資源簡介

§4　二項分布與超幾何分布
4.1　二項分布
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　n重伯努利試驗及其概率分布
1.n重伯努利試驗應滿足的條件:
①各次試驗之間是相互獨立的;
②每次試驗只有兩種結果;
③各次試驗成功的概率是相同的;
④每次試驗發生的事件是互斥的.
其中正確的是(　　)
A.①②　　　　　　B.②③
C.①②③　　　　　D.①②④
2.某人參加一次考試,共有4道試題,至少答對其中3道試題才能合格.若他答每道題的正確率均為,并且答每道題之間相互獨立,則他能合格的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標的概率分別是.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,每人每次射擊是否擊中目標相互之間也沒有影響.
(1)若甲連續射擊,擊中為止,求甲恰好射擊3次結束射擊的概率;
(2)若乙連續射擊,直至擊中2次為止,求乙恰好射擊3次結束射擊的概率.
題組二　二項分布及其概率計算
4.位于坐標原點的一個質點P按下述規則移動:質點每次移動一個單位,移動的方向為向上或向右,并且向上、向右移動的概率都是.質點P連續移動五次后位于點(2,3)的概率是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　D.
5.設隨機變量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,則P(η≥2)的值為(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
6.若X~B(10,0.5),則當P(X=k)(k=0,1,2,…,n)取得最大值時,k=(　　)
A.4或5　　　　　　B.5或6
C.10　　　　　　 D.5
7.甲、乙兩位同學進行象棋比賽,采用五局三勝制(當一人贏得三局時,該同學獲勝,比賽結束).根據以往比賽成績,每局比賽中甲獲勝的概率都是p(0題組三　二項分布的期望與方差
8.(多選題)若隨機變量ξ~B(10,0.5),則下列結論正確的是　(　　)
A.P(ξ=0)=P(ξ=10)
B.P(ξ=5)=
C.Eξ=5
D.Dξ=2.5
9.某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數,若DX=2.4,且P(X=4)A.6　　　　　　B.5
C.4　　　　　　D.3
10.(多選題)已知某疾病的某種療法治愈率為80%.若有100位該病患者采取了這種療法,且每位患者治愈與否相互獨立,設其中被治愈的人數為X,則下列選項中正確的是(　　)
A.E(2X+1)=160
B.P(X=30)=×0.830×(1-0.8)70
C.D(2X+1)=32
D.存在k=50,使得P(X=k)=P(X=100-k)成立
11.已知隨機變量X~B(n,p)(012.小明從家到學校上學的路上要經過3個路口,假設在各個路口是否遇到紅燈相互獨立,且每個路口遇到紅燈的概率都是,每遇到一次紅燈的平均等待時間是1分鐘.
(1)求小明在上學路上第一個路口未遇到紅燈,而在第二個路口遇到紅燈的概率;
(2)求小明在上學路上至少遇到一次紅燈的概率;
(3)求小明在上學路上因遇到紅燈停留總時間X(單位:分鐘)的分布列、數學期望EX及方差DX.
13.福州紙傘是歷史悠久的中國傳統手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面,第三步繪花刷油.一個優秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術要求,已知某工藝師在每個環節制作合格的概率分別為,只有當每個環節制作都合格時才算一次成功制作,即才算制作了一件優秀作品.
(1)求該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率;
(2)若該工藝師制作4次,其中優秀作品數為X,求X的分布列及數學期望.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項分布的概率
1.高爾頓釘板是英國生物統計學家高爾頓設計的,如圖,每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子,上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子水平位置的正中間,從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的小球,小球向下降落的過程中,首先碰到最上面的釘子,碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下,于是又碰到下一層釘子,如此繼續下去,直到滾到底板的一個格子內為止.現從入口放進一個小球,則其落在第③個格子內的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.(多選題)為了防止受到核污染的某產品影響民眾的身體健康,要求在進入市場前必須對該產品進行兩輪核輻射檢測,只有兩輪檢測都合格才能進行銷售,否則不能銷售.已知該產品按件進行檢測,第一輪檢測不合格的概率為,第二輪檢測不合格的概率為,兩輪檢測是否合格相互之間沒有影響.若產品可以銷售,則每件產品獲利40元;若產品不能銷售,則每件產品虧損80元.已知4件產品為一箱,記一箱產品獲利X元,則下列說法正確的是(　　)
A.每件產品能銷售的概率為
B.若ξ表示一箱產品中可以銷售的件數,則ξ~B
C.若ξ表示一箱產品中可以銷售的件數,則P(ξ=3)=
D.P(X=-80)=
3.某學生進行投籃訓練,采取積分制,有7次投籃機會,投中一次得1分,不中得0分,若連續投中兩次額外加1分,連續投中三次額外加2分,以此類推,連續投中七次額外加6分,假設該學生每次投中的概率是,且每次投中之間相互獨立,則該學生在此次訓練中恰好得7分的概率是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.3月5日為“學雷鋒紀念日”,某校將舉行“弘揚雷鋒精神,做全面發展一代新人”知識競賽,某班現從6名女生和3名男生中選出5名學生參賽,要求每人回答一個問題,答對得2分,答錯得0分,已知6名女生中有2人不會所答題目,只能得0分,其余4人均可得2分,3名男生每人得2分的概率均為,現選擇2名女生和3名男生,每人答一題,則該班所選隊員得分之和為6分的概率為　　　　.
5.在一次以“二項分布的性質”為主題的數學探究活動中,立德中學高三某小組的學生表現優異,發現的正確結論得到老師和同學的一致好評.設隨機變量X~B(n,p),記Pk=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.在研究Pk的最大值時,該小組同學發現:若(n+1)p為正整數,則當k=(n+1)p時,Pk=Pk-1,此時這兩項概率均為最大值;若(n+1)p為非整數,則當k取(n+1)p的整數部分時,Pk是唯一的最大值.以此為理論基礎,有同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現的次數.當投擲到第20次時,記錄到此時點數1出現5次,若再繼續進行80次投擲試驗,則當投擲到第100次時,點數1總共出現的次數為　　　　的概率最大.
題組二　二項分布的期望與方差
6.(多選題)在某獨立重復試驗中,事件A,B相互獨立,且在一次試驗中,事件A發生的概率為p,事件B發生的概率為1-p,其中p∈(0,1).若進行n次試驗,記事件A發生的次數為X,事件B發生的次數為Y,事件AB發生的次數為Z,則下列結論正確的是(　　)
A.EX=EY　　　　　　B.DX=DY
C.EZ=DX　　　　　　D.nDZ=DX·DY
7.某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽,某班派出甲、乙兩名單打主力,為了提高兩位主力的能力,體育老師安排了為期一周的對抗訓練,比賽規則如下:甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局,當兩人獲勝局數不少于3局時,則認為這輪訓練過關;否則不過關.若甲、乙兩人每局獲勝的概率分別為p1,p2,且滿足p1+p2=,每局之間相互獨立.記甲、乙兩人在n輪訓練中訓練過關的輪數為X,若EX=16,則從期望的角度來看,甲、乙兩人訓練的輪數至少為(　　)
A.27　　　B.24　　　C.32　　　D.28
8.2017年11月,河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國城市”,吸引了大批投資商的目光,一些投資商準備積極投入到“魅力城市”的建設之中.某投資公司在2018年年初將4百萬元投資到三門峽下列兩個項目中的一個.
項目一:天坑院是黃土高原地域獨具特色的民居形式,是人類“穴居”發展史演變的實物見證.現準備投資建設20個天坑院,每個天坑院投資0.2百萬元,假設每個天坑院是否盈利是相互獨立的,據市場調研,到2020年年底每個天坑院盈利的概率為p(0項目二:天鵝湖國家濕地公園是一處融生態、文化和人文地理于一體的自然山水景區.據市場調研,投資到該項目上,到2020年年底可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的30%,且這兩種情況發生的概率分別為p和1-p.
(1)若投資項目一,記X1為盈利的天坑院的個數,求EX1(用p表示);
(2)若投資項目二,記投資項目二的盈利為X2百萬元,求EX2(用p表示);
(3)在(1)(2)兩個條件下,針對以上兩個投資項目,請你為投資公司選擇一個項目,并說明理由.
答案與分層梯度式解析
§4　二項分布與超幾何分布
4.1　二項分布
基礎過關練
1.C　
2.A　由題意可知,他能合格的概率為.故選A.
3.解析　(1)記“甲恰好射擊3次結束射擊”為事件A1,則P(A1)=.
所以甲恰好射擊3次結束射擊的概率為.
(2)記“乙恰好射擊3次結束射擊”為事件A2,
則P(A2)=.
所以乙恰好射擊3次結束射擊的概率為.
4.B　如圖,由題意可知,質點P必須向右移動2次,向上移動3次才能到點(2,3)的位置,問題相當于在5次獨立重復試驗中,事件“P向右移動2次”的概率,故所求概率P=.故選B.
5.B　∵隨機變量ξ~B(2,p),P(ξ≥1)=,
∴1- p0(1-p)2=,
∴P(η≥2)=,故選B.
6.D　因為X~B(10,0.5),所以P(X=k)=0.5k·0.510-k=0.510,當k=5時,取得最大值,即P(X=k)取得最大值,所以k=5,故選D.
7.答案　
解析　由題意可知,甲以3∶1獲勝的概率P1=p2·(1-p)p=3p3(1-p),
甲以3∶2獲勝的概率P2=p2(1-p)2p=6p3(1-p)2,
由題意,得P1≤P2,
所以P1-P2=3p3(1-p)(2p-1)≤0,
又0故p的取值范圍為.
8.ACD　對于A,P(ξ=0)=×0.510×(1-0.5)0=0.510,
∴P(ξ=0)=P(ξ=10),故A正確;
對于B,P(ξ=5)=,故B錯誤;
對于C,Eξ=10×0.5=5,故C正確;
對于D,Dξ=10×0.5×(1-0.5)=2.5,故D正確.
故選ACD.
9.A　由題意得X~B(10,p),所以DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.
又P(X=4)0.5,所以p=0.6,
所以EX=10×0.6=6.
故選A.
10.BD　由題意可得X~B(100,0.8),
則EX=100×0.8=80,DX=100×0.8×(1-0.8)=16,
所以E(2X+1)=2EX+1=161,D(2X+1)=4DX=64,故A,C錯誤;
由概率公式得P(X=30)=×0.830×(1-0.8)70,故B正確;
P(X=k)=·0.8k·(1-0.8)100-k,
P(X=100-k)=·0.8100-k·(1-0.8)k,
若P(X=k)=P(X=100-k),
則·0.8k·(1-0.8)100-k=·0.8100-k·(1-0.8)k,
化簡得0.82k-100=(1-0.8)2k-100,解得k=50,故D正確.
故選BD.
11.答案　
解析　因為X~B(n,p)(0所以EX=np,DX=np(1-p),
所以np=2np(1-p),解得p=.
12.解析　(1)由題意可得,小明在上學路上第一個路口未遇到紅燈,而在第二個路口遇到紅燈的概率為.
(2)由題意可得,小明在上學路上至少遇到一次紅燈的概率為1-.
(3)X的可能取值為0,1,2,3,且X~B,
則P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
EX=np=3×.
13.解析　(1)由題意可知,該工藝師制作一件優秀作品的概率為,
∴該工藝師進行3次制作,恰有一件優秀作品的概率P=.
(2)由題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,且X~B,
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
故X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
EX=4×.
能力提升練
1.C　小球從起點到落在第③個格子內一共碰到釘子并跳動了7次,其中向左邊跳動了5次,向右邊跳動了2次,向左、向右的概率均為,則向右邊跳動的次數X服從二項分布B,所求概率為P(X=2)=,
故選C.
2.ABD　對于A,每件產品能銷售的概率為,故A正確;
對于B,由A知每件產品能銷售的概率為,又知一箱中有4件產品,所以ξ~B,故B正確;
對于C,P(ξ=3)=,故C錯誤;
對于D,X=-80表示4件產品中有2件能銷售,有2件不能銷售,所以P(X=-80)=,故D正確.故選ABD.
3.B　根據題意,該學生在此次訓練中恰好得7分,可分為三類情況:
①連中4次,額外加3分,剩余3次沒投中,滿足要求,此時將連中4次看成一個整體,與其他3次不中排序,共有=4種選擇,其概率為4×;
②連中3次,額外加2分,剩余4次,2次投中,2次沒投中,且2次投中不連續,故2次不中之間可能為1次中,也可能為3次中,有以下情況:中中中(不中)中(不中)中,中(不中)中中中(不中)中,中(不中)中(不中)中中中,其概率為;
③若有2次連中兩回,額外加2分,剩余3次,1次投中,2次沒投中,有以下情況:中中(不中)中中(不中)中,中(不中)中中(不中)中中,中中(不中)中(不中)中中,其概率為.
綜上所述,該學生在此次訓練中恰好得7分的概率為.
故選B.
4.答案　
解析　設“該班所選隊員得分之和為6分”為事件A,
則事件A可分為以下三類:女生得0分,男生得6分,設為事件A1;女生得2分,男生得4分,設為事件A2;女生得4分,男生得2分,設為事件A3,
則P(A1)=,
P(A2)=,
P(A3)=,
故P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
5.答案　18
解析　記繼續進行80次投擲試驗,出現點數為1的次數是X,則X~B,
由k=(n+1)p=81×=13.5,結合題中結論可知,當k=13時,Pk為最大值,即后面進行的80次投擲試驗中出現13次點數1的概率最大,
又前面進行的20次投擲試驗中點數1出現了5次,所以點數1出現18次的概率最大.
6.BC　由題意得X~B(n,p),Y~B(n,1-p),
所以EX=np,EY=n(1-p),DX=np(1-p),DY=np(1-p),故A錯誤,B正確;
因為事件A,B相互獨立,所以P(AB)=P(A)P(B)=p(1-p),所以Z~B(n,p(1-p)),所以EZ=np(1-p)=DX,故C正確;
nDZ=n2p(1-p)[1-p(1-p)],DX·DY=n2p2(1-p)2,故D錯誤.
故選BC.
7.A　設甲、乙每一輪訓練過關的概率為p,
則p=×p1×(1-p1)
=-3+2p1p2(p1+p2)
=-3
=-3p1p2,
0令y=-3x2+x,則其圖象開口向下,對稱軸方程為x=,
所以0<-3p1p2≤-3×,
依題意,X~B(n,p),
所以EX=n=16,
所以n==27,
所以甲、乙兩人訓練的輪數至少為27.
故選A.
8.信息提取　①項目一中準備投資建設20個天坑院,每個天坑院盈利的概率為p,若盈利,則盈利投資額的40%,否則盈利額為0;②項目二可能盈利投資額的50%,也可能虧損投資額的30%,兩種情況發生的概率分別為p和1-p.
數學建模　以天坑院與天鵝湖國家濕地公園投資開發為情境構建二項分布模型,分析隨機事件,求得數學期望與方差.
解析　(1)由題意知X1~B(20,p),則盈利的天坑院的個數的數學期望EX1=20p.
(2)若投資項目二,則X2的分布列為
X2 2 -1.2
P p 1-p
盈利的均值EX2=2p-1.2(1-p)=3.2p-1.2.
(3)當0若盈利,則每個天坑院盈利0.2×40%=0.08(百萬元),所以投資建設20個天坑院,盈利的均值為E(0.08X1)=0.08EX1=0.08×20p=1.6p.
易得D(0.08X1)=0.082DX1=0.082×20p×(1-p)=0.128p(1-p),
DX2=(2-3.2p+1.2)2p+(-1.2-3.2p+1.2)2×(1-p)=10.24p(1-p).
①當E(0.08X1)=EX2時,1.6p=3.2p-1.2,解得p=0.75,此時D(0.08X1)②當E(0.08X1)>EX2時,1.6p>3.2p-1.2,解得0③當E(0.08X1)綜上,當01(共13張PPT)
　
1.二項分布的概念
　　一般地,在n重伯努利試驗中,用X表示這n次試驗中成功的次數,且每次成功的概率均為p,
則X的分布列可以表示為P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
　　若一個隨機變量X的分布列如上所述,則稱X服從參數為n,p的二項分布,簡記為X~B(n,p).
2.二項分布的期望與方差
(1)一般地,若隨機變量X~B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p).
(2)特殊地,若隨機變量X服從參數為p的兩點分布,則EX=p,DX=p(1-p).
§４ 二項分布與超幾何分布
知識 清單破
4.1 二項分布
知識點 二項分布
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.n重伯努利試驗中,各次試驗結果之間沒有影響. (　 )
2.在n重伯努利試驗中,各次試驗成功的概率可以不同. (　 )
3.n重伯努利試驗中,事件A恰好發生k次與事件A在第k次恰好發生不一樣. (　 )
4.某同學投籃的命中率為0.6,他10次投籃命中的次數X是一個隨機變量,且X~B(10,0.6). ( )
5.若X~B(5,0.4),則EX=2,DX=3. (　 )
√

√
√

1.利用二項分布模型解決實際問題的一般步驟
(1)根據題意設出隨機變量;
(2)分析隨機變量是否服從二項分布;
(3)若服從二項分布,則求出參數n和p的值;
(4)根據需要列出相關式子并解決問題.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 二項分布的實際應用
2.解決二項分布問題的兩個關注點
(1)公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必須在滿足“獨立重復試驗”時才能應用,否則不能
應用該公式.
(2)判斷一個隨機變量是否服從二項分布,關鍵有兩點:一是對立性,即一次試驗中,事件發生與
否,二者必居其一;二是重復性,即試驗是否獨立重復地進行了n次.
典例 某社區組織開展“掃黑除惡”宣傳活動,為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來,在
宣傳活動現場設置了抽獎環節.在盒中裝有9張大小相同的精美卡片,卡片上均印有“掃黑除
惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎規則:抽獎者從盒中隨機抽取兩張卡片,若
抽到的兩張分別是“普法宣傳人人參與”卡和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎,否則,均
不可獲獎.卡片用后放回盒子,下一位抽獎者繼續重復進行.活動開始后,一位抽獎者問:“盒中
有幾張‘普法宣傳人人參與’卡 ”主持人答:“我只知道,從盒中抽到兩張‘掃黑除惡利國
利民’卡的概率是 .”
(1)求抽獎者獲獎的概率;
(2)為了增加抽獎的趣味性,規定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回,再
用剩下的8張卡片按照之前的抽獎規則進行抽獎,現有甲、乙、丙三人依次抽獎,用X表示獲
獎的人數,求X的分布列和均值.
解析 (1)設“掃黑除惡利國利民”卡有n張,由 = ,解得n=4(負值舍去),故“普法宣傳人
人參與”卡有5張,抽獎者獲獎的概率為 = .
(2)在新規則下,每個抽獎者獲獎的概率均為
× + × = ,所以X~B ,P(X=k)= (k=0,1,2,3),X的分布列為
X 0 1 2 3
P
EX=3× = .
求二項分布中的最大值的步驟
(1)由X~B(n,p),得P(X=k)= pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.
(2)當k≥1時,令P(X=k)-P(X=k-1)≥0或 ≥1,求出k的取值集合,此集合中P(X=k)隨k
的增大而增大,在其補集中P(X=k)隨k的增大而減小.
(3)結合P(X=k)的增減性確定P(X=k)的最大值和對應的k的值.
講解分析
疑難 2 二項分布中的最大值
典例 為了引導居民合理用水,某市決定全面實施階梯水價.階梯水價原則上以住宅(一套住宅
為一戶)的月用水量為基準定價,具體劃分標準如下表所示.
階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯
月用水量范圍 (單位:立方米) (0,10] (10,15] (15,+∞)
從本市隨機抽取了10戶家庭(編號為1~10),統計了他們某月的用水量,具體數據如表所示:
家庭
編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
月用
水量 (單位:
立方
米) 7 10 11 12 13 13 14 15 20 32
(1)現要在這10戶家庭中任意選取3戶,求取到月用水量為第二階梯的戶數X的分布列;
(2)用抽到的10戶家庭的月用水量作為樣本估計全市居民的用水情況,現從全市隨機抽取10
戶,若抽到k戶月用水量為第二階梯的可能性最大,求k的值.
解析 (1)由題中表格可知,抽取的10戶家庭中月用水量為第一階梯的有2戶,第二階梯的有6
戶,第三階梯的有2戶,故取到月用水量為第二階梯的戶數X的可能取值為0,1,2,3.
P(X=0)= = ,
P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
P(X=3)= = .
可得X的分布列如表所示.
X 0 1 2 3
P
(2)設Y為從全市抽取的10戶中月用水量為第二階梯的家庭戶數,依題意得Y~B 10, ,所以
P(Y=k)= ,其中k=0,1,2,…,10.
當k≥1時,
設t= = = .
若t>1,則k<6.6,此時P(Y=k-1)若t<1,則k>6.6,此時P(Y=k-1)>P(Y=k),
所以當k=6或k=7時,P(Y=k)的值最大.
因為 = = >1,
所以k的值為6.

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