資源簡介

(共13張PPT)
1.一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫作從
n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.
2.我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從n個(gè)
不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作 .
3.我們把有關(guān)求排列的個(gè)數(shù)的問題叫作排列問題.
§2 排列問題
知識(shí)點(diǎn) 1 排列、排列數(shù)與排列問題
知識(shí) 清單破
1.從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]種,所
以 =n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)].這個(gè)公式叫作排列數(shù)公式.
2.當(dāng)m=n時(shí), =n(n-1)(n-2)·…·2·1,記作n!,讀作:n的階乘.
3.階乘的相關(guān)結(jié)論
(1)規(guī)定: =1,0!=1.
(2)排列數(shù)公式的另一種形式: = (m≤n,且m,n∈N+).
知識(shí)點(diǎn) 2 排列數(shù)公式與階乘
知識(shí)辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“ ”.
1.若組成兩個(gè)排列的元素相同,則這兩個(gè)排列是相同的. (　 )
2.(n+1)!-n!=n·n!. (　 )
3.4×5×6×…×(n-1)×n= ,其中n≥4,n∈N. (　 )
4.5個(gè)人站成一排,其中甲、乙兩人不相鄰的排法可列式為 - . (　 )

√
√
√
提示
提示
提示
組成兩個(gè)排列的元素的排列順序不相同時(shí),這兩個(gè)排列是不相同的.
(n+1)!-n!=(n+1)·n!-n!=n·n!.
利用插空法可列式為 ;利用間接法可列式為 - .
1.“在”與“不在”的問題
　　解決“在”與“不在”的問題,常用的方法有特殊位置分析法、特殊元素分析法.若以
位置為主,則需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置,若有兩個(gè)及兩個(gè)以上的約束條件,則
在考慮一個(gè)約束條件的同時(shí)也要兼顧其他條件;若以元素為主,則需先滿足特殊元素的要求,
再處理其他元素.當(dāng)直接求解困難時(shí),可考慮用間接法求解,即先不考慮限制條件,計(jì)算出排列
總數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù).
2.“相鄰”與“不相鄰”問題
(1)“捆綁法”解決相鄰問題
將n個(gè)不同的元素排成一列,其中k(k≤n)個(gè)元素排在相鄰的位置上,求不同排法種數(shù)的方法如
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 有限制條件的排列問題
下:①將這k個(gè)元素“捆綁”在一起,看成一個(gè)整體;②把這個(gè)整體當(dāng)成一個(gè)元素與其他元素一
起排列,有 種排法;③“松綁”,即將“捆綁”在一起的元素進(jìn)行內(nèi)部排列,其排列方法有
種;④由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,符合條件的排法有 種.
(2)“插空法”解決不相鄰問題
　　將n個(gè)不同的元素排成一列,其中k 個(gè)元素互不相
鄰,求不同排法種數(shù)的方法如下:①將沒有不相鄰要求的(n-k)個(gè)元素排成一排,其排列方法有
種;②將要求兩兩不相鄰的k個(gè)元素插入(n-k+1)個(gè)空隙中,相當(dāng)于從(n-k+1)個(gè)空隙中選出k
個(gè)分別分配給兩兩不相鄰的k個(gè)元素,其排列方法有 種;③根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,符
合條件的排法有 種.
(3)“定序”問題
　　在排列問題中,某些元素在題意中已排定了順序,對這些元素進(jìn)行排列時(shí),不再考慮其順
序.在具體的計(jì)算過程中,可采用“除階乘法”解決,即n個(gè)元素的全排列中有m(m≤n)個(gè)元素
的順序固定,則滿足題意的排法有 種.
典例 7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男學(xué)生4人,女學(xué)生2人.分別求滿足下列情況的
不同站法的種數(shù).
(1)老師必須站在中間或兩端;
(2)2名女學(xué)生必須相鄰而站;
(3)4名男學(xué)生互不相鄰;
(4)若4名男學(xué)生身高都不等,按從高到低的順序站.
解析 (1)先考慮老師,有 種站法,再考慮其余6人,有 種站法,所以不同站法的種數(shù)為
=2 160.
(2)(捆綁法)2名女學(xué)生相鄰而站,有 種站法,將她們視為一個(gè)整體并與其余5人全排列,有
種排法,所以不同站法的種數(shù)為 =1 440.
(3)(插空法)先排老師和女學(xué)生,有 種站法,再在老師和女學(xué)生站位的空(含兩端)中插入男學(xué)
生,每空一人,則插入方法有 種,所以不同站法的種數(shù)為 =144.
(4)解法一(定序法):在7人全排列的所有站法中,4名男學(xué)生不考慮身高順序的站法有 種,而
按從高到低的順序站有從左到右和從右到左2種,所以不同站法的種數(shù)為2× =420.
解法二(空位法):設(shè)想有7個(gè)位置,讓老師和2名女學(xué)生先站好,共有 種站法,然后讓4名男學(xué)
生按從高到低的順序站其余的4個(gè)位置,而按從高到低的順序站有從左到右和從右到左2種,
所以不同站法的種數(shù)為2× =420.
解法三(插空法):設(shè)想有7個(gè)位置,先選4個(gè)位置有 種選法,讓4名男學(xué)生按從高到低的順序站
好,有從左到右和從右到左2種,所以男學(xué)生不同的站法種數(shù)為2× ;余下3個(gè)位置讓其余3人
站,共有 種站法,所以不同站法的種數(shù)為2× × =420.
　　數(shù)字排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位置”,有限制條件的排列問題的限制條件主要表
現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上或某個(gè)位置不排某些元素,解決該類排列問題的主要方法是按
照“優(yōu)先”原則,即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位置,若一個(gè)位置安排的元素影響另一
個(gè)位置的元素個(gè)數(shù),則應(yīng)分類討論.
　　含有數(shù)字“0”的排列問題中,有些隱含了數(shù)字“0”不能在首位的條件,應(yīng)將其視為有
限制條件的元素優(yōu)先進(jìn)行排列.若在一個(gè)題目中,除了數(shù)字“0”以外還有其他受限制的數(shù)字,
則應(yīng)考慮受限制的數(shù)字對位置的選擇會(huì)不會(huì)影響數(shù)字“0”對位置的選擇,若有影響,則應(yīng)分
類討論.
講解分析
疑難 2 與數(shù)字有關(guān)的排列問題
典例 用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè):
(1)無重復(fù)數(shù)字且個(gè)位數(shù)字不是5的六位數(shù)
(2)無重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)
(3)無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù) 若這些六位數(shù)按從小到大的順序排成一列,則240 135是該列數(shù)的第
幾項(xiàng)
解析 (1)解法一(間接法):0在十萬位或5在個(gè)位的“六位數(shù)”都有 個(gè),0在十萬位且5在個(gè)
位的“六位數(shù)”有 個(gè).
故符合題意的六位數(shù)共有 -2 + =504個(gè).
解法二(直接法):十萬位數(shù)字的排法因個(gè)位數(shù)字為0與不為0而有所不同,因此需分兩類:
第一類:當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0時(shí),符合題意的六位數(shù)有 個(gè);
第二類:當(dāng)個(gè)位數(shù)字不為0時(shí),符合題意的六位數(shù)有 個(gè).
故符合題意的六位數(shù)共有 + =504個(gè).
(2)符合題意的四位數(shù)可分為三類:
第一類:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有4 個(gè);
第二類:形如14□□,15□□,共有2 個(gè);
第三類:形如134□,135□,共有2 個(gè).
由分類加法計(jì)數(shù)原理知,無重復(fù)數(shù)字且比1 325大的四位數(shù)共有4 +2 +2 =270個(gè).
(3)符合題意的六位數(shù)共有 - =600個(gè),其中十萬位數(shù)字為1的有 個(gè),十萬位數(shù)字為2,萬位
數(shù)字為0或1或3的共有3 個(gè),∵ +3 +1=193,
∴240 135是該列數(shù)的第193項(xiàng).§2　排列問題
2.1　排列與排列數(shù)
2.2　排列數(shù)公式
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　排列數(shù)與排列數(shù)公式
1.90×91×…×99×100可表示為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.已知n是正整數(shù),且=89,則n=(　　)
A.8　　　B.10　　　C.12　　　D.15
3.階乘是基斯頓·卡曼于1808年發(fā)明的運(yùn)算符號(hào),正整數(shù)n的階乘記為n!,它的值為所有小于或等于n的正整數(shù)的積,即n!=1×2×3×…×(n-1)×n.根據(jù)上述材料,以下說法錯(cuò)誤的是(　　)
A.3!+3×3!=4!
B.8!=40 320
C.12!=12×11!
D.1!++…+=n!
4.一條鐵路線上原有n個(gè)車站,為了適應(yīng)客運(yùn)的需要,在這條鐵路線上又新增加了m(m>1)個(gè)車站,客運(yùn)車票增加了58種,則n=　　　,m=　　　.
5.(1)解不等式:3≤11;
(2)解方程:.
題組二　無限制條件的排列問題
6.參加完某項(xiàng)活動(dòng)的6名成員合影留念,前排和后排各3人,則不同排法的種數(shù)為(　　)
A.360　　　B.720　　　C.2 160　　　D.4 320
7.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),若將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列,則第85個(gè)數(shù)為(　　)
A.2 301　　　　　　B.2 304
C.2 305　　　　　　D.2 310
題組三　有限制條件的排列問題
8.貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺(tái)江縣臺(tái)盤村開賽.該聯(lián)賽由臺(tái)盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來,被網(wǎng)友稱為“村BA”.“村BA”給全國人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛生活的精神,更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文,同時(shí)給貴州的旅游帶來巨大的收益.為慶祝比賽順利結(jié)束,主辦方設(shè)置了一場扣籃表演,分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊(duì)每隊(duì)各選出2名球員參加扣籃表演,貴州隊(duì)作為東道主,扣籃表演必須在第一位和最后一位,那么表演順序一共有(　　)
A.種　　　　　　 B.2種
C.種　　　　　 D.種
9.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)火炬2023年9月14日在浙江臺(tái)州傳遞,火炬?zhèn)鬟f路線以“和合臺(tái)州,活力城市”為主題,全長大約8千米.從和合公園出發(fā),途經(jīng)臺(tái)州市圖書館、文化館、體育中心等地標(biāo)建筑.假設(shè)某段路線由甲、乙等6人傳遞,每人傳遞一棒,且甲不從乙手中接棒,乙不從甲手中接棒,則不同的傳遞方案共有(　　)
A.288種　　　　　　B.360種
C.480種　　　　　　D.504種
10.某學(xué)?；I備元旦晚會(huì)節(jié)目單時(shí),準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目中排三個(gè)歌唱節(jié)目,一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目,若三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰,則不同的排法種數(shù)為(　　)
A.75　　　B.80　　　C.84　　　D.96
11.開學(xué)典禮上甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)從左至右排成一排上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng),要求甲與乙相鄰且甲與丙之間恰好有1名同學(xué)的排法有(　　)
A.12種　　　B.16種　　　C.20種　　　D.24種
12.某城市志愿者的招募項(xiàng)目中有一個(gè)“國際服務(wù)項(xiàng)目”,還有8個(gè)名額空缺,這些名額需要分配給3個(gè)單位,則每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額數(shù)互不相同的分配方法種數(shù)是(　　)
A.14　　　B.12　　　C.10　　　D.8
13.元宵節(jié)燈展后,懸掛的8盞花燈需要取下,如圖所示,每次取一盞,則不同的取法有(　　)
A.32種　　　B.70種　　　C.90種　　　D.280種
14.某市某中學(xué)為了弘揚(yáng)我國二十四節(jié)氣文化,特制作出“立春”“驚蟄”“清明”“立夏”“芒種”“小暑”六張知識(shí)展板并分別放置在六個(gè)并排的文化櫥窗里,要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰,且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰,則不同的放置方式種數(shù)為(　　)
A.192　　　B.240　　　C.120　　　D.288
15.(多選題)甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排,下列說法正確的是(　　)
A.若甲、乙、丙按從左到右的順序排列,則不同的排法有12種
B.若甲、乙不相鄰,則不同的排法有72種
C.若甲不能在最左端,且乙不能在最右端,則不同的排法共有72種
D.如果甲、乙必須相鄰且乙在甲的右邊,則不同的排法有24種
16.夏老師要進(jìn)行年度體檢,有抽血、腹部彩超、胸部CT、心電圖、血壓測量五個(gè)項(xiàng)目,為了保證體檢數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性,抽血必須作為第一個(gè)項(xiàng)目完成,而夏老師決定腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)不連在一起檢查,則不同的檢查方案一共有　　　　種.
17.甲、乙、丙3人從1樓上了同一部電梯,已知3人都在2至6層的某一層出電梯,且在每一層最多只有兩人同時(shí)出電梯,從同一層出電梯的兩人不區(qū)分出電梯的順序,則甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是　　　　.
18.某學(xué)校將要舉行校園歌手大賽,現(xiàn)有3男3女參加,需要安排他們的出場順序.(結(jié)果用數(shù)字作答)
(1)如果3名女生都不相鄰,那么有多少種不同的出場順序
(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相鄰),那么有多少種不同的出場順序
(3)如果3名男生都相鄰,且女生甲不在第一個(gè)出場,那么有多少種不同的出場順序
答案與分層梯度式解析
§2　排列問題
2.1　排列與排列數(shù)
2.2　排列數(shù)公式
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B　=100×99×…×(100-11+1)=100×99×…×91×90,故選B.
2.D　因?yàn)?89,所以-1=89,即=90,
所以=90,即(n-5)(n-6)=90,
整理得n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).
3.D　3!+3×3!=(1+3)×3!=4!,故A中說法正確;
8!=1×2×3×…×8=40 320,故B中說法正確;
12!=1×2×3×…×11×12=11!×12,故C中說法正確;
1!++…+=1+2+3+…+n≠n!,故D中說法錯(cuò)誤.故選D.
4.答案　14;2
解析　由題意可得,現(xiàn)在這條鐵路線上有(n+m)個(gè)車站,
因此有=(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=m(2n+m-1)=58=2×29,
因?yàn)閙,n均為正整數(shù),m>1,所以2n+m-1也為正整數(shù),且2n+m-1>m>1,
所以
5.解析　(1)由題意得3(x+2)(x+1)+12x(x-1)≤11x(x+1),化簡得2x2-7x+3≤0,
即(2x-1)(x-3)≤0,所以≤x≤3.
因?yàn)閤≥2,且x∈N+,所以原不等式的解集為{2,3}.
(2)易知所以x≥3,x∈N+,
由得(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x(x-1)(x-2),化簡得(4x2-35x+69)·(x-1)·x=0,解得x1=3,x2=(舍去),x3=1(舍去),x4=0(舍去).所以原方程的解為x=3.
6.B　解法一:分兩步完成.第一步,從6人中選3人排前排有=120種不同排法;第二步,剩下的3人排后排有=6種不同排法.按照分步乘法計(jì)數(shù)原理,知有120×6=720種不同排法,故選B.
解法二:6名成員合影,每個(gè)人都可以站前排也可站后排,所以相當(dāng)于6個(gè)人的全排列,即有=720種不同排法.故選B.
7.A　千位上的數(shù)字為1的四位數(shù)有=60個(gè),千位、百位上的數(shù)字分別為2,0的四位數(shù)有=12個(gè),千位、百位上的數(shù)字分別為2,1的四位數(shù)有=12個(gè),
而60+12+12=84,所以第85個(gè)數(shù)是千位、百位上的數(shù)字分別為2,3的最小四位數(shù),即2 301.故選A.
8.C　由題意知,一共有8個(gè)人需要排列.先確定貴州2名球員的順序?yàn)?再確定其余6人的順序?yàn)?由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,一共有種表演順序.
故選C.
9.C　由題知甲、乙不相鄰,所以可以先安排除甲、乙以外的4人,有種排法,然后插空安排甲、乙兩人,有種排法,所以不同的傳遞方案共有=480(種).故選C.
10.C　(間接法)這五個(gè)節(jié)目的全排列的排列數(shù)為,其中三個(gè)歌唱節(jié)目都相鄰的排法數(shù)為,故滿足條件的排法種數(shù)為=120-36=84,故選C.
11.C?、偃艏着c丙之間為乙,且三人相鄰,共有=2種排法,將三人捆綁看成一個(gè)整體,與丁、戊兩人全排列,共有=6種排法,則此時(shí)有2×6=12種排法;
②若甲與丙之間不是乙,先排甲與丙,再從丁、戊中選取1人,安排在甲與丙之間,有=4種排法,此時(shí)乙在甲的另一側(cè),將四人捆綁看成一個(gè)整體,將這個(gè)整體與剩下的1人全排列,有=2種排法,此時(shí)有4×2=8種排法.
綜上,總共有12+8=20種排法,故選C.
12.B　根據(jù)題意,各單位名額數(shù)互不相同,則8個(gè)名額分配給3個(gè)單位的名額數(shù)可能情況有1,2,5和1,3,4,共2種.對于其中任一種名額分配方式,將其分配給3個(gè)單位的方法有種,所以每個(gè)單位至少一個(gè)名額且各單位名額數(shù)互不相同的分配方法種數(shù)為2=12.故選B.
13.B　因?yàn)槊看稳』魰r(shí)只能取一盞,所以每串花燈必須先取下面的,即每串花燈取下的順序確定,取下的方法有=70(種).故選B.
歸納總結(jié)　定序問題可用縮小倍數(shù)的方法來解決,若有(m+n)個(gè)元素排成一列,其中m個(gè)元素之間的先后順序確定不變,則共有種不同的排法.
14.A　由題意知,當(dāng)只考慮“立春”和“驚蟄”時(shí),將其捆綁在一起,利用捆綁法可得,有=240種不同的放置方式.
當(dāng)“驚蟄”與“立春”和“清明”均相鄰,即“驚蟄”在“立春”“清明”之間時(shí),將三者捆綁在一起,有2=48種不同的放置方式.
所以最終滿足題意的放置方式種數(shù)為240-48=192.
故選A.
15.BD　對于A,有=20種排法,故A錯(cuò)誤;
對于B,先安排丙、丁、戊三人,有=6種排法,再將甲、乙兩人插空,有=12種排法,故甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為6×12=72,故B正確;
對于C,若最左端排乙,則其余四人可進(jìn)行全排列,有=24種排法;若最左端不排乙,則最左端只能從丙、丁、戊中選出1人,又乙不能在最右端,所以有=54種排法,則共有24+54=78種排法,故C錯(cuò)誤;
對于D,將甲、乙捆綁,看成一個(gè)整體且固定順序,再與其他三人站成一排,故有=24種排法,故D正確.故選BD.
16.答案　12
解析　將心電圖、血壓測量兩項(xiàng)全排列,有=2種情況,再將腹部彩超和胸部CT兩項(xiàng)排在其空位中,有=6種情況,最后將抽血放在第一位,有1種情況,
所以共有2×6×1=12種不同的檢查方案.
17.答案　120
解析　分兩種情況討論:
①3人都在2至6層的某一層1人獨(dú)自出電梯,共有=60(種);
②3人中有2人“捆”在一起(有3種“捆”法)在同一層出電梯,另1人在另外一層出電梯,即從5層中任選2層出電梯,共有3=60(種).
故甲、乙、丙3人出電梯的不同方法總數(shù)是60+60=120.
18.解析　(1)根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:
①先將3名男生排成一排,有種情況.
②男生排好后有4個(gè)空位,在4個(gè)空位中任選3個(gè),安排3名女生,有種情況,
則有=144種不同的出場順序.
(2)根據(jù)題意,將6人排成一排,有種情況,
其中女生甲在女生乙的前面,所以不用考慮兩人的先后順序,則有=360種不同的出場順序.
(3)根據(jù)題意,分3步進(jìn)行分析:
①將3名男生看成一個(gè)整體,考慮三人之間的順序,有種情況;
②將除甲之外的2名女生和3名男生的整體全排列,有種情況,排好后有4個(gè)空位;
③女生甲不在第一個(gè)出場,則女生甲的安排方法有3種.
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,有3=108種不同的出場順序.
1

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