資源簡介

(共7張PPT)
1.直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0的位置關(guān)系如表所示(其中l(wèi)3的法
向量為m=(A1,B1),l4的法向量為n=(A2,B2)):
知識點 1 兩條直線的位置關(guān)系
知識 清單破
1.5 兩條直線的交點坐標(biāo)
1.4 兩條直線的平行與垂直
位置關(guān)系 l1,l2滿足的條件 l3,l4滿足的條件 l3,l4的法向量滿足的條件
平行 k1=k2,b1≠b2 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0) m∥n
垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 m·n=0
相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 m,n不共線
2.如果兩條直線的斜率都不存在,那么它們的傾斜角都是90°,從而它們互相平行或重合;如果
兩條直線中一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0,那么這兩條直線互相垂直.
1.設(shè)兩條直線的方程為l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.
若方程組
(1)有無數(shù)組解,則兩條直線重合;
(2)有唯一一組解,則兩條直線相交,此解就是交點坐標(biāo);
(3)無解,則兩條直線無公共點,此時兩條直線平行,反之,亦成立.
2.過兩條直線交點的直線系方程
已知直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0相交,則方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈
R,這個方程表示的直線可以是l1,但不能是l2)表示過l1和l2的交點的直線系方程.
知識點 2 兩條直線的交點坐標(biāo)
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若直線的斜率不存在,則這條直線一定與y軸平行. ( )
2.直線2x+3y-1=0與直線 + =1平行.(　 )
3.若直線l1與l2平行,則它們的斜率一定相等. ( )
4.若兩條直線l1與l2的斜率都不存在,則l1∥l2. ( )
5.若直線l1⊥l2,則這兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù). ( )




√
提示
提示
提示
提示
這條直線也可能與y軸重合.
這兩條直線的斜率可能都不存在.
這兩條直線可能重合.
可能一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0.
6.若兩直線方程組成的方程組有解,則兩直線一定相交. ( )

提示
有可能重合.
1.對于兩條不重合的直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2(其中b1≠b2),若l1∥l2,則k1=k2;若l1⊥l2,則k1k2=-1;
若l1與l2相交,則k1≠k2.
2.已知兩直線平行或垂直求參數(shù)的問題,要先考慮直線的斜率是否存在,若斜率存在,則依據(jù)
斜率間的關(guān)系求解;若斜率不存在,則需注意特殊情形.也可以利用直線方程的一般式,設(shè)l1:A1x
+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,l1∥l2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0);l1⊥l2 A1A2+
B1B2=0.
3.對于兩直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2平行的問題,除了要求k1=k2,還需確定b1≠b2,后者在解題中
容易被忽略.
講解分析
疑難 情境破
疑難 根據(jù)直線的位置關(guān)系求參數(shù)
典例 (1)已知直線l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,求實數(shù)m的值;
(2)若直線(1-a)x+ay-3=0與(2a+3)x+(a-1)y-2=0互相垂直,求實數(shù)a的值.
解析 (1)由題意得
解得m=-7.
(2)由題意得(1-a)(2a+3)+a(a-1)=0,即a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3.
易錯警示 本題(2)中,若用k1·k2=-1,則會漏掉a=1的情況.1.4　兩條直線的平行與垂直
1.5　兩條直線的交點坐標(biāo)
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　兩條直線平行的判定與應(yīng)用
1.(多選題)下列各直線中,與直線2x-y-3=0平行的是(　　)
A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
2.經(jīng)過點(1,0)且與直線2x-y+2=0平行的直線方程是(　　)
A.2x-y=0　　　　　　 B.2x-y-2=0
C.2x+y=0　　　　　　D.2x+y-2=0
3.“λ=-1”是“直線l1:x+λy+9=0與l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行”的(　　)
A.充要條件
B.充分不必要條件
C.必要不充分條件
D.既不充分也不必要條件
4.將一張畫著直角坐標(biāo)系(兩坐標(biāo)軸單位長度相同)的紙折疊一次,使點(2,0)與點(-2,4)重合,點(2 021,2 022)與點(m,n)重合,則m+n=(　　)
A.1　　　　　　 B.2 023
C.4 043　　　　　　D.4 046
5.若直線l1:ax-y+1=0與直線l2:2x-2y-1=0的傾斜角相等,則實數(shù)a=　　　　.
6.若直線l過點P(3,-4),且它的法向量與直線y=2x+1的法向量平行,則直線l的點法式方程是　　　　　　　　.
7.直線l與直線l1:3x+4y+12=0平行,且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是24,求直線l的方程.
題組二　兩條直線垂直的判定與應(yīng)用
8.若兩條直線l1:2x+ay-1=0與l2:ax+(2a-1)y+3=0相互垂直,則a的值為(　　)
A.-　　　　　　 B.0　　　
C.-或0　　　　　　D.-2或0
9.已知點M(1,-2),N(m,2),若線段MN的垂直平分線的方程是+y=1,則實數(shù)m的值是(　　)
A.-2　　　B.-7　　　C.3　　　D.1
10.直線l與直線x+y-2=0垂直,且它在y軸上的截距為4,則直線l的方程為　　　　　.
11.已知點A(1,2),點B(2,3),點C在x軸上,△ABC為直角三角形,請寫出點C的一個坐標(biāo):　　　　.
12.若直線l1:2x+3y-1=0的方向向量是直線l2:ax-y+2a=0的法向量,則實數(shù)a的值等于　　　　.
13.已知△ABC的頂點分別為A(-5,-1),B(-1,1),C(-2,3).
(1)證明:△ABC為直角三角形;
(2)求AC邊上的高所在直線的方程.
題組三　兩條直線的交點問題
14.已知三條直線2x+y-4=0,kx-y+3=0,x-y-2=0交于一點,則實數(shù)k=(　　)
A.-1　　　B.1　　　C.-
15.若直線kx-k+y+1=0與直線x+3y-3=0的交點在第一象限內(nèi),則實數(shù)k的取值范圍為(　　)
A.
B.
C.∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪
16.已知直線mx+4y-2=0與直線2x-5y+n=0互相垂直,垂足為(1,p),則m+n-p等于(　　)
A.24　　　B.20　　　C.4　　　D.0
17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過直線l1:7x-3y+1=0與l2:x+4y-3=0的交點,且在y軸上的截距為1的直線l的方程為　　　　　　　.(寫成一般式)
18.已知兩點A(0,4),B(2,-2),直線l1為線段AB的垂直平分線,直線l2:x+y-1=0,求:
(1)直線l1的方程;
(2)直線l1與l2的交點坐標(biāo);
(3)直線l1,l2與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.
能力提升練
題組　直線位置關(guān)系的綜合問題　　　　 　　　　 　　　　
1.與直線y=-2x+3平行,且與直線y=3x+4在x軸上的截距相同的直線方程是(　　)
A.y=-2x+4　　　　　　B.y=x+4
C.y=-2x-
2.設(shè)a,b,c分別是△ABC中角A,B,C所對邊的邊長,則直線bx-ysin B-c=0與xsin A+ay+sin C=0的位置關(guān)系是(　　)
A.平行　　　　　　B.重合
C.垂直　　　　　　D.相交但不垂直
3.已知a>0,直線l1:x+ay=2a+4與y軸的交點為A,l2:2x+ay=2a+8與x軸的交點為B,l1與l2的交點為C,則四邊形OACB的面積的最小值為(　　)
A.8+4
4.已知A,B兩點分別在兩條互相垂直的直線y=2x和x+ay=0上,且線段AB的中點為P0,,則直線AB的方程為(　　)
A.y=-x-5
C.y=x-5
5.已知直線l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0,若直線l與連接A(1,-2),B(2,1)兩點的線段總有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍為(　　)
A.
C.
6.已知a>0,b>0,直線l1:x+(a-4)y+1=0,l2:2bx+y-2=0,且l1⊥l2,則的最小值為(　　)
A.2　　　B.4　　　C.
7.(多選題)已知三條直線l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0將平面分為六個部分,則滿足條件的m可以是(　　)
A.-1　　　B.-2　　　C.　　　D.0
8.(多選題)已知直線l1,l2的斜率分別為2,,直線l與直線l1,l2圍成一個等腰三角形,且頂角為鈍角,則直線l的斜率可能是(　　)
A.-　　　D.1
9.已知A,B分別是直線x+2y+4=0和直線x+2y-10=0上的點,P為AB的中點,設(shè)點P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點D(-2,1)的直線l與曲線C,x軸分別交于點M,N,若D為MN的中點,求直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
1.4　兩條直線的平行與垂直
1.5　兩條直線的交點坐標(biāo)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.ABC　直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要條件為A1B2=A2B1,且A1C2≠A2C1或C1B2≠C2B1.
對于A,易知2×(-a)=-1×2a且-3×2a≠2×6,故A符合;對于B,y=2x 2x-y=0,易知2×(-1)=-1×2且0×2≠-3×2,故B符合;對于C,易知2×(-1)=-1×2且5×2≠-3×2,故C符合;對于D,易知2×1≠-1×2,故D不符合.故選ABC.
2.B　設(shè)所求直線的方程是2x-y+c=0(c≠2),
把(1,0)代入,得2+c=0,解得c=-2,
∴所求直線的方程是2x-y-2=0.故選B.
3.A　若直線l1:x+λy+9=0與直線l2:(λ-2)x+3y+3λ=0平行,則1×3=λ(λ-2),即λ2-2λ-3=0,解得λ=3或λ=-1.當(dāng)λ=3時,直線l1:x+3y+9=0與直線l2:x+3y+9=0重合,舍去.故“λ=-1”是“直線l1與l2平行”的充要條件.
4.C　記(2,0),(-2,4)分別為A,B,則直線AB的斜率kAB==-1.由題意知,過點(2 021,2 022)和點(m,n)的直線與直線AB平行,所以=-1,整理得m+n=4 043.故選C.
5.答案　1
解析　直線l1:ax-y+1=0即y=ax+1,
直線l2:2x-2y-1=0即y=x-,
因為直線l1:ax-y+1=0與直線l2:2x-2y-1=0的傾斜角相等,所以,即a=1.
6.答案　2(x-3)-(y+4)=0
解析　直線y=2x+1的一個法向量是(2,-1),因為直線l的法向量與直線y=2x+1的法向量平行,且過點P(3,-4),所以直線l的點法式方程是2(x-3)-(y+4)=0.
7.解析　根據(jù)題意可設(shè)直線l:3x+4y+m=0(m≠12),該直線分別與x軸,y軸交于A,B兩點,則A,則直線l與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積S==24,解得m=±24.所以直線l的方程是3x+4y±24=0.
8.C　因為l1⊥l2,所以2a+a(2a-1)=0,解得a=-或a=0.
易錯警示　若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.若僅考慮兩條直線的斜率的乘積為-1,容易漏掉一條直線的斜率為零,另一條直線的斜率不存在的情況.
9.C　+y=1 y=-x+1,所以直線+y=1的斜率為-,因為線段MN的垂直平分線的方程是+y=1,所以kMN·=-1,即=-1,解得m=3,故選C.
10.答案　x-y+4=0
解析　設(shè)直線l的方程為x-y+m=0,又它在y軸上的截距為4,∴m=4,∴直線l的方程為x-y+4=0.
11.答案　(3,0)(答案不唯一,填(3,0),(5,0)中的任意一個都可以)
解析　設(shè)C(x,0),易知當(dāng)x=1或x=2時,不符合題意,
當(dāng)x≠1且x≠2時,kAB=,
當(dāng)A為直角時,kAB·kAC=1×=-1,解得x=3,此時C的坐標(biāo)為(3,0);
當(dāng)B為直角時,kAB·kBC=1×=-1,解得x=5,此時C的坐標(biāo)為(5,0);
當(dāng)C為直角時,kAC·kBC==-1,化簡,得x2-3x+8=0,該方程無實數(shù)解.
綜上所述,點C的坐標(biāo)可以為(3,0)或(5,0).
12.答案　
解析　由題意得l1⊥l2,∴2a-3=0,解得a=.
13.解析　(1)證明:∵kAB=,∴kAB·kBC=-1,
∴AB⊥BC,∴△ABC為直角三角形.
(2)∵kAC=,∴AC邊上的高所在直線的斜率為-,又AC邊上的高所在直線過點B,∴AC邊上的高所在直線的方程是y-1=-(x+1),即3x+4y-1=0.
14.C　由即直線2x+y-4=0與直線x-y-2=0的交點坐標(biāo)為(2,0),將(2,0)代入kx-y+3=0,得2k-0+3=0,解得k=-.故選C.
15.C　當(dāng)k=時,kx-k+y+1==0,與x+3y-3=0平行,不符合題意,∴k≠.
由
∴k>2或k<-.故選C.
16.D　由兩直線垂直,得m×2+4×(-5)=0,解得m=10,所以mx+4y-2=0可化為5x+2y-1=0,又因為垂足(1,p)同時滿足兩直線方程,所以將(1,p)代入兩直線方程,得所以m+n-p=10-12+2=0,故選D.
17.答案　9x+5y-5=0
解析　解法一:由即直線l1與l2的交點坐標(biāo)為,又直線l過點(0,1),所以直線l的方程為,即9x+5y-5=0.
解法二:由題設(shè),可令直線l的方程為7x-3y+1+λ(x+4y-3)=0,因為直線l過點(0,1),
所以0-3+1+λ(0+4-3)=0,解得λ=2,故直線l的方程為9x+5y-5=0.
18.解析　(1)易得線段AB的中點為(1,1),kAB==-3,
所以直線l1的斜率為,則其方程為y-1=(x-1),即x-3y+2=0.
(2)由
所以直線l1與l2的交點坐標(biāo)為.
(3)記P,根據(jù)題意作出圖形如圖所示:
則直線l1,l2與坐標(biāo)軸所圍成的三角形為△PCD,其中C(-2,0),D(1,0),
所以S△PCD=|CD|·|yP|=.
能力提升練
1.C　易知直線y=3x+4在x軸上的截距為-,
∴所求直線過點.
設(shè)所求直線方程為y=-2x+m(m≠3),
把代入,得-2×+m=0,解得m=-,
故所求直線方程為y=-2x-.故選C.
C　直線bx-ysin B-c=0的斜率為,直線xsin A+ay+sin C=0的斜率為-,在△ABC中,由=2R,R為△ABC的外接圓半徑,得
-·2R=-1,故兩直線垂直.
3.A　因為直線l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都過點(4,2),
所以C(4,2).連接OC,如圖所示:
在直線l1:x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,在直線l2:2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0),
所以S四邊形OACB=S△OAC+S△OCB=≥8+2,當(dāng)且僅當(dāng)a=,即a=2時等號成立.所以當(dāng)a=2時,四邊形OACB的面積取得最小值,為8+4.故選A.
4.C　由題意得a=2,則P(0,5).
設(shè)A(x1,2x1),B,則∴A(4,8),B(-4,2).
∴直線AB的方程為,即y=x+5.故選C.
5.D　直線l的方程可化為m(x+y+1)+(2x-y-1)=0,由即直線l過定點(0,-1),記P(0,-1),如圖,
由題可知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,直線l的傾斜角為α,則0≤α<π,
顯然直線PA的斜率為=-1,直線PB的斜率為=1,
由于直線l經(jīng)過點P(0,-1),且與線段AB總有公共點,所以-1≤k≤1,即-1≤tan α≤1,
又k=≠-1,所以-1所以0≤α≤<α<π,
所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選D.
6.D　因為l1⊥l2,所以2b+a-4=0,即a+1+2b=5,
因為a>0,b>0,所以a+1>0,2b>0,
所以(a+1+2b)
=,
當(dāng)且僅當(dāng)a=時,等號成立.故選D.
7.ABD　因為三條直線l1:x-2y+2=0,l2:x-2=0,l3:x+my=0將平面分為六個部分,
所以三條直線交于一點或兩條平行線與第三條直線相交,
當(dāng)三條直線交于一點時,由將(2,2)代入方程x+my=0,得2+2m=0,解得m=-1.
當(dāng)兩條平行線與第三條直線相交時,可得l1∥l3或l2∥l3,
當(dāng)l1∥l3時,m=-2;當(dāng)l2∥l3時,m=0.
綜上可知,m=-1或m=-2或m=0.故選ABD.
8.ACD　設(shè)直線l1,l2,l的傾斜角分別為α,β,γ,
則tan α=2,tan β=,直線l的斜率k=tan γ,
將直線l1,l2平移,使它們均過原點,設(shè)直線l與直線l1,l2分別交于點A,B,
當(dāng)0<∠AOB<時,由題意知tan∠AOB=tan(α-β)=,
因為△AOB為等腰三角形,且頂角為鈍角,
所以∠ABO為鈍角或∠OAB為鈍角.
若∠ABO為鈍角,則∠AOB=∠OAB,如圖①所示:
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=,
所以直線l的斜率為-,故A正確;
若∠OAB為鈍角,則∠AOB=∠ABO,如圖②所示:
所以tan∠OAB=tan(π-∠AOB-∠ABO)=tan(π-2∠AOB)=
-tan 2∠AOB=-,
所以tan γ=tan(∠OAB+α)=,
所以直線l的斜率為-,故C正確;
當(dāng)<∠AOB<π時,如圖③所示:
tan∠AOB=tan[π-(α-β)]=-tan(α-β)=-,
因為△AOB為等腰三角形,所以∠OAB=∠OBA,
所以tan∠AOB=tan(π-∠OAB-∠OBA)=tan(π-2∠OAB)=
-tan 2∠OAB=-,
所以由-,解得tan∠OAB=或tan∠OAB=-3(舍),
所以tan γ=tan(β+∠OBA)=tan(β+∠OAB)==1,所以直線l的斜率為1,故D正確.
故選ACD.
9.解析　(1)設(shè)點P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),
因為P為AB的中點,所以x1+x2=2x,y1+y2=2y,
由x1+2y1+4=0,x2+2y2-10=0,可得x1+x2+2(y1+y2)-6=0,所以2x+4y-6=0,即x+2y-3=0,
所以曲線C的方程為x+2y-3=0.
(2)設(shè)M(3-2b,b),N(a,0),
因為D(-2,1)為MN的中點,
所以
則N(-3,0),所以直線l的方程為y=(x+3),整理得x-y+3=0,即直線l的方程為x-y+3=0.
1

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