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§5 正態(tài)分布
知識點(diǎn) 1 正態(tài)分布
知識 清單破
1.正態(tài)分布
　　由誤差引起的連續(xù)型隨機(jī)變量對應(yīng)的分布密度函數(shù)解析式為φμ,σ(x)= · ,x∈
(-∞,+∞),其中實(shí)數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),這一類隨機(jī)變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函
數(shù)),簡稱正態(tài)分布.
正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也
稱為誤差模型.
2.正態(tài)曲線
正態(tài)分布對應(yīng)的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱為正態(tài)曲線.
　　如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,即X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2.
　　正態(tài)曲線有如下性質(zhì):
(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交.
(2)曲線是單峰的,關(guān)于直線x=μ對稱.
(3)曲線的最高點(diǎn)位于x=μ處.
(4)當(dāng)x<μ時,曲線上升;當(dāng)x>μ時,曲線下降;并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近
線(如圖).
知識點(diǎn) 2 正態(tài)曲線的性質(zhì)

(5)正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積為1.
(6)σ,μ對正態(tài)曲線的影響:
①當(dāng)σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.
②當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲
線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.
　 P(μ-σ　 P(μ-2σ　 P(μ-3σ知識點(diǎn) 3 正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

　　在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的
值,并稱之為3σ原則.
知識點(diǎn) 4 3σ原則
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.正態(tài)分布密度函數(shù)中的參數(shù)μ,σ的意義分別是樣本的均值和方差. (　 )
2.正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸之間區(qū)域的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的. (　 )
3.正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對稱. (　 )
4.在正態(tài)分布中,參數(shù)μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù),可以用樣本均值去估計;σ
是衡量隨機(jī)變量總體波動大小的特征數(shù),可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計.(　 )
5.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則X可以是離散型隨機(jī)變量.(　 )
6.正態(tài)曲線的對稱軸的位置由μ確定,曲線形狀由σ確定.(　 )


√
√

√
利用正態(tài)分布求概率的兩個方法
(1)對稱法:由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對稱的,且概率的和為1,故隨機(jī)變量落在關(guān)于直線x=
μ對稱的區(qū)間上的概率相等.如:
①P(X②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)“3σ”法:利用X落在區(qū)間(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率分別約是0.682 6,
0.954 4,0.997 4求解.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 正態(tài)分布的概率問題
典例 (1)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(X<4)=0.8,則P(0A.0.6　 B.0.4　 C.0.3　 D.0.2
(2)某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績X近似地服從正態(tài)分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,現(xiàn)隨機(jī)
從這次考試的成績中抽取一個容量為100的樣本,則樣本中成績低于48的個體數(shù)大約為 ( )
A.6　 B.4　 C.94　 D.96
(3)在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,4),則X在(-1,1)內(nèi)取值的概率約為　　　　 .
C
B
0.341 3
解析 (1)∵隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),
∴μ=2,正態(tài)曲線的對稱軸是直線x=2.
∵P(X<4)=0.8,
∴P(X≥4)=P(X≤0)=0.2,
∴P(0∴P(0(2)由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,
∴P(X<48)=0.04,
∴成績低于48的個體數(shù)大約為100×0.04=4.故選B.
(3)由題意得μ=1,σ=2,
∴P(-1又正態(tài)曲線關(guān)于直線x=1對稱,
∴P(-1　　利用服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X在三個特殊區(qū)間上取值的概率,可以解決兩類實(shí)
際問題:
　　一類是估計在某一范圍內(nèi)的數(shù)量,具體方法是先確定隨機(jī)變量在該范圍內(nèi)取值的概率,
再乘樣本容量即可.
　　另一類是利用3σ原則作決策.決策步驟如下:①確定一次試驗(yàn)中取值a是否落入范圍(μ-
3σ,μ+3σ];②作出判斷,若a∈(μ-3σ,μ+3σ],則接受統(tǒng)計假設(shè),若a (μ-3σ,μ+3σ],則拒絕統(tǒng)計假設(shè).
講解分析
疑難 2 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用
典例 某公司采購了一批零件,為了檢測這批零件是否合格,從中隨機(jī)抽測120個零件的長度
(單位:分米),將數(shù)據(jù)分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]6組,得到如圖所
示的頻率分布直方圖,其中長度大于或等于1.59分米的零件有20個,其長度(單位:分米)分別為
1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.71,1.72,1.7
4,以這120個零件在各組的長度的頻率估計整批零件在各組長度的概率.

(1)求這批零件的長度大于1.60分米的頻率,并求頻率分布直方圖中m,n,t的值;
(2)若從這批零件中隨機(jī)抽取3個,記X為抽取的零件長度在(1.4,1.6]內(nèi)的個數(shù),求X的分布列和
數(shù)學(xué)期望;
(3)若變量S滿足|P(μ-σ滿足近似于正態(tài)分布N(μ,σ2)的概率分布.如果這批零件的長度ξ(單位:分米)滿足近似于正態(tài)
分布N(1.5,0.01)的概率分布,則認(rèn)為這批零件是合格的,將順利被簽收;否則,公司將拒絕簽收.
試問該批零件能否被簽收
解析 (1)由題意可知120個樣本零件中長度大于1.60分米的共有18個,
則這批零件的長度大于1.60分米的頻率為 =0.15,
記零件的長度為Y分米,
則P(1.2≤Y≤1.3)=P(1.7P(1.3P(1.4故m= =0.25,n= =1.25,t= =3.5.
(2)由(1)可知從這批零件中隨機(jī)抽取1個,其長度在(1.4,1.6]內(nèi)的概率P=2×0.35=0.7,且隨機(jī)變
量X~B(3,0.7),
則P(X=0)= ×(1-0.7)3=0.027,
P(X=1)= ×(1-0.7)2×0.7=0.189,
P(X=2)= ×(1-0.7)×0.72=0.441,
P(X=3)= ×0.73=0.343,
故隨機(jī)變量X的分布列為
X 0 1 2 3
P 0.027 0.189 0.441 0.343
EX=0×0.027+1×0.189+2×0.441+3×0.343=2.1(或EX=3×0.7=2.1).
(3)由題意可知μ=1.5,σ=0.1,
則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=P(1.4<ξ≤1.6)=0.7,
P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=P(1.3<ξ≤1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95,
因?yàn)閨0.7-0.682 6|=0.017 4≤0.05,|0.95-0.954 4|=0.004 4≤0.05,
所以這批零件的長度ξ(單位:分米)滿足近似于正態(tài)分布N(1.5,0.01)的概率分布.
故認(rèn)為這批零件是合格的,將順利被該公司簽收.§5　正態(tài)分布
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　正態(tài)曲線
1.下列是關(guān)于正態(tài)曲線f(x)=(x∈R)性質(zhì)的說法:
①曲線關(guān)于直線x=μ對稱,且總是位于x軸上方;
②曲線關(guān)于直線x=σ對稱,且僅當(dāng)x∈[-3σ,3σ]時才位于x軸上方;
③曲線對應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù),因此曲線關(guān)于y軸對稱;
④曲線在x=μ處位于最高點(diǎn),由這一點(diǎn)向左、右兩邊延伸時,曲線逐漸降低;
⑤曲線的位置由μ確定,曲線的形狀由σ確定.
其中說法正確的是(　　)
A.①④⑤　　　　　　B.②④⑤
C.③④⑤　　　　　　D.①⑤
2.李明上學(xué)有時坐公交車,有時騎自行車,他分別記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間,經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到,假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布,X~N(μ1,62),Y~N(μ2,22).X和Y的正態(tài)曲線如圖所示,則下列結(jié)論正確的是　　(　　)
A.DX=6
B.μ1>μ2
C.P(X≤38)D.P(X≤34)3.甲、乙兩類產(chǎn)品的質(zhì)量(單位: kg)分別服從正態(tài)分布N(μ1,),N(μ2,),其正態(tài)曲線如圖所示,則下列說法正確的是(　　)
A.甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量小于乙類產(chǎn)品的平均質(zhì)量
B.乙類產(chǎn)品的質(zhì)量比甲類產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右
C.甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為1 kg
D.乙類產(chǎn)品的質(zhì)量的方差為2
題組二　正態(tài)分布的概率問題
4.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(XA.0.75　　　B.0.5　　　C.0.3　　　D.0.25
5.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<3)=0.6,則P(1<ξ<2)=(　　)
A.0.1　　　　　　B.0.2
C.0.3　　　　　　D.0.4
6.若隨機(jī)變量X~N(10,22),則下列結(jié)論錯誤的是(　　)
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
7.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(28.已知隨機(jī)變量X~N(2,9),P(X>c+1)=P(X(1)求c的值;
(2)求P(-4附:若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(μ-2σ題組三　正態(tài)分布的應(yīng)用
9.某市高三聯(lián)考后,統(tǒng)一調(diào)查研究本次考試的數(shù)學(xué)成績,得出全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X(單位:分)近似服從正態(tài)分布N(90,50),則下列說法錯誤的是(　　)
A.本次聯(lián)考的數(shù)學(xué)平均分近似為90分
B.本次聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的方差近似為50
C.隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績,P(X>110)>P(X<60)
D.隨機(jī)抽取一名學(xué)生的成績,P(8010.已知服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量在區(qū)間(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)取值的概率分別為68.26%,95.44%和99.74%.若某校高二年級1 000名學(xué)生的某次考試成績X服從正態(tài)分布N(90,152),則此次考試成績在區(qū)間(105,120]內(nèi)的學(xué)生大約有　　(　　)
A.477人　　　　　　B.136人
C.341人　　　　　　D.131人
11.已知某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)ξ~N(15,0.002 5),該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸(單位:cm)在(14.9,15.05]內(nèi)的數(shù)量為818 600,則可以估計該廠每天生產(chǎn)的零件尺寸在15.15以上的數(shù)量為(　　)
參考數(shù)據(jù):若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
A.1 587　　　　　　B.2 275
C.2 700　　　　　　D.1 350
12.某市宣傳部門開展了線上知識競賽,現(xiàn)從全市的參與者中隨機(jī)抽取了1 000名參與者的成績進(jìn)行分析,把他們的得分(滿分100分)分成以下7組:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計得各組的頻率之比為1∶6∶8∶10∶9∶4∶2.同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表.
(1)求這1 000名參與者成績的第75百分位數(shù)和平均值μ(結(jié)果保留整數(shù))﹔
(2)若此次知識競賽得分X~N(μ,142),為感謝市民的積極參與,對參與者制訂如下獎勵方案:得分不超過79分的可獲得1次抽獎機(jī)會,得分超過79分但不超過93分的可獲得2次抽獎機(jī)會,得分超過93分的可獲得3次抽獎機(jī)會,試估計任意一名參與者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　正態(tài)分布及其概率計算
1.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,22),隨機(jī)變量Y~N(0,32),P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關(guān)系是(　　)
A.P(|X|≤1)≤P(|Y|≤1)
B.P(|X|≤1)=P(|Y|≤1)
C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
D.P(|X|≤1)2.設(shè)隨機(jī)變量ξ~N(μ,1),函數(shù)f(x)=x2+2x-ξ沒有零點(diǎn)的概率是0.5,則P(0<ξ≤1)=(　　)
附:若ξ~N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 4.
A.0.158 7　　　　　　B.0.135 9
C.0.271 8　　　　　　D.0.341 3
題組二　正態(tài)分布的綜合應(yīng)用
3.(多選題)已知某校有1 200名同學(xué)參加某次聯(lián)考,其中每位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100,225),則下列說法正確的有(　　)
參考數(shù)據(jù):①P(μ-σA.X的數(shù)學(xué)期望為100
B.X的方差為15
C.這次考試成績超過100分的約有500人
D.P(1154.某個部件由兩個電子元件按如圖所示的方式連接而成,元件1或元件2正常工作,則部件正常工作,設(shè)兩個電子元件的使用壽命(單位:小時)均服從正態(tài)分布
N(1 000,502),且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立,那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為　　　　.
5.某校期末統(tǒng)考數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃為A,B,C,D四個等級,其中分?jǐn)?shù)大于或等于83分的為A等級,則B等級的分?jǐn)?shù)應(yīng)為　　　　.(用區(qū)間表示)
6.對一個物理量做n次測量,并以測量結(jié)果的平均值作為該物理量的最后結(jié)果.已知最后結(jié)果的誤差εn~N,為使誤差εn在(-0.5,0.5)內(nèi)的概率不小于0.954 4,至少要測量　　　　次(若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|<2σ)=0.954 4).
7.為建立健全國家學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機(jī)制,激勵學(xué)生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》,要求各學(xué)校每學(xué)年開展覆蓋本校各年級學(xué)生的《標(biāo)準(zhǔn)》測試工作.為做好全省的迎檢工作,某市在高三年級開展了一次體質(zhì)健康模擬測試,并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的數(shù)據(jù),根據(jù)他們的健康指數(shù)繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)估計這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);
(2)由頻率分布直方圖知,該市學(xué)生的健康指數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2.
①求P(50.73②已知該市高三學(xué)生約有10 000名,記體質(zhì)健康指數(shù)在區(qū)間(50.73,78.54)內(nèi)的人數(shù)為ξ,試求Eξ.
附:參考數(shù)據(jù):≈9.27,若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ8.我國是全球制造業(yè)大國,制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一,主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列,為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升,全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力,某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破.新設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X(單位:nm).
(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個,其中直徑大于10 nm的有4個,現(xiàn)從這7個零件中隨機(jī)抽取3個,記ξ表示取出的零件中直徑大于10 nm的零件個數(shù),求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ;
(2)已知新設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為,每個零件是否合格相互獨(dú)立.現(xiàn)任取6個零件進(jìn)行檢測,若合格的零件數(shù)η超過半數(shù),則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功,求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差;
(3)若新設(shè)備生產(chǎn)的零件直徑X~N(9,0.04),從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個,求至少有一個零件直徑大于9.4 nm的概率.
參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤σ)≈0.682 6,P(|X-μ|≤2σ)≈
0.954 4,P(|X-μ|≤3σ)≈0.997 4,0.977 210≈0.794 0,0.954 410≈0.627 1.
答案與分層梯度式解析
§5　正態(tài)分布
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　正態(tài)曲線f(x)關(guān)于直線x=μ對稱,該曲線總是位于x軸上方,故①正確,②不正確;
只有當(dāng)μ=0時,正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù),曲線關(guān)于y軸對稱,此時為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,當(dāng)μ≠0時,不是偶函數(shù),故③不正確;
正態(tài)曲線f(x)是一條關(guān)于直線x=μ對稱,在x=μ處位于最高點(diǎn),且由該點(diǎn)向左、右兩邊延伸并逐漸降低的曲線,故④正確;
曲線的位置由μ確定,曲線的形狀由σ確定,σ越大,曲線越“矮胖”,σ越小,曲線越“高瘦”,故⑤正確.
故選A.
2.C　由X~N(μ1,62),可得DX=36.
由題圖可得μ1=30,μ2=34,所以μ1<μ2.
當(dāng)X≤38,Y≤38時,X對應(yīng)的曲線與x軸圍成圖形的面積小于Y對應(yīng)的曲線與x軸圍成圖形的面積,
所以P(X≤38)P(X≤34)>,P(Y≤34)=,
所以P(X≤34)>P(Y≤34).故選C.
3.A　由題圖可知,甲類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ1=0.5 kg,乙類產(chǎn)品的平均質(zhì)量為μ2=1 kg,甲類產(chǎn)品質(zhì)量的方差明顯小于乙類產(chǎn)品質(zhì)量的方差,
故甲類產(chǎn)品的質(zhì)量比乙類產(chǎn)品的質(zhì)量更集中于平均值左右,故A正確,B、C錯誤;
由正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式f(x)=,
可知當(dāng)x=μ時,f(x)取得最大值,
∴,
∴σ2=≠2,故D錯誤.
故選A.
4.D　隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),顯然P(X而P(X故選D.
5.A　由題意可得μ=2,且P(ξ<3)=0.6,則P(ξ>3)=P(ξ<1)=1-0.6=0.4,所以P(1<ξ<2)==0.1.故選A.
6.D　因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A正確;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正確;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C正確;
D(2X+1)=4D(X)=16,故D錯誤.
故選D.
7.答案　4
解析　∵P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(28.解析　(1)由X~N(2,9)可知,正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱.
因?yàn)镻(X>c+1)=P(X所以2-(c-1)=(c+1)-2,解得c=2.
(2)由X~N(2,9),得μ=2,σ=3,
所以P(-49.D　對于A,B,因?yàn)槿w學(xué)生的數(shù)學(xué)成績X(單位:分)近似服從正態(tài)分布N(90,50),所以μ=90,σ2=50,所以A,B正確;
對于C,因?yàn)閄~N(90,50),所以P(X>110)=P(X<70)>P(X<60),故C正確;
對于D,因?yàn)閄~N(90,50),所以P(80P(100故選D.
10.B　P(105=
==0.135 9,
則1 000×0.135 9=135.9≈136,
故此次考試成績在區(qū)間(105,120]內(nèi)的學(xué)生大約有136人.
故選B.
11.D　由已知得μ=15,σ2=0.002 5,∴σ=0.05,
則P(μ-2σ<ξ≤μ+σ)=P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)+P(ξ-σ<ξ≤μ+σ)
= ×0.954 5+×0.682 7=0.818 6.
故零件尺寸在15.15以上的概率P(ξ>μ+3σ)=×(1-0.997 3)=0.001 35,
設(shè)零件尺寸在15.15以上的零件數(shù)為x,
則,解得x=1 350.
故選D.
12.解析　(1)設(shè)這1 000名參與者成績的第75百分位數(shù)為x,則=0.75,解得x≈76(分),
μ=35×=65(分).
所以這1 000名參與者成績的第75百分位數(shù)約為76分,平均值為65分.
(2)設(shè)隨機(jī)變量Y表示任意一名參與者獲得的抽獎次數(shù),則Y的可能取值為1,2,3,
由已知及(1)得X~N(65,142),
則P(Y=1)=P(X≤79)=P(X≤μ+σ)≈=0.841 3,
P(Y=2)=P(79P(Y=3)=P(X>93)=P(X>μ+2σ)≈1-0.841 3-0.135 9=0.022 8,
所以Y的分布列為
Y 1 2 3
P 0.841 3 0.135 9 0.022 8
所以EY=1×0.841 3+2×0.135 9+3×0.022 8=1.181 5.
所以估計任意一名參與者獲得抽獎次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.181 5.
能力提升練
1.C　因?yàn)閄~N(0,22),Y~N(0,32),所以X與Y的正態(tài)曲線均關(guān)于y軸對稱,且P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1),P(|Y|≤1)=P(-1≤Y≤1),
因?yàn)棣以酱?正態(tài)曲線越扁平,
所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
故選C.
2.B　若函數(shù)f(x)=x2+2x-ξ沒有零點(diǎn),即方程x2+2x-ξ=0沒有實(shí)數(shù)根,則Δ=4+4ξ<0,即ξ<-1.
∵函數(shù)f(x)=x2+2x-ξ沒有零點(diǎn)的概率是0.5,
∴P(ξ<-1)=0.5,由正態(tài)曲線的對稱性可知μ=-1,∴ξ~N(-1,1),
又σ=1,∴μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1,
∴P(0<ξ≤1)==0.135 9.
故選B.
3.AD　因?yàn)閿?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(100,225),故X的數(shù)學(xué)期望為μ=100,方差為σ2=225,標(biāo)準(zhǔn)差為σ=15,故A正確,B錯誤;
因?yàn)閄的數(shù)學(xué)期望為μ=100,所以P(X>100)=,則成績超過100分的約有1 200×=600(人),故C錯誤;
P(X≤115)=P(X<100)+P(100-15P(X≤130)=P(X<100)+P(100-2×15則P(115故選AD.
4.答案　
解析　解法一:由兩個電子元件的使用壽命均服從正態(tài)分布
N(1 000,502)得兩個電子元件的使用壽命超過1 000小時的概率均為,則該部件使用壽命超過1 000小時的概率P=1-.
解法二:由題知元件1,2的平均使用壽命均為1 000小時,設(shè)元件1,2的使用壽命超過1 000小時分別為事件A,B,顯然P(A)=P(B)=,所以該部件的使用壽命超過1 000小時的事件為+AB,所以其概率P=.
5.答案　[76,83)
解析　設(shè)考試成績?yōu)閄,
由題意可知,μ=76,σ=4,P(X≥76)=0.5,P(X≥83)=0.15,
所以P(76≤X<83)=P(X≥76)-P(X≥83)=0.5-0.15=0.35,
所以B等級的分?jǐn)?shù)應(yīng)為[76,83).
6.答案　32
解析　由題意知P(-0.5<εn<0.5)≥0.954 4,
且P=0.954 4,
∴2≤0.5,解得n≥32.
7.解析　(1)由題意得,=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60,
s2=(40-60)2×0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2×0.23+(80-60)2×0.04+(90-60)2×0.01
=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01=86,
所以估計這200名學(xué)生健康指數(shù)的平均數(shù)為60,樣本方差為86.
(2)①由(1)可知μ=60,σ=≈9.27,
則P(50.73=P(μ-σ②由①可知1名學(xué)生的健康指數(shù)在(50.73,78.54)內(nèi)的概率為0.819,
依題意,ξ~B(10 000,0.819),
則Eξ=10 000×0.819=8 190.
8.解析　(1)由題意得,ξ的可能取值為0,1,2,3,
則P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=.
故ξ的分布列為
ξ 0 1 2 3
P
數(shù)學(xué)期望Eξ=0×.
(2)η的可能取值為0,1,2,3,4,5,6,
則P(η=4)=,
P(η=5)=,
P(η=6)=.
所以技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率為P(η≥4)=P(η=4)+P(η=5)+P(η=6)=,
因?yàn)棣莮B,
所以η的方差Dη=6×.
(3)由X~N(9,0.04),可知μ=9,σ=0.2,由P(|X-μ|≤2σ)≈0.954 4,得P(8.6≤X≤9.4)≈0.954 4,所以P(99.4)=-P(99.4)=0.977 2,記“從生產(chǎn)的零件中隨機(jī)取出10個,至少有一個零件直徑大于9.4 nm”為事件A,則P(A)=1-P()=1-0.977 210≈1-0.794 0=0.206 0.故至少有一個零件直徑大于9.4 nm的概率為0.206 0.
1

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