資源簡介

§4　向量在立體幾何中的應用
4.1　直線的方向向量與平面的法向量
4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　直線的方向向量
1.(多選題)下列關于空間向量的說法中正確的是(　　)
A.若a是直線l的方向向量,則λa(λ∈R)也是直線l的方向向量
B.空間任意一條直線的位置可以由直線上一點及該直線的方向向量唯一確定
C.若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反
D.若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(1,-1,1)
2.已知直線l1的一個方向向量為a=(2,4,m),直線l2的一個方向向量為b=(2,n,2),若|a|=6且a⊥b,則m+n的值是(　　)
A.-3或1　　　B.3或-1　　　C.-3　　　D.1
3.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)(x≠0)都是直線l的方向向量,則x的值是　　　　.
題組二　平面的法向量
4.(多選題)已知向量=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量是(　　)
A.　　　　　　B.
C.　　　　　　D.
5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱DD1的中點,以A為坐標原點建立空間直角坐標系(如圖),則平面ABE的一個法向量為(　　)
A.(1,0,-2)　　　　　　B.(0,1,2)
C.(0,2,-4)　　　　　　D.(-2,1,4)
6.17世紀,笛卡兒在《幾何學》中,通過建立坐標系,引入點的坐標的概念,將代數對象與幾何對象建立關系,從而實現了代數問題與幾何問題的轉化,打開了數學發展的新局面,創立了新分支——解析幾何.我們知道,方程x=1在一維空間中表示一個點;在二維空間中,它表示一條直線;在三維空間中,它表示一個平面.那么,過點P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)為法向量的平面α所對應的方程為(　　)
A.x+2y-z+3=0　　　　　　B.2x-y-3z-3=0
C.x+2y+z-3=0　　　　　　D.2x-y-3z+3=0
題組三　利用向量解決平行問題
7.若兩條不重合的直線l1和l2的一個方向向量分別為ν1=(1,0,-1),ν2=(-2,0,2),則l1和l2的位置關系是(　　)
A.平行　　　B.相交　　　C.垂直　　　D.不確定
8.已知直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則“m·n=0”是“l∥α”的(　　)
A.充要條件
B.既不充分也不必要條件
C.充分不必要條件
D.必要不充分條件
9.已知平面α內的三點A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一個法向量為n=(-1,-1,-1),且β與α不重合,則(　　)
A.α∥β　　　　　　
B.α⊥β
C.α與β相交但不垂直　　　　　　
D.以上都不對
10.如圖,正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,則點M的坐標為(　　)
A.(1,1,1)　　　　　　B.
C.　　　　 D.
題組四　利用向量解決垂直問題
11.(多選題)已知e為直線l的方向向量,n1,n2分別為平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列說法中正確的有(　　)
A.e⊥n1 l∥α
B.n1⊥n2 α⊥β
C.n1∥n2 α∥β
D.e∥n1 l⊥α
12.已知直線l和平面ABC,若直線l的一個方向向量n=(1,-2,-5),向量=(2,1,0),則下列結論一定正確的為(　　)
A.l⊥平面ABC
B.l與平面ABC相交,但不垂直
C.l∥直線BC
D.l∥平面ABC或l 平面ABC
13.已知平面α的一個法向量為(2,-4,-2),平面β的一個法向量為(-1,2,k),若α⊥β,則k=　　　　.
14.如圖,下列正方體中,O為底面的中心,P為所在棱的中點,M,N為正方體的頂點,則滿足MN⊥OP的是　　　　.(填序號)
　　　　　　　
　　　　　　　
15.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=
∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,側面PBC⊥底面ABCD.求證:PA⊥BD.
16.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=a,E,F分別是BB1,CC1上的點,且BE=a,CF=2a,求證:平面AEF⊥平面ACF.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　利用向量解決平行問題
1.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱DD1,BB1上的動點(異于所在棱的端點).給出下列結論:①直線FC1能與AE平行;②直線AC1與EF必然異面;③設直線AE,AF分別與平面A1B1C1D1相交于點P,Q,則點C1可能在直線PQ上.其中所有正確結論的序號是　　(　　)
A.①②　　　B.①③　　　C.②③　　　D.①
2.如圖所示,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分別是棱AD,AA1,AB的中點.求證:
(1)直線EE1∥平面FCC1;
(2)平面ADD1A1∥平面FCC1.
題組二　利用向量解決垂直問題
3.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,AB=2AD=4,PD=,E是PA的中點,.若點M在矩形ABCD內,且PM⊥平面DEF,則DM=(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為的正方形,CC1⊥BC,BC=1,AB=2.
(1)證明:平面A1BC⊥平面ABC1;
(2)在線段A1B上是否存在點M,使得CM⊥BC1 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
題組三　向量法的綜合應用
5.如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分別是BB1,DD1的中點,則下列結論正確的是(　　)
A.A1O∥EF　　　　　　B.A1O⊥EF
C.A1O∥平面EFB1　　　D.A1O⊥平面EFB1
6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E,F分別是AB,BC的中點.
(1)證明:PF⊥DF;
(2)判斷并說明PA上是否存在點G,使得EG∥平面PFD.
7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N分別為AC,B1C1的中點.
(1)求證:MN∥平面ABB1A1;
(2)在線段CC1上是否存在點Q,使得A1B⊥平面MNQ 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
§4　向量在立體幾何中的應用
4.1　直線的方向向量與平面的法向量
4.2　用向量方法研究立體幾何中的位置關系
基礎過關練
1.BCD　對于A,當λ=0時,λa=0不能作為直線l的方向向量,故A錯誤;
易知B正確;
對于C,相互平行的兩條直線的方向向量共線,所以兩向量的方向相同或相反,故C正確;
對于D,l的一個方向向量為=(1-(-1),0-2,3-1)=(2,-2,2)=2(1,-1,1),
所以(1,-1,1)也為l的一個方向向量,故D正確.
故選BCD.
2.A　∵|a|==6,∴m=±4,
又∵a⊥b,∴a·b=2×2+4n+2m=0,
∴n=-1-m,
當m=4時,n=-3,則m+n=1;
當m=-4時,n=1,則m+n=-3.
∴m+n的值為1或-3.故選A.
3.答案　-1
解析　由題意得,存在實數λ,使得b=λa,即(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3),
即
4.AB　設平面ABC的一個法向量為m=(x,y,z),則取y=λ,λ∈R,則x=-λ,z=-λ,所以m=.若m為單位向量,則λ2+λ2+λ2=1,解得λ=±,故平面ABC的單位法向量為.
故選AB.
5.C　由題意可得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),
所以=(2,0,0),
設平面ABE的一個法向量為m=(x,y,z),
則
取y=1,得x=0,z=-2,則m=(0,1,-2),
所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一個法向量.
故選C.
6.D　設P(x,y,z)是平面α內的任意一點,則=(x-1,y-2,z-1),
故過點P0(1,2,1)且以u=(-2,1,3)為法向量的平面α所對應的方程為
-2(x-1)+(y-2)+3(z-1)=0,整理,得2x-y-3z+3=0.故選D.
7.A　因為v2=-2v1,所以v2與v1共線,所以兩條不重合的直線l1和l2的位置關系是平行.故選A.
8.D　當直線l的方向向量m和平面α的法向量n滿足m·n=0時,l∥α或l α,
而當l∥α時,m·n=0.
所以“m·n=0”是“l∥α”的必要不充分條件,故選D.
9.A　由題意得=(1,0,-1).
∵n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,n·=(-1,-1,-1)·(1,0,
-1)=-1×1+0+(-1)×(-1)=0,
∴n⊥,n⊥,∴n也為α的一個法向量,
又α與β不重合,∴α∥β.故選A.
10.C　連接OE.設點M的坐標為(x,y,1),
因為AC∩BD=O,所以O,
又E(0,0,1),A(,0),
所以,1),
因為AM∥平面BDE,平面ACEF∩平面BDE=OE,所以,
所以
所以點M的坐標為.故選C.
11.BCD　e⊥n1 l∥α或l α,故A錯誤;易判斷BCD正確.
12.D　因為n·=1+0+5=6≠0,所以n與不垂直,即l與AB不垂直,又AB 平面ABC,所以直線l與平面ABC不垂直,故A錯誤;
=(1,1,1),易知不存在實數k,使得n=k,所以n與不平行,即直線l與直線BC不平行,故C錯誤;
設m=(x,y,z)是平面ABC的一個法向量,
則取x=1,則y=-2,z=1,所以m=(1,-2,1),所以m·n=1+4-5=0,所以m⊥n,所以直線l與平面ABC平行或在平面ABC內,故B錯誤,D正確.
故選D.
13.答案　-5
解析　因為α⊥β,所以兩平面的法向量垂直,
所以(2,-4,-2)·(-1,2,k)=-2-8-2k=0,解得k=-5.
14.答案　②③
解析　設正方體的棱長為2.
對于①,建立如圖1所示的空間直角坐標系,
則M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),O(1,1,0),
所以=(-1,1,1),
則=2+2+0≠0,
所以不垂直,即MN與OP不垂直,所以①錯誤;
對于②,建立如圖2所示的空間直角坐標系,
則M(2,0,0),N(0,0,2),P(2,0,1),O(1,1,0),
所以=(1,-1,1),
則=-2+0+2=0,
所以,即MN⊥OP,所以②正確;
對于③,建立如圖3所示的空間直角坐標系,
則M(2,2,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0),
所以=(-1,-1,1),
則=2+0-2=0,
所以,即MN⊥OP,所以③正確;
對于④,建立如圖4所示的空間直角坐標系,
則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),O(1,1,0),
所以=(1,0,2),
則=0+0+4≠0,
所以不垂直,即MN與OP不垂直,所以④錯誤.
故答案為②③.
15.證明　如圖,取BC的中點O,連接PO.易知PO⊥平面ABCD,以O為坐標原點建立空間直角坐標系.
設AB=2a,則A(a,-2a,0),P(0,0,a),B(a,0,0),D(-a,-a,0),
∴=(-2a,-a,0),
∴=a×(-2a)+(-2a)×(-a)+0=0,
∴,即PA⊥BD.
16.證明　以A為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,
不妨設a=2,則A(0,0,0),E(,1,2),F(0,2,4),
∴=(0,2,4).
∵x軸⊥平面ACF,∴可取平面ACF的一個法向量為m=(1,0,0).
設平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z),
則取z=1,可得n=(0,-2,1)為平面AEF的一個法向量.
∵m·n=0,∴m⊥n,∴平面AEF⊥平面ACF.
能力提升練
1.B　在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=C1D1,DD1=BB1,B1C1=AD,連接C1E,如圖①,由勾股定理得AE=,當E,F分別是棱DD1,BB1的中點時,AE=C1F,同理可得AF=C1E,所以四邊形AEC1F是平行四邊形,所以直線FC1能與AE平行,直線AC1能與EF相交,①正確,②錯誤;
以C1為坐標原點,C1D1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖②所示的空間直角坐標系,則當E,F分別是棱DD1,BB1的中點且長方體為正方體時,延長AE,交A1D1的延長線于點P,延長AF,交A1B1的延長線于點Q,連接PQ,設正方體的棱長為2,則C1(0,0,0),P(2,
-2,0),Q(-2,2,0),則=(2,-2,0),則,又C1P與QC1有公共點C1,所以C1,P,Q三點共線,所以點C1可能在直線PQ上,③正確.故選B.
2.證明　證法一:(1)因為AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中點,底面ABCD為等腰梯形,
所以BF=BC=CF,所以△BCF為正三角形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
取AF的中點M,連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD.
以D為原點,DM,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:
則F(,-1,1),所以.
設平面FCC1的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令x=1,得y=,z=0,所以n=(1,,0),
則n·+0×1=0,所以n⊥.
又直線EE1 平面FCC1,
所以直線EE1∥平面FCC1.
(2)易得D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),
所以=(0,0,2).
設平面ADD1A1的一個法向量為m=(x1,y1,z1),
則
令x1=1,得y1=,z1=0,
所以m=(1,,0).
結合(1)知m=n,即m∥n,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
證法二:(1)取A1B1的中點G,連接C1G,GF,CG,A1D(圖略).
因為A1G=A1B1,A1G∥D1C1,DC∥D1C1,所以A1G DC,所以四邊形A1DCG為平行四邊形,所以A1D∥CG.
又E,E1分別為AD,AA1的中點,所以EE1為△ADA1的中位線,所以EE1∥A1D,即EE1∥CG.
因為EE1 平面FCC1,CG 平面FCC1,
所以EE1∥平面FCC1.
(2)由(1)知A1D∥CG.易知DD1∥CC1,
因為A1D∩DD1=D,A1D,DD1 平面ADD1A1,CG∩CC1=C,CG,CC1 平面FCC1,
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
3.D　如圖,以D為坐標原點,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標系,
則D(0,0,0),P,F,所以.
設平面DEF的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令z=,得x=-2,y=-1,
所以n=(-2,-1,).
設M(m,n,0),0≤m≤2,0≤n≤4,
則.
因為PM⊥平面DEF,所以∥n,
則,解得m=.
故DM=.
故選D.
4.解析　(1)證明:在△ABC中,AC=,BC=1,AB=2,滿足AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC.
又CC1⊥BC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.
又AC1 平面ACC1A1,所以BC⊥AC1.
因為四邊形AA1C1C是正方形,所以AC1⊥A1C,
又BC∩A1C=C,所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1 平面ABC1,
所以平面A1BC⊥平面ABC1.
(2)在線段A1B上存在點M,使得CM⊥BC1,且.
以C為原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則C(0,0,0),B(0,1,0),A1(),所以),設M(x,y,z),(0≤λ≤1),則(x,y-1,z)=λ(),解得x=λ,所以λ),要使CM⊥BC1,則需=0,即1-λ-3λ=0,解得λ=,故.
5.B　在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,
令AB=2a,DD1=2b(a>0,b>0),則O(a,a,0),A1(2a,0,2b),E(2a,2a,b),F(0,0,b),B1(2a,2a,2b),所以
=(0,0,b).對于A,顯然不共線,即A1O與EF不平行,A不正確;對于B,因為=-2a2+2a2=0,所以,即A1O⊥EF,故B正確;對于C,設平面EFB1的一個法向量為n=(x,y,z),則令x=1,得y=-1,z=0,所以n=(1,-1,0),因為·n=2a>0,所以與n不垂直,即A1O不平行于平面EFB1,故C不正確;對于D,由選項C知,與n不共線,即A1O不垂直于平面EFB1,故D不正確.故選B.
6.解析　如圖,建立空間直角坐標系A-xyz,
則F(1,1,0),D(0,2,0),E,
不妨令P(0,0,t),則=(1,-1,0).
(1)證明:∵=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,
∴,即PF⊥DF.
(2)設平面PFD的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令z=1,得x=y=,∴n=.
設G(0,0,m),則.
要使EG∥平面PFD,只需·n=0,
即-+m×1=0,解得m=t.
∴當點G滿足AG=AP時,EG∥平面PFD.
7.解析　(1)證明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,所以直線CB,CC1,CA兩兩垂直,故以C為坐標原點,CB,CC1,CA所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz,
設AC=2,則M(0,0,1),A(0,0,2),B(2,0,0),N(1,2,0),B1(2,2,0),
所以=(2,2,-2),
設n=(x,y,z)是平面ABB1A1的一個法向量,
則
令x=1,得y=0,z=1,所以n=(1,0,1),
顯然·n=1+0-1=0,即⊥n,
又MN 平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.
(2)存在.
假設在線段CC1上存在點Q滿足條件,設CQ=y0,0≤y0≤2,
由A1(0,2,2),B(2,0,0),M(0,0,1),N(1,2,0),Q(0,y0,0),
得=(0,y0,-1),
設m=(a,b,c)是平面MNQ的一個法向量,
則
令b=1,得a=y0-2,c=y0,所以m=(y0-2,1,y0),
由A1B⊥平面MNQ,得∥m,即存在實數λ,滿足m=λ,即解得λ=-,y0=1,因此CQ=1,即Q是CC1的中點,所以在線段CC1上存在點Q,使得A1B⊥平面MNQ,此時.
1(共22張PPT)
1.直線的方向向量
　　設點A,B是直線l上不重合的任意兩點,稱 為直線l的方向向量.與 平行的任意非零向
量a也是直線l的方向向量.
§４ 向量在立體幾何中的應用
知識點 1 直線的方向向量與平面的法向量
知識 清單破
4.1 直線的方向向量與平面的法向量
4.2 用向量方法研究立體幾何中的位置關系
2.平面的法向量
　　如圖,如果一條直線l與一個平面α垂直,那么就把直線l的方向向量n叫作平面α的法向量,
則n⊥α.
　　設點M是平面α內給定的一點,向量n是平面α的一個法向量,那么對于平面α內任意一點P,
必有 ·n=0.反過來,滿足此式的點P都在平面α內,所以把此式稱為平面α的一個向量表示式.
位置關系 向量表示
線線平行 設兩條不同直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,
則l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2
線面平行 設直線l的方向向量為u,n是平面α的法向量,
且l α,則l∥α u⊥n u·n=0
面面平行 設兩個不同平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α
∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2
知識點 2 空間中的平行
知識點 3 空間中的垂直
位置 關系 向量表示
線線 垂直 設直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
線面 垂直 設直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn
面面 垂直 設平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
　　三垂線定理:若平面內的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內的投影垂直,則它也
和這條斜線垂直.
三垂線定理的逆定理:若平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線
在這個平面內的投影垂直.
知識點 4 三垂線定理
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若向量a是直線l的一個方向向量,則向量ka也是直線l的一個方向向量. (　 )
2.一個平面的法向量有無數個,任意兩個都是共線向量.(　 )
3.要證明兩平面平行,只需證明兩平面的法向量垂直即可. (　 )
4.要證明直線與平面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直即可.(　 )
5.若直線a是平面α外的一條直線,直線b垂直于直線a在平面α內的投影,則a⊥b. (　 )




√
提示
提示
提示
提示
此命題成立的前提條件是k≠0.
要證明兩平面平行,只需證明兩平面的法向量平行即可.
要證明直線與平面垂直,只需證明直線的方向向量與平面的法向量平行即可.
若直線b不在平面α內,則命題不成立.
平面法向量的確定的兩種常用方法
(1)若幾何體中已經給出有向線段,則只需證明線面垂直;
(2)若幾何體中沒有具體的直線,則此時可以采用待定系數法求解平面的法向量.
　　若要求出一個平面的法向量的坐標,一般要建立空間直角坐標系,然后用待定系數法求
解,一般步驟:
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求平面的法向量

提醒 (1)求平面的法向量n=(x,y,z)時,一般將x,y,z中的一個視為“已知數”,表示出另外兩個,
再令這個“已知數”為1(或其他非零常數),即可求得n.
(2)從簡化運算的角度出發,應盡量避免法向量的坐標中含有分數.
(3)(0,0,0)不能作為平面的一個法向量,當x=y=z時,不能給其中一個賦值為0.
典例 如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O為底面中心,A1O⊥平面ABCD,|AB|
=|AA1|= ,建立空間直角坐標系,則平面OCB1的一個法向量的坐標為　 　　 .

(1,0,-1)(答案不唯一)
解析 ∵四邊形ABCD是正方形,且|AB|= ,∴|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,
∴A(0,-1,0),B(1,0,0),C(0,1,0),
∴ =(1,1,0), =(0,1,0),
又 = ,∴ =(1,1,0).
∵|OA|=1,|AA1|= ,
∴|OA1|= =1,
∴ =(0,0,1),
∴ = + =(1,1,1),
設平面OCB1的一個法向量為n=(x,y,z),
則
取x=1,得y=0,z=-1,∴n=(1,0,-1),
∴平面OCB1的一個法向量為n=(1,0,-1).(答案不唯一)
1.證明兩條直線平行,只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.
2.證明線面平行的方法
(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;
(2)在平面內找一個直線的方向向量的共線向量;
(3)利用平面向量基本定理,即證明直線的方向向量可以用平面內兩個不共線的向量線性表
示.
3.證明面面平行的方法
(1)證明兩個平面的法向量平行;
(2)轉化為線面平行、線線平行來證明.
講解分析
疑難 2 用向量法證明空間平行問題
典例 如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=
AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點.求證:
(1)PB∥平面EFG;
(2)平面EFG∥平面PBC.

證明 因為△PAD是直角三角形,
所以PA⊥AD.
因為平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA 平面PAD,
所以PA⊥平面ABCD,
又AB 平面ABCD,所以PA⊥AB,
又四邊形ABCD為正方形,所以AB⊥AD,
所以AB,AD,AP兩兩互相垂直.
以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖,

則B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).
(1)解法一: =(0,1,0), =(1,2,-1),
設平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z),
則 即
令z=1,得x=1,y=0,所以n=(1,0,1).
因為 =(2,0,-2),
所以 ·n=0,所以n⊥ ,
又PB 平面EFG,
所以PB∥平面EFG.
解法二: =(2,0,-2), =(0,-1,0), =(1,1,-1).
設 =s +t ,
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
所以 解得s=t=2,
所以 =2 +2 ,
又 與 不共線,
所以 , , 共面.
因為PB 平面EFG,
所以PB∥平面EFG.
(2)解法一: =(0,1,0), =(0,2,0),
所以 =2 ,所以BC∥EF.
又EF 平面PBC,BC 平面PBC,
所以EF∥平面PBC,
同理可證GF∥PC,從而得出GF∥平面PBC.
又EF∩GF=F,EF 平面EFG,GF 平面EFG,
所以平面EFG∥平面PBC.
解法二: =(2,0,-2), =(0,2,0),
設平面PBC的一個法向量為m=(a,b,c),
則 即
令c=2,得a=2,b=0,所以m=(2,0,2).
由(1)知,平面EFG的一個法向量為n=(1,0,1),
所以m=2n,即m∥n,
所以平面EFG∥平面PBC.
1.基向量法
(1)取三個不共面的已知向量(通常已知它們的模及兩兩之間的夾角)為空間向量的一組基;
(2)把兩直線的方向向量用基表示;
(3)利用向量的數量積運算,計算出兩直線的方向向量的數量積為0;
(4)由方向向量垂直得到兩直線垂直.
2.坐標法
(1)根據已知條件和圖形特征,建立適當的空間直角坐標系,正確寫出各點的坐標;
(2)根據各點坐標求出兩直線方向向量的坐標;
(3)計算出兩直線方向向量的數量積為0;
(4)由方向向量垂直得到兩直線垂直.
講解分析
疑難 3 用向量法證明空間垂直問題
典例 如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2的等邊三角形,CC1=2,D,E分別是線段AC,
CC1的中點,C1在平面ABC內的射影為D.求證:A1C⊥平面BDE.

證明 證法一:連接C1D,∵C1在平面ABC內的射影為D,∴C1D⊥平面ABC,
又BD,AC 平面ABC,
∴C1D⊥BD,C1D⊥AC,
∵△ABC為等邊三角形,D為AC的中點,
∴BD⊥AC,故AC,BD,C1D兩兩垂直.
以D為坐標原點,DB,DA,DC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標
系,

則D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ),
∴ =( ,0,0), = , = ,
∵ · =0, · = - =0,
∴ ⊥ , ⊥ ,
即BD⊥A1C,DE⊥A1C,
又BD∩DE=D,BD,DE 平面BDE,
∴A1C⊥平面BDE.
證法二:同證法一,建立如圖所示的空間直角坐標系,

則D(0,0,0),B( ,0,0),C(0,-1,0),E ,A1(0,2, ),
∴ =( ,0,0), = , =(0,-3,- ),
設平面BDE的一個法向量為m=(x,y,z),
則 即
不妨取z=1,則x=0,y= ,
∴m=(0, ,1),
又 =(0,-3,- ),∴ =- m,
∴ ∥m,∴A1C⊥平面BDE.

展開更多......

收起↑