資源簡介

§4　二項式定理
4.1　二項式定理的推導
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項式定理的理解
1.(a+b)6的展開式中共有(　　)
A.5項　　　B.6項　　　C.7項　　　D.8項
2.設A=37+×35+×33+×3,B=×36+×34+×32+1,則A-B的值為(　　)
A.128　　　B.129　　　C.47　　　D.0
3.若對 x∈R,(ax+b)5=(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1恒成立,其中a,b∈R,則a-b=(　　)
A.3　　　B.2　　　C.0　　　D.-1
4.用二項式定理展開=　　　　.
題組二　求二項展開式的特定項、項的系數及二項式系數
5.的展開式中,含x2項的系數是(　　)
A.-462　　　B.462　　　C.792　　　D.-792
6.若的展開式中含有非零常數項,則正整數n的可能取值是(　　)
A.3　　　B.4　　　C.5　　　D.6
7.在的展開式中,系數是有理數的項共有(　　)
A.6項　　　B.5項　　　C.4項　　　D.3項
8.的展開式的第4項是　　　　.
9.的展開式中x2y4的系數為　　　　.
10.在下面三個條件中任選一個,補充在下面的橫線中,并對其求解.條件①:前三項的二項式系數之和為16;條件②:第三項與第四項的二項式系數相等;條件③:所有項的系數之和為1 024.
問題:在(+3x2)n的展開式中,　　　　.
(1)求n的值;
(2)求展開式中所有的有理項.
題組三　賦值法求系數和
11.(多選題)已知(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則下列說法正確的是(　　)
A.a0=1
B.a0+=0
C.a1+a2+a3+a4+a5=-1
D.a0+a2+a4=121
12.設(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值為(　　)
A.29　　　B.49　　　C.39　　　D.59
13.已知(2x+y)n的展開式中各項系數之和為243,則展開式中的第3項為　　　　.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　多項式展開式中的特定項及項的系數
1.(x-y)·(x+y)8的展開式中x3y6的系數為(　　)
A.28　　　　　　B.-28
C.56　　　　　　D.-56
2.的展開式中的常數項為(　　)
A.588　　　　　　B.589
C.798　　　　　　D.799
3.下列各式中,不是(a2+2a-b)4的展開式中的項的是(　　)
A.8a7　　　　　　B.6a4b2
C.-32a3b　　　　 D.-24a3b2
4.已知(ax-2)(x+1)4的展開式中x3的系數為-2,則實數a=　　　　.
題組二　賦值法求與系數有關的問題
5.已知的展開式中各項系數的和為2,則展開式中的常數項為(　　)
A.-80　　　　　　B.-40
C.40　　　　　　 D.80
6.設(x2+1)·(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10·(2x-1)10,則a1+a2+…+a10=　　　　.
7.若(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+
a2 023(x+1)2 023,且(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2=32 023,則實數m的值為　　　　.
8.的展開式中,不含x的各項系數之和為　　　　.
9.已知,且(1-2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn.
(1)求n的值;
(2)求+…+的值.
題組三　二項式定理的應用
10.1.957的計算結果精確到個位的近似值為(　　)
A.106　　　B.107　　　C.108　　　D.109
設n為奇數,那么11n+
·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余數是(　　)
A.-3　　　B.2　　　C.10　　　D.11
12.中國南北朝時期的著作《孫子算經》中,對同余除法有較深的研究.設a,b,m(m>0)為整數,若a和b被m除得的余數相同,則稱a和b對模m同余,記為a≡
b(mod m).若a=×3+×32+…+×320,a≡b(mod 5),則b的值可以是(　　)
A.2 004　　　B.2 005　　　C.2 025　　　D.2 026
答案與分層梯度式解析
§4　二項式定理
4.1　二項式定理的推導
基礎過關練
1.C　(a+b)n的展開式的項數為n+1,題中n=6,所以共有6+1=7項.故選C.
2.A　A-B=×30=(3-1)7=27=128.
3.C　由(x+2)5-5(x+2)4+10(x+2)3-10(x+2)2+5(x+2)-1=(x+2-1)5=(x+1)5,得(ax+b)5=(x+1)5,所以a=b=1,所以a-b=0.
故選C.
4.答案　 1+
解析　解法一:.
解法二:(x+1)4
=x0)
=1+.
D　的二項式通項為Tk+1=
x12-2k,k=0,1,2,…,12,令12-2k=2,解得k=5,
所以含x2項的系數是(-1)5=-792.故選D.
C　的二項式通項為Tr+1=(3x2)n-r·
·3n-r··x2n-5r,
因為的展開式中含有非零常數項,
所以存在n,r∈N+,使得2n=5r,
所以n=,結合選項可知,當r=2時,n=5.
故選C.
C　·()20-r · =
(-1)r·(0≤r≤20,r∈N).
令k=,只有當r=2,8,14,20時,k為整數.
故系數是有理數的項共有4項.故選C.
易錯警示　解決二項展開式中的特定項問題時,要注意問題的形式,分清是項、項的系數,還是二項式系數,如本題的問題是“系數是有理數的項”,而不是“有理項”,系數是有理數的項指系數的指數為整數的項,有理項是該項字母的指數為整數的項.
8.答案　-20x2
解析　的二項式通項為Tr+1=,r=0,1,…,6,
則第4項是T4=(-1)3×=-20x2.
9.答案　60
解析　的二項式通項為Tr+1=x6-ryr.
令r=4,得T5=60x2y4.
故x2y4的系數為60.
10.解析　(1)選條件①:前三項的二項式系數之和為=16,即1+n+=16,
化簡得n2+n-30=0,解得n=5或n=-6(舍負),
故n=5.
選條件②:因為第三項與第四項的二項式系數相等,所以,即,n≥3,n∈N,化簡得1=,解得n=5.
選條件③:令x=1,有4n=1 024,解得n=5.
(2)(+3x2)5的二項式通項為Tr+1=)5-r·(3x2)r=3r,
所以當r=2,5時為有理項,對應的項分別為T3=32x10=243x10,
故展開式中的有理項為90x6與243x10.
11.ABD　對于A,取x=0,則a0=1,故A正確;
對于B,取x=,則a0+=0,故B正確;
對于C,取x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,①
則a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故C錯誤;
對于D,取x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,②
①+②,得2(a0+a2+a4)=242,
所以a0+a2+a4=121,故D正確.故選ABD.
12.B　易得(1-3x)9的二項式通項為Tr+1=(-3)rxr,∴a0,a2,a4,a6,a8為正數,a1,a3,a5,a7,a9為負數,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案　80x3y2
解析　令x=y=1,得(2+1)n=243,解得n=5,即(2x+y)n=(2x+y)5,其二項式通項為Tk+1=x5-kyk,則展開式中的第3項為T3=23x3y2=80x3y2.
能力提升練
1.B　由二項式定理得(x-y)(x+y)8=(x-y)(x7y1+…+x0y8)
=x(x7y1+…+x7y1+…+x0y8)
=(x8y1+…+x7y2+…+x0y9),
因此x3y6的系數為=-28.故選B.
2.B　解法一:的二項式通項為Tr+1=,r=0,1,…,8,
的二項式通項為Tk+1=)8-r-k·,0≤k≤r,
令8-r-3k=0,可得r=8,k=0或r=5,k=1或r=2,k=2,所以展開式中的常數項為=589.
故選B.
解法二:因為的展開式中的項可以看成8個含有三個單項式中各取一個相乘而得,
若得到常數項,則有以下情況:①8個1;②2個,1個,5個1;③4個,2個,2個1.
所以展開式中的常數項為×12=589.
故選B.
3.D　(a2+2a-b)4表示4個因式a2+2a-b的乘積,在這4個因式中,有一個因式選2a,其余的3個因式選a2,所得的項為×(a2)3=8a7,
所以8a7是(a2+2a-b)4的展開式中的項;
在這4個因式中,有2個因式選-b,其余的2個因式選a2,
所得的項為×(a2)2=6a4b2,
所以6a4b2是(a2+2a-b)4的展開式中的項;
在這4個因式中,有1個因式選-b,剩下的3個因式選2a,
所得的項為(2a)3=-32a3b,
所以-32a3b是(a2+2a-b)4的展開式中的項;
在這4個因式中,有2個因式選-b,其余的2個因式中有一個因式選a2,剩下的一個因式選2a,
所得的項為×(2a)=24a3b2,
所以-24a3b2不是(a2+2a-b)4的展開式中的項.
故選D.
4.答案　1
解析　(ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因為(x+1)4中含x2的項為x2,含x3的項為x3,
所以(ax-2)(x+1)4中含x3的項為axx3,
故a=-2,解得a=1.
5.D　令x=1,得展開式中各項系數的和為1+a,
∴1+a=2,∴a=1,
∴
=,
的二項式通項為Tr+1=(-1)r25-rx5-2r,
令5-2r=1,得r=2;
令5-2r=0,無整數解,
所以展開式中的常數項為8=80,
故選D.
6.答案　512
解析　∵(x2+1)(4x-2)8=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a10(2x-1)10,
∴令x=1,得(1+1)×(4×1-2)8=a0+a1+a2+…+a10=29,令x=,得=a0=0,
∴a1+a2+…+a10=29-0=512.
7.答案　2或-2
解析　在(x+1+m)2 023=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023中,
令x=0,得(1+m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023,
令x=-2,得(-1+m)2 023=a0-a1+a2-a3+…-a2 023,
所以(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2
=(a0-a1+a2-a3+…-a2 023)(a0+a1+a2+a3+…+a2 023)
=(-1+m)2 023(1+m)2 023=(m2-1)2 023=32 023,
所以m2-1=3,解得m=±2.
8.答案　256
解析　的二項式通項為Tr+1=·(-4y+2)r,易知r=8時的項不含x,此時T8+1=·
(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各項系數之和為256.
9.解析　(1)易知n≥7,n∈N.∵,
∴n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)
=,
整理可得=1,
即n2-11n-60=0,解得n=15或n=-4(舍去).
故n的值為15.
(2)由(1)得n=15,
∴(1-2x)n=(1-2x)15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15,
令x=0,可得a0=1,
令x=,可得+…+=0,
∴+…+=-1.
10.B　1.957=(2-0.05)7=27-×25×0.052-…-0.057≈27-×25×0.052=107.28≈107.故選B.
11.C　11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1
=·11n+·11n-1+·11n-2+…+·11+-2
=(11+1)n-2=12n-2=(13-1)n-2=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13+
(-1)n·-2.
因為n為奇數,所以上式=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-3=[·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-13]+10.
所以11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余數是10.故選C.
12.D　a≡b(mod 5)的意思是a和b被5除得的余數相同,已知a=×32+…+×320,
則由二項式定理得a=(1+3)20=420=(5-1)20=×519+…-,
因為×519+…-×5能被5整除,
所以a除以5余=1,所以b除以5余1.
結合選項知2 026除以5余1.故選D.
1(共13張PPT)
§４ 二項式定理
知識 清單破
4.1 二項式定理的推導
知識點 二項式定理
概念 公式(a+b)n= an+ an-1b+…+ an-kbk+…+
bn(n∈N+,k=0,1,2,…,n)稱為二項式定理
二項展開式 an+ b+…+ an-kbk+…+ bn
二項式系數 (k=0,1,2,…,n)
二項式通項 Tk+1= an-kbk
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.(a+b)n的二項展開式中共有n項. (　 )
2.在二項式定理中,交換a,b的順序對各項沒有影響. (　 )
3. bk是(a+b)n的展開式中的第k項.(　 )
4.(a-b)n與(a+b)n的二項展開式的各二項式系數對應相同. (　 )
5.(x+2)n的展開式中的第3項的系數是 . (　 )
6. 的展開式中的常數項為15.(　 )



√

√
提示
提示
(x+2)n的展開式中的第3項的二項式系數是 ,系數是4 .
的二項式通項為Tk+1= (x2)6-k =(-1)k x12-3k(k=0,1,…,6).令12-3k=0,得k=4,故
常數項為(-1)4 =15.
1.對于常數項,其隱含的條件是字母的指數為0(即0次項).
2.對于有理項,一般是先寫出二項式通項,然后令其所有的字母的指數都等于整數.解這類問
題必須合并二項式通項中同一字母的指數,合并后,根據具體要求,令其為整數,再根據數的整
除性來求解.
3.對于整式項,其二項式通項中同一字母的指數合并后應是非負整數,求解方式與求有理項一
致.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求二項展開式的特定項的常用方法
典例 已知在 (n∈N+)的展開式中,第6項為常數項.
(1)求n的值;
(2)求展開式中所有的有理項(只需說明第幾項是有理項).
解析 (1) 的二項式通項為Tk+1= (-3)k =(-3)k (k=0,1,…,n).
∵第6項為常數項,
∴當k=5時,有 = =0,即n=10.
(2)根據二項式通項Tk+1=(-3)k 及題意,得 令 =r(r∈Z),則10-2k=3r,即k=
5- r.
∵k∈N且0≤k≤10,
∴r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.
故展開式中的第3項、第6項及第9項為有理項.
1.求兩個二項式乘積的展開式中特定項的一般步驟
(1)分別求每個展開式的二項式通項;
(2)找到構成展開式中特定項的組成部分;
(3)利用多項式乘法分別相乘即可.
2.求三項展開式中特定項的方法
(1)因式分解法:先通過因式分解將三項式變成兩個二項式,然后用二項式定理分別展開.
(2)逐層展開法:先將三項式分成兩組,用二項式定理展開,再把其中含兩項的一組展開.
(3)利用組合知識:把三項式(a+b+c)n看成n個(a+b+c)的積,利用組合知識分析項的構成,注意最
后把各個同類項合并.
講解分析
疑難 2 兩個二項式乘積、三項展開式問題
典例 (1)在 (1+x)6的展開式中,含x2的項的系數為 (　 )
A.15　 B.20　 C.30　 D.35
(2)(x2+3x+2)5的展開式中x2的系數為　　　 .
C
800
解析 (1)(1+x)6的展開式的二項式通項為Tk+1= xk,k=0,1,2,…,6.
因為 (1+x)6=(1+x)6+ (1+x)6,
所以展開式中含x2的項為1× x2+ × x4=30x2,所以展開式中含x2的項的系數為30.
(2)解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5,
(1+x)5的展開式的二項式通項為Tr+1= xr,
(2+x)5的展開式的二項式通項為Tk+1= 25-kxk,
所以 的展開式的二項式通項為Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N,
令r+k=2,可得 或 或
因此, 的展開式中x2的系數為 ×23+ ×24+ ×25=800.
解法二: = ,且它的展開式的二項式通項為Tk+1= (x2+3x)5-k·2k(0≤k≤5,
k∈N), 的展開式的二項式通項為Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤k≤5,且0≤r≤5-
k,r,k∈N),
所以Tk+1= 2k3rx10-2k-r(0≤k≤5,且0≤r≤5-k,k,r∈N),
令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0.
當k=3,r=2時,x2的系數為 ×23×32=720;
當k=4,r=0時,x2的系數為 ×24×30=80.
綜上, 的展開式中x2的系數為720+80=800.
解法三:(x2+3x+2)5表示5個因式(x2+3x+2)的乘積,要得到含x2的項,分以下兩種情況:①從1個因
式中取x2,其余4個因式中都取2,②從2個因式中取3x,其余3個因式中都取2.故x2的系數為 ×24
+ ×32×23=80+720=800.
1.解決系數和問題的思維過程

講解分析
疑難 3 賦值法求系數和問題
2.展開式中系數和的求法
(1)對形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N+)的式子,求其展開式中各項系數之和常用賦值
法,只需令x=1即可;對形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N+)的式子,求其展開式中各項系數之和,只需令
x=y=1即可.
(2)一般地,令f(x)=(ax+b)n,即f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,則(ax+b)n的展開式中各項系數之和為
f(1);奇數項系數之和為a0+a2+a4+…= ;偶數項系數之和為a1+a3+a5+…= .
典例 已知(3x-1)7=a0x7+a1x6+a2x5+a3x4+a4x3+a5x2+a6x+a7.
(1)求a4的值;
(2)求|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|的值;
(3)求a1+a3+a5+a7的值.
解析 (1)(3x-1)7的二項式通項為Tr+1= ·(3x)7-r·(-1)r(r=0,1,…,7),
令7-r=3,得r=4,所以a4= ×33×(-1)4=945.
(2)設(3x+1)7=b0x7+b1x6+b2x5+b3x4+b4x3+b5x2+b6x+b7,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=b0+b1+b2+
b3+b4+b5+b6+b7,
令x=1,可得b0+b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7=(3×1+1)7=16 384,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|+|a7|=
16 384.
(3)令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=27,
令x=-1,則-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=(-4)7,
則2(a1+a3+a5+a7)=27-47=27-214,
所以a1+a3+a5+a7=26-213=-8 128.
方法總結 賦值法是解決展開式中系數或展開式中系數的和、差問題的常用方法.要根據所
求,靈活地對字母賦值,通常賦的值為0,-1或1.

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