資源簡介

4.2　超幾何分布
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　超幾何分布及其概率計算
1.一個口袋中有6個大小相同的黑球,編號分別為1,2,3,4,5,6,還有4個同樣大小的白球,編號分別為7,8,9,10,現從中任取4個球,則下列結論中正確的是(　　)
①取出的最大號碼X服從超幾何分布;
②取出的黑球個數Y服從超幾何分布;
③取出2個白球的概率為;
④若取出一個黑球記2分,取出一個白球記1分,則總得分最大的概率為.
A.①②　　　　　　B.②④
C.③④　　　　　　D.②③④
2.學校要從8名同學中選4名同學組成學生會.已知恰有3名同學來自甲班,假設每名同學都有相同的機會被選中,則甲班恰有2名同學被選中的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.從含有7件次品的20件產品中,任意抽取4件,若用X表示抽取的次品個數,則表示(　　)
A.P(X=3)　　　　　　B.P(X=4)
C.P(X>3)　　　　　　D.P(X≥3)
4.(多選題)一箱兒童玩具中有3件正品,2件次品,現從中不放回地任取2件進行檢測.記隨機變量X為檢測到的正品的件數,則(　　)
A.X服從二項分布
B.P(X≥1)=
C.X服從超幾何分布
D.最有可能取得的X為1
5.某公司有一批專業技術人員,其中年齡在35~50歲的本科生和研究生分別有30人和20人,現用分層隨機抽樣的方法在35~50歲年齡段的專業技術人員中抽取一個容量為5的樣本,將該樣本看成一個總體,從中任意抽取3人,則至少有1人為研究生的概率為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
6.生產方提供了共50箱的一批產品,其中有2箱不合格產品.采購方接收該批產品的準則如下:從該批產品中任取5箱進行檢測,若至多有1箱不合格產品,便接收該批產品.該批產品被接收的概率為　　　　.(結果用最簡分數表示)
7.一個袋子中裝有N個大小相同的球,其中有N1個黃球,N2個白球,從中隨機摸出m個球作為樣本,用X表示樣本中黃球的個數.
(1)若采取有放回摸球,當N=100,N1=50,N2=50,m=10時,用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例,求誤差不超過0.1的概率(用分數表示);
(2)若采取不放回摸球,當N=6,N1=2,N2=4,m=3時,求X的分布列.
題組二　超幾何分布的期望與方差
8.已知6件產品中有2件次品,4件正品,檢驗員從中隨機抽取3件進行檢測,記取到的正品數為X,則下列結論正確的是(　　)
A.E(2X-1)=　　　　B.DX=
C.EX=1　　　　　　D.D(2X-1)=
9.某班為了慶祝我國傳統節日中秋節,設計了一個小游戲:在一個不透明的箱子中裝有4個黑球,3個紅球,1個黃球,這些球除顏色外完全相同.每名學生從中一次隨機摸出3個球,觀察顏色后放回.若摸出的球中有X個紅球,則分得X個月餅;若摸出的球中有黃球,則需要表演一個節目.
(1)求一學生既分得月餅又要表演節目的概率;
(2)求每名學生分得月餅數X的分布列和數學期望EX.
10.為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發展理念和提高生態環境的保護意識,某校高二年級準備成立一個環境保護興趣小組.該年級理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現按男、女用分層隨機抽樣的方法從理科生中抽取6人,從文科生中抽取4人,組成環境保護興趣小組,再從這10人的興趣小組中抽出4人參加學校組織的環保知識競賽.
(1)設事件A為“選出參加環保知識競賽的4人中有2名男生、2名女生,而且這2名男生中文、理科生都有”,求事件A發生的概率;
(2)用X表示抽取的4人中文科女生的人數,求X的分布列及方差.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　超幾何分布的期望與方差
1.幸福農場生產的某批次20件產品中含有n(3≤n≤13,n∈N+)件次品,從中一次性任取10件,其中次品恰有X件.
(1)若n=3,求取出的產品中次品不超過1件的概率;
(2)記f(n)=P(X=3),則當n為何值時,f(n)取得最大值.
2.在中華人民共和國成立70周年之際,《我和我的祖國》《中國機長》《攀登者》三大主旋律大片在國慶期間集體上映,拉開國慶檔電影大幕.已知國慶過后某城市文化局統計得知大量市民至少觀看了這三部國慶檔大片中的一部,在已觀影的市民中隨機抽取了100人進行調查,其中觀看了《我和我的祖國》的有49人,觀看了《中國機長》的有46人,觀看了《攀登者》的有34人,統計圖如下.
(1)計算圖中a,b,c的值;
(2)文化局從只觀看了兩部大片的觀眾中采用分層隨機抽樣的方法抽取了7人,進行觀影體驗的訪談,了解到他們均表示要觀看第三部電影,現從這7人中隨機選出4人,用X表示這4人中將要觀看《我和我的祖國》的人數,求X的分布列及數學期望.
題組二　超幾何分布與二項分布的綜合運用
3.北京冬奧會之后,多個中小學開展了模擬冬奧會賽事的活動.為了深入了解學生在“單板滑雪”活動中的參與情況,在該地隨機選取了10所學校進行研究,得到如下數據:
(1)“單板滑雪”參與人數超過45人的學校可以作為“基地學校”,現在從這10所學校中隨機選出3所,記X為選出可作“基地學校”的學校個數,求X的分布列和數學期望;
(2)現在有一個“單板滑雪”集訓營,對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓,且在集訓中進行了多輪測試.規定:在一輪測試中,這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”,則該輪測試記為“優秀”.在集訓測試中,小明同學3個動作每個動作達到“優秀”的概率均為,每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果小明同學在集訓測試中要想獲得“優秀”的次數的平均值達到5次,那么理論上至少要進行多少輪測試
4.某校設計了一個實驗學科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規定:至少正確完成其中2道題才可通過.已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成,2道題不能完成;考生乙每道題正確完成的概率都是,且每道題正確完成與否互不影響.
(1)分別寫出考生甲、乙正確完成題數的分布列及數學期望;
(2)試用統計知識分析比較這兩名考生的實驗操作能力.
答案與分層梯度式解析
4.2　超幾何分布
基礎過關練
1.B　對于①,根據超幾何分布的定義,要把總體分為兩類,再依次選取,由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義,無法用超幾何分布的數學模型計算概率,故①錯誤;
易知②正確;
對于③,取出2個白球的概率為,故③錯誤;
對于④,取出4個黑球的總得分最大,∴總得分最大的概率為,故④正確.故選B.
2.C　由題意得,甲班恰有2名同學被選中的概率為.故選C.
3.D　因為表示從20件產品中任意抽取4件的選法,表示抽取的4件產品中有3件次品和1件正品的選法,表示抽取的4件產品全是次品的選法,所以P(X≥3)=.故選D.
4.BCD　由題意得,X的可能取值為0,1,2,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
對于A,C,顯然X服從超幾何分布,而不是二項分布,故A錯誤,C正確;
對于B,P(X≥1)=1-P(X=0)=,故B正確;
對于D,由于X=1時的概率最大,所以最有可能取得的X為1,故D正確.
故選BCD.
5.D　由題意可知,抽樣的比例為,
故樣本中本科生和研究生人數分別為3和2,
將該樣本看成一個總體,從中任意抽取3人,則其中有1人為研究生的概率為 ,
其中有2人為研究生的概率為 ,
所以至少有1人為研究生的概率為,
故選D.
6.答案　
解析　設進行檢測的5箱產品中不合格產品有X箱,則X服從超幾何分布,
∴該批產品被接收的概率為P(X≤1)=.
7.解析　(1)對于有放回摸球,各次試驗結果相互獨立,且每次摸到黃球的概率為,且P(X=k)=(k=0,1,2,…,10),
樣本中黃球的比例為一個隨機變量,用樣本中黃球的比例估計總體中黃球的比例誤差不超過0.1的概率P=P(4≤X≤6)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=.
(2)對于不放回摸球,各次試驗的結果不獨立,X服從超幾何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2),
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
則X的分布列為
X 0 1 2
P
8.D　根據題意,X的可能取值為1,2,3,且服從超幾何分布,
則P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
EX=1×=2,
DX=(1-2)2×,
E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4DX=.故選D.
9.解析　(1)記“一學生既分得月餅又要表演節目”為事件A,則事件A有兩種可能:“2個紅球,1個黃球”和“1個黑球,1個紅球,1個黃球”,
所以P(A)=.
(2)由題意可知,X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
EX=0×.
10.解析　(1)由題意可得,抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.
所以P(A)=.
(2)X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×,
所以DX=.
能力提升練
1.解析　(1)記“取出的產品中次品不超過1件”為事件A,
則P(A)=P(X=0)+P(X=1)=,
即取出的產品中次品不超過1件的概率是.
(2)由題意知f(n)=P(X=3)=,
f(n+1)=.
若>1,
則(n+1)(13-n)>(n-2)(20-n),
解得n<5.3,
故當n<5.3時,f(n+1)>f(n);
當n>5.3時,f(n+1)即當n=6時,f(n)取得最大值.
2.解析　(1)由題意可得
(2)記“只觀看了《中國機長》和《我和我的祖國》”的為A組,共9人;
“只觀看了《中國機長》和《攀登者》”的為B組,共6人;
“只觀看了《我和我的祖國》和《攀登者》”的為C組,共6人.
所以按分層隨機抽樣,A,B,C組被抽取的人數分別為9×=2.
在被抽取的7人中,沒有觀看《我和我的祖國》的有2人,所以X的可能取值為0,1,2,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2
P
數學期望EX=0×.
3.解析　(1)由已知得,10所學校中“基地學校”有4所,故X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
所以EX=0×.
(2)小明同學在一輪測試中為“優秀”的概率P=,
小明同學在n(n∈N+)次測試中獲得“優秀”的次數ξ滿足ξ~B,
由題知,n×≥5,得n≥≈19.286,
因為n∈N+,所以n的最小值為20,
故理論上至少要進行20次測試.
4.解析　(1)設考生甲正確完成實驗操作的題數為ξ,則ξ的所有可能取值為1,2,3.
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,
所以ξ的分布列為
ξ 1 2 3
P
Eξ=1×=2.
設考生乙正確完成實驗操作的題數為η,易知η~B,
所以P(η=0)=,
P(η=1)=,
P(η=2)=,
P(η=3)=.
所以η的分布列為
η 0 1 2 3
P
所以Eη=3×=2.
(2)由(1)知Eξ=Eη=2,Dξ=(1-2)2×,
P(ξ≥2)=,P(η≥2)=.
所以DξP(η≥2),
故從正確完成實驗操作的題數的均值方面分析,兩人水平相當;
從正確完成實驗操作的題數的方差方面分析,甲的水平更穩定;
從至少正確完成2道題的概率方面分析,甲通過的可能性大.
因此甲的實驗操作能力較強.
1(共10張PPT)
1.一般地,設有N件產品,其中有M(M≤N)件次品.從中任取n(n≤N)件產品,用X表示取出的n件
產品中次品的件數,那么P(X=k)= ,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}.其中n≤N,M≤N,n,
M,N∈N+.
　　公式中的k可以取的最小值為max{0,n-(N-M)},而不一定是0.
　　若一個隨機變量X的分布列由上式確定,則稱隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布.
2.一般地,當隨機變量X服從參數為N,M,n的超幾何分布時,其均值為EX= .
知識 清單破
4.2 超幾何分布
知識點 超幾何分布
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.超幾何分布的總體往往由差異明顯的兩部分組成.(　 )
2.超幾何分布的模型是不放回抽樣. (　 )
3.超幾何分布的隨機變量是指從總體中所抽取的n個個體中某一類個體的數量.(　 )
4.超幾何分布中隨機變量的取值一定從0開始. (　 )
5.超幾何分布中隨機變量X的取值k的最大值是次品數M.(　 )
√
√
√


1.判斷一個隨機變量是否服從超幾何分布應看的三點
(1)總體是否可以分為兩類明確的對象;
(2)是不是不放回抽樣;
(3)隨機變量是不是樣本中某一類個體的數量.
2.解決超幾何分布問題的兩個關鍵點
(1)超幾何分布是概率分布的一種形式,一定要注意公式中字母的范圍及其意義,解決問題時
可以直接利用公式求解,但不能機械地記憶.
(2)超幾何分布中,只要知道M,N,n就可以利用公式求出X取不同的值k的概率P(X=k),從而求出
X的分布列.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 超幾何分布概率模型的構建
典例 某企業使用新技術對某款芯片進行試生產,該企業生產了兩批同種規格的芯片,第一批
占60%,次品率為6%;第二批占40%,次品率為5%.為確保質量,現在將兩批芯片混合,工作人員
從中抽樣檢查.
(1)從混合的芯片中任取1個,求這個芯片是合格品的概率;
(2)若在兩批芯片中采取分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為15的樣本,再從樣本中抽
取3個芯片,求這3個芯片中第二批芯片的個數X的分布列.
解析 (1)設事件B為“任取一個芯片是合格品”,事件A1為“產品取自第一批”,事件A2為
“產品取自第二批”,則Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,P(A1)=0.6,P(A2)=0.4,P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.95.
由全概率公式得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.94+0.4×0.95=0.944.
(2)由條件可知,樣本中第一批芯片的個數為9,第二批芯片的個數為6,
易知X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,P(X=3)= = .
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
講解分析
疑難 2 二項分布與超幾何分布的區別與聯系
超幾何分布 二項分布
區 別 是否放回 不放回抽樣,總體越來越少 有放回抽樣,總體不變
計算公式 P(X=k)= ,其中n,N,M為非負整數 P(X=k)= pk·(1-p)n-k,
其中k=0,1,2,…,n
聯系 當調查研究的樣本容量非常大時,在有放回地抽取與無放回地抽取的條件下,計算得到的概率非常接近,此時可以近似把超幾何分
布認為是二項分布 典例 某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況,隨機抽取該流水線上的40件產品
作為樣本并稱出它們的質量(單位:克),質量的分組區間為(490,495],(495,500],…,(510,515].由
此得到樣本的頻率分布直方圖如圖.
(1)根據頻率分布直方圖,求質量超過505克的產品件數;
(2)在上述抽取的40件產品中任取2件,設X為其中質量超過505克的產品件數,求X的分布列;
(3)從該流水線上任取2件產品,設Y為其中質量超過505克的產品件數,求Y的分布列.
解析 (1)質量超過505克的產品的頻率為5×0.05+5×0.01=0.3,所以質量超過505克的產品件
數為40×0.3=12.
(2)質量超過505克的產品件數為12,則質量未超過505克的產品件數為28,且X服從N=40,M=1
2,n=2的超幾何分布.
∴P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,
P(X=2)= = ,
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
(3)由樣本估計總體,可知從該流水線上任取1件產品,該產品的質量超過505克的概率為 =
.
從流水線上任取2件產品互不影響,該問題可看成2次獨立重復試驗,質量超過505克的產品件
數Y的可能取值為0,1,2,且Y~B ,
P(Y=k)= ,k=0,1,2,
∴P(Y=0)= × = ,
P(Y=1)= × × = ,
P(Y=2)= × = ,
∴Y的分布列為
Y 0 1 2
P

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