所獲得的利潤不少于300元”為事件C,則P(C)=.
②設(shè)生產(chǎn)一件元件甲所獲得的利潤為ξ元,則ξ的可能取值為90,-10,
則P(ξ=90)=,
所以ξ的分布列為
ξ 90 -10
P
所以Eξ=90×=70,
所以EX=E(1 000ξ)=1 000Eξ=1 000×70=70 000.
設(shè)生產(chǎn)一件元件乙所獲得的利潤為η元,則η的可能取值為100,-20,
則P(η=100)=,
所以η的分布列為
η 100 -20
P
所以Eη=100×=70,
所以EY=E(1 000η)=1 000Eη=1 000×70=70 000.
所以EX=EY.
1(共10張PPT)
1.設(shè)離散型隨機變量X的分布列如下表:
§3 離散型隨機變量的均值與方差
知識點 1 離散型隨機變量的均值
知識 清單破
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則稱EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).
2.離散型隨機變量的均值的性質(zhì)
　　若X與Y都是隨機變量,且Y=aX+b(a≠0),則由X與Y之間分布列的關(guān)系可知EY=E(aX+b)=
aEX+b.
1.若離散型隨機變量X的分布列如下表:
知識點 2 離散型隨機變量的方差
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
則(xi-EX)2描述了xi(i=1,2,…,n)相對于均值EX的偏離程度,而DX=E(X-EX)2= (xi-EX)2pi為這些
偏離程度的加權(quán)平均,刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度.我們稱DX為隨機變量
X的方差,其算術(shù)平方根 為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記作σX.
2.離散型隨機變量的方差的性質(zhì)
設(shè)a,b為常數(shù),則D(aX+b)=a2DX.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.隨機變量的均值是常數(shù),樣本的均值是隨機變量. (　 )
2.隨機變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量的取值偏離于均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差
越小,隨機變量偏離于均值的平均程度越小. (　 )
3.均值與方差都從整體上刻畫離散型隨機變量的情況,因此它們是一回事. (　 )
4.若隨機變量X的均值EX=2,則E(2X+3)=7.(　 )
5.如果一個學(xué)生在所有單元檢測中的成績的均值是90分,那么他在某次單元檢測中的成績一
定會是90分.(　 )
6.D(2X+1)=4DX+1. (　 )
√
√
√



1.求離散型隨機變量X的均值、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的一般步驟
(1)理解X的意義,并寫出X的可能取值;
(2)求出X取每個值時的概率;
(3)利用定義求E(X),D(X)( ).
在隨機變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-(E(X))2求方差.
2.已知隨機變量X的均值、方差或其均值、方差易求,求Y=aX+b(a≠0)的均值、方差時,可用
均值、方差的性質(zhì)求解.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 離散型隨機變量的均值、方差(標(biāo)準(zhǔn)差)
典例 已知隨機變量X的分布列為
X 1 2 3
P
且Y=aX+3,若EY=-2,則DY= (　 )
A.-3　 B. 　 C.5　 D.8
C
解析 由已知得,EX=1× +2× +3× = ,DX= × + × + × = ,因為Y=
aX+3,所以EY=aEX+3= a+3=-2,解得a=-3,所以DY=D(-3X+3)=(-3)2DX=9× =5.故選C.
　　在實際生活中存在許多決策問題,在確定性現(xiàn)象中,我們進行決策和優(yōu)化的目的通常是
使損失最小或利益最大.
離散型隨機變量的均值反映了離散型隨機變量取值的平均水平,而方差反映了離散型隨機變
量的取值相對于均值的離散程度(或波動大小).因此,在利用均值和方差的意義去分析、解決
實際問題時,兩者都要考慮.
　　一般先求隨機變量X1,X2的均值,當(dāng)EX1=EX2時,不應(yīng)認(rèn)為它們一樣好,還需要用DX1,DX2來
比較這兩個隨機變量的偏離程度,偏離程度越小越好.
講解分析
疑難 2 離散型隨機變量的均值與方差的綜合應(yīng)用
典例 甲、乙兩名射手在一次射擊中射中的環(huán)數(shù)分別為隨機變量ξ,η,已知甲、乙兩名射手在
每次射擊中射中的環(huán)數(shù)均大于6且互不影響,甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a,a,0.1,乙射
中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ,η的分布列;
(2)求ξ,η的數(shù)學(xué)期望與方差,并以此比較甲、乙的射擊技術(shù).
解析 (1)由題意得0.5+3a+a+0.1=1,解得a=0.1.
因為乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2,所以乙射中7環(huán)的概率為1-(0.3+0.3+0.2)=0.2.
所以ξ,η的分布列分別為
ξ 10 9 8 7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由(1)得:
Eξ=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2,
Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7,
Dξ=(10-9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2×0.1+(7-9.2)2×0.1=0.96,
Dη=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2×0.2+(7-8.7)2×0.2=1.21.
Eξ>Eη,Dξ的射擊技術(shù)好.3.2　離散型隨機變量的方差
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　離散型隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差
1.某高科技公司所有員工的工資情況如下表所示:
年薪/ 萬元 135 95 80 70 60 52 40 31
人數(shù) 1 1 2 1 3 4 1 12
該公司員工年薪的標(biāo)準(zhǔn)差約為(　　)
A.24.5　　　B.25.5　　　C.26.5　　　D.27.5
2.已知隨機變量X的分布列如下表所示,若EX=,則DX=(　　)
X -2 0 1
P a b
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.(多選題)若隨機變量X服從兩點分布,其中P(X=0)=,EX,DX分別為隨機變量X的均值和方差,則(　　)
A.P(X=1)=　　　　　B.EX=
C.DX=　　　　　　D.E(4X+1)=4
題組二　離散型隨機變量的方差的性質(zhì)
4.已知隨機變量X的分布列如下表所示:
X 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.3 0.4
則D(3X+2)=(　　)
A.3　　　B.9　　　C.27　　　D.11
5.設(shè)X,Y為隨機變量,且EX=2,E(X2)=6,Y=2X-1,則DY=(　　)
A.9　　　B.8　　　C.5　　　D.4
6.設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,Eξ,Dξ分別為隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望與方差,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.P(0<ξ<3.5)=　　 B.E(3ξ+2)=7
C.Dξ=2　　　　　　D.D(3ξ+1)=6
7.袋中有20個大小相同的球,其中記上0號的有10個,記上n(n=1,2,3,4)號的有n個.現(xiàn)從袋中任取一球,用X表示所取到的球的標(biāo)號.
(1)求X的分布列、均值和方差;
(2)若Y=aX+b,EY=1,DY=11,試求a,b的值.
答案與分層梯度式解析
3.2　離散型隨機變量的方差
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　年薪的平均數(shù)為×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+40+31×12)=50.4(萬元),所以年薪的方差為×[(135-50.4)2+(95-50.4)2+2×(80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40-50.4)2+12×(31-50.4)2]=647.76,又≈25.5,所以該公司員工年薪的標(biāo)準(zhǔn)差約為25.5.故選B.
2.B　由已知得,
所以DX=.故選B.
3.ACD　對于A,因為隨機變量X服從兩點分布,P(X=0)=,所以P(X=1)=,故A正確;
對于B,EX=0×,故B錯誤;
對于C,DX=,故C正確;
對于D,E(4X+1)=4EX+1=4,故D正確.
故選ACD.
4.B　由題意可得EX=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3,
則DX=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1,
所以D(3X+2)=32DX=9DX=9.
故選B.
5.B　由題意得,DX=E(X2)-(EX)2=6-4=2,則DY=D(2X-1)=22DX=8.
故選B.
6.C　由分布列的性質(zhì)可知,P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)==1,解得a=1.
對于A,P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=,故A錯誤;
對于B,∵Eξ=1×=2,∴E(3ξ+2)=3Eξ+2=3×2+2=8,故B錯誤;
對于C,Dξ=×(5-2)2=2,故C正確;
對于D,∵Dξ=2,∴D(3ξ+1)=32Dξ=18,故D錯誤.
故選C.
7.解析　(1)由題易知,X的可能取值為0,1,2,3,4,
P(X=0)=,
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
所以EX=0×=1.5,
DX=(0-1.5)2×=2.75.
(2)由Y=aX+b知DY=a2DX,即a2×2.75=11,解得a=±2.
又EY=aEX+b,
所以當(dāng)a=2時,有1=2×1.5+b,解得b=-2,
當(dāng)a=-2時,有1=-2×1.5+b,解得b=4,
所以
1

展開更多......

收起↑