資源簡介

(共15張PPT)
1. 相關系數
　　一般地,設隨機變量X,Y的n組觀測值分別為(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),記r=
= ,稱r為隨機變量X和Y的樣本(線性)相關系數.
2.相關系數r的特征
(1)樣本(線性)相關系數r的取值范圍為[-1,1].
(2)|r|值越接近1,隨機變量之間的線性相關程度越強;|r|值越接近0,隨機變量之間的線性相關
程度越弱.
§2 成對數據的線性相關性
知識 清單破
知識點 相關系數
(3)當r>0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢相同,此時稱兩個隨機變量正相關;
當r<0時,兩個隨機變量的值總體上變化趨勢相反,此時稱兩個隨機變量負相關;
當r=0時,此時稱兩個隨機變量線性不相關.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.相關關系是一種非確定性關系. (　 )
2.當r=0時,兩個隨機變量沒有任何關系. (　 )
3.若r1=-0.95,r2=0.85,則體現兩個隨機變量線性相關程度較強的是r2. (　 )
4.當變量x的取值為3,4,5,6,7時,變量y對應的值依次為4.0,2.5,-0.5,-1,-2,則可知變量x和y負相
關. (　 )
√
√


提示
提示
當r=0時,只表明兩個隨機變量沒有線性關系,但不排除它們之間有其他關系.
|r|值越接近1,隨機變量之間的線性相關程度越強,所以體現兩個隨機變量線性相關程度
較強的是r1.
1.利用散點圖判斷兩個隨機變量的相關性
(1)一般地,如果變量x和y正相關,那么關于均值平移后的大多數散點將分布在第一、第三象
限內,對應的成對數據同號的居多;如果變量x和y負相關,那么關于均值平移后的大多數散點
將分布在第二、第四象限內,對應的成對數據異號的居多.
(2)如果散點落在一條直線附近,則認為這兩個變量線性相關.
2.利用相關系數判斷兩個隨機變量的相關程度
　　相關系數r是從數值上來判斷變量間的線性相關程度的,是定量分析.|r|刻畫了樣本點集
中于某條直線的程度.
|r|值越接近1,散點圖中的樣本點分布越接近一條直線,兩個變量的線性相關程度越強.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 兩個隨機變量相關性的判斷
典例 某農科所對冬季晝夜溫差(最高溫度與最低溫度的差)大小與某反季節大豆新品種一天
內發芽數之間的關系進行了分析研究,他們分別記錄了12月1日至12月6日每天晝夜的最高、
最低溫度(如圖甲),以及實驗室每天每100顆種子中的發芽數情況(如圖乙).

圖甲

圖乙
(1)請畫出發芽數y與溫差x的散點圖;
(2)判斷兩個變量是否線性相關,計算相關系數,并刻畫它們的相關程度.
參考數據:
參考公式:相關系數r= (當|r|>0.75時,認為兩個變量的線性相關程度較強).
解析 (1)散點圖如圖所示.

(2)r=
≈ ≈0.952.
由相關系數r≈0.952>0.75,可以推斷發芽數與溫差這兩個變量正相關,且線性相關程度較強.
規律總結 判斷兩個變量之間的線性相關程度一般用散點圖,但在作圖中,由于存在誤差,有
時很難判斷這些點是否分布在一條直線附近,此時可以利用相關系數r來判斷.相關系數是從
數值上來判斷變量間的相關程度的,是定量分析,比用散點圖(定性分析)要精細得多.
有時根據所測量的數據作出兩個隨機變量的散點圖后,發現這些散點并非分布在某一條直線
附近,而是在某一條曲線附近,此時,我們需要根據曲線的形狀,選擇適當的函數模型來擬合,再
通過變量代換,利用線性回歸模型得到兩個變量間的非線性回歸方程.常見的非線性回歸模
型如下:
講解分析
疑難 2 非線性相關問題
函數模型 函數圖象 變換公式 變換后的線性函數
Y=aXb (冪函數曲線) c=ln a, v=ln X, u=ln Y u=c+bv
Y=aebX (指數曲線) c=ln a, u=ln Y u=c+bX
Y=a (倒指數曲線) c=ln a, v= , u=ln Y u=c+bv
Y=a+bln X (對數曲線) v=ln X Y=a+bv
典例 某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費X(單位:萬元)對年銷售
量Y(單位:t)和年利潤z(單位:萬元)的影響,對近8年的年宣傳費Xi和年銷售量Yi(i=1,2,…,8)數據
作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統計量的值.


46.6 563 6.8 289.8 1.6
1.469 108.8 表中wi= , = wi.
(1)根據散點圖判斷,Y=a+bX與Y=c+d 哪一個適宜作為年銷售量Y關于年宣傳費X的回歸
方程類型;(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立Y關于X的回歸方程;
(3)已知這種產品的年利潤z與X,Y的關系為z=0.2Y-X,根據(2)的結果回答下列問題:
①年宣傳費X=49時,年銷售量及年利潤的預測值是多少
②年宣傳費X為何值時,年利潤的預測值最大
附:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分
別為 = , = - .
解析 (1)由散點圖可以判斷,Y=c+d 適宜作為年銷售量Y關于年宣傳費X的回歸方程類型.
(2)令w= ,由(1)可設Y關于w的線性回歸方程為Y= + w.
由于 = = =68,
= - =563-68×6.8=100.6,
因此Y關于w的線性回歸方程為Y=100.6+68w,故Y關于X的回歸方程為Y=100.6+68 .
(3)①由(2)知,當X=49時,年銷售量Y的預測值為100.6+68× =576.6,
年利潤z的預測值為576.6×0.2-49=66.32.
②根據(2)的結果知,年利潤z的預測值 =0.2×(100.6+68 )-X=-X+13.6 +20.12.
所以當 = =6.8,即X=46.24時, 取得最大值.
故年宣傳費為46.24萬元時,年利潤的預測值最大.§2　成對數據的線性相關性
2.1　相關系數　　　　2.2　成對數據的線性相關性分析
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　變量的相關關系
1.觀察下列散點圖,則①正相關,②負相關,③不相關與圖中的甲、乙、丙三個散點圖相對應的是(　　)
A.①②③　　　　　　B.②①③
C.①③②　　　　　　D.③①②
2.已知兩組數據a1,a2,…,a10和b1,b2,…,b10,當1≤i≤10且i∈Z時,ai=i;當1≤i≤9且i∈Z時,bi=ai,b10=a,我們研究這兩組數據的相關性,在集合{8,11,12,13}中取一個元素作為a的值,使得相關性最強,則a=(　　)
A.8　　　　　　B.11
C.12　　　　　 D.13
題組二　相關系數的簡單應用
3.對四組變量的數據進行統計,獲得以下散點圖,關于其相關系數的比較,正確的是(　　)
A.r2C.r44.設兩個變量x和y之間具有線性相關關系,它們的相關系數是r,y關于x的回歸直線的斜率是b,在y軸上的截距是a,那么必有(　　)
A.b與r的符號相同　　　　　　B.a與r的符號相同
C.b與r的符號相反　　　　　　D.a與r的符號相反
5.(多選題)某同學將收集到的六組數據制成散點圖如圖所示,并得到其回歸直線l1的方程為,其相關系數為r1.經過分析確定點F為“離群點”,把它去掉后,再利用剩下的5組數據計算得到回歸直線l2的方程為x+0.68,其相關系數為r2,以下結論中,正確的是(　　)
A.r1>0,r2>0　　　　　　B.r1>r2
C.=0.12　　　　　　 D.0<<0.68
6.為了比較甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關性強弱,某同學分別計算了甲、乙、丙、丁四組數據的線性相關系數,求得的數值依次為-0.98,-0.27,0.36,0.93,則這四組數據中線性相關性最強的是　　　　組數據.
7.人口結構的變化,能明顯影響住房需求.當一個地區青壯年人口占比高時,住房需求就會增加,而當一個地區老齡化嚴重時,住房需求就會下降.某機構隨機選取了某個地區的10個城市,統計了每個城市的老齡化率x和空置率y,如下表所示:
城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
老齡 化率x 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8
空置 率y 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2
(1)若老齡化率不低于20%,則該城市為超級老齡化城市,根據表中數據,估計該地區城市為超級老齡化城市的概率;
(2)估計該地區城市的老齡化率x和空置率y的樣本相關系數.(結果精確到0.01)
參考公式:樣本相關系數r=.
參考數據:≈0.04,≈0.04,xiyi=0.241 3.
題組三　非線性回歸分析
8.用模型y=cekx擬合一組數據時,為了求出回歸方程,設z=ln y,將其變換后得到線性回歸方程z=0.5x+2,則c=　　(　　)
A.0.5　　　B.e0.5　　　C.2　　　D.e2
9.某工廠每日生產某種產品x(x≥1)噸,每日生產的該產品當日銷售完畢,日銷售額為y萬元,產品價格隨著產量的變化而有所變化,經過一段時間的產銷,得到了x,y的一組統計數據,如下表:
日產量x/噸 1 2 3 4 5
日銷售額y/萬元 5 12 16 19 21
(1)請判斷y=bx+a與y=dln x+c(d為大于零的常數)中哪個模型更適合刻畫x,y之間的關系,并從函數增長趨勢方面給出簡單的理由;
(2)根據你的判斷及下面的公式和數據,求出y關于x的回歸方程,并估計當日產量為6噸時,日銷售額是多少.(結果保留整數)
參考公式:線性回歸方程中,.
參考數據:≈0.96,5ln 1+12ln 2+16ln 3+19ln 4+
21ln 5≈86,ln 6≈1.8,(ln 1)2+(ln 2)2+(ln 3)2+(ln 4)2+(ln 5)2≈6.2.
能力提升練
題組一　相關系數的綜合應用
1.移動物聯網廣泛應用于生產制造、公共服務、個人消費等領域.截至2022年底,我國移動物聯網連接數達18.45億戶,成為全球主要經濟體中首個實現“物超人”的國家.2018~2022年移動物聯網連接數w與年份代碼t的散點圖如圖所示,其中2018~2022年對應的t分別為1~5.
(1)根據參考數據計算樣本相關系數r(精確到0.01);
(2)令變量x=t-,利用(1)中結論求y關于x的線性回歸方程,并預測2024年移動物聯網連接數.
參考公式:回歸直線y=a+bt中,斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,
樣本相關系數r=;
參考數據:≈27.7.
2.焦慮癥是一種常見的神經癥,多發于中青年群體,某機構為調查焦慮癥與年齡之間的關聯,隨機抽取10人進行焦慮值(滿分100分)的測試,根據調查得到如下數據表:
人員 A B C D E F G H I J
年齡x(歲) 26 34 25 24 20 20 19 19 18 17
焦慮值y(分) 80 89 89 78 75 71 65 62 55 50
(1)我們約定:焦慮值y關于年齡x的線性相關系數的絕對值在0.75以上(含0.75)為線性相關性較強,否則視為線性相關性較弱,如果沒有較強的線性相關性,那么不考慮用直線擬合.試根據調查數據判斷能否用直線擬合焦慮值y與年齡x的相關關系.若能,請求出焦慮值y關于年齡x的線性回歸方程;若不能,請說明理由;
(2)現從所調查的焦慮值小于或等于75的6人中隨機抽取2人,求這2人中至少有1人是20歲的概率.
參考數據及公式:≈22,≈71,≈15,≈40,≈525.對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其線性回歸方程中,.
樣本相關系數r=.
二　非線性回歸分析
3.某種新產品投放市場一段時間后,公司經過調研獲得了時間x(天)與銷售單價y(元)的一組數據,且進行了一定的數據處理(如表),并作出了散點圖(如圖).
)2 )2 )· (yi-) )· (yi-)
1.63 37.8 0.89 5.15 0.92 -20.6 18.40
表中wi=wi.
(1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+哪一個更適宜作為銷售單價y關于時間x的回歸方程類型;(不必說明理由)
(2)根據判斷結果和表中數據,建立y關于x的回歸方程;
(3)若該產品的日銷售量g(x)(件)與時間x的函數關系為g(x)=+120(x∈N*),則該產品投放市場第幾天的銷售額最高 最高為多少元
附:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),(u3,v3),…,(un,vn),其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
4.放行準點率是衡量機場運行效率和服務質量的重要指標之一.某機場自2012年起采取相關策略優化各個服務環節,運行效率不斷提升.以下是根據2013~2022年年份數xi(i=1,2,…,10)與該機場飛往A地航班放行準點率yi(單位:百分比)的統計數據所作的散點圖及經初步處理后得到的一些統計量的值.
xiyi tiyi
2 017.5 80.4 1.5 40 703 145.0 1 621 254.2 27.7 1 226.8
其中ti=ln(xi-2 012),ti.
(1)根據散點圖判斷y=bx+a與y=cln(x-2 012)+d中哪一個適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的回歸方程類型(給出判斷即可,不必說明理由),并根據表中數據建立回歸方程,預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率;
(2)已知2023年該機場飛往A地、B地和其他地區的航班比例分別為0.2,0.2和0.6,若以(1)中的預測值作為2023年該機場飛往A地航班放行準點率的估計值,且2023年該機場飛往B地及其他地區航班放行準點率的估計值分別為80%和75%,現從2023年在該機場起飛的航班中隨機抽取一個,求該航班準點放行的概率.
參考公式:對于一組數據(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其線性回歸方程u中,.
參考數據:ln 11≈2.40.
答案與分層梯度式解析
§2　成對數據的線性相關性
2.1　相關系數
2.2　成對數據的線性相關性分析
基礎過關練
1.C　
2.B　設點的坐標為(ai,bi),1≤i≤10且i∈Z,
由題意得前9個點位于直線y=x上,a10=10,則要使相關性最強,b10應更接近10,四個選項中11更接近10.故選B.
3.A　由題中的散點圖可以看出,圖1和圖3中兩變量正相關,相關系數大于0,即r1>0,r3>0,圖2和圖4中兩變量負相關,相關系數小于0,即r2<0,r4<0,
圖1和圖2的點相對于圖3和圖4的點更加集中,所以相關性較強,所以r1更接近1,r2更接近-1,由此可得r24.A　當b>0時,兩變量正相關,r>0;當b<0時,兩變量負相關,r<0.故選A.
5.ACD　由題圖可知兩變量呈現正相關,故r1>0,r2>0,且r16.答案　甲
解析　因為|r|值越接近1,隨機變量之間的線性相關程度越強,且
|-0.98|>0.93>0.36>|-0.27|,
所以甲組數據的線性相關性最強.
7.解析　(1)由題表中的數據可知,調查的10個城市中,老齡化率不低于20%的有4個,
所以估計該地區城市為超級老齡化城市的概率為=0.4.
(2)由題表中的數據得,=0.12,
則r=
≈
=≈0.63.
故該地區城市的老齡化率x和空置率y的樣本相關系數約為0.63.
8.D　由y=cekx兩邊取對數,可得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=ln c+kx,故z=ln c+kx,
∵z=0.5x+2,∴ln c=2,解得c=e2.故選D.
9.解析　(1)y=dln x+c更適合刻畫x,y之間的關系.
理由:由題表中的數據可知,x的值每增加1,函數值y的增加量分別為7,4,3,2,增加得越來越緩慢,符合對數函數模型的增長規律,與線性回歸模型的均勻增長存在較大差異,故y=dln x+c更適合刻畫x,y之間的關系.
(2)令z=ln x,由題意得=14.6,所以≈14.6-10×0.96=5,
所以y關于x的回歸方程為=10ln x+5.
當x=6時,=10×ln 6+5≈23.
所以當日產量為6噸時,估計日銷售額為23萬元.
能力提升練
1.解析　(1)由已知得,×(1+2+3+4+5)=3,
則)2=(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2=10,
所以r=≈0.98.
(2)由(1)知=2.72,所以y關于x的線性回歸方程為=2.72x,
又=12.16,所以當t=7時,x=7-3=4,
w==2.72×4+12.16=23.04,所以預測2024年移動物聯網連接數為23.04億戶.
2.解析　(1)由題意可得焦慮值y關于年齡x的線性相關系數的絕對值|r|==0.875>0.75,故線性相關性較強,可以用直線擬合焦慮值y與年齡x的相關關系.
設焦慮值y關于年齡x的線性回歸方程為,則≈71- ,
所以焦慮值y關于年齡x的線性回歸方程為.
(2)由題表可得焦慮值小于或等于75的6人中,有2個人是20歲,所以從所調查的焦慮值小于或等于75的6人中隨機抽取2人,至少有1人是20歲的概率P=1-P(抽取的兩個人全不是20歲)=1- .
3.解析　(1)由題中散點圖可以判斷y=c+更適宜作為銷售單價y關于時間x的回歸方程類型.
(2)令w=,由(1)可設y關于w的線性回歸方程為 =37.8-20×0.89=20,
∴y關于w的線性回歸方程為=20+20w.
∴y關于x的回歸方程為.
(3)設日銷售額為h(x)元,
則h(x)=g(x)=-2 000,
當x=10時,h(x)有最大值,為2 420,
即該產品投放市場第10天的銷售額最高,最高為2 420元.
4.解析　(1)由題圖可以看出,y=cln(x-2 012)+d適宜作為該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的回歸方程類型.
令t=ln(x-2 012),則y=ct+d,
易得=4,
=80.4-4×1.5=74.4,
所以=4t+74.4,
因此該機場飛往A地航班放行準點率y關于年份數x的回歸方程為=4ln(x-2 012)+74.4.
當x=2 023時,=4×ln(2 023-2 012)+74.4=4×ln 11+74.4≈4×2.40+74.4=84.
所以預測2023年該機場飛往A地的航班放行準點率為84%.
(2)設A1=“該航班飛往A地”,A2=“該航班飛往B地”,A3=“該航班飛往其他地區”,C=“該航班準點放行”,則P(A1)=0.2,P(A2)=0.2,P(A3)=0.6,
P(C|A1)=0.84,P(C|A2)=0.8,P(C|A3)=0.75.
所以P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)+P(A3)·P(C|A3)=0.2×0.84+0.2×0.8+
0.6×0.75=0.778.
1

展開更多......

收起↑