資源簡介

(共25張PPT)
1.空間向量的有關(guān)概念
§2 空間向量與向量運算
知識點 1 空間向量
知識 清單破
名稱 定義
空間向量 具有大小和方向的量
長度(模) 表示向量的有向線段的長度
相等向量 方向相同且模相等的向量
相反向量 方向相反且模相等的向量
零向量和單位向量 模為0的向量和模為1的向量
共線向量(平行向量) 表示向量的兩條有向線段所在的直線平行或重合的向量
共面向量 平行于同一平面的向量
提醒 (1)數(shù)學中所研究的向量,它的起點和終點可以任意平行移動,被稱為自由向量;
(2)零向量的方向是任意的,規(guī)定零向量與任意向量平行;
(3)單位向量不一定相等,但單位向量的模一定相等;
(4)方向相同且模相等的向量稱為相等向量,因此,在空間中,可用同向且等長的有向線段表示
同一向量或相等向量;
(5)空間任意兩個向量都為共面向量;
(6)一般來說,向量不能比較大小.
2.空間向量的表示
(1)用有向線段表示,如 ,點A叫作向量 的起點,點B叫作向量 的終點.
(2)印刷時用a,b,c,…表示,書寫時用 , , ,…表示.
知識點 2 空間向量的線性運算
運算 法則(或幾何意義) 運算律
加法 a+b 　　　　 三角形法則　　平行四邊形法則 交換律:a+b=b+a;
結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)
減法 a-b 三角形法則
數(shù)乘 λa (λ∈R) (1)|λa|=|λ||a|; (2)當λ>0時,λa與a方向相同;
當λ<0時,λa與a方向相反;當λ
=0時,λa=0 結(jié)合律:λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R);
分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R)
　　空間兩個向量a,b(b≠0)共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)λ,使得a=λb.通常把這個定理
稱為共線向量基本定理.(也稱“一維向量基本定理”)
知識點 3 共線向量基本定理
1.兩個向量的夾角
已知兩個非零向量a,b,在空間中任取一點O,作 =a, =b,則∠AOB叫作向量a與b的夾角,記
作.通常規(guī)定0≤≤π.

2.兩個向量的數(shù)量積
(1)定義
　　已知兩個空間向量a,b,把|a||b|·cos叫作a與b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos.
知識點 4 空間向量的數(shù)量積
(2)結(jié)論
(i)cos= (a≠0,b≠0);
(ii)|a|= ;
(iii)a⊥b a·b=0.
(3)運算律
(i)交換律:a·b=b·a;
(ii)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c;
(iii)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
3.投影向量與投影數(shù)量
　　已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作 =a, =b,過點B作直線OA的垂線,垂足為
B1,稱向量 為向量b在向量a方向上的投影向量,其長度等于||b|cos|.
若用a0表示與向量a(a≠0)同方向的單位向量,則向量b在向量a方向上的投影向量為 =|b|cosa0,向量b在向量a方向上的投影數(shù)量為|b|cos= =a0·b.
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.空間中任意兩個單位向量必相等. (　 )
2. - =0. (　 )
3.a∥b 存在實數(shù)λ∈R,使得a=λb. (　 )
4.若兩個非零向量a∥b,則=0.(　 )




提示
提示
提示
提示
任意兩個單位向量的模相等,方向不一定相同.
- =0.
b≠0時才成立.
=0或=π.
5.若a,b均為非零向量,則a·b=|a||b|是a,b共線的必要不充分條件. (　 )
6.(a·b)c=a(b·c). (　 )
7.向量b在向量a方向上的投影數(shù)量非負. (　 )



提示
a·b=|a||b|是a,b共線的充分不必要條件.
向量b在向量a方向上的投影數(shù)量是實數(shù),可正,可負,可為0.
提示
1.共線向量基本定理既是判定定理又是性質(zhì)定理,要靈活應用.可用于證明兩條直線平行,進
而證明線面平行,面面平行.
2.用共線向量基本定理證明三點共線.若A,B,C三點不重合,則存在實數(shù)λ,使得 =λ A,B,
C三點共線.
3.常用結(jié)論:P是直線AB外任意一點,A,B,C三點共線的充要條件為 =λ +μ ,且λ+μ=1(λ,
μ∈R).
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 共線向量基本定理及其應用
4.拓展認識共面向量:
(1)定義:平行于同一平面的向量叫作共面向量.
(2)共面向量定理:若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有
序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.
(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件:存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y),使 =x +y 或?qū)?br/>間任意一點O,有 = +x +y .
(4)空間四點P,A,B,C共面的充要條件: =x +y +z ,其中x+y+z=1,O為空間中的任意一
點.
典例 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,E,H分別是邊AB,AD的中點,F,G分別是邊CB,CD上的
點,且 =2 , =2 .用向量法證明四邊形EFGH是梯形.

證明 因為E,H分別是邊AB,AD的中點,
所以 = , = ,
所以 = - = - = ( - )= .
又 =2 , =2 ,
所以 = , = ,
所以 = - = - = ( - )= ,
所以 ∥ ,且| |= | |,
又點E不在FG上,
所以四邊形EFGH是梯形.
1.求兩個向量的夾角的方法
(1)結(jié)合圖形,平移向量,利用向量夾角的定義來求,但要注意夾角的范圍;
(2)先求a·b,再利用公式cos= 求cos,最后確定.
講解分析
疑難 2 利用兩個向量的數(shù)量積求夾角
2.求兩條異面直線的夾角的步驟
3.由于向量的夾角的取值范圍為[0,π],而異面直線的夾角的取值范圍為 ,因此利用向量
的數(shù)量積求異面直線的夾角時,要注意二者之間的關(guān)系,當∈ 時,它們相等;當
∈ 時,它們互補.
典例 如圖,空間四邊形OABC的各邊及對角線長都為2,E是AB的中點,F在OC上,且 =2 .
求向量 與向量 的夾角的余弦值.

解析 因為E是AB的中點,
所以 = ( + ),
因此| |= | + |= × = .
因為 =2 ,所以 = ,
所以 = - = - ,
因此| |=
= = ,
又因為 · = ( + )·
= · - · + · -
=- ,
所以向量 與向量 的夾角的余弦值為 = =- .
1.求兩點間距離的步驟
(1)用向量的模|a|表示此距離;
(2)用已知模和夾角的向量表示向量a;
(3)用公式a·a=|a|2求|a|;
(4)|a|即為所求距離.
2.求模公式的推廣
　　公式|a|= 可以推廣為|a±b|= = .
講解分析
疑難 3 利用空間向量的數(shù)量積求距離(或線段長)
典例 如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,將△ACD沿對角線AC折起,使AB與
CD成60°角,則B,D間的距離為　　　 .

2或
解析 因為∠ACD=90°,所以 · =0.
同理, · =0.
因為翻折后AB與CD成60°角,
所以< , >=60°或< , >=120°.
又 = + + ,
所以 · =| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 ·
=3+2×1×1×cos< , >
=
所以| |=2或| |= ,
即B,D間的距離為2或 .
利用空間向量的數(shù)量積判斷或證明線線、線面垂直的思路
(1)由結(jié)論a⊥b a·b=0可知,要證兩直線垂直,可構(gòu)造與兩直線分別平行的向量,只要證明這兩
個向量的數(shù)量積為0即可.
(2)用向量法證明線面垂直,離不開線面垂直的判定定理,需將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直,然后
利用向量法證明線線垂直即可.
　　用向量法證明垂直關(guān)系的步驟:
①把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;
②用已知向量表示所證向量;
③結(jié)合數(shù)量積公式和運算律證數(shù)量積為0;
④將向量問題回歸到幾何問題.
講解分析
疑難 4 利用空間向量的數(shù)量積判斷或證明垂直關(guān)系
典例 已知在四面體OABC中(如圖所示),OA⊥BC,OB⊥AC,求證:OC⊥AB.

證明 設(shè) =a, =b, =c,
則 =c-b, =c-a, =b-a.
由OA⊥BC得 · =0,
即a·(c-b)=0,
∴a·c=a·b,
由OB⊥AC得 · =0,
即b·c=b·a.
因此a·c=b·c,
即(b-a)·c=0.
∴ · =0,
∴ ⊥ ,故OC⊥AB.§2　空間向量與向量運算
2.1　從平面向量到空間向量
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　空間向量的有關(guān)概念
1.(多選題)下列說法正確的是(　　)
A.空間向量就是空間中的一條有向線段
B.空間向量不能比較大小,空間向量的模可以比較大小
C.若將空間所有單位向量的起點放在同一點,則終點圍成一個圓
D.同向且等長的有向線段表示同一向量
2.下列命題中正確的是(　　)
A.若兩個向量相等,則它們的起點和終點分別重合
B.若a和b都是單位向量,則a=b
C.兩向量的大小與其方向有關(guān)
D.零向量與任何向量共線
3.如圖,在正三角形ABC中,D,E,F均為其所在邊的中點,則以下向量和向量相等的是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.(多選題)以下關(guān)于向量的說法正確的有(　　)
A.若a=b,則|a|=|b|
B.若|a|=|b|,則a=±b
C.若a=-b且b=-c,則a=c
D.若a與b共線,b與c共線,則a與c共線
5.給出下列四個命題:
①方向相反的兩個向量是相反向量;
②若a,b滿足|a|>|b|且a,b同向,則a>b;
③不相等的兩個空間向量的模必不相等;
④對于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.
其中正確命題的序號為　　　　.
6.如圖所示,在以長、寬、高分別為AB=3,AD=2,AA1=1的長方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中:
(1)單位向量共有多少個
(2)試寫出模為的所有向量;
(3)試寫出與向量相等的所有向量;
(4)試寫出向量的相反向量.
答案與分層梯度式解析
§2　空間向量與向量運算
2.1　從平面向量到空間向量
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.BD　對于A,有向線段的起點和終點都是固定的,而空間向量是可以平移的,故A錯誤;
易知B正確;
對于C,將空間所有單位向量的起點放在同一點,則終點圍成一個球面,故C錯誤;
對于D,方向相同且模相等的兩個向量稱為相等向量,即同向且等長的有向線段表示同一向量,故D正確.
故選BD.
2.D　對于A,兩個向量相等,則它們的大小和方向相同,與位置無關(guān),故A錯誤;
對于B,若a和b都是單位向量,則|a|=|b|=1,兩向量方向不一定相同,故B錯誤;
對于C,向量不能比較大小,故C錯誤;
易知D正確.故選D.
3.D　由已知得DE是△ABC的中位線,所以DE∥CB且DE=CB.所以與向量.故選D.
4.AC　若a=b,則a和b的大小相等,方向相同,故A正確;
向量a與b的方向無法確定,a=±b不一定成立,故B錯誤;
若a=-b,b=-c,則a=-(-c)=c,故C正確;
若a與b共線,b與c共線,則當b=0時,無法判斷a與c是否共線,故D錯誤.
故選AC.
5.答案　④
解析　對于①,方向相反且模相等的兩個向量是相反向量,故①錯誤;對于②,向量是不能比較大小的,故②錯誤;對于③,不相等的兩個空間向量的模也可以相等,故③錯誤;顯然④正確.
6.解析　(1)由于長方體的高為1,所以長方體4條高所對應的這8個向量都是單位向量,而其他向量的模均不為1,故單位向量共8個.
(2)由于長方體的左、右兩個面的對角線長均為,故模為.
(3)與向量.
(4)向量.
1第2課時　空間向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　數(shù)量積的概念及運算律
1.下列說法錯誤的是　(　　)
A.設(shè)a是空間向量,則a2=|a|2
B.設(shè)a,b是兩個空間向量,則a·b=b·a
C.設(shè)a,b是兩個非零空間向量,則(a·b)2=a2·b2
D.設(shè)a,b,c是三個空間向量,則a·(b+c)=a·b+a·c
2.如圖,若正四面體A-BCD的棱長為1,且,則=(　　)
A.-1　　　B.-　　　C.　　　D.1
3.(多選題)設(shè)幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,則以下結(jié)論正確的有(　　)
A.=-a2　　　　　　B.a2
C.=a2　　　　　　 D.=a2
4.如圖,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC=3,AD=4,E為BC的中點,則等于(　　)
A.3　　　B.2　　　C.1　　　D.0
5.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為棱CC1上任意一點,則=　　　　.
題組二　空間向量的數(shù)量積的應用
在空間四邊形ABCD中,
∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,則方向上的投影向量為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
7.(多選題)如圖所示,四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱,AB是一條側(cè)棱,Pi(i=1,2,3,…,16)是上、下底面上除A,B兩點以外其余的十六個點,則的值可能是(　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
8.在四面體ABCD中,BC=1,BD=2,
∠ABC=90°,,則∠CBD=　　　　.
9.如圖,已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=1,且∠DAB=∠BAA1=∠DAA1=.
(1)求B1D的長;
(2)求夾角的余弦值.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　空間向量的數(shù)量積的應用
1.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,AB=1,PD=2,則異面直線PA與BD夾角的余弦值為(　　)
A.-　　　B.　　　C.-　　　D.
2.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點,且滿足=0,則△BCD一定是(　　)
A.鈍角三角形　　　　　　B.銳角三角形
C.直角三角形　　　　　　D.等邊三角形
3.(多選題)已知空間單位向量兩兩之間的夾角均為60°,,則下列說法中正確的是(　　)
A.=1　　　　　　B.·(
C.|　　　　　　D.cos<
4.已知空間向量a,b,|a|=2,|b|=1,=60°,則使向量a+λb與λa-2b的夾角為鈍角的實數(shù)λ的取值范圍是　　　　.
5.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=AC=CD=1,∠ACD=90°,把△ADC沿對角線AC折起,使的夾角為60°,則折起后,BD=　　　　.
6.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.在塹堵ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,M是A1C1的中點,AB=7,N,G分別在棱BB1,AC上,且BN=AC,平面MNG與AB交于點H,則=　　　　.
7.如圖所示,四邊形ABCD是矩形,EF∥AB,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形,G是AD上一動點,求FG的長度的取值范圍.
8.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長為.
(1)若側(cè)棱長為1,求證:AB1⊥BC1;
(2)若AB1與BC1的夾角為,求側(cè)棱長.
答案與分層梯度式解析
第2課時　空間向量的數(shù)量積
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C　a2=|a|2cos 0=|a|2,故A中說法正確;
由向量數(shù)量積的運算律知B,D中說法正確;
設(shè)a,b的夾角為θ,則(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=|a|2|b|2cos 2θ≤a2·b2,故C中說法錯誤.
C　)·×1×1×cos 60°+×1×1×
cos 60°=.故選C.
3.AC　如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
對于A,方向上的投影數(shù)量為-a,
∴=-a2,故A正確;
對于B,方向上的投影數(shù)量為a,
∴=a2,故B錯誤;
對于C,方向上的投影數(shù)量為a,
∴=a2,故C正確;
對于D,方向上的投影數(shù)量為-a,
∴=-a2,故D錯誤.
故選AC.
4.D　由題意得=0,
∵,
∴)·(,
又∵DB=DC,即=0.故選D.
5.答案　4
解析　棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1如圖所示,
)·=0+2×2+0=4.
6.B　設(shè)AC=2,則BD=1,由題可知,
則)·|2,
所以.故選B.
AB　由題圖知,AB與正四棱柱的上底面垂直,所以AB⊥BPi(i=1,2,…,8),則|·||·
cos∠BAPi=||·||=1,i=1,2,…,8;同理,AB與正四棱柱的下底面垂直,所以AB⊥APi(i=9,10,…,16),所以=0,i=9,10,…,16.故的值為0或1.
8.答案　30°
解析　因為∠ABC=90°,所以=0,
又,所以·(,所以.
又BC=1,BD=2,所以|·cos∠CBD=2cos∠CBD=,
所以cos∠CBD=.
又0°<∠CBD<180°,所以∠CBD=30°.
9.解析　(1)由題可知,,那么=15,所以|,
因此B1D的長為.
(2)連接A1B,由題可知,,
則|
=,
所以)·(,
所以cos <.
能力提升練
1.D　∵PD⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,
∴PD⊥DA,PD⊥DC.
∵底面ABCD為正方形,∴DA⊥DC.
易知,
∴)·(=1,
|,
|,
∴|cos<,
∴異面直線PA與BD夾角的余弦值為.
2.B　因為=0,
所以)·(>0,
所以cos B=>0,故∠B是銳角,
同理>0,可得∠C,∠D都是銳角,故△BCD是銳角三角形,故選B.
3.BC　因為單位向量兩兩之間的夾角均為60°,所以=1×1×cos 60°=,故A錯誤;
·(·(·(2,故B正確;
由,得,由,得,所以,所以,
則|
=
=,故C正確;
,
所以,故cos<><0,故D錯誤.
故選BC.
4.答案　(-1-)
解析　由題意知(a+λb)·(λa-2b)<0,且cos≠-1,即λa2+(λ2-2)a·b-2λb2<0,且(a+λb)·(λa-2b)≠-|a+λb||λa-2b|,即λ2+2λ-2<0,且λ2+2λ-2≠-2,解得-1-.
5.答案　
解析　由題意得,
故|cos 60°+0=3-1=2,故|,即BD=.
6.答案　-42
解析　如圖所示,延長MG,交A1A的延長線于點K,連接KN,
顯然KN 平面MNG,KN 平面ABB1A1,
因此,平面MNG與AB的交點H即為KN與AB的交點.
在塹堵ABC-A1B1C1中,AG∥A1M,
則,即KA=2AA1,
又BN=AA1,所以KA=6BN,而KA∥BN,
所以=6,所以AH=AB=6,
因為AA1⊥AB,A1M⊥AB,所以=0,所以)·=-6×7=-42.
7.解析　連接AF,過點E作EH∥BF交AB于點H,如圖,易得四邊形EFBH為平行四邊形.
∵EF=2,AB=4,∴AH=2,
又AE=2,EH=2,∴∠EAH=60°,
設(shè)(0≤x≤1),
則,
∴|
=
=,
∴當x=時,|FG|取最小值;當x=0或x=1時,|FG|取最大值2,
∴FG的長度的取值范圍是[].
8.解析　(1)證明:.
在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,△ABC為正三角形,
所以=0,
<.
所以)·()
=
=|
=-1+1=0,
所以,即AB1⊥BC1.
(2)由(1)知-1.
又||,
所以cos<,
所以||=2,即側(cè)棱長為2.
12.2　空間向量的運算
第1課時　空間向量的加減法與數(shù)乘運算
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量的加減法
1.已知A,B,C,D是空間中互不相同的四個點,則=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,化簡=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
3.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式運算的結(jié)果為的有(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　 D.
4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若=c,則=　　　　(用a,b,c表示).
題組二　空間向量的數(shù)乘運算
5.如圖,四面體OABC中,=c.點M在OA上,且OM=2MA,N為BC的中點,則=(　　)
A.c　　　　　　B.-c
C.-c　　　　　　D.c
6.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1C1,BB1的中點,G是MN的中點,若,則x+y+z=(　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.
7.化簡:-3(a-2b+c)=　　　　　　　.
題組三　共線向量基本定理
8.已知向量a,b,且=7a-2b,則一定共線的三點是(　　)
A.A,B,D　　　　　　B.A,B,C
C.B,C,D　　　　　　D.A,C,D
9.已知是空間兩個不共線的向量,,那么必有(　　)
A.共線
B.共線
C.共線
D.A,B,C三點不共線
10.已知A,B,P三點共線,O為空間任意一點,+β,則β=　　　　.
答案與分層梯度式解析
2.2　空間向量的運算
第1課時　空間向量的加減法與數(shù)乘運算
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　.故選B.
2.B　如圖所示,.
故選B.
3.BCD　A.;
B.;
C.;
D..
故選BCD.
4.答案　a-b+c
解析　=-b+a+c=a-b+c.
5.C　因為OM=2MA,所以,
又N為BC的中點,所以),
因此,a+b+c.
故選C.
6.C　如圖所示,連接AM,AN.
∵G是MN的中點,
∴)
=
=.
又,
∴x+y+z=.故選C.
7.答案　a+b-c
解析　原式=a+b-c+a-b+c-3a+6b-3c
=a+b+c
=a+b-c.
8.A　因為=2a+4b=2(a+2b)=2,且AB,BD有公共點B,所以A,B,D三點共線.
9.D　若共線,則(λ∈R),
又,所以λ,
即,則共線,與條件矛盾,故A錯誤;
若共線,則(μ∈R),
又,所以μ,
即,則共線,與條件矛盾,故B錯誤;
若共線,則(m∈R),
則有),
整理,得,
又,
所以無解,
所以不共線,故C錯誤,D正確.
故選D.
10.答案　
解析　因為A,B,P三點共線,所以(λ∈R),
即),即,
又,所以所以β=.
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