資源簡介

第五章　計數原理
§1　基本計數原理
1.1　分類加法計數原理　　　　1.2　分步乘法計數原理
1.3　基本計數原理的簡單應用
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　分類加法計數原理
1.書架共有3層,第1層放有4本不同的計算機書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書,不同的取法有(　　)
A.3種　　　　　　B.6種
C.9種　　　　　　D.24種
2.如圖,小黑點表示網絡的結點,結點之間的連線表示它們有網線相連,連線上標注的數字表示該段網線單位時間內可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息,信息可以分開沿不同的路線同時傳遞,則單位時間內傳遞的最大信息量為(　　)
A.26　　　　　　B.24
C.20　　　　　　D.19
3.已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,在空間中取4個不同的點,使得它們與A,B,C,D恰好成為一個側棱長為1的正四棱柱的8個頂點,則不同的取法數為　　　　.
4.在一個圓周上有8個點,用四條既無公共點又無交點的弦連接它們,則連接方式有　　　　種.
題組二　分步乘法計數原理
5.某商店共有A,B,C三個品牌的水杯,若甲、乙、丙每人買了一個水杯,且甲買的不是A品牌,乙買的不是C品牌,則這三人買水杯的情況共有(　　)
A.3種　　　　　　 B.7種
C.12種　　　　　　D.24種
6.用4種不同顏色給如圖所示的圖形上色,要求相鄰兩塊涂不同的顏色,則不同的涂色方法共有(　　)
A.24種　　　　　　B.36種
C.48種　　　　　　D.72種
7.6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只能去一個場館,則不同的安排方法共有(　　)
A.729種　　　　　　B.726種　　　
C.543種　　　　　　D.540種
8.5名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座,每名同學可自由選擇聽其中的1個講座,且甲、乙聽同1個講座,則不同選擇的種數是　　　　.
9.從集合M={2,3,4,5,6,7,8,9}中取兩個不同的數分別作為對數的底數與真數,可得到不同的對數值有　　　　個.
題組三　兩個計數原理的綜合應用
10.集合M={-2,1,3},N={-4,-3,5,6},從兩個集合中各取一個元素作為點的坐標,則這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是(　　)
A.2　　　　　　B.4
C.5　　　　　　D.6
11.(多選題)現有不同的紅球4個,黃球5個,綠球6個,則下列說法正確的是(　　)
A.從中任選1個球,有15種不同的選法
B.若每種顏色選出1個球,則有120種不同的選法
C.若要選出不同顏色的2個球,則有32種不同的選法
D.若要不放回地依次選出2個球,則有210種不同的選法
12.中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應了十二種生肖(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個,三位同學依次選一個作為禮物,甲同學喜歡牛和馬,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學每個吉祥物都喜歡,若三位同學對選取的禮物都滿意,則不同的選法有(　　)
A.30種　　　　　　B.50種　　　
C.60種　　　　　　D.90種
13.某班安排A,B,C,D,E五位同學到甲、乙、丙三個街道進行打掃活動,每個街道至少有一位同學去,至多有兩位同學去,且A,B兩位同學去同一個街道,則不同的安排方法有　　　　種.
14.如圖,在由開關組A與B組成的電路中,閉合開關使燈發光的方法有　　　　種.
15.用0,1,2,3,…,9十個數字可組成多少個不同的:
(1)三位數
(2)無重復數字的三位數
(3)小于500且無重復數字的自然數
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組　兩個計數原理的綜合應用
1.如果一個三位正整數如“a1a2a3”滿足a1>a2,且a2A.240　　　　　　B.285　　　
C.729　　　　　　D.920
2.小李準備下載手機APP,可供選擇的社交APP有3個,音樂APP有2個,視頻APP有2個,生活APP有3個,從上述10個APP中選3個,且必須含有社交APP以及生活APP的不同選法種數為　　　　.
3.某城市地鐵公司為鼓勵人們綠色出行,決定按照乘客經過地鐵站的數量實施分段優惠政策,不超過12站的地鐵票價如下表:
乘坐站數 0票價(元) 2 4 6
現有甲、乙兩位乘客同時從起點乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過12站,且他們各自在每個站下地鐵的可能性是相同的.
(1)若甲、乙兩人共付費6元,則甲、乙下地鐵的方案共有多少種
(2)若甲、乙兩人共付費8元,則甲比乙先下地鐵的方案共有多少種
4.已知0,1,2,3,4,5,6這七個數字,請完成下面三個小題.
(1)用以上七個數字能組成多少個三位偶數(允許有重復數字)
(2)用以上七個數字能組成多少個無重復數字且能被5整除的四位數
(3)已知橢圓=1,其中a,b∈{0,1,2,3,4,5,6},則滿足焦距不小于8的不同橢圓有多少個
答案與分層梯度式解析
第五章　計數原理
§1　基本計數原理
1.1　分類加法計數原理
1.2　分步乘法計數原理
1.3　基本計數原理的簡單應用
基礎過關練
1.C　分三類:①取計算機書,有4種不同的取法;②取文藝書,有3種不同的取法;③取體育書,有2種不同的取法.由分類加法計數原理知,不同的取法共有4+3+2=9(種).
2.D　根據題意,從A到B傳遞路徑有4條,如圖所示,
路徑①傳遞的最大信息量為3;
路徑②傳遞的最大信息量為4;
路徑③傳遞的最大信息量為6;
路徑④傳遞的最大信息量為6.
因此,單位時間內傳遞的最大信息量為3+4+6+6=19.故選D.
3.答案　12
解析　根據題意,分兩種情況討論:
①當正方形ABCD作為對角面時,有6個符合條件的正四棱柱;
②當正方形ABCD作為底面(或側面)時,有6個符合條件的正四棱柱.
由分類加法計數原理知,不同的取法數為6+6=12.
4.答案　14
解析　不妨設圓周上的點依次為A,B,C,D,E,F,G,H,要使得四條弦既無公共點又無交點,如圖所示:
符合圖①的連接方式有2種;符合圖②的連接方式有4種;符合圖③的連接方式有8種.因此,總的連接方式有2+4+8=14(種).
5.C　甲可以從B,C品牌中任選一個,有2種買法;乙可以從A,B品牌中任選一個,有2種買法;丙可以從A,B,C品牌中任選一個,有3種買法.由分步乘法計數原理可得,這三人買水杯的情況共有2×2×3=12(種).故選C.
6.C　①②③兩兩相鄰,依次用不同顏色涂,有4×3×2=24種涂色方法;④與②③相鄰,但與①不相鄰,可用剩下的一種顏色涂或者與①涂同樣的顏色,有2種涂色方法.由分步乘法計數原理得,不同的涂色方法共有24×2=48(種),故選C.
7.A　每名同學只能去一個場館,同學不可剩余,把同學當成主體,首先從6名同學中選1名到甲、乙、丙三個場館之一,方法有3種,然后從剩下的5名同學中選1名到甲、乙、丙三個場館之一,方法有3種,依此類推,6名同學去甲、乙、丙三個場館做志愿者的不同的安排方法共有36=729(種).
易錯警示　本題的難點在于找主體,找不到主體就不知道是從“場館”還是從“同學”入手分析,分不清方法數是36還是63.題目中的6名同學去甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學只能去一個場館,說明6名同學可以都去一個場館,且同學不能剩余,所以從“同學”入手分析,把6名同學當成主體,一個一個分析即可.
8.答案　81
解析　根據題意,把甲、乙看成1名同學,這樣理解為4名同學去聽講座,每名同學都可以從3個課外知識講座中任選1個,由分步乘法計數原理可得,不同選擇的種數是3×3×3×3=81.
9.答案　52
解析　第一步,取底數,有8種取法;
第二步,取真數,有7種取法.
根據分步乘法計數原理,共得到8×7=56個對數.
但在這些對數中,log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,所以可以得到56-4=52個不同的對數值.
10.D　第二象限的點的特征是橫坐標是負數,縱坐標是正數.
若橫坐標從集合M中選取,縱坐標從集合N中選取,則有1×2=2(個),
若橫坐標從集合N中選取,縱坐標從集合M中選取,則有2×2=4(個),
故這樣的坐標在平面直角坐標系中表示第二象限內不同的點的個數是2+4=6.故選D.
11.ABD　從中任選1個球,有4+5+6=15種不同的選法,故A中說法正確;
每種顏色選出1個球,有4×5×6=120種不同的選法,故B中說法正確;
選出不同顏色的2個球,有4×5+5×6+4×6=74種不同的選法,故C中說法錯誤;
不放回地依次選出2個球,有15×14=210種不同的選法,故D中說法正確.
故選ABD.
12.B　①若甲同學選擇牛,則乙同學有2種選擇,丙同學有10種選擇,不同的選法種數為2×10=20;
②若甲同學選擇馬,則乙同學有3種選擇,丙同學有10種選擇,不同的選法種數為3×10=30.
綜上,總共有20+30=50種不同的選法.故選B.
13.答案　18
解析　不妨記三個街道分別為a,b,c,可分三步完成:
第一步,因為A,B兩位同學去同一個街道,所以先安排他們去某一街道,有3種方法;
第二步,安排同學去除A,B兩位同學安排的街道,可以安排1人也可以安排2人,有3+3=6種方法;
第三步,剩下的同學去第三個街道,只有1種方法.
綜上所述,不同的安排方法有3×6×1=18(種).
14.答案　21
解析　分兩步:第1步,A組開關閉合一個,有2種閉法,A組開關閉合2個,有1種閉法;第2步,B組開關閉合1個,有3種閉法,B組開關閉合2個,有3種閉法,B組開關閉合3個,有1種閉法.此時共有(2+1)×(3+3+1)=21種閉法.
15.解析　(1)第一步:由于0不能在百位,所以百位上的數字有9種選法;
第二步:十位上的數字有10種選法;
第三步:個位上的數字有10種選法.
所以不同的三位數共有9×10×10=900(個).
(2)第一步:由于0不能在百位,所以百位上的數字有9種選法;
第二步:十位上的數字有除百位上的數字以外的9種選法;
第三步:個位上的數字有除百位和十位上的數字以外的8種選法.
所以共有9×9×8=648個無重復數字的三位數.
(3)第一類:滿足條件的一位自然數有10個;
第二類:滿足條件的兩位自然數有9×9=81(個);
第三類:滿足條件的三位自然數有4×9×8=288(個).
由分類加法計數原理知,共有10+81+288=379個小于500且無重復數字的自然數.
能力提升練
1.B　因為a1>a2,且a2拓展公式　1+2+3+…+(n-1)+n=,12+22+32+…+(n-1)2+n2=,13+23+33+…+(n-1)3+n3=(n∈N+).
2.答案　54
解析　分3類:
第1類:從3個社交APP以及3個生活APP中各選1個,再從2個音樂APP和2個視頻APP中選1個,有3×3×4=36種選法;
第2類:從3個社交APP中選2個,再從3個生活APP中選1個,有3×3=9種選法;
第3類:從3個社交APP中選1個,再從3個生活APP中選2個,有3×3=9種選法.
根據分類加法計數原理知,共有36+9+9=54種不同的選法.
3.解析　(1)甲、乙兩人共付費6元,則一人付費2元,另一人付費4元.付費2元的乘坐站數有1,2,3共三種選擇,付費4元的乘坐站數有4,5,6,7共四種選擇,所以甲、乙下地鐵的方案共有(3×4)×2=24(種).
(2)甲、乙兩人共付費8元,則甲付費2元,乙付費6元,或兩人都付費4元.當甲付費2元,乙付費6元時,甲乘坐站數有1,2,3共三種選擇,乙乘坐站數有8,9,10,11,12共五種選擇,共有3×5=15種方案.當兩人都付費4元時,若甲在第4站下地鐵,則乙可在第5,6,7站下地鐵,有3種方案;若甲在第5站下地鐵,則乙可在第6,7站下地鐵,有2種方案;若甲在第6站下地鐵,則乙只能在第7站下地鐵,有1種方案.綜上,甲比乙先下地鐵的方案共有15+3+2+1=21(種).
4.解析　(1)在0,1,2,3,4,5,6這七個數字中,偶數包括0,2,4,6,奇數包括1,3,5.百位數字不能是0,所以有6種選擇,十位數字有7種選擇,個位數字有4種選擇,故能組成6×7×4=168個三位偶數.
(2)無重復數字且能被5整除的四位數的個位數字只能為0或5.
當個位數字為0時,這樣的四位數有6×5×4=120(個),
當個位數字為5時,這樣的四位數有5×5×4=100(個),
所以無重復數字且能被5整除的四位數有120+100=220(個).
(3)由題意知a≠b且a,b均不為0,
當a>b時,由2c≥8,得2≥8,整理得a2≥b2+16,所以a=5或a=6,
若a=5,則b=1,2,3,此時滿足條件的橢圓有3個,
若a=6,則b=1,2,3,4,此時滿足條件的橢圓有4個,
所以滿足條件的橢圓有3+4=7(個).
同理,當a綜上,焦距不小于8的不同橢圓有7+7=14(個).
1(共13張PPT)
§1 基本計數原理
知識點 1 兩個基本計數原理的定義
知識 清單破
完成一件事的情況 完成這件事的方法種數
分類加法 計數原理 完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法 N=m1+m2+…+mn
分步乘法 計數原理 完成一件事需要經過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法 N=m1·m2·…·mn
知識點 2 兩個基本計數原理的比較
分類加法計數原理 分步乘法計數原理 不同點 分類完成,類類相加 分步完成,步步相乘 每類辦法中的每一種方法都能獨立完成這件事 每步依次完成才算完成這件事(每步中的每一種方法都不能獨立完成這件事) 相同點 兩個基本計數原理都可以用來計算完成某件事的方法種數,最終的目的都是完成某件事 注意點 類類獨立,不重不漏 步步相依,步驟完整
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.在分類加法計數原理中,兩類不同辦法中的方法可以相同. (　 )
2.在分類加法計數原理中,每類不同辦法中的方法都能完成這件事. (　 )
3.在分步乘法計數原理中,任何一個單獨的步驟都能完成這件事. (　 )
4.在一次運動會上有四項比賽,冠軍僅在甲、乙、丙三人中產生,那么不同的奪冠情況共有43種. (　 )



√
提示
因為每個項目的冠軍都有3種可能的情況,所以由分步乘法計數原理知,共有34種不同的
奪冠情況.
5.三個袋子內共裝有18個不同的小球,一個裝有5個白色小球,一個裝有6個黑色小球,一個裝
有7個紅色小球,若每次從中取兩個不同顏色的小球,則共有36種不同的取法. (　 )

提示
分為三類:一類是取白色小球、黑色小球,有5×6=30種取法;一類是取白色小球、紅色小
球,有5×7=35種取法;一類是取黑色小球、紅色小球,有6×7=42種取法.所以由分類加法計數
原理知,共有30+35+42=107種不同的取法.
　　分步乘法計數原理中,各個步驟相互依存,在每個步驟中各任取一種方法,即是完成這件
事的一種方法.在利用分步乘法計數原理解決問題時一定要清楚事件發生的主體,從主體入
手分析,理解問題中誰可以剩余.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用分步乘法計數原理解決實際問題
典例 全國五項學科競賽活動包括數學、物理、化學、生物和信息學競賽,是由中國科學技
術協會所屬中國數學會、中國物理學會、中國化學會、中國動物學會、中國植物學會、中
國計算機學會六個學會主辦,并得到教育部及各級教育主管部門支持的,在國內具有廣泛影
響的面向在校高中學生的課外活動.現某學校有六名學生準備報名參加三個競賽項目,分別
是數學競賽、物理競賽、化學競賽,每個項目均要有人參加.
(1)若每項限報一人,且每人至多報一項,有多少種不同的報名方法
(2)若每項限報一人,且每人參加的項目不限,有多少種不同的報名方法
解析 (1)每項限報一人,且每人至多報一項,因此將項目看成主體,可由項目選人.第一個項目
有6種選法,第二個項目有5種選法,第三個項目有4種選法,由分步乘法計數原理,得共有6×5×4
=120種不同的報名方法.
(2)因為每人參加的項目不限,所以每一個項目都可以從這六人中選出一人參賽,項目是該事
件發生的主體,第一個項目有6種選法,第二個項目有6種選法,第三個項目有6種選法,由分步
乘法計數原理,得共有63=216種不同的報名方法.
1.兩個基本計數原理在解決計數問題中的應用
　　用兩個基本計數原理解決計數問題時,最重要的是分清分類與分步.

講解分析
疑難 2 兩個基本計數原理的選擇與應用
2.類中有步,步中有類

　　從A→D共有m1×(m2+m3+m4)×m5種方法.

　　從A→B共有(m1×m2×m3+m4×m5)種方法.
“類”用“+”連接,“步”用“×”連接,“類”獨立,“步”連續,“類”標志一件事的完
成,“步”則缺一不可.
3.應用兩個基本計數原理的常用方法
(1)當涉及元素數目不大時,一般選用列舉法.
(2)當涉及元素數目很大時,一般有兩種方法:
①直接法:直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理進行分析求解.
②間接法:先去掉限制條件,計算方法總數,然后減去所有不符合條件的方法數即可.
典例 在7名學生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另外2名既會
下象棋又會下圍棋.現從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選
法
解析 分四類:
第1類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名
參加圍棋比賽,有3×2=6種不同的選法;
第2類,從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的
學生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6種不同的選法;
第3類,從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的
學生中選1名參加象棋比賽,有2×2=4種不同的選法;
第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中各選1名參加象棋比賽和圍棋比賽,有2×1=2種
不同的選法.
故共有6+6+4+2=18種不同的選法.
　　解決涂色問題的常用方法有兩種:①規定涂色的順序,一步一步地涂,根據分步乘法計數
原理計算;②對所用的顏色種數分類,在每一類中用分步乘法計數原理計算,最后用分類加法
計數原理求各類方法數的總和.
講解分析
疑難 3 用計數原理解決涂色問題
典例 給一個四棱錐S-ABCD的每個頂點涂上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,如果只
有5種顏色可供使用,那么不同的涂色方法有多少種
解析 由題意可知,至少需要用3種顏色涂色.
根據所用顏色種數可分三類.
第一類:用3種顏色,此時點A與點C,點B與點D分別同色,問題相當于從5種顏色中選3種涂三個
點,有5×4×3=60種涂色方法;
第二類:用4種顏色,此時點A與點C,點B與點D中有且只有一組同色,有2×5×4×3×2=240種涂色
方法;
第三類:用5種顏色,有5×4×3×2×1=120種涂色方法.
由分類加法計數原理知,滿足題意的涂色方法有60+240+120=420種.

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