資源簡介

(共9張PPT)
如果變量之間存在著某種關系,那么其散點圖中的點會有一個大致趨勢,這種趨勢通常可以
用一條光滑的曲線來近似地描述.這樣近似描述的過程稱為曲線擬合.若在兩個變量X和Y的
散點圖中,所有點看上去都在一條直線附近波動,此時就可以用一條直線來近似地描述這兩
個量之間的關系,稱之為直線擬合.
§1 一元線性回歸
知識點 1 曲線擬合和直線擬合
知識 清單破
1.最小二乘法
　　對于給定的兩個變量X和Y,可以把其成對的觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)表示為平面直角
坐標系中的n個點.現在希望找到一條直線Y=a+bX,使得對每一個xi(i=1,2,…,n),由這個直線方
程計算出來的值a+bxi與實際觀測值yi的差異盡可能小.為此,希望[y1-(a+bx1)]2+[y2-(a+bx2)]2+…
+[yn-(a+bxn)]2達到最小.換句話說,我們希望a,b的取值能使上式達到最小.這個方法稱為最小
二乘法.
2.線性回歸方程
直線方程Y= + X稱作Y關于X的線性回歸方程,相應的直線稱作Y關于X的回歸直線, , 是
這個線性回歸方程的系數.
　　其中, =
知識點 2 一元線性回歸方程
　　= ,
= - ,
　 = (x1+x2+…+xn),
　 = (y1+y2+…+yn).
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.散點圖是判斷兩個變量是否相關的一種重要方法和手段. (　 )
2.回歸直線Y=a+bX至少經過點(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一個. (　 )
3.對于散點圖中的點沒有均勻分布在某條直線附近或成無規則排列的兩個變量,用最小二乘
法求不出對應的回歸直線. (　 )
√


提示
提示
因為散點圖可以形象直觀地展示兩個變量的關系,通過散點圖判斷兩個變量更近似于
什么樣的函數關系,以確定是否能直接用線性回歸模型來擬合原始數據.
通過線性回歸方程求出的值是一個估計值,因此這些點不一定在回歸直線上,故錯誤.
1.確定研究對象,明確哪個變量是X,哪個變量是Y.
2.畫出X和Y的散點圖,觀察它們之間是否存在線性關系.
3.若數據呈線性關系,則選用線性回歸方程.
4.按一定規則(如最小二乘法)估計回歸方程的系數.
5.對變量值的預測,即X取某值時,對Y的值進行預測.
講解分析
疑難 情境破
疑難 線性回歸方程的求解與運用
典例 隨著經濟的發展,農民收入逐年增長,下表是某地一農商銀行連續五年的儲蓄存款(年底
余額):
年份x 2019 2020 2021 2022 2023
儲蓄存款y (百億元) 6 7.5 8 9.5 11
為了讓研究時計算方便,工作人員將上表中的數據進行了處理,令t=x-2 018,z=y-6,得到下表:
時間代號t 1 2 3 4 5
z 0 1.5 2 3.5 5
(1)求z關于t的線性回歸方程 = t+ ;
(2)通過(1)中的方程,求出y關于x的線性回歸方程;
(3)用所求回歸方程預測到2026年年底,該農商銀行的儲蓄存款可達多少.
附:對于線性回歸方程 = x+ ,其系數 = , = - .
解析 (1)依題意,得 =3, = ,
所以 =
=
= = ,
= - = - ×3=- ,
所以z關于t的線性回歸方程為 = t- .
(2)由(1)可知 = t- ,
因為t=x-2 018,z=y-6,
所以 -6= (x-2 018)- ,
整理得 = x- ,
即y關于x的線性回歸方程為 = x- .
(3)當x=2026時, = =14.4,
因此,預測到2026年年底,該農商銀行的儲蓄存款可達14.4百億元.第七章　統計案例
§1　一元線性回歸
1.1　直線擬合　　　　1.2　一元線性回歸方程
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　線性回歸的相關概念的理解
1.下列四個散點圖中,兩個變量的關系適合用線性回歸模型刻畫的是(　　)
A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.③④
2.兩個變量x與y之間的回歸方程(　　)
A.表示x與y之間的函數關系
B.表示x與y之間的不確定關系
C.反映x與y之間的真實關系
D.是反映x與y之間的真實關系的一種最佳擬合
3.下列兩個變量中能夠具有相關關系的是(　　)
A.人所站的高度與視野
B.人眼的近視程度與身高
C.正方體的體積與棱長
D.某同學的學籍號與考試成績
題組二　線性回歸方程及其應用
4.根據下表中的數據,用最小二乘法得到y與x的線性回歸方程為=14x-14,則表中n的值為(　　)
x 2 3 4 5 6
y 20 n 40 60 70
A.15.5　　　B.20　　　C.20.5　　　D.25
5.某地區調查了2~9歲兒童的身高,由此建立的身高y(cm)與年齡x(歲)的回歸方程為=8.25x+60.13,下列敘述正確的是(　　)
A.該地區一個10歲兒童的身高為142.63 cm
B.該地區2~9歲的兒童每年身高約增加8.25 cm
C.該地區9歲兒童的平均身高是134.38 cm
D.利用這個模型可以準確計算該地區每個2~9歲兒童的身高
6.已知x與y之間的幾組數據如下表:
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假設根據上表數據所得線性回歸方程為,若某同學根據上表中的前兩組數據(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y=b'x+a',則下列結論正確的是(　　)
A.>a'　　　　　　B.C.>a'　　　　　　 D.7.對有關數據的分析可知,每立方米混凝土的水泥用量x(單位:kg)與28天后混凝土的抗壓強度y(單位:kg/cm2)之間具有線性相關關系,其線性回歸方程為=0.30x+9.99.根據建設項目的需要,28天后混凝土的抗壓強度不得低于89.7 kg/cm2,則每立方米混凝土的水泥用量最少應為　　　　kg.
8.在一項關于16艘輪船的研究中,船的噸位區間為[192,3 246],船員的人數區間為[5,32],由船員人數y關于噸位x的回歸分析得到=9.5+0.006 2x,假定2艘輪船的噸位相差1 000 t,則船員的平均人數相差　　　　　　　,估計最小的船的船員人數是　　　　　,最大的船的船員人數是　　　.
9.為了研究某班學生的腳長x(單位:厘米)和身高y(單位:厘米)的關系,從該班隨機抽取10名學生,根據測量數據的散點圖可以看出y與x之間有線性相關關系,設其線性回歸方程為,已知yi=1 600,=4.該班某學生的腳長為24厘米,據此估計其身高為　　　　厘米.
10.銷售費用預算是以銷售收入預算為基礎,通過分析銷售收入、銷售利潤和銷售費用的關系,力求實現銷售費用的最有效使用.根據往年的相關數據顯示,某高新技術企業的年銷售費用占年銷售收入的8%~10%為合理區間,當年銷售費用超出年銷售收入的10%時,說明企業的銷售環節出現一定的問題,需要加強銷售管理.該企業的年銷售費用x(單位:千萬元)和年銷售收入y(單位:千萬元)的相關數據如下表所示:
2018 2019 2020 2021 2022 2023
x 3 5 6 8 9 11
y 31 50 54 86 85 114
(1)通過數據分析,該企業的年銷售費用x與年銷售收入y之間符合線性相關關系,求出線性回歸方程;
(2)若該企業2024年預算年銷售費用為12千萬元,試預測2024年的年銷售收入,并判斷2024年的年銷售費用預測值是否在合理區間內.(精確到0.01千萬元)
參考數據:xiyi=3 374.
參考公式:中,.
11.一臺還可以用的機器由于使用的時間較長,按不同的轉速生產出來的某機械零件有一些會有缺陷,每小時生產有缺陷零件的數量隨機器轉速的變化而變化,下表為抽樣試驗結果:
轉速x(轉/秒) 16 14 12 8
每小時生產有缺陷 零件的數量y(個) 11 9 8 5
(1)畫出散點圖;
(2)如果變量x和y線性相關,求y關于x的線性回歸方程;
(3)若實際生產中,允許每小時生產的產品中有缺陷的零件最多有10個,則機器的轉速應控制在什么范圍內
附:線性回歸方程中,.
能力提升練　　　　　 　　　
題組　線性回歸模型的綜合應用
1.某公司為了增加某種商品的銷售利潤,調查并統計了該商品投入的廣告費用x與銷售利潤y的相關數據,如下表:
廣告費用x/萬元 2 3 5 6
銷售利潤y/萬元 5 7 9 11
由表中數據得回歸直線l的方程為,則下列結論錯誤的是(　　)
A.>0　　　　　　 B.>0
C.直線l過點(4,8)　　 D.直線l過點(2,5)
2.某學習小組用計算機軟件對一組數據(xi,yi)(i=1,2,3,…,8)進行回歸分析,甲同學首先求出線性回歸方程=2x+5,樣本點的中心為(2,m).乙同學對甲的計算過程進行檢查,發現甲將數據(3,7)誤輸成(7,3),數據(4,6)誤輸成(4,-6),將這兩個數據改正后得到線性回歸方程x+k,則實數k=(　　)
A.-6　　　B.-　　　C.　　　D.
3.某商家對一種新產品進行試銷,得到如下數據:
單價x/元 16 16.4 16.8 17.2 17.6 18
銷售量y/件 180 168 166 160 150 136
通過繪制散點圖,得知y與x具有線性相關關系.若該產品每件成本9元,要使該產品的銷售總利潤最大,則單價應為　　　　元.(銷售總利潤=(單價-成本)×銷售量)
附:(1)參考公式:回歸直線y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估計分別為;
(2)參考數據:xiyi=16 264,=1 736.8.
4.某二手汽車經銷商對其所經營的某型號二手汽車的使用年數x(0使用年數x 2 4 6 8 10
銷售價格y/萬元 16 13 9 7 5
根據表中數據,用最小二乘法求y關于x的線性回歸方程
;
(2)已知每輛該型號汽車的收購價格w(萬元)與使用年數x(0附:回歸直線y=bx+a中,斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.
答案與分層梯度式解析
第七章　統計案例
§1　一元線性回歸
1.1　直線擬合
1.2　一元線性回歸方程
基礎過關練
1.B　
2.D　
3.A　對于A,人所站的高度越高視野越開闊,具有相關關系,故A正確;
對于B,人眼的近視程度與身高不具有相關關系,故B錯誤;
對于C,正方體的體積與棱長是一種確定關系,故C錯誤;
對于D,某同學的學籍號與考試成績不具有相關關系,故D錯誤.故選A.
4.B　由題表中的數據計算可得,,
因為回歸直線=14x-14過點,
所以=14×4-14,解得n=20.
故選B.
5.B　由=8.25x+60.13知=8.25,說明該地區2~9歲的兒童年齡每增加一歲,身高約增加8.25 cm.
故選B.
6.C　由題意得b'=,
∴>a'.故選C.
7.答案　265.7
解析　由題意,0.30x+9.99≥89.7,解得x≥265.7,
故每立方米混凝土的水泥用量最少應為265.7 kg.
8.答案　6;10;29
解析　由線性回歸方程知船的噸位每增加1 000 t,人數增加0.006 2×
1 000≈6.
令x=192,得=10.690 4,
令x=3 246,得=29.625 2,
又人數為整數,所以估計最小的船的船員人數為10,最大的船的船員人數為29.
9.答案　166
解析　根據題意,得×225=22.5,
×1 600=160,=4,
由點(22.5,160)在回歸直線上,
得160=4×22.5+,解得=70,
故=4x+70,
令x=24,得=4×24+70=166,
即該學生身高約為166厘米.
10.解析　(1)由已知得,=70.
又xiyi=3 374,=336,
所以,
所以,
所以該企業的年銷售費用x與年銷售收入y之間的線性回歸方程為.
(2)2024年的年銷售收入的預測值≈121.67(千萬元).因為12÷121.67×100%≈9.9%,所以2024年的年銷售費用預測值在合理區間內.
11.解析　(1)畫出散點圖,如圖所示:
(2)由題表中數據易得=660,
∴≈0.728 6,
=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5.
故線性回歸方程為=0.728 6x-0.857 5.
(3)要使y≤10,則0.728 6x-0.857 5≤10,即x≤≈14.9.
故機器的轉速應不超過14.9轉/秒.
能力提升練
1.D　由題表中數據可得×(5+7+9+11)=8,所以直線l經過點(4,8),故C正確;
又)=(-2)×(-3)+(-1)×(-1)+1×1+2×3=14,
)2=(-2)2+(-1)2+12+22=10,
所以=1.4,故A正確;
=8-1.4×4=2.4,故B正確;
回歸直線l的方程為=1.4x+2.4,當x=2時,=1.4×2+2.4=5.2,∴直線l過點(2,5.2),故D錯誤.
2.D　樣本點的中心為(2,m),將其代入=2x+5,可得m=2×2+5=9,
假設甲輸入的(x1,y1)為(7,3),(x2,y2)為(4,-6),
則7+4+x3+x4+…+x8=2×8=16,3-6+y3+y4+…+y8=9×8=72,
得x3+x4+…+x8=5,y3+y4+…+y8=75,
改為正確數據后,得3+4+x3+x4+…+x8=12,7+6+y3+y4+…+y8=88,
此時樣本點的中心為,將其代入x+k,可得k=11-.故選D.
3.答案　17
解析　×960=160,
又xiyi=16 264,=1 736.8,
∴=-20,
=160-(-20)×17=500.
∴y關于x的線性回歸方程為=-20x+500.
則產品的銷售總利潤=(x-9)(-20x+500)=-20x2+680x-4 500.
當x==17時,該產品的銷售總利潤最大.
4.解析　(1)由題表中的數據得,xiyi=2×16+4×13+6×9+8×7+10×5=244,
所以=10+1.4×6=18.4,
所以y關于x的線性回歸方程為=-1.4x+18.4.
(2)z=
在z=-0.05x2+0.3x+1.3(0在z=0.05x+0.8(6顯然1.75>1.3,
所以當x=3時,利潤z最大,且最大利潤是1.75萬元.
1

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