資源簡介

第三章　空間向量與立體幾何
§1　空間直角坐標系
1.1　點在空間直角坐標系中的坐標
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　點在空間直角坐標系中的坐標
1.在如圖所示的空間直角坐標系中,棱長為1個單位的正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A的坐標是　　(　　)
A.(-1,-1,-1)　　　　　B.(1,-1,1)
C.(1,-1,-1)　　　　　 D.(-1,1,-1)
2.設z為任意實數,則(2,2,z)表示的圖形是　　(　　)
A.z軸
B.與xOy平面垂直的一條直線
C.xOy平面
D.與xOy平面平行的一條直線
3.如圖,正方體OABC-O1A1B1C1的棱長為2,E是B1B上的點,且|EB|=2|EB1|,則點E的坐標為(　　)
A.(2,2,1)　　　　　　B.(2,2,2)　　　
C.　　　　　 D.
4.在空間直角坐標系中,已知點P(2,-1,3),M(-1,2,3),若PQ的中點為M,則點Q的坐標為(　　)
A.(4,1,1)　　　　　　B.(-4,5,3)
C.(4,-3,1)　　　　　　D.(-5,3,4)
5.在空間直角坐標系O-xyz中,已知點P在xOy平面上的射影為P1(1,2,0),在yOz平面上的射影為P2(0,2,1),則點P的坐標為　　　　.
6.在空間直角坐標系中,正四面體P1P2P3P4的頂點的坐標為Pi(xi,yi,zi)(i=1,2,3,4).設集合A={z|z=zi,i=1,2,3,4},則集合A的元素個數可能為　　　　(寫出所有可能的值).
題組二　空間點的對稱問題
7.在空間直角坐標系O-xyz中,與點(-1,2,1)關于zOx平面對稱的點為(　　)
A.(-1,-2,1)　　　　　　B.(-1,2,1)
C.(-1,-2,-1)　　　　　 D.(1,-2,-1)
8.在空間直角坐標系中,點A(1,1,1),點B(3,-1,4),則點A關于點B的對稱點的坐標是(　　)
A.(2,-2,3)　　　　　　B.(5,-3,7)
C.(5,-1,3)　　　　　　D.(4,0,5)
9.在空間直角坐標系O-xyz中,點A(1,2,3)與點B(-1,-2,3)關于(　　)
A.原點對稱　　　　　　B.xOy平面對稱
C.y軸對稱　　　　　　 D.z軸對稱
10.設M不是坐標平面上的點.若點M關于xOz平面的對稱點為M1,點M1關于坐標原點的對稱點為M2,則點M關于以下哪條坐標軸對稱可以得到M2(　　)
A.x軸　　　　　　B.y軸
C.z軸　　　　　　D.以上都不對
答案與分層梯度式解析
第三章　空間向量與立體幾何
§1　空間直角坐標系
1.1　點在空間直角坐標系中的坐標
基礎過關練
1.C　頂點A到三個坐標平面的距離都為1,結合坐標軸方向易知其坐標為(1,-1,-1).
2.B　(2,2,z)表示過點(2,2,0)且與z軸平行的直線,所以(2,2,z)表示的圖形是與xOy平面垂直的一條直線.
3.D　由題意得EB⊥xOy平面,B(2,2,0),
所以設E(2,2,z).
因為|EB|=2|EB1|,
所以z=|EB|=,
所以E.故選D.
4.B　設點Q的坐標為(a,b,c),
則
∴點Q的坐標為(-4,5,3).故選B.
5.答案　(1,2,1)
6.答案　2,3,4
解析　若集合A中只有一個元素,則P1,P2,P3,P4在同一個垂直于z軸的平面內,不符合題意,
當正四面體P1P2P3P4的一個面與xOy平面平行或在xOy平面內時,集合A中有2個元素;
當正四面體P1P2P3P4有且僅有一條棱與xOy平面平行或在xOy平面內時,集合A中有3個元素;
當正四面體P1P2P3P4的各面、各棱均不與xOy平面平行且均不在xOy平面內時,集合A中有4個元素.
故集合A中的元素個數可能為2,3,4.
7.A　
8.B　設點A關于點B的對稱點為Q(x,y,z),
由中點坐標公式可得
即Q(5,-3,7),故選B.
9.D　
10.B　設M(a,b,c),則點M關于xOz平面的對稱點為M1(a,-b,c),則點M1關于坐標原點的對稱點為M2(-a,b,-c).
對于A,點M關于x軸的對稱點為(a,-b,-c),故A錯誤;
對于B,點M關于y軸的對稱點為(-a,b,-c),故B正確,D錯誤;
對于C,點M關于z軸的對稱點為(-a,-b,c),故C錯誤.
故選B.
1(共12張PPT)
　　過空間任意一點O,作三條兩兩垂直的直線,并以點O為原點,在三條直線上分別建立數
軸:x軸、y軸和z軸,這樣就建立了一個空間直角坐標系O-xyz.點O叫作坐標原點,x軸(橫軸)、y
軸(縱軸)、z軸(豎軸)叫作坐標軸,通過每兩條坐標軸的平面叫作坐標平面,分別稱為xOy平
面、yOz平面、zOx平面.x軸、y軸、z軸的方向通常符合右手螺旋法則.
§1 空間直角坐標系
知識點 1 空間直角坐標系
知識 清單破
1.在空間直角坐標系中,任意一點P與三元有序實數組(x,y,z)之間建立了一一對應的關系:P
(x,y,z).三元有序實數組(x,y,z)叫作點P在此空間直角坐標系中的坐標,記作P(x,y,z),其中x叫作
點P的橫坐標,y叫作點P的縱坐標,z叫作點P的豎坐標.
2.特殊點在空間直角坐標系中的坐標表示
知識點 2 點在空間直角坐標系中的坐標
點的位置 在x軸上 在y軸上 在z軸上
坐標表示 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
點的位置 在xOy平面內 在yOz平面內 在zOx平面內
坐標表示 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
　　已知空間中P(x1,y1,z1),Q(x2,y2,z2)兩點,則P,Q兩點間的距離為|PQ|=
.
特別地,空間任意一點P(x,y,z)到原點O的距離|OP|= .
知識點 3 空間兩點間的距離公式
知識拓展 (1)點P(x,y,z)到坐標平面xOy的距離為|z|.
(2)點P(x,y,z)到坐標平面yOz的距離為|x|.
(3)點P(x,y,z)到坐標平面zOx的距離為|y|.
(4)點P(x,y,z)到x軸的距離為 .
(5)點P(x,y,z)到y軸的距離為 .
(6)點P(x,y,z)到z軸的距離為 .
(7)已知空間兩點間的距離求點的坐標,是距離公式的逆應用,可直接設出該點坐標,利用待定
系數法求解點的坐標.
(8)利用空間兩點間的距離公式判斷三角形的形狀時,需分別求出三邊長,得到邊長之間的數
量關系;判定三點共線時,需分別求出任意兩點連線的長度,并確定其中兩線段的長度之和等
于第三條線段的長度.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.空間直角坐標系中的三個坐標平面把空間分成了3個部分. (　 )
2.給定空間直角坐標系,空間任意一點與有序實數組(x,y,z)之間存在唯一的對應關系. ( )
3.點P(0,0,1)在z軸上. (　 )
4.點(1,1,1)到原點的距離為 . (　 )
5.點A(1,3,-2)到x軸的距離為1. (　 )


√
√
提示
提示
提示
分成了8個部分.
坐標系內的點與有序實數組是一一對應關系.
z軸上的點的橫、縱坐標均為0.
√
1.空間直角坐標系的構建
(1)建立空間直角坐標系遵循的原則:
①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內;
②充分利用幾何圖形的對稱性.
(2)建立空間直角坐標系的常用策略:
①利用幾何體中共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系;
②利用線面的垂直關系構建直角坐標系;
③利用面面的垂直關系構建直角坐標系.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 確定空間中的點的坐標
2.求點的坐標的常見方法
(1)投影法
看所求點分別在x軸、y軸、z軸的投影對應的數值.如求點P的橫坐標x,如圖,可過點P作PP1⊥
平面xOy于點P1,再過點P1作P1P2⊥x軸于點P2,點P2的橫坐標即為x;或直接構造長方體OP,確定
線段P1P3,P1P2,PP1的長,再注意對正負號的選取即可得點P的坐標.

　　一般地,當點在平面xOy、平面zOx、平面yOz內或易確定點在x軸、y軸、z軸上的投影時
均適合用投影法.
(2)公式法
線段的中點、n等分點或三角形的重心等可用公式法求解.
若點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則線段AB的中點的坐標為 ;三角形
ABC重心的坐標為 ;當點P在線段AB上且AP=λPB時,
P .
(3)向量法(后面會學習)
(4)幾何法:把空間問題轉化為平面問題,用平面幾何知識求解.
(5)待定系數法:設點P(x,y,z),利用已知條件求出x,y,z的值.
典例 如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點M在線段BC1上,且|BM|=2|MC1|,N是線段D1
M的中點,求點M,N的坐標.

解析 如圖,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,過
點M作MM1⊥BC于點M1,連接DM1,取DM1的中點N1,連接NN1.
由|BM|=2|MC1|,知|MM1|= |CC1|= ,|M1C|= |BC|= .
因為M1M∥DD1,所以M1M與z軸平行,點M1與點M的橫、縱坐標相同,點M
的豎坐標為 ,所以M .
由N1為DM1的中點,知N1 .
因為N1N與z軸平行,且|N1N|= = ,所以N .
P(x,y,z) P1(-x,-y,-z);
P(x,y,z) P2(-x,y,z);
P(x,y,z) P3(x,-y,z);
P(x,y,z) P4(x,y,-z);
P(x,y,z) P5(x,-y,-z);
P(x,y,z) P6(-x,y,-z);
P(x,y,z) P7(-x,-y,z).
記憶方法:關于誰對稱誰不變,其余的取相反數.
疑難 2 空間直角坐標系中點的對稱問題
講解分析
典例 已知點A(-4,2,3)關于坐標原點的對稱點為A1,A1關于zOx平面的對稱點為A2,A2關于z軸的
對稱點為A3,則線段AA3的中點M的坐標為　　　 .
解析 點A(-4,2,3)關于坐標原點的對稱點A1的坐標為(4,-2,-3),
點A1(4,-2,-3)關于zOx平面的對稱點A2的坐標為(4,2,-3),
點A2(4,2,-3)關于z軸的對稱點A3的坐標為(-4,-2,-3),
∴線段AA3的中點M的坐標為(-4,0,0).
(-4,0,0)1.2　空間兩點間的距離公式
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間兩點間的距離公式
1.在空間直角坐標系O-xyz中,點M(3,5,2)在xOz平面內的射影是點N,則|ON|=(　　)
A.　　　B.5　　　C.　　　D.
2.在空間直角坐標系O-xyz中,點A(0,1,-1),B(1,1,2),點B關于y軸對稱的點為C,則|AC|=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.2
3.(多選題)在空間直角坐標系中,O為坐標原點,點P的坐標為(1,2,3),則下列說法錯誤的是(　　)
A.點P到原點O的距離是
B.點P到x軸的距離是
C.點P到xOy平面的距離是3
D.點P到yOz平面的距離是3
4.空間四邊形ABCD的各頂點分別是A(0,2,4),B(2,0,2),C(1,-1,1),D(-1,3,1),E,F分別是AB,CD的中點,則EF的長為(　　)
A.　　　B.　　　C.2　　　D.2
題組二　空間兩點間的距離公式的應用
5.從點M(0,2,1)發出的光線,經xOy平面反射后到達點N(2,0,2),則光線所走的路程為(　　)
A.3　　　B.4　　　C.　　　D.3
6.在空間直角坐標系中,以A(m,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)為頂點的三角形是等腰三角形,其中m∈Z,則m的值為(　　)
A.-4　　　　　　B.4
C.-6或4　　　　D.6或4
7.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AB=1,AP=2,PA⊥平面ABCD,動點M,N分別在線段BD,PC上,則線段MN長度的最小值為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
8.在空間直角坐標系O-xyz中,點M(1,0,3),N(0,2,0),點P在xOz平面內,且|PM|=|PN|,請寫出一個滿足條件的點P的坐標:　　　　.
9.對于任意實數x,y,z,的最小值為　　　　.
10.已知正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1,且平面ABCD⊥平面ABEF,點M在AC上移動,點N在BF上移動,若CM=BN=a(0(1)求MN的長;
(2)當a為何值時,MN的長最小 并求出最小值.
答案與分層梯度式解析
1.2　空間兩點間的距離公式
基礎過關練
1.A　點M(3,5,2)在xOz平面內的射影是點N(3,0,2),
所以|ON|=.故選A.
2.C　點B(1,1,2)關于y軸對稱的點為C(-1,1,-2),故|AC|=.
故選C.
3.AD　由已知得,|OP|=,故A中說法錯誤;
點P到x軸的距離為,故B中說法正確;
點P到xOy平面的距離為3,故C中說法正確;
點P到yOz平面的距離為1,故D中說法錯誤.
故選AD.
4.A　由已知得,E(1,1,3),F(0,1,1),由空間兩點間的距離公式得|EF|=.故選A.
5.C　設點M關于xOy平面對稱的點為P,則P(0,2,-1),
所以光線所走的路程為|PN|=.
故選C.
6.B　若△ABC是以AB為底邊的等腰三角形,
則|AC|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-4m-49=0,m∈Z,無解;
若△ABC是以AC為底邊的等腰三角形,
則|AB|=|BC|,即
=,m∈Z,
整理,得m2-20m+15=0,m∈Z,無解;
若△ABC是以BC為底邊的等腰三角形,
則|AB|=|AC|,即
=,m∈Z,
即m2-20m+113=m2-4m+49,m∈Z,解得m=4.
故選B.
7.A　建立如圖所示的空間直角坐標系,
因為底面ABCD是正方形,AB=1,AP=2,
所以設M(t,1-t,0),N(m,m,2-2m),0≤t≤1,0≤m≤1,
則|MN|=,
當m=時,|MN|min=,
故選A.
8.答案　(0,0,1)(本題答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可)
解析　設P(x,0,z),由|PM|=|PN|,得
,
化簡,得x+3z=3.
當x=0時,z=1,此時P(0,0,1).
故答案為(0,0,1).(本題答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可)
9.答案　
解析　表示空間中的點(x,y,z)與點(0,0,0),(-1,2,1)之間的距離之和,所以最小值即為點(0,0,0)與(-1,2,1)之間的距離,此時點(x,y,z)在點(0,0,0)與(-1,2,1)的連線上,故最小值為.
10.解析　因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AB⊥BE,
所以BE⊥平面ABCD,
所以AB,BC,BE兩兩垂直.
過點M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分別為G,H,連接NG,易證NG⊥AB.
因為CM=BN=a,
所以CH=MH=BG=GN=a.
以B為坐標原點,BA,BE,BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則M.
(1)|MN|=
=.
(2)由(1)得,當a=時,MN的長最小,且最小值為.
1

展開更多......

收起↑