資源簡介

1.3　直線的方程
基礎過關練
題組一　直線方程的點斜式與斜截式　　　　　 　　　　 　　　　
1.過點P()且傾斜角為135°的直線方程為(　　)
A.3x-y-4=0
C.x+y-=0
2.(多選題)下列說法錯誤的有(　　)
A.斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x±3
B.經過點P(x1,y1),斜率為0的直線方程是y=y1
C.經過點P(1,1),傾斜角為θ的直線方程為y-1=tan θ(x-1)
D.方程y=k(x-2)與方程k=表示同一條直線
3.(多選題)同一坐標系中,直線l1:y=ax+b與l2:y=bx-a的大致位置可能為(　　)
　　　　　　
　　　　　　
4.已知直線l經過點P(-1,2),且其斜率為k.
(1)若k=2,求l的點斜式方程;
(2)若直線l在y軸上的截距為4,求l的斜截式方程.
題組二　直線方程的兩點式與截距式
5.已知直線l經過點(-3,-2),(1,2),則下列不在直線l上的點是(　　)
A.(-2,-1)　　　　　　B.(-1,0)
C.(0,1)　　　　　　 D.(2,1)
6.(多選題)直線l過點(1,-2),且在兩坐標軸上的截距之和為-2,則直線l的方程為(　　)
A.x-3y-7=0　　　　　　B.2x-y-4=0
C.x+y+1=0　　　　　　D.4x-y-8=0
7.已知三角形的三個頂點A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),則BC邊上的中線所在直線的方程為(　　)
A.5x+3y-6=0　　　　　　B.3x-5y+15=0
C.x+13y+5=0　　　　　　D.3x+8y+15=0
8.(多選題)下列命題正確的是(　　)
A.截距相等的直線都可以用方程x+y=a(a∈R)表示
B.經過兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示
C.過點(2,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線有2條
D.不經過原點的直線都可以用方程=1表示
9.某地汽車客運公司規定旅客可隨身攜帶一定質量的行李,如果超過規定,則需要購買行李票,行李票費用y(元)與行李質量x(kg)的關系如圖所示,則旅客最多可免費攜帶行李的質量為(　　)
A.20 kg
B.25 kg
C.30 kg
D.80 kg
10.已知直線l:=1.
(1)若直線l的斜率是2,求m的值;
(2)當直線l與兩坐標軸的正半軸相交,且所圍三角形的面積最大時,求此直線的方程.
11.若直線AB與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,是否存在直線同時滿足下列條件:①△AOB的周長為12;②△AOB的面積為6 若存在,求出直線方程;若不存在,請說明理由.
題組三　直線方程的一般式與點法式
12.(多選題)如果AB<0,BC>0,那么直線Ax+By+C=0經過(　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　　　D.第四象限
13.已知直線l:x+y-1=0,則下列結論正確的是(　　)
A.直線l的傾斜角為
B.直線l的斜率為
C.直線l在y軸上的截距為-1
D.向量v=(1,1)是直線l的一個法向量
14.若直線l經過點P(-2,1),且直線l的一個法向量為v=(2,-1),則直線l的方程為　　　　　　　.
15.已知直線l:(m2+1)x-2y+1=0(m為常數),若直線l的斜率為,則m=　　　　,若m=-1,則直線l在y軸上的截距為　　　　.
16.已知直線l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:無論a為何值,直線l恒過第一象限;
(2)從下面兩個條件中任選一個,求a的值.
條件①:直線l的傾斜角比直線x-3y+1=0的傾斜角大;
條件②:直線l的一個方向向量為v=(1,1).
能力提升練
題組　直線方程的應用
1.直線l1:y=kx+b(kb≠0)和直線l2:=1在同一坐標系中的圖形可能是(　　)
2.已知直線l:2x-my+m-4=0,則下述論斷正確的是(　　)
A.直線l不可能經過坐標原點
B.直線l的斜率可能為0
C.直線l的傾斜角不可能是
D.直線l恒過定點(2,1)
3.已知點A(1,3),B(2,1),若直線l:y=k(x+2)-1與線段AB相交,則k的取值范圍是(　　)
A.
C.
4.設A,B是x軸上的兩點,點P的橫坐標為3,且|PA|=|PB|,若直線PA的方程為x-y+1=0,則直線PB的方程是(　　)
A.x+y+5=0　　　　　　B.2x-y-1=0
C.x-2y+4=0　　　　　　D.x+y-7=0
5.若直線ax+by=ab(a>0,b>0)過點(1,1),則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為(　　)
A.1　　　B.2　　　C.4　　　D.8
6.已知直線a1x+b1y+1=0和直線a2x+b2y+1=0都過點A(2,1),則過點P1(a1,b1)和點P2(a2,b2)的直線方程是(　　)
A.2x+y+1=0　　　　　　B.2x-y+1=0
C.2x+y-1=0　　　　　　 D.x+2y+1=0
7.瑞士著名數學家歐拉在1765年證明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上.這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知在平面直角坐標系中,△ABC各頂點的坐標分別為A(0,0),B(8,0),C(0,6),則其“歐拉線”的方程為　　　　　.(結果寫成直線的一般式方程)
8.已知直線l:(a+2)x-ay-3a-8=0,O為坐標原點,若直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,當|OA|+|OB|最小時,a=　　　　.
9.如圖,為了綠化城市,擬在矩形區域ABCD內建一個矩形草坪,另外,△AEF內部有一文物保護區域,不能占用,經過測量,AB=100 m,
BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應該如何設計才能使草坪面積最大
答案與分層梯度式解析
1.3　直線的方程
基礎過關練
1.D　因為直線的傾斜角為135°,所以直線的斜率k=tan 135°=-1,所以直線的方程為y+2),即x+y+=0,故選D.
2.ACD　斜率為-2,在y軸上的截距為3的直線方程為y=-2x+3,故A中說法錯誤;斜率為0的直線上所有點的縱坐標均相同,則直線方程為y=y1,故B中說法正確;當傾斜角θ為時,直線方程為x=1,故C中說法錯誤;方程y=k(x-2)表示一條直線,而方程k=表示直線y=k(x-2)上除去點(2,0)的部分,故D中說法錯誤.故選ACD.
3.BC　對于A,l1:a<0,b<0,l2:b>0,-a>0,即a<0,故A錯誤;對于B,l1:a>0,b<0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故B正確;對于C,l1:a<0,b>0,l2:b>0,
-a>0,即a<0,故C正確;對于D,l1:a>0,b>0,l2:b<0,-a<0,即a>0,故D錯誤.故選BC.
4.解析　(1)當直線l經過點P(-1,2)且斜率k=2時,l的點斜式方程為y-2=2(x+1).
(2)由已知可得,直線l經過點(-1,2),(0,4),所以其斜率k==2,
所以l的斜截式方程為y=2x+4.
5.D　因為直線l經過點(-3,-2),(1,2),所以直線l的方程為,整理,得x-y+1=0,
將各個選項中點的坐標代入直線l的方程,可知點(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直線l上,點(2,1)不在直線l上.故選D.
6.BC　由題意得,直線在兩坐標軸上均有截距且截距均不為0,故設所求直線方程為=1(ab≠0),
則故直線方程為x+y+1=0或2x-y-4=0,故選BC.
7.C　∵B(3,-3),C(0,2),
∴線段BC的中點坐標為.
又∵BC邊上的中線所在直線過點A(-5,0),
∴BC邊上的中線所在直線的方程為,即x+13y+5=0.故選C.
8.BC　對于A,如直線y=2x,它在兩坐標軸上的截距都為0,但不能用方程x+y=a(a∈R)表示,故A錯誤.
對于B,經過兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線有兩種情況:
當x1≠x2時,直線方程為y-y1=(x-x1),整理,得(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1);
當x1=x2時,直線方程為x=x1,即方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)成立.
綜上所述,經過兩個不同的點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示,故B正確.
對于C,當直線在x軸和y軸上的截距均為0時,可設直線方程為y=kx(k≠0),
因為直線過點(2,1),所以1=2k,解得k=,所以所求直線的方程為y=x;
當直線在x軸和y軸上的截距不為0時,可設直線方程為=1(a≠0),即x+y=a(a≠0),
因為直線過點(2,1),所以2+1=a,即a=3,所以所求直線的方程為x+y=3.
綜上所述,過點(2,1)且在兩坐標軸上截距相等的直線有2條,故C正確.
對于D,例如直線x=1不經過原點,但是不能用方程=1表示,故D錯誤.故選BC.
9.C　由題圖知點A(60,6),B(80,10).由直線的兩點式方程得,整理得x-5y-30=0,令y=0,解得x=30,即旅客最多可免費攜帶30 kg的行李.故選C.
10.解析　(1)由題意得直線l過點(m,0),(0,4-m),
則=2,解得m=-4.
(2)由題意得m>0,4-m>0,解得0則三角形的面積S=.
當m=2時,S有最大值,
故直線l的方程為=1,即x+y-2=0.
11.解析　設直線AB的方程為=1(a>0,b>0),則直線AB在x軸、y軸上的截距分別為a,b,
由題意得,
則
所以a2+b2=25,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=49 a+b=7,所以
當a=3,b=4時,直線方程為4x+3y-12=0;
當a=4,b=3時,直線方程為3x+4y-12=0.
故存在滿足題意的直線,直線方程為4x+3y-12=0或3x+4y-12=0.
12.ACD　因為AB<0,所以B≠0,故直線的斜截式方程為y=-,因為AB<0,BC>0,所以-<0,故直線經過第一、三、四象限.故選ACD.
13.D　因為直線l:x+y-1=0的方程即y=-x+1,所以直線l的斜率為-1,傾斜角為,在y軸上的截距為1,故A,B,C錯誤;對于D,因為直線l:x+y-1=0的一個方向向量為(1,-1),所以v=(1,1)是它的一個法向量,故D正確.故選D.
14.答案　2x-y+5=0
解析　由題意得直線l的方程為2(x+2)-(y-1)=0,即2x-y+5=0.
15.答案　0;
解析　由題意得,所以m=0.
若m=-1,則直線l的方程為2x-2y+1=0,可變形為y=x+,所以直線l在y軸上的截距為.
16.解析　(1)證明:將直線l的方程變形得y-,所以直線l的斜率為a,且過定點,
而點在第一象限,所以無論a為何值,直線l恒過第一象限.
(2)若選擇條件①:因為直線x-3y+1=0的斜率k=,所以其傾斜角α=,
則l的傾斜角為,可知l的斜率kl=1,即kl==1,所以a=1.
若選擇條件②:由直線l的一個方向向量為v=(1,1),可知l的斜率kl=1,
即kl==1,所以a=1.
能力提升練
1.D　A選項中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k<0且b<0,矛盾.B選項中,由l1可得k>0且b<0,由l2可得k>0且b>0,矛盾.C選項中,由l1可得k<0且b<0,由l2可得k>0且b<0,矛盾.D選項中,由l1,l2均可得到k>0且b>0.故選D.
2.D　令x=0,y=0,得m-4=0,即m=4,故當m=4時,
直線l:y=x經過坐標原點,故A錯誤.方程2x-my+m-4=0可化為my=2x+m-4,當m=0時,直線l:x=2,其斜率不存在;當m≠0時,直線l:y=,其斜率不為0,故B,C錯誤.方程2x-my+m-4=0可化為(y-1)m=2(x-2),即直線l恒過定點(2,1),故D正確.故選D.
3.D　直線l:y=k(x+2)-1恒過點P(-2,-1),則kPA=,結合圖形(圖略)可得k的取值范圍是.故選D.
4.D　設P(3,m).因為點P在直線PA上,所以3-m+1=0,解得m=4,即點P的坐標為(3,4).
由題意知PA與x軸的交點為A,所以點A的坐標為(-1,0),又|PA|=|PB|,點B在x軸上,所以點A,B關于直線x=3對稱,所以點B的坐標為(7,0),所以kPB==-1,所以直線PB的方程為y-0=-(x-7),即x+y-7=0.故選D.
5.C　易知直線在x軸、y軸上的截距之和為a+b.
由題意得a+b=ab,即=1,
∴a+b=(a+b)≥2+2=4,當且僅當,即a=b=2時取等號,
∴直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4.
6.A　把(2,1)代入直線方程a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0,得2a1+b1+1=0,2a2+b2+1=0,
兩式相減得2(a1-a2)=b2-b1,
過點P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直線方程是(a2-a1)(y-b1)=(b2-b1)(x-a1),
∴y-b1=-2(x-a1),即2x+y-(2a1+b1)=0,
∵2a1+b1+1=0,∴2a1+b1=-1,
∴所求直線方程為2x+y+1=0.故選A.
7.答案　3x-4y=0
解析　由題設知,△ABC是直角三角形,則其垂心為直角頂點A(0,0),其外心為斜邊BC的中點M(4,3),故其重心在直線AM上,故其“歐拉線”的方程即直線AM的方程,為y=x,即3x-4y=0.
8.答案　-
解析　方程(a+2)x-ay-3a-8=0可化為a(x-y-3)+2x-8=0,由即直線l過定點(4,1),假設直線l的截距式方程為=1(s>0,t>0),則+5≥2+5=9,當且僅當,即s=6,t=3時,等號成立,此時直線l的方程為x+2y-6=0,所以且-=3,解得a=-.
9.解析　建立如圖所示的平面直角坐標系,則E(30,0),F(0,20),EF所在直線的方程為=1.
在線段EF上取一點P(m,n)(0≤m≤30),作PQ⊥BC于Q,PR⊥CD于R,則矩形PQCR即為要建的矩形草坪,
設矩形PQCR的面積是S,則S=|PQ|·|PR|=(100-m)(80-n).
又因為=1(0≤m≤30),所以n=20,
故S=(100-m)(0≤m≤30),
當m=5時,S有最大值,此時=5,即當點P為線段EF上靠近F點的六等分點時,可使草坪面積最大.
1(共11張PPT)
知識點 1 直線方程的幾種形式
知識 清單破
1.3 直線的方程
名稱 已知條件 方程 適用范圍
點斜式 點P(x0,y0)和斜率k y-y0=k(x-x0) 不垂直于x軸的直線
斜截式 斜率k,在y軸上的截距b y=kx+b 不垂直于x軸的直線
兩點式 點P1(x1,y1)和P2(x2,y2) = (其中x1≠x2,y1≠y2) 不垂直于坐標軸的直線
截距式 在x軸上的截距a,在y軸上的截距b + =1(其中ab≠0) 不垂直于坐標軸且不
過原點的直線
一般式 Ax+By+C=0 (其中A,B不全為0) 平面內所有直線
*點法式 點P(x0,y0)和法向量n=
(A,B) A(x-x0)+B(y-y0)=0 平面內所有直線
　　直線與y軸交點的縱坐標叫作直線在y軸上的截距,直線與x軸交點的橫坐標叫作直線在x
軸上的截距.
知識點 2 截距
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.斜率存在的直線都可以用點斜式表示. (　 )
2.斜率存在的直線都可以用斜截式表示. (　 )
3.斜率存在的直線都可以用兩點式表示. ( )
4.截距不是距離,而是一個數,可正、可負、可為0. (　 )
5.過原點的直線可以表示為y=kx. ( )
6.直線方程的一般式中有A,B,C三個參數,因此最少需要三個條件求解. ( )
√
√

√


斜率為0的直線不能用兩點式表示.
提示
提示
提示
過原點的直線可以表示為y=kx或x=0.
直線方程的一般式只需要兩個條件就能求解.
求直線方程的幾種常見設法
(1)已知直線上一點的坐標,且斜率存在,可設直線方程為點斜式;
(2)已知直線的斜率,可設直線方程為斜截式;
(3)已知直線(不經過原點)在x軸,y軸上的截距,可設直線方程為截距式或斜截式;
(4)已知直線上兩點的坐標(橫、縱坐標均不相同),可設直線方程為兩點式,也可先求出斜率,
再用直線方程的點斜式求解.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 求直線的方程
典例 根據下列條件分別寫出直線的方程,并化為直線方程的一般式:
(1)斜率為 ,且經過點A(5,3);
(2)過點B(-3,0),且垂直于x軸;
(3)斜率為4,在y軸上的截距為-2;
(4)在y軸上的截距為3,且平行于x軸;
(5)經過C(-1,5),D(2,-1)兩點;
(6)在x軸,y軸上的截距分別是-3,-1;
(7)過點(2,-1)且法向量為(2,-1)的直線方程.
解析 (1)由直線方程的點斜式得y-3= (x-5),即 x-y+3-5 =0.
(2)x=-3,即x+3=0.
(3)y=4x-2,即4x-y-2=0.
(4)y=3,即y-3=0.
(5)由直線方程的兩點式得 = ,即2x+y-3=0.
(6)由直線方程的截距式得 + =1,即x+3y+3=0.
(7)設(x,y)是所求直線上任意一點,則2(x-2)-(y+1)=0,整理可得所求直線方程為2x-y-5=0.
關鍵技巧 (1)已知一點的坐標,求過該點的直線方程,若斜率存在,則一般選用直線方程的點
斜式,再由其他條件確定直線的斜率.(2)已知直線的斜率求直線方程,一般選用直線方程的斜
截式,再由其他條件確定直線上的一個點或者在y軸上的截距.(3)已知兩點坐標,求過這兩點
的直線方程,一般選用直線方程的兩點式,若這兩點是與坐標軸的交點,就用直線方程的截距
式.(4)無論選用什么形式的直線方程,都要注意各方程的限制條件,對特殊情況下的直線要單
獨討論.
1.過定點的直線系方程
當一條直線過定點P0(x0,y0)時,我們可設直線方程為y-y0=k(x-x0),且k能取遍所給范圍內的每一
個值,這個方程就表示滿足條件的經過定點P0(x0,y0)的不與x軸垂直的所有直線,這個方程就叫
作過定點P0(x0,y0)的直線系方程.由于y-y0=k(x-x0)不能表示過點P0(x0,y0)且與x軸垂直的直線,因
此過定點P0(x0,y0)的直線系方程y-y0=k(x-x0)中不含方程x=x0.
2.如何求直線所經過的定點
(1)將直線方程化為y-y0=k(x-x0)的形式,則直線過定點(x0,y0).
(2)應用分離參數的方法,將直線方程化為a1x+b1y+c1+λ(a2x+b2y+c2)=0的形式,由
求出定點坐標.
講解分析
疑難 2 直線過定點問題
(3)特殊值法,對方程中的參數賦兩個不同的特殊值,可得到關于x,y的兩個方程,聯立并解得x,y
的值,即得定點坐標(x,y).
典例 無論k為何實數,直線(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0都經過一個定點,這個定點的坐標是　　 .
解析 將直線方程變形為(x+3y-11)-k(2x-y-1)=0,若直線經過定點,則直線方程與k無關,即
解得
∴直線(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0恒過定點(2,3).
(2,3)

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