資源簡介

(共21張PPT)
§3 空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
知識點 1 空間向量基本定理
知識 清單破
　　如果向量a,b,c是空間三個不共面的向量,p是空間任意一個向量,那么存在唯一的三元有
序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫作空間向量的一組基,其中a,b,c都叫作基向量.空間
任意三個不共面的向量都可以構成空間向量的一組基.
　　在空間直角坐標系O-xyz中,分別沿x軸、y軸、z軸正方向作單位向量i, j,k,這三個互相垂
直的單位向量就構成空間向量的一組基{i, j,k},這組基叫作標準正交基.
知識點 2 標準正交基
知識點 3 空間向量運算的坐標表示
向量運算 坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
減法 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
數乘 λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R)
數量積 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
知識點 4 空間向量平行(共線)和垂直的條件
位置關系 坐標表示
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
平行 a∥b a=λb(λ∈R,b≠0)
當b與三個坐標平面都不平行(即b1b2b3≠0)
時,a∥b = =
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
知識點 5 空間向量長度與夾角的坐標表示
向量長度 若a=(a1,a2,a3),則|a|= =
兩點間的 距離公式 若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),則|AB|=| |=

向量 夾角公式 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則cos= =
(a≠0,b≠0)
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.空間直角坐標系中,向量 的坐標與終點B的坐標相同. (　 )
2.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),a∥b,則 = = .(　 )
3.若{a,b,c}為空間向量的一組基,則a,b,c全不是零向量. (　 )
4.若四邊形ABCD是平行四邊形,則向量 與 的坐標相同. (　 )


√
√
提示
提示
提示
提示
當向量 的起點A在原點時,其坐標才與終點B的坐標相同.
當向量b為零向量時,結論不成立.
要使{a,b,c}作為空間向量的一組基,那么a,b,c三者必不共面,而零向量與任意向量共面,
所以a,b,c全不是零向量.
平行四邊形的對邊平行且相等,所以 與 方向相同,大小相等,因此二者的對應坐標
也相同.
1.基向量的選擇
(1)所選向量必須不共面,可以利用空間向量基本定理或常見的幾何圖形的幾何性質幫助判
斷;
(2)所選基向量與要表示的向量一般應在同一封閉圖形內,能用基向量的線性運算表示未知
向量;
(3)盡可能選擇具有垂直關系的、從同一起點出發的三個向量作為基向量.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用基解決幾何向量
2.用一組基表示向量的步驟
(1)定基
　　根據已知條件,確定三個不共面的向量作為空間向量的一組基.
(2)找目標
　　用確定或已知的一組基表示目標向量,需要根據三角形法則或平行四邊形法則,結合相
等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡,最后求出結果.
(3)得結論
　　利用空間向量的一組基{a,b,c}可以表示出空間所有向量,其結果中只能含有a,b,c,不能
含有其他向量.
典例 已知空間四邊形OABC,其對角線為OB,AC,M,N分別是OA,BC的中點,點G在線段MN上,
且 =2 ,現用一組基{ , , }表示向量 ,有 =x +y +z ,則x,y,z的值分別
為 (　 )
A. , , 　 B. , ,
C. , , 　 D. , ,
A
解析 如圖所示,連接ON.

∵M,N分別是OA,BC的中點,點G在線段MN上,且 =2 ,
∴ = + , = , = ,
= - , = ( + ),
∴ = +
= + + ,
又 =x +y +z ,
∴x= ,y=z= ,故選A.
方法點撥 用基表示向量時,若基確定,則充分利用向量加法、減法的運算法則,以及數乘向
量的運算律進行表示;若沒有給定基,應先選擇基,選擇基時,要盡量使所選的基向量能方便地
表示其他向量,基向量的模及夾角應已知或易求.
利用空間向量的坐標運算解決空間向量平行、垂直問題的方法

講解分析
疑難 2 利用空間向量的坐標運算解決空間向量平行、垂直問題
典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,已知E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點.
(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)過點B作BM⊥AC1于點M,求點M的坐標;
(3)若P,Q分別為線段B1D1,BD上的點,且3 = ,是否存在λ,使 =λ ,且 ⊥ 若存
在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
解析 如圖,以A為原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

設正方體的棱長為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,
1).由中點坐標公式,得E ,G ,H .
(1)證明: =(1,0,1), = , = .
因為 =2 , · =1× +1× =0,所以 ∥ , ⊥ ,
即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)設M(x,y,z),則 =(x,y,z), =(x-1,y,z).又 =(1,1,1),
所以由BM⊥AC1,得 · =0,
即x-1+y+z=0.①
由題意得 ∥ ,
設 =μ (μ∈R),則x=y=z=μ.②
由①②,得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以點M的坐標為 .
(3)假設存在滿足條件的λ.
設P(x1,y1,1),則 =(x1-1,y1,0), =(-x1,1-y1,0),
由3 = 得
即
所以點P的坐標為 .
設Q(x2,y2,0),
則 = , =(x2,y2-1,0),
易得 = , =(-1,1,0).
由 ⊥ ,得 · =x2- +y2- - =0,③
由 =λ ,得 ④
聯立③④,無解,即不存在滿足條件的λ.
1.求兩向量夾角的步驟
(1)確定兩向量的坐標:a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2).
(2)利用公式求兩向量的夾角:cos= .
2.求空間中兩點間的距離或線段長度的常用方法
(1)空間兩點間的距離公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=| |= =
.
(2)向量的模的計算公式:a=(x,y,z),則|a|= .
講解分析
疑難 3 利用空間向量的坐標運算求夾角、長度問題
典例 如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AA1=4,AB=BC=2,M為A1C
的中點,點N在線段AD上,AN=3.

(1)求線段MN的長;
(2)求異面直線MN與A1B夾角的余弦值.
解析 (1)因為幾何體ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,
又AB,AD 平面ABCD,
所以AA1⊥AB,AA1⊥AD.
因為∠BAD=90°,
所以AA1,AB,AD兩兩互相垂直.
如圖,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,

則B(2,0,0),C(2,2,0),A1(0,0,4),N(0,3,0).
因為M為A1C的中點,
所以M(1,1,2),
所以 =(-1,2,-2),
所以|MN|= =3.
(2)由(1)得 =(-1,2,-2), =(2,0,-4),
則cos< , >= = = .
所以異面直線MN與A1B夾角的余弦值為 .§3　空間向量基本定理及空間向量運算的坐標表示
3.1　空間向量基本定理
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量基本定理及相關概念的理解
1.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,能構成空間向量的一組基的是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　 D.
2.(多選題)已知a,b,c是空間中的三個單位向量,下列說法正確的是(　　)
A.若a∥b,b∥c,則a∥c
B.若a,b,c兩兩共面,則a,b,c共面
C.若{a,b,c}是空間向量的一組基,則{a+b,b+c,c+a}也是空間向量的一組基
D.對于空間中的任意一個向量p,總存在實數x,y,z,使得p=xa+yb+zc
題組二　空間向量基本定理的應用
3.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點,若,則(　　)
A.x=1,y=
B.x=1,y=-
C.x=
D.x=-
4.O為空間任意一點,若,A,B,C,P四點共面,則t=(　　)
A.1　　　B.　　　C.　　　D.
5.(多選題)如圖所示,M是四面體OABC的棱BC的中點,點N在線段OM上,點P在線段AN上,且|AP|=3|PN|,,設=c,則下列等式成立的是(　　)
A.c　　　　　　B.c-a
C.a　　　　 D.c
6.已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.
(1)求證:BD∥平面EFGH;
(2)求證:E,F,G,H四點共面;
(3)設M是EG和FH的交點,求證:對空間任意一點O,有).
答案與分層梯度式解析
§3　空間向量基本定理及空間
向量運算的坐標表示
3.1　空間向量基本定理
基礎過關練
1.AC　如圖所示,
對于A,不共面,能構成空間向量的一組基,故A正確;
對于B,,所以共面,不能構成空間向量的一組基,故B錯誤;
對于C,不共面,能構成空間向量的一組基,故C正確;
對于D,,所以共面,不能構成空間向量的一組基,故D錯誤.
故選AC.
2.AC　因為a,b,c都是非零向量,所以當a∥b且b∥c時,一定有a∥c,故A正確;
易知B錯誤;
若a,b,c是空間向量的一組基,則a+b,b+c,c+a不共面,也可以構成空間向量的一組基,故C正確;
對于空間中的任意一個向量p,總存在實數x,y,z,使得p=xa+yb+zc,當且僅當a,b,c不共面時成立,故D錯誤.故選AC.
3.B　由題意得,,
因為,所以x=1,y=-.
故選B.
4.C　若A,B,C,P四點共面,則存在有序實數對(x,y),使,所以,整理,得,
又,
所以故選C.
5.BD　對于A,利用向量加法的運算法則,得b+c,A錯誤;
對于B,利用向量減法的運算法則,得b+c-a,B正確;
對于C,因為|AP|=3|PN|,所以b+c-a,C錯誤;
對于D,=a+b+c-a=a+b+c,D正確.故選BD.
6.證明　(1)∵E,H分別是AB,DA的中點,即EH為△ABD的中位線,∴EH∥BD,
又EH 平面EFGH,BD 平面EFGH,
∴BD∥平面EFGH.
(2)連接BG,則,
由平面向量基本定理,知E,F,G,H四點共面.
(3)易知,
∴,因此四邊形EFGH是平行四邊形,
∴M為EG,FH的中點.
在空間中任取一點O,連接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,如圖所示:
則,
),
∴).
13.2　空間向量運算的坐標表示及應用
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　空間向量運算的坐標表示
1.若向量a,b滿足a+b=(-2,-1,2),a-b=(4,-3,-2),則a·b等于(　　)
A.-1　　　　　　B.-5
C.5　　　　　　 D.7
2.已知a=(1,2,2),b=(-2,1,1),則向量b在a方向上的投影向量為(　　)
A.
B.
C.
D.
3.已知{a,b,c}是空間向量的一組基,{a,b+c,b-c}是空間向量的另一組基,若向量ρ在基{a,b,c}下的坐標為(2,3,-1),則向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐標是(　　)
A.(2,-1,-2)　　　　　　B.(2,-1,2)
C.(2,1,-2)　　　　　　 D.(2,1,2)
4.以下四組向量在同一平面內的是(　　)
A.(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
B.(3,0,0),(1,1,2),(2,2,4)
C.(1,2,3),(1,3,2),(2,3,1)
D.(1,0,0),(0,0,2),(0,3,0)
5.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),則a·(b+c)的值為　　　　.
6.已知直線l經過A(-2,1,1),B(1,0,-3)兩點,直線l上有一點P,使得,則點P的坐標為　　　　.
題組二　空間向量的平行與垂直
7.已知a=(λ+1,0,2λ),b=(6,2μ-1,2),若a∥b,則λ和μ的值分別為(　　)
A.　　　　　　B.5,2
C.-　　　　　 D.-5,-2
8.已知a=(1,5,-2),b=(m,2,m+1),若a⊥b,則m的值為(　　)
A.-6　　　　　　B.-8
C.6　　　　　　 D.8
9.已知向量a=(-1,1,0),b=(1,0,2),且ka+b與a-2b互相平行,則k=(　　)
A.-　　　　　　B.
C.　　　　　　 D.-
10.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,若棱AD上存在點M,使得B1M⊥MC,則AB長度的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
11.點A(1,2,1),B(3,3,2),C(1,4,3),若點D在線段AB上,且滿足CD⊥AB,則點D的坐標為　　　　.
12.已知
=(-1,4,-1),設a=.
(1)證明:△ABC是直角三角形;
(2)若(-2a+kb)∥c,求k的值.
題組三　空間向量的長度和夾角
13.若a=(3x,-5,4)與b=(x,2x,-2)(x≠0)的夾角為鈍角,則x的取值不可能為(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
14.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=BC=1,動點P,Q分別在線段C1D,AC上,則線段PQ長度的最小值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
15.如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是線段AD,BC上的動點,且AE=BF,AC與EF交于點G,EF在AB與CD之間滑動,但與AB和CD均不重合.現將四邊形EFCD沿直線EF折起,使平面EFCD⊥平面ABFE,在EF從AB滑動到CD的過程中,
∠AGC的大小(　　)
A.先變小后變大　　　　　B.先變大后變小
C.不發生變化　　　　　　D.由小變大
16.已知點A(0,1,2),B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D為線段BC的中點,求線段AD的長;
(2)若=(2,a,1),且=1,求a的值,并求此時向量夾角的余弦值.
17.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,O,O1分別是AC,A1C1的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求正三棱柱的側棱長;
(2)求異面直線AB1與BC夾角的余弦值.
答案與分層梯度式解析
3.2　空間向量運算的坐標表示及應用
基礎過關練
1.B　由已知得,a=[(a+b)+(a-b)]=[(-2,-1,2)+(4,-3,-2)]=(1,-2,0),
b=[(a+b)-(a-b)]=[(-2,-1,2)-(4,-3,-2)]=(-3,1,2),
∴a·b=1×(-3)-2×1+0=-5.
故選B.
2.B　∵a=(1,2,2),b=(-2,1,1),∴a·b=1×(-2)+2×1+2×1=2,
向量a方向上的單位向量e=,
∴向量b在a方向上的投影向量為e=.故選B.
3.D　因為向量ρ在基{a,b,c}下的坐標為(2,3,-1),所以ρ=2a+3b-c.
設向量ρ在基{a,b+c,b-c}下的坐標是(x,y,z),則ρ=xa+y(b+c)+z(b-c)=xa+(y+z)b+(y-z)c,
所以在基{a,b+c,b-c}下的坐標是(2,1,2).故選D.
4.B　對于A,設(1,1,0)=m(0,1,1)+n(1,0,1),則無解,故A中三個向量不共面;
對于B,因為(2,2,4)=0(3,0,0)+2(1,1,2),故B中三個向量共面;
對于C,設(1,2,3)=p(1,3,2)+q(2,3,1),則無解,故C中三個向量不共面;
對于D,設(1,0,0)=a(0,0,2)+b(0,3,0),則無解,故D中三個向量不共面.
故選B.
5.答案　5
解析　因為b=(2,0,3),c=(0,2,2),
所以b+c=(2,2,5),
又因為a=(2,3,-1),
所以a·(b+c)=2×2+3×2+(-1)×5=5.
6.答案　(-5,2,5)
解析　設P(x,y,z),則=(x+2,y-1,z-1),
又,
∴(x+2,y-1,z-1)=-(3,-1,-4)=(-3,1,4),
∴
∴點P的坐標為(-5,2,5).
7.A　因為a∥b,所以b=ma(m∈R),
即故選A.
8.D　因為a⊥b,所以a·b=0,
即m+10-2(m+1)=0,解得m=8,
故選D.
9.D　ka+b=(-k+1,k,2),a-2b=(-3,1,-4),
因為ka+b與a-2b互相平行,所以,解得k=-,故選D.
10.C　如圖所示,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,
設AM=x(0≤x≤1),AB=a(a>0),
則M(0,x,0),B1(a,0,1),C(a,1,0),
所以=(a,1-x,0),
因為B1M⊥MC,所以,
所以=-a2+x(1-x)=0,
即a=,
當0≤x≤1,a>0時,a∈,
所以AB長度的取值范圍是,
故選C.
11.答案　
解析　設點D的坐標為(x,y,z),則=(x-1,y-2,z-1),
因為點D在線段AB上,且滿足CD⊥AB,
所以
解得所以點D的坐標為.
12.解析　(1)證明:∵=(-2,2,1),
∴=(-1,-2,2)·(-2,2,1)=(-1)×(-2)+(-2)×2+2×1=0,
∴,即BA⊥BC,
∴△ABC是直角三角形.
(2)∵-2a+kb=(2-2k,4+2k,k-4),(-2a+kb)∥c,
∴,解得k=2.
13.D　由題意得a·b=3x2-10x-8<0,解得-若a與b共線,則,無解,所以a與b不共線,所以-14.C　建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),
設,λ,μ∈[0,1],
則=(1,0,0)+μ(-1,1,0)=(1-μ,μ,0),
∴=(1-μ,μ-λ,-2λ),
∴|
=
=,
∴當λ=時,線段PQ的長度取得最小值,最小值為.
15.C　設正方形ABCD的邊長為1,AE=a(0則A(a,0,0),C(0,1,1-a),G(0,a,0),
所以=(0,1-a,1-a),
則cos∠AGC=,
所以∠AGC=120°,即∠AGC不會發生變化,故選C.
16.解析　(1)由題意得,D(1,2,1),∴,即線段AD的長為.
(2)易知=2-2a+1=1,解得a=1,∴=(2,1,1).
∴cos<,
即向量.
17.解析　(1)設正三棱柱的側棱長為h.
由題意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),則,1,h).因為AB1⊥BC1,所以=-3+1+h2=0,所以h=(負值舍去).故正三棱柱的側棱長為.
(2)由(1)可知,1,0),
所以|=2,
所以cos<.
所以異面直線AB1與BC夾角的余弦值為.
1

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