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§3　獨立性檢驗問題
3.1　獨立性檢驗　3.2　獨立性檢驗的基本思想　
3.3　獨立性檢驗的應(yīng)用
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　2× 2列聯(lián)表
1.在2×2列聯(lián)表中,兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大,相差越大的兩個比值為(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
2.已知甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試,按照大于或等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀,得到如下列聯(lián)表:
優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計
甲班 10 b
乙班 c 30
總計 105
已知在105人中隨機抽取1人,成績優(yōu)秀的概率為,則下列說法正確的是(　　)
A.列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35
B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50
C.列聯(lián)表中c的值為20,b的值為50
D.由列聯(lián)表可看出成績與班級有關(guān)系
3.某學校對高三學生進行一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn):在平時的模擬考試中,性格內(nèi)向的426名學生中有332名在考前心情緊張,性格外向的594名學生中有213名在考前心情緊張.請作出考前心情與性格的2×2列聯(lián)表.
題組二　獨立性檢驗及其簡單應(yīng)用
4.下列關(guān)于獨立性檢驗的說法正確的是(　　)
A.獨立性檢驗是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗
B.獨立性檢驗可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系
C.利用χ2獨立性檢驗推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中,若χ2>6.635,則我們可以說在100個吸煙的人中,有99人患肺病
D.對于獨立性檢驗,隨機變量χ2的值越小,判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大
5.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在實施鄉(xiāng)村振興的進程中,大力推廣科學種田,引導廣大農(nóng)戶種植優(yōu)良品種,進一步推動當?shù)剞r(nóng)業(yè)發(fā)展,不斷促進農(nóng)業(yè)增產(chǎn)農(nóng)民增收.為了解某新品種水稻的產(chǎn)量情況,現(xiàn)從種植該新品種水稻的不同自然條件的田地中隨機抽取400畝,統(tǒng)計其畝產(chǎn)量x(單位:t),并以此為樣本繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求這400畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表,精確到小數(shù)點后兩位);
(2)若這400畝水稻的灌溉水源有河水和井水,現(xiàn)統(tǒng)計了兩種水源灌溉水稻的畝產(chǎn)量,并得到下表:
畝產(chǎn)量超過0.7 t 畝產(chǎn)量不超過0.7 t 總計
河水灌溉 180 90 270
井水灌溉 70 60 130
總計 250 150 400
判斷能否有95%的把握認為畝產(chǎn)量與所用灌溉水源有關(guān).
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.001
k 2.706 3.841 6.635 10.828
6.近年來我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展,下表是某地區(qū)新能源汽車的年銷售量與年份的統(tǒng)計表:
年份x 2018 2019 2020 2021 2022
年銷售量y/萬臺 1.6 1.7 1.9 2.2 2.6
某機構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)100位購車車主的性別與購車種類情況,得到的部分數(shù)據(jù)如下表所示:
購置傳統(tǒng)燃油車 購置新能源汽車 總計
男性車主 35 60
女性車主 25
總計 100
(1)求新能源汽車的年銷售量y關(guān)于年份x的線性相關(guān)系數(shù)r,并判斷y與x之間的線性相關(guān)關(guān)系的強弱;(若|r|∈[0.75,1],相關(guān)性較強;若|r|∈[0.30,0.75),相關(guān)性一般;若|r|∈[0,0.30),相關(guān)性較弱)
(2)請將上述2×2列聯(lián)表補充完整,并判斷能否有95%的把握認為購車車主購置新能源汽車與性別有關(guān).
附:①相關(guān)系數(shù)r=;
②≈2.6;
③ χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
能力提升練　　　 　　　　 　　　　
題組　獨立性檢驗的綜合應(yīng)用
1.第19屆亞運會結(jié)束后,某網(wǎng)絡(luò)直播平臺調(diào)研“大學生是否喜歡觀看體育比賽直播與性別有關(guān)”,從某高校男、女生中各隨機抽取100名進行問卷調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù)(5≤m≤15,m∈N):
喜歡觀看 不喜歡觀看
男生 80-m 20+m
女生 50+m 50-m
通過計算,有95%以上的把握認為大學生喜歡觀看體育比賽直播與性別有關(guān),則在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為(　　)
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.01 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
A.55　　　B.57　　　C.58　　　D.60
2.某足球俱樂部在對球員的使用上總是進行數(shù)據(jù)分析,在2022年度賽季中,為了考察甲球員對球隊的貢獻度,現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計:
球隊勝 球隊負 總計
甲參加 r 8 30
甲未參加 8 s
總計 20
(1)求r,s的值,并判斷能否有95%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān);
(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員四個位置,且出場率分別為0.3,0.5,0.1,0.1,當出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門員時,球隊輸球的概率依次為0.4,0.2,0.6,0.2.
①當他參加比賽時,求球隊某場比賽輸球的概率;
②當他參加比賽時,求在球隊輸了某場比賽的條件下,乙球員擔當前鋒的概率;
③如果你是教練員,應(yīng)用概率與統(tǒng)計的有關(guān)知識,分析該如何合理安排乙球員的參賽位置.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.繼“村BA”后,貴州“村超”又火出圈!所謂“村超”,其實是目前火爆全網(wǎng)的貴州鄉(xiāng)村體育賽事——榕江(三寶侗寨)和美鄉(xiāng)村足球超級聯(lián)賽,被大家簡稱為“村超”.“村超”的民族風、鄉(xiāng)土味、歡樂感,讓每個人盡情享受著足球帶來的快樂.某校為了豐富學生課余生活,組建了足球社團.足球社團為了了解學生喜歡足球是否與性別有關(guān),隨機抽取了男、女學生各50名進行調(diào)查,部分數(shù)據(jù)如下表所示:
喜歡足球 不喜歡足球 總計
男生 20
女生 15
總計 100
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表,并判斷能否有99.5%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關(guān);
(2)社團指導老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范定點射門.據(jù)統(tǒng)計,這2名男生進球的概率均為,1名女生進球的概率為,每人射門一次,假設(shè)各人進球相互獨立,求3人進球總次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望.
附:χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
4.“支付寶捐步”已經(jīng)成為當下最熱門的健身方式之一,為了了解使用支付寶捐步是否與年齡有關(guān),研究人員隨機抽取了5 000名使用支付寶的人員進行調(diào)查,所得情況如下表:
是否使用支付寶捐步 年齡
50歲及以上 50歲以下
使用 1 000 1 000
不使用 2 500 500
(1)試問:使用支付寶捐步是否與年齡有關(guān)
(2)55歲的老王在了解了捐步功能以后開啟了自己的捐步計劃,可知其在捐步的前5天,捐步的步數(shù)與天數(shù)呈線性相關(guān).
第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
步數(shù)yx 4 000 4 200 4 300 5 000 5 500
①根據(jù)上表數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的線性回歸方程;
②記由①中線性回歸方程得到的預(yù)測步數(shù)為y'x,若從5天中任取3天,記y'x附:.
答案與分層梯度式解析
§3　獨立性檢驗問題
3.1　獨立性檢驗
3.2　獨立性檢驗的基本思想
3.3　獨立性檢驗的應(yīng)用
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A　以表格為例,變量B與變量A相關(guān)性越強,則兩個頻率相差越大.
B 總計
A a b a+b
c d c+d
總計 a+c b+d a+b+c+d
2.D　依題意,得,解得c=20,由10+b+20+30=105,得b=45.
補全列聯(lián)表如下:
優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計
甲班 10 45 55
乙班 20 30 50
總計 30 75 105
甲班的優(yōu)秀率為,乙班的優(yōu)秀率為,所以成績與班級有關(guān)系,故選D.
3.解析　作出2×2列聯(lián)表如下:
考前心情是否緊張 性格情況
性格內(nèi)向 性格外向 總計
考前心情緊張 332 213 545
考前心情不緊張 94 381 475
總計 426 594 1 020
4.D　對于A,獨立性檢驗是通過計算χ2來判斷兩個變量存在關(guān)聯(lián)的可能性的一種方法,并非檢驗二者是否具有線性相關(guān)關(guān)系,故A錯誤;
對于B,獨立性檢驗并不能100%確定兩個變量相關(guān),故B錯誤;
對于C,若χ2>6.635,則有99%的把握認為吸煙與患肺病有關(guān)系,并非吸煙的人中患肺病的頻率為99%,故C錯誤;
易知D正確.
5.解析　(1)由題意得,(0.75×2+1.25×2+1.75+2.25+b)×0.1=1,解得b=2,
所以這400畝水稻平均畝產(chǎn)量的估計值為(0.45×0.75+0.55×1.25+0.65×1.75+0.75×2.25+0.85×2+0.95×1.25+1.05×
0.75)×0.1≈0.75.
(2)χ2=≈6.154>3.841,
所以有95%的把握認為畝產(chǎn)量與所用灌溉水源有關(guān).
6.解析　(1)由已知得,=2 020,=2,
所以)2=(-2)2+(-1)2+0+12+22=10,
=(-0.4)2+(-0.3)2+(-0.1)2+0.22+0.62=0.66,
)=(-2)×(-0.4)+(-1)×(-0.3)+0×(-0.1)+1×0.2+2×0.6=2.5,
所以r=≈0.96>0.75,
所以y與x之間的線性相關(guān)性較強.
(2)依題意,補全2×2列聯(lián)表如下:
購置傳統(tǒng)燃油車 購置新能源汽車 總計
男性車主 35 25 60
女性車主 15 25 40
總計 50 50 100
則χ2=≈4.17>3.841,
所以有95%的把握認為購車車主購置新能源汽車與性別有關(guān).
能力提升練
1.C　由題意得, χ2=
=
=≥3.841,
所以(15-m)2≥43.7,
又5≤m≤15,m∈N,所以15-m≥7,解得m≤8,
故在被調(diào)查的100名女生中喜歡觀看體育比賽直播的人數(shù)的最大值為58.
故選C.
2.解析　(1)由已知得,r=30-8=22,s=20-8=12,
將題中表格補充完整,如下所示:
球隊勝 球隊負 總計
甲參加 22 8 30
甲未參加 8 12 20
總計 30 20 50
∴χ2=≈5.556>3.841,
故有95%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關(guān).
(2)①記“乙球員參加比賽時,球隊某場比賽輸球”為事件A,
則P(A)=0.3×0.4+0.5×0.2+0.1×0.6+0.1×0.2=0.3,
故乙球員參加比賽時,球隊某場比賽輸球的概率為0.3.
②記“乙球員擔當前鋒”為事件B,則P(AB)=0.3×0.4=0.12,
P(B|A)==0.4,故在球隊輸了某場比賽的條件下,乙球員擔當前鋒的概率為0.4.
③記“乙球員擔當中鋒”為事件C,“乙球員擔當后衛(wèi)”為事件D,“乙球員擔當守門員”為事件E,
則P(C|A)=≈0.33,
P(D|A)==0.2,
P(E|A)=≈0.067,
又P(B|A)=0.4,
∴P(B|A)>P(C|A)>P(D|A)>P(E|A),
∴安排乙球員擔當守門員贏面大一些.
3.解析　(1)依題意,2×2列聯(lián)表如下:
喜歡足球 不喜歡足球 總計
男生 30 20 50
女生 15 35 50
總計 45 55 100
則χ2=≈9.091>7.879,
所以有99.5%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關(guān).
(2)依題意,X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
數(shù)學期望EX=0×.
4.解析　(1)χ2=≈635>6.635,
所以有99%的把握認為使用支付寶捐步與年齡有關(guān).
(2)①=3,
=4 600,
xiyi=1×4 000+2×4 200+3×4 300+4×5 000+5×5 500=72 800,
=12+22+32+42+52=55,
故=380,
=4 600-380×3=3 460.
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為=380x+3 460.
②把x=1,2,3,4,5分別代入線性回歸方程中,求出每天的預(yù)測步數(shù),如下表:
第x天 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
步數(shù)yx 4 000 4 200 4 300 5 000 5 500
預(yù)測步 數(shù)y'x 3 840 4 220 4 600 4 980 5 360
所以y'x則P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
所以X的分布列為
X 1 2 3
P
數(shù)學期望EX=1×.
1(共18張PPT)
2×2列聯(lián)表
設(shè)A,B為兩個變量,每一個變量都可以取兩個值,
變量A:A1,A2= ;
變量B:B1,B2= .
2×2列聯(lián)表如下:
§3 獨立性檢驗問題
知識點 1 獨立性檢驗
知識 清單破
A B B1 B2 總計
A1 a b a+b
A2 c d c+d
總計 a+c b+d n=a+b+c+d
1.統(tǒng)計量χ2
χ2= ,其中n=a+b+c+d.
2.在變量A,B獨立的前提下,當樣本量很大時, χ2近似服從一個已知的分布.當χ2較大時,說明變
量之間不獨立.在統(tǒng)計中,用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷.
(1)當χ2≤2.706時,沒有充分的證據(jù)判斷變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認為變量A,B是沒有關(guān)聯(lián)的;
(2)當χ2>2.706時,有90%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);
(3)當χ2>3.841時,有95%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián);
(4)當χ2>6.635時,有99%的把握判斷變量A,B有關(guān)聯(lián).
知識點 2 獨立性檢驗的基本思想
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個變量的頻數(shù). (　 )
2.若事件A,B的獨立性檢驗結(jié)果是沒有關(guān)聯(lián)性,則兩個事件互不影響.(　 )
3. χ2是判斷事件A,B是否相關(guān)的統(tǒng)計量. (　 )
4.若計算得χ2≈7.197,則認為兩個變量間有關(guān)系的出錯概率不超過0.01. (　 )
5.在2×2列聯(lián)表中,當 過大時,變量之間獨立. (　 )
√


√
√
　　應(yīng)用獨立性檢驗解決實際問題大致包括以下幾個主要環(huán)節(jié):
(1)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表;
(2)計算χ2的值,并與相關(guān)數(shù)值進行比較;
(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.
　　注意:上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進行調(diào)整.例如,有些時候,分類變量的抽樣
數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 獨立性檢驗的應(yīng)用
典例 疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行,用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品,其前
期研發(fā)過程中,一般都會進行動物保護試驗,為了考察某種疫苗預(yù)防效果,在進行動物試驗時,
得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):
未發(fā)病 發(fā)病 總計
未注射疫苗 30
注射疫苗 40
總計 70 30 100
附表及公式:
P(χ2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3.841 6.635 7.879 10.828
χ2= ,n=a+b+c+d.
現(xiàn)從試驗動物中任取一只,取得“注射疫苗”的概率為0.5,則下列判斷錯誤的是 (　 )
A.注射疫苗且發(fā)病的動物數(shù)為10
B.從該試驗未注射疫苗的動物中任取一只,該動物發(fā)病的概率為
C.有95%的把握認為疫苗有效
D.該疫苗的有效率為80%
D
解析 ∵從試驗動物中任取一只,取得“注射疫苗”的概率為0.5,
∴注射疫苗且發(fā)病的動物數(shù)為100×0.5-40=10,故A中判斷正確;
2×2列聯(lián)表如下:
未發(fā)病 發(fā)病 總計
未注射疫苗 30 20 50
注射疫苗 40 10 50
總計 70 30 100
從該試驗未注射疫苗的動物中任取一只,該動物發(fā)病的概率為 = ,故B中判斷正確;
∵χ2= ≈4.762>3.841,
∴有95%的把握認為疫苗有效,故C中判斷正確;
注射疫苗動物的未發(fā)病率為 ×100%=80%,而未注射疫苗的動物中也有不發(fā)病的情況,因
此,80%并非該疫苗的有效率,故D中判斷錯誤.
故選D.
　　獨立性檢驗與統(tǒng)計、概率的綜合應(yīng)用主要表現(xiàn)為以統(tǒng)計圖表為載體,考查統(tǒng)計分析、概
率的計算,以及構(gòu)建兩個分類變量列2×2列聯(lián)表等.
解題時注意要認真審題,通過頻率分布直方圖等圖表的統(tǒng)計功能確定分類變量的值,構(gòu)建或
完善2×2列聯(lián)表,從而對事件進行獨立性檢驗,準確讀取頻率分布直方圖等圖表中的數(shù)據(jù),進
行分組統(tǒng)計是解題的關(guān)鍵.解決獨立性檢驗的問題要注意明確兩類主體,明確研究的兩類問
題,準確列出2×2列聯(lián)表,準確計算χ2.在寫出2×2列聯(lián)表中a,b,c,d的值時,注意一定要按順序.
講解分析
疑難 2 獨立性檢驗與統(tǒng)計、概率的綜合應(yīng)用
典例 每年的3月21日是世界睡眠日,身體健康的重要標志之一就是有良好的睡眠.某機構(gòu)為調(diào)
查參加體育鍛煉對睡眠的影響,從轄區(qū)內(nèi)同一年齡段,常參加體育鍛煉和不常參加體育鍛煉
的人員中,各抽取了100人,通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間(單位:小時),并繪制
出如下頻率分布直方圖.


(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求常參加體育鍛煉人員一周內(nèi)的平均睡眠時間(同一組數(shù)據(jù)用該組
區(qū)間的中點值代替);
(2)若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠充足”,每周的睡眠時間少于44小時的列
為“睡眠不足”,請根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認為“睡眠
充足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān);
睡眠充足 睡眠不足 總計
常參加體育 鍛煉人員
不常參加體 育鍛煉人員
總計
(3)現(xiàn)從常參加體育鍛煉人員中按睡眠是否充足采用分層隨機抽樣的方法抽取8人做進一步
訪談,再從這8人中隨機抽取2人填寫問卷調(diào)查,記抽取的2人中“睡眠充足”的人數(shù)為X,求X
的分布列和數(shù)學期望.
附:χ2= ,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解析 (1)由題意得, =34×0.002 5×4+38×0.017 5×4+42×0.042 5×4+46×0.042 5×4+50×0.062 5
×4+54×0.062 5×4+58×0.02×4=48.6(小時).
故常參加體育鍛煉人員一周內(nèi)的平均睡眠時間為48.6小時.
(2)常參加體育鍛煉人員中“睡眠充足”的人數(shù)為(0.042 5×4+0.062 5×4+0.062 5×4+0.02×4)×
100=75,則常參加體育鍛煉人員中“睡眠不足”的人數(shù)為25;
不常參加體育鍛煉人員中“睡眠充足”的人數(shù)為(0.072 5×4+0.035×4+0.015×4+0.015×4)×
100=55,則不常參加體育鍛煉人員中“睡眠不足”的人數(shù)為45.
完成2×2列聯(lián)表如下:
睡眠充足 睡眠不足 總計
常參加體育 鍛煉人員 75 25 100
不常參加體 育鍛煉人員 55 45 100
總計 130 70 200
X 0 1 2
P
因為χ2= ≈8.791>6.635,
所以有99%的把握認為“睡眠充足”與“常參加體育鍛煉”有關(guān).
(3)由題意知,常參加體育鍛煉人員中“睡眠充足”和“睡眠不足”的人數(shù)比為75∶25=3∶1,
用分層隨機抽樣的方法抽取8人,其中“睡眠充足”的有6人,“睡眠不足”的有2人,從這8人
中隨機抽取2人,則X的可能取值為0,1,2,
P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = .
所以X的分布列為
數(shù)學期望EX=0× +1× +2× = .

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