資源簡介

(共12張PPT)
1.定義
在平面直角坐標系中,對于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按逆時針方向繞著交點旋
轉到和直線l首次重合時所成的角,稱為直線l的傾斜角.通常傾斜角用α表示.(直線的傾斜角是
反映直線的傾斜程度的量,每一條直線都有傾斜角)
2.范圍
當直線l和x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0.因此,直線的傾斜角α的取值范圍為[0,π).
§１ 直線與直線的方程
知識點 1 直線的傾斜角
知識 清單破
1.1 一次函數的圖象與直線的方程
1. 2 直線的傾斜角、斜率及其關系
　　經過不同兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線l的斜率k= (x1≠x2).
(1)斜率是一個比值,它與P1,P2兩點在直線上的位置無關,而與兩點橫、縱坐標之差的順序有
關(即x2-x1,y2-y1中x2與y2對應,x1與y1對應).
(2)運用斜率的兩點式的前提條件是“x1≠x2”,也就是直線不與x軸垂直,而當直線與x軸垂直
時,直線的傾斜角為90°,斜率不存在.
知識點 2 斜率的兩點式
　　由正切函數的概念可知,傾斜角不是 的直線,它的斜率k和它的傾斜角α滿足k=tan α
.
當α∈ 時,斜率k≥0,且k隨傾斜角α的增大而增大;
當α∈ 時,斜率k<0,且k隨傾斜角α的增大而增大;
當α= 時,直線l與x軸垂直,此時直線l的斜率不存在.
知識點 3 直線的斜率與傾斜角的關系
若k是直線l的斜率,則v=(1,k)是它的一個方向向量;若直線l的一個方向向量的坐標為(x,y),其
中x≠0,則它的斜率k= .
知識點 4 直線的斜率與方向向量的關系
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.當k<0時,直線的傾斜角為鈍角. (　 )
2.過任意兩點的直線的斜率都能用斜率的兩點式求解. ( )
3.傾斜角為0的直線只有一條. ( )
4.若直線的一個方向向量為v=(2,4),則此直線的斜率為2. (　 )
5.若兩直線的斜率相等,則它們的傾斜角也一定相等. (　 )
6.直線的傾斜角構成的集合與直線構成的集合建立了一一對應的關系. ( )
當過兩點的直線垂直于x軸時,不能用斜率的兩點式求解.
√

提示

提示
所有與x軸平行或重合的直線的傾斜角均為0.
√
√

直線的傾斜角與斜率的關系
(1)當直線的傾斜角α滿足0°≤α<90°時,斜率非負,傾斜角越大,斜率越大;
(2)當直線的傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率為負,傾斜角越大,斜率越大;
(3)k=tan α 的圖象如圖所示.

　　由斜率k的范圍截取函數圖象,進而可得傾斜角α的范圍;反過來,由傾斜角α的范圍截取函
數圖象,進而可得斜率k的范圍.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 傾斜角與斜率的關系及應用
典例 已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的傾斜角α的取值范圍;
(2)若直線l的斜率存在,求直線l的斜率k的取值范圍.
思路點撥 作出圖形并觀察,可以發現直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括
PB與PA的傾斜角).
解析 如圖,由題意可知kPA= =-1,kPB= =1,所以直線PA的傾斜角為 ,PB的傾斜角為
.

(1)由圖可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角),∵PB的
傾斜角是 ,PA的傾斜角是 ,
∴直線l的傾斜角α的取值范圍是 ≤α≤ .
(2)根據傾斜角與斜率的關系知,直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
易錯警示 本題易錯誤地認為-1≤k≤1,結合圖形考慮,l的傾斜角應介于直線PB與直線PA的
傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α(0≤α<π)的圖象(如圖所示)得
到k的取值范圍是k≤-1或k≥1.

1.若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點的坐標都可以確定這條直線的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或AB與BC或AC
與BC)的傾斜角相同,又過同一點A(或B或C),所以點A,B,C在同一條直線上.
2.形如 的范圍(最值)問題,可以利用 的幾何意義(過定點(a,b)與動點(x,y)的直線的斜
率),借助圖形,將求范圍(最值)問題轉化為求斜率的范圍(最值)問題,從而簡化運算過程.
疑難 2 直線斜率的應用
講解分析
典例 已知實數x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求 的最大值和最小值.
思路點撥 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直
線的斜率,結合圖形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直線的斜
率.
對于y=x2-2x+2,當x=-1時,y=5;當x=1時,y=1.
設點(-1,5)為B,點(1,1)為A,點(-2,-3)為P,如圖所示.
由圖可知,當直線經過點P(-2,-3)和B(-1,5)時,斜率最大;當直線經過點P(-2,-3)和A(1,1)時,斜率
最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值為8,最小值為 .第一章　直線與圓
§1　直線與直線的方程
1.1　一次函數的圖象與直線的方程
1.2　直線的傾斜角、斜率及其關系
基礎過關練
題組一　直線的傾斜角　　　　　 　　　　 　　　　
1.下列說法中,正確的是(　　)
A.任意一條直線都有唯一的傾斜角
B.一條直線的傾斜角可以為-
C.傾斜角為0的直線只有一條,即x軸
D.若直線的傾斜角為α,則sin α∈(0,1)
2.已知直線l1的傾斜角為110°,若直線l2與l1垂直,則l2的傾斜角為(　　)
A.10°　　　B.20°　　　C.70°　　　D.200°
3.(多選題)設直線l過坐標原點,它的傾斜角為α,如果將l繞坐標原點按逆時針方向旋轉45°,得到直線l1,那么l1的傾斜角可能為(　　)
A.α+45°　　　　　　 B.α-135°
C.135°-α　　　　　　D.α-45°
4.已知一束光線射到x軸上并經x軸反射.若入射光線所在直線的傾斜角α1=60°,則反射光線所在直線的傾斜角為　　　　.
題組二　斜率的兩點式
5.已知點A(1,-3),B(-1,3),則直線AB的斜率是(　　)
A.　　　C.3　　　D.-3
6.(多選題)已知點A的坐標為(3,4),在坐標軸上有一點B,若kAB=4,則點B的坐標可以為(　　)
A.(0,-4)　　　　　　B.(0,-8)
C.(2,0)　　　　　　 D.(-2,0)
7.斜拉橋是橋梁建筑的一種形式,在橋梁平面上有多根拉索,所有拉索的合力方向與中央索塔一致.重慶千廝門嘉陵江大橋共有20根拉索,在索塔兩側對稱排列,如圖1所示.已知拉索上端相鄰兩個錨的間距|PiPi+1|(i=1,2,3,…,9)均為3.4 m,拉索下端相鄰兩個錨的間距|AiAi+1|(i=1,2,3,…,9)均為16 m.如圖2所示,若以A10B10所在直線為x軸,P1P10所在直線為y軸建立平面直角坐標系,最短拉索的錨P1,A1滿足|OP1|=66 m,|OA1|=86 m,則最長拉索所在直線的斜率為(　　)
A.±0.47　　　B.±0.45　　　C.±0.42　　　D.±0.40
8.已知A(1,3),B(-2,1),C(4,m)三點在同一條直線上,則m=　　　　.
9.如果直線l過點(1,2),且不經過第四象限,求直線l的斜率的取值范圍.
題組三　直線的斜率與傾斜角的關系
10.如圖,設直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則k1,k2,k3的大小關系為(　　)
A.k1B.k2C.k3D.k111.(多選題)在下列四個命題中,正確的是(　　)
A.若直線的傾斜角α為銳角,則其斜率一定大于0
B.若一條直線的斜率為tan α,則此直線的傾斜角為α
C.任意直線都有傾斜角α,且當α≠90°時,斜率為tan α
D.直線的傾斜角越大,其斜率越大
12.(多選題)若直線l的斜率為m2-,則直線l的傾斜角可能為(　　)
A.
C.
13.已知直線l1的傾斜角是直線l2的傾斜角的2倍,且l1的斜率為-,則l2的斜率為(　　)
A.3或-　　　　　　B.3
C.或-3　　　　　　 D.
14.若直線l經過A(2,1),B(1,
-m2)(m∈R)兩點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是　　　　.
15.若過點P(1-a,1+a)與Q(4,2a)的直線的傾斜角為鈍角,且m=3a2-4a,則實數m的取值范圍是　　　　.
16.已知坐標平面內三點A(-2,-4),B(2,0),
C(-1,1).
(1)求直線AB的斜率和傾斜角;
(2)若A,B,C,D可以構成平行四邊形且點D位于第一象限,求點D的坐標.
題組四　直線的斜率與方向向量的關系
17.(多選題)已知直線l的傾斜角為,則l的方向向量可能為(　　)
A.(1,-,-1)
C.(-2,2,-2)
18.經過A(x,2),B(3,-4)兩點的直線的一個方向向量為(1,3),則x=　　　　.
19.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直線AB的斜率并寫出直線BC的一個方向向量;
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動,求直線AD的斜率的取值范圍.
能力提升練
題組　直線的傾斜角、斜率及其應用　　　　　 　　　　 　　　　
1.m,n,p是兩兩不相等的實數,則點A(m+n,p),B(n+p,m),C(p+m,n)必(　　)
A.在同一條直線上
B.是直角三角形的三個頂點
C.是等腰三角形的三個頂點
D.是等邊三角形的三個頂點
2.經過兩點A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為,則y=(　　)
A.-1　　　B.-3　　　C.0　　　D.2
3.函數y=f(x)的圖象如圖所示,在區間[a,b]上可找到n(n≥2)個不同的數x1,x2,…,xn,使得=…=,則n的取值集合為(　　)
A.{3,4}
B.{2,3,4}
C.{3,4,5}
D.{2,3}
4.若正方形的一條對角線所在直線的斜率為3,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率之和為(　　)
A.-
C.-
5.(多選題)已知點A(2,4),B(3,3),點P(a,b)是線段AB(包括端點)上的動點,則的值可能是　　(　　)
A.-1　　　B.
6.已知拋物線y=x2上一點P,過點P作傾斜角互補的兩條直線PA,PB分別交拋物線于另外的兩點A,B,已知直線AB的斜率為-2,則點P的橫坐標為(　　)
A.2　　　B.
7.已知兩點A(-1,1),B(3,-2),過點P(2,-1)的直線l與線段AB有公共點,則直線l(不考慮斜率不存在的情況)的斜率k的取值范圍是　　　　.
8.數學家華羅庚曾說:“數缺形時少直觀,形少數時難入微.”事實上,很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決.例如與相關的代數問題可以轉化為點A(x,y)與點B(a,b)之間的距離的幾何問題.結合上述觀點,函數f(x)=,x∈的值域為　　　　.
9.已知點A(1,0),B(0,2),點P(a,b)在線段AB上.
(1)求直線AB的斜率;
(2)求ab的最大值.
答案與分層梯度式解析
第一章　直線與圓
§1　直線與直線的方程
1.1　一次函數的圖象與直線的方程
1.2　直線的傾斜角、斜率及其關系
基礎過關練
1.A　易知A正確;若直線的傾斜角為α,則α的取值范圍是[0,π),所以sin α∈[0,1],故B錯誤,D錯誤;所有與x軸平行或重合的直線的傾斜角都是0,故C錯誤.
2.B　因為l1的傾斜角為110°,l2與l1垂直,所以l2的傾斜角為110°-90°=20°.故選B.
3.AB　如圖1,當0°≤α<135°時,l1的傾斜角為α+45°;如圖2,當135°≤α<180°時,l1的傾斜角為45°+α-180°=α-135°.故選AB.
　
4.答案　120°
解析　根據題意作出示意圖,入射光線所在直線的傾斜角α1=60°,由入射角等于反射角及傾斜角的概念,得反射光線所在直線的傾斜角α2=120°.
5.D　直線AB的斜率kAB==-3.故選D.
6.BC　當點B在y軸上時,設B(0,y),由kAB=4,可得=4,解得y=-8,
∴B(0,-8);當點B在x軸上時,設B(x,0),由kAB=4,可得=4,解得x=2,∴B(2,0).
綜上所述,點B的坐標為(0,-8)或(2,0).故選BC.
7.C　設單位長度為1 m.根據題意,得|OA10|=|OA1|+|A1A10|=86+9×16=230(m),|OP10|=|OP1|+|P1P10|=66+9×3.4=96.6(m),則點A10(230,0),點P10(0,96.6),
所以=-0.42,同理=0.42,故選C.
8.答案　5
解析　因為A,B,C三點在同一條直線上,所以kAB=kAC,即,解得m=5.
9.解析　如圖,當直線l過點(1,2)且平行于x軸時,斜率最小,為0,當直線l過點(1,2)且過原點時,斜率最大,為2,所以過點(1,2)且不經過第四象限的直線l的斜率的取值范圍是[0,2].
10.D　由題圖可知l2,l3的傾斜角為銳角,且l2的傾斜程度比l3大,所以k2>k3>0,l1的傾斜角為鈍角,所以k1<0.綜上,k1故選D.
11.AC　對于A,當0°<α<90°時,其斜率k=tan α>0,故A正確;
對于B,若一條直線的斜率為tan(-30°)=-,則此直線的傾斜角為150°,故B錯誤;
對于C,由直線傾斜角的定義可得,每一條直線都有確定的傾斜角,
由斜率的定義可得,當直線的傾斜角α≠90°時,直線的斜率為tan α,故C正確;
對于D,直線的傾斜角為銳角時斜率大于0,傾斜角為鈍角時斜率小于0,如直線的傾斜角為45°,對應斜率為1,直線的傾斜角為135°,對應斜率為-1,45°<135°,而1>-1,故D錯誤.
故選AC.
12.ACD　設直線l的傾斜角為α,則α∈[0,π),
因為直線l的斜率k=m2-≥-,
所以α≠且tan α≥-,結合正切函數的圖象,可得α∈,
結合選項,可得ACD符合.
13.B　設l2的傾斜角為α,則l1的傾斜角為2α,則tan 2α=,
整理,得3tan2α-8tan α-3=0,解得tan α=3或tan α=-,
因為tan 2α=-<0,
所以2α∈,
所以α∈,所以tan α=3.故選B.
14.答案　≤α<
解析　因為直線l經過A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)兩點,所以kl=
tan α==1+m2≥1,因為0≤α<π,所以≤α<.
15.答案　
解析　設直線的傾斜角為α,斜率為k,
則k=tan α=,
又α為鈍角,∴<0,
即(a-1)(a+3)<0,故-3∵關于a的函數m=3a2-4a圖象的對稱軸為直線a=,
∴當a=時,m有最小值,為-.
又當a=-3時,m=39,當a=1時,m=-1,
∴實數m的取值范圍是.
16.解析　(1)由題意可知直線AB的斜率為=1,
因為直線的傾斜角的取值范圍為[0,π),所以直線AB的傾斜角為.
（2）如圖,當點D位于第一象限時,kCD=kAB,kBD=kAC,
設D(x,y),則
解得
故點D的坐標為(3,5).
17.AC　由題意得l的斜率為tan .
A中,對應的斜率為,故A正確;
B中,對應的斜率為,故B錯誤;
C中,對應的斜率為,故C正確;
D中,對應的斜率為,故D錯誤.
故選AC.
18.答案　5
解析　由題意可得=3,解得x=5.
解析　(1)直線AB的斜率為,直線BC的斜率為=-1,
∴直線BC的一個方向向量為(1,-1).
(2)如圖,當點D由點B運動到點C時,直線AD的斜率由kAB增大到kAC,
由(1)可知kAB=,又kAC=,
∴直線AD的斜率的取值范圍為.
方法技巧　求直線的斜率的取值范圍,需結合圖形,利用邊界直線的斜率可得所求斜率的取值范圍.
能力提升練
1.A　由已知得kAB==-1,∴kAB=kBC,
又B是直線AB,BC的公共點,
∴A,B,C三點共線.
2.B　由直線AB的傾斜角為,得直線AB的斜率k=tan =-1,即k==-1,解得y=-3.
故選B.
3.B　=…=的幾何意義是:曲線上存在n個點與坐標原點連線的斜率相等,即n指的是過原點的直線與曲線的交點個數.如圖,
由圖可得n的值可以為2,3,4.故選B.
4.C　如圖,在正方形OABC中,對角線OB所在直線的斜率為3,
設對角線OB所在直線的傾斜角為θ,則tan θ=3,
由正方形的性質可知,直線OA的傾斜角為θ-45°,直線OC的傾斜角為θ+45°,
故kOA=tan(θ-45°)=,
kOC=tan(θ+45°)==-2,
則kOA+kOC=.故選C.
5.CD　設k=,則k可以看成點P(a,b)與坐標原點O連線的斜率.
當點P在線段AB上由B點運動到A點時,直線OP的斜率由kOB增大到kOA,如圖所示.
又kOB==2,所以1≤k≤2,即的取值范圍是[1,2],結合選項可知C,D符合.
6.A　設P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1≠x2,
則kAB==-2,故x1+x2=-4.
同理,kPA=.
因為直線PA,PB的傾斜角互補,
所以kPA=-kPB,即 x1+x2=-2x0,
所以-2x0=-4,即x0=2.故選A.
7.答案　(-∞,-1]∪
解析　如圖,由題意可知kPA==-1.
要使直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,
-1]∪.
8.答案　
解析　如圖所示,設P(cos x,sin x)為單位圓O上的一點,點A(-1,
-1),B(1,0),C,則f(x)=,x∈表示點P在劣弧BC(不包括點B,包括點C)上運動時,直線PA的斜率,
因為kAB==1,
所以f(x)的值域為.
9.解析　(1)由題意知,直線AB的斜率kAB==-2.
(2)當點P(a,b)與點A,B均不重合時,
由點P(a,b)在線段AB上,得kAP=kAB,即=-2,
即b=-2a+2(0當P與A或B重合時也滿足b=-2a+2,
因此b=-2a+2(0≤a≤1),
所以2=2a+b≥2,
所以ab≤,
當且僅當2a=b,即a=,b=1時,等號成立.
故ab的最大值為.
1

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