資源簡介

(共9張PPT)
　　上圖中的表叫作二項式系數表,歷史上也稱為楊輝三角.它有如下規律:
　　設表中任意一個不為“1”的數為 ,那么它“肩上”的兩個數分別為 及 ,由組
合數的性質2得到: = + .
知識點 1 二項式系數表(楊輝三角)
知識 清單破
4.2 二項式系數的性質
1.對稱性
　　與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等,即 = .
2.增減性與最大值
當k< 時, 隨k的增大而增大;當k> 時, 隨k的增大而減小.當n是偶數時,中間的一項
為最大值;當n是奇數時,中間的兩項 與 相等,且同時為最大值.
3.各二項式系數的和
(a+b)n的展開式的各二項式系數的和等于2n,即 + + +…+ =2n.
(a+b)n的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和,即 + + +…
= + + +….
知識點 2 二項式系數的性質
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.二項展開式的各二項式系數的和為 + +…+ . (　 )
2.二項展開式中系數最大項與二項式系數最大項相同. (　 )
3.若(a+b)n的展開式的第4項的二項式系數與第6項的二項式系數相等,則第5項一定是二項式
系數最大項. (　 )
4.(x+2)5與(x-2)5的展開式的各二項式系數和一定不相等.(　 )



√
提示
提示
提示
二項展開式的各二項式系數的和為 + + +…+ =2n.
由題意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展開式的中間項為第5項,所以第5項為二項式
系數最大項.
(x+2)5與(x-2)5的展開式的各二項式系數和均為25.
解決與楊輝三角有關的問題的一般思路
(1)觀察:對數據要橫看、豎看、隔行看、連續看,多角度觀察.
(2)規律:通過觀察找出每一行的數據之間、行與行的數據之間的規律.
(3)表達:將發現的規律用數學式子表達.
(4)結論:用數學表達式寫出結論.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 楊輝三角問題
典例 如圖,在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中,第10行中最大的數與第二大的數的比
值為　　　 (用最簡分數表示).

解析 觀察題圖知,第10行從左至右依次為 , , ,…, ,由二項式系數的性質可得 最
大,第二大的數為 = ,所以第10行中最大的數與第二大的數的比值為 = = .
1.二項式系數的有關性質的形成過程體現了觀察—猜想—證明—歸納的數學方法,并且在歸
納證明的過程中應用了函數思想、方程思想等數學思想,大致對應如下:
講解分析
疑難 2 二項式系數的性質及其應用
2.求展開式中二項式系數最大的項,可根據二項式系數的性質:當n為奇數時,中間兩項的二項
式系數最大;當n為偶數時,中間一項的二項式系數最大.
3.求二項展開式中系數的最值問題有兩種思路:思路一,二項展開式中的系數是關于正整數n
的式子,可以看成關于n的函數,利用判斷函數單調性的方法判斷系數的增減性,從而求出系數
的最值;思路二,在系數均為正值的前提下,求系數的最大值只需比較相鄰兩個系數的大小,根
據其展開式的二項式通項正確列出不等式(組)即可求解.
4.根據二項式系數的性質求參數的關鍵是正確列出與參數有關的關系式,然后解此關系式即
可.必要時,需檢驗所求參數是否符合題目要求.
典例 在(3x-2y)20的展開式中,求:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數絕對值最大的項;
(3)系數最大的項.
解析 (1)二項式系數最大的項是第11項,且T11= 310(-2)10x10y10= 610x10y10.
(2)設系數絕對值最大的項是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)項,
于是
化簡得 解得 ≤r≤ ,
又0≤r≤20,r∈N,所以r=8,
即T9= 31228x12y8是系數絕對值最大的項.
(3)解法一:由于系數為正的項為y的偶次方項,因此可設第2k-1(1≤k≤11,k∈N+)項的系數最
大,于是

所以
解得k=5,則2k-1=9,所以第9項系數最大,且T9= 31228x12y8.
解法二:由(2)知系數絕對值最大的項的系數為正,故此項的系數也最大,故系數最大的項為T9
= 31228x12y8.4.2　二項式系數的性質
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　楊輝三角
1.如圖所示的表是與楊輝三角有類似性質的三角形數壘,若a,b依次是某行的前兩個數,則當a=7時,b=　　(　　)
A.20　　　B.21　　　C.22　　　D.23
2.(多選題)如圖所示,在“楊輝三角”中,下列命題正確的是(　　)
A.由“在相鄰的兩行中,除1以外的每一個數都等于它肩上兩個數的和”猜想:
B.由“第n行所有數之和為2n”猜想:+…+=2n
C.第20行中,第10個數最大
D.第15行中從左到右第7個數與第8個數的比為7∶9
3.閱讀材料,完成相應任務:“賈憲三角”又稱“楊輝三角”,在歐洲則稱為“帕斯卡三角”(如下表),它揭示了(a+b)n(n為非負整數)的展開式的項數及各項系數的規律.
根據上述規律,完成下列問題:
(1)直接寫出:(a+b)5=　　　　;
(2)(a+1)8的展開式中a項的系數是　　　　.
題組二　二項式系數的性質
4.一串裝飾彩燈由燈泡串聯而成,每串有20個燈泡,只要有一個燈泡壞了,整串彩燈就不亮,則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數為(　　)
A.20　　　B.219　　　C.220　　　D.220-1
5.在(2-3x)15的展開式中,二項式系數的最大值為　　(　　)
A.　　　B.　　　C.-　　　D.-
6.在(a-b)20的展開式中,二項式系數與第6項的二項式系數相同的項是(　　)
A.第15項　　　　　　B.第16項
C.第17項　　　　　　 D.第18項
7.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中x2的系數是(　　)
A.60　　　B.80　　　C.84　　　D.120
8.在的展開式中,所有的二項式系數之和為64,則各項的系數的絕對值之和為　　　　.
9.給出下列條件:①展開式中的所有項的系數之和與二項式系數之和的比為243∶32;②展開式中的前三項的二項式系數之和為16.從這兩個條件中任選一個補充在下面問題中的橫線上,并完成解答.
問題:已知,　　　　.
(1)求展開式中的二項式系數最大的項;
(2)求展開式中的系數最大的項.
能力提升練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　二項式系數與楊輝三角
1.(多選題)下列各式正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.1×2+2×3+3×4+…+99×100=2
B.+…+201=100×2100
C.+…+50=25×2100
D.+…+
2.(多選題)我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現了楊輝三角,如圖所示,這是數學史上的一個偉大成就.該圖中的表蘊含著許多的數學規律,下列結論正確的是(　　)
A.+…+
B.111=11,112=121,……,115=15 101 051
C.從左往右逐行數,第2 024項在第63行第8個
D.第5行到第10行的所有數字之和為2 024
題組二　二項式系數的性質
3.(多選題)對于(m為常數,且m≠0),下列說法正確的是(　　)
A.展開式有常數項
B.展開式的第6項的二項式系數最大
C.若m=2,則展開式的各二項式系數和為310
D.≥1在x∈[1,3]上恒成立,則m≥0
4.楊輝三角在我國最早由賈憲在《釋鎖算術》中提出,后來南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》中進行了詳細說明.楊輝三角中的三角形數表,是自然界和諧統一的體現.楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列,其中蘊含著二項式系數的性質,例如遞推性質.在的展開式中,第三項和第四項的二項式系數之和為　　　　,常數項為　　　　.
5.已知n為滿足S=a++…+(a≥3)能被9整除的正整數a的最小值,則在的展開式中,二項式系數最大的項為第　　　項.
6.已知(+x2)2n(n∈N+)的展開式的各二項式系數之和比(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和大992,求的展開式中:
(1)二項式系數最大的項;
(2)系數的絕對值最大的項.
答案與分層梯度式解析
4.2　二項式系數的性質
基礎過關練
1.C　觀察題圖可知,從第三行開始,每一行除開始和末尾的兩個數外,中間的數分別是其兩肩上相鄰兩個數的和,當a=7時,b的兩肩上的兩個數分別為6,16,所以b=6+16=22.
2.ABD　易知A,B正確;對于C,第20行的數是(i=0,1,2,…,20),最大的數是,即是第11個數,故C錯誤;
對于D,易知第n行從左到右第k個數是,則第15行中從左到右第7個數與第8個數分別是,則,故D正確.
故選ABD.
3.答案　(1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5　(2)8
解析　(1)由題圖可得(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
(2)由楊輝三角的性質可得(a+1)8的展開式中a項的系數為=8.
4.D　因為只要有一個燈泡壞了,整串彩燈就不亮,所以因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數為+…+=220-1,故選D.
5.B　(2-3x)15的展開式中共有16項,中間的兩項為第8項和第9項,這兩項的二項式系數相等且最大,為,故選B.
6.B　第6項的二項式系數為,因為,所以第6項與第16項的二項式系數相同,故選B.
7.D　(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展開式中x2的系數為+…++…+=120.故選D.
8.答案　729
解析　由題意得2n=64,∴n=6,
設的展開式中各項的系數為a0,a1,a2,…,a6,則各項的系數的絕對值之和為|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|,即為的展開式中各項的系數之和,
令x=1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=(1+2)6=36,
故各項的系數的絕對值之和為36=729.
9.解析　(1)選條件①:令x=1,得所有項的系數之和為3n,因為二項式系數之和為2n,所以3n∶2n=243∶32,解得n=5.
選條件②:由題意得=16,化簡得n2+n-30=0,所以n=5,
故展開式中的二項式系數最大的項為第3項和第4項,
的二項式通項為Tr+1=x10-3r,
則T3=25-2x10-9=40x.
(2)由(1)知Tr+1=25-rx10-3r,
由得1≤r≤2且r∈N+,
所以r=1或2,所以系數最大的項為第2項和第3項,所以T2=24x10-6=80x4.
能力提升練
1.ACD　對于A,根據組合數的性質,得左邊=+…++…+,故A正確;
對于B,設S=+…+201,
則S=201+…+1·,
兩式相加得2S=202(+…+),
所以S=101×2100,故B錯誤;
對于C,由于m,
所以+…+50+…+
100+…++…+)=50×299=25×2100,故C正確;
對于D,因為(1+x)100=(1+x)90(1+x)10,
所以展開式中含x20項的系數為+…+,故D正確.
故選ACD.
2.AC　對于A,已知(m,n∈N+,m則+…++…+
+…+=…=,故A正確;
對 于B,115=(1+10)5=15+×104+105
=1+50+1 000+10 000+50 000+100 000=161 051,故B錯誤;
對于C,第n(n∈N)行共有(n+1)項,
從左往右逐行數,第n行最后一項對應的項數為1+2+3+…+n+(n+1)=,
因為=2 016,且2 024=2 016+8,
所以從左往右逐行數,第2 024項在第63行第8個,故C正確;
對于D,第n(n∈N+)行所有項之和為+…+=2n,
所以第5行到第10行的所有數字之和為25+26+…+210=32+64+…+
1 024=2 016,故D錯誤.
故選AC.
AB　對于A,的二項式通項為Tr+1=
x10-r·x10-2r,
令10-2r=0,可得r=5,因此展開式的第6項為常數項,故A正確;
對于B,由的展開式,結合二項式系數的性質,可得展開式的第6項的二項式系數最大,故B正確;
對于C,當m=2時,展開式的各二項式系數和為210,故C錯誤;
對于D,由≥1在x∈[1,3]上恒成立,可得x+≥1或x+≤-1在x∈[1,3]上恒成立,
即m≥x-x2或m≤-x-x2在x∈[1,3]上恒成立,
令g(x)=x-x2,則g(x)在[1,3]上單調遞減,所以g(x)max=g(1)=0,
令h(x)=-x-x2,則h(x)在[1,3]上單調遞減,所以h(x)min=h(3)=-12,
所以m≥0或m≤-12,故D錯誤.
故選AB.
4.答案　35;60
解析　在的展開式中,第三項的二項式系數為,第四項的二項式系數為,所以第三項和第四項的二項式系數之和為=35.
的二項式通項為Tr+1=,
r=0,1,…,6,
令3-r=0,得r=2,
所以展開式中的常數項為(-2)2x0=4×15=60.
5.答案　6和7
解析　S=a++…++…+97+…+)+a-2,
∵a≥3,∴使S能被9整除的正整數a的最小值滿足amin-2=9,∴amin=11,
∴n=11,
∴,其展開式的二項式系數最大的項為第6項、第7項.
6.解析　(+x2)2n的展開式的各二項式系數之和為22n,
(3x-1)n+1的展開式的各偶數項的二項式系數之和為2n+1-1=2n.
由題意得22n-2n=992,解得n=5,
所以.
(1)的展開式中二項式系數最大的項為第51項,即.
(2)(2x)100-r··2100-r·
(-1)r·x100-2r,0≤r≤100,r∈N,其系數的絕對值為·2100-r,設系數的絕對值最大的項是第(k+1)項,
則
解得≤k≤,
∵k≤100,k∈N,∴k=33,
∴系數的絕對值最大的項為第34項,
即T34=·(2x)67·267x34.
1

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