資源簡介

(共12張PPT)
知識 清單破
1.6 平面直角坐標系中的距離公式
知識點 距離公式
名稱 適用情況 公式
兩點間的距離公式 點A(x1,y1),B(x2,y2)之間的距離 |AB|=
點到直線的距離公式 點P(x0,y0)到直線Ax+By+C=0
(其中A,B不全為0)的距離 d=
兩條平行直線間 的距離公式 兩條平行直線Ax+By+C1=0和
Ax+By+C2=0(其中A,B不全為
0,且C1≠C2)間的距離 d=
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.連接兩平行直線上兩個點的線段就是兩平行直線間的距離. ( )
2.點到直線的距離是點與直線上的點連線長度的最小值. (　 )
3.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 . ( )
4.在求兩平行直線間的距離時,可以在其中一條直線上任取一點,將兩平行直線間的距離轉化
為點到直線的距離. (　 )
5.使用兩平行直線間的距離公式時,兩直線方程中x,y的系數必須對應相等. (　 )

√

√
√
提示
提示
兩平行直線間的距離是兩平行直線間的公垂線段的長,并不是連接兩平行直線上任意
兩點的線段,而是此線段長度的最小值.
直線方程化為一般式為kx-y+b=0,則點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 .
1.點關于點的對稱
　　若點M(x0,y0)關于點P(a,b)的對稱點為N(x,y),則由中點坐標公式可得
2.點關于直線的對稱
設點M(x0,y0)關于直線l:Ax+By+C=0(A,B均不為0)的對稱點為N(x,y),則點N的坐標可由方程組
求得.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 對稱問題
特別地,點M(x0,y0)關于直線y=x+b的對稱點為M'(y0-b,x0+b),點M(x0,y0)關于直線y=-x+b的對稱點
為M'(-y0+b,-x0+b).(說明:此結論僅適用于對稱直線的斜率為±1的情況)
3.直線關于點的對稱
　　求一條不垂直于坐標軸的直線關于點P(a,b)的對稱直線的方程時,可在該直線上取兩個
特殊點,再求它們關于點P的對稱點的坐標,然后利用兩點式求其對稱直線的方程.
4.直線關于直線的對稱
求直線l1關于直線l對稱的直線l2時,可利用直線l1上的點A關于直線l的對稱點A'必在直線l2上
進行求解.
典例 已知直線l:x+2y-2=0,試求:
(1)點P(-2,-1)關于直線l的對稱點的坐標;
(2)直線l1:x-y-2=0關于直線l對稱的直線l2的方程;
(3)直線l關于點A(1,1)對稱的直線方程.
解析 (1)設點P(-2,-1)關于直線l的對稱點為P'(x0,y0),
則線段PP'的中點M在直線l上,且PP'⊥l.
所以 解得
故P'點的坐標為 .
(2)設直線l與l1的交點為N,由 得N(2,0),在l1上任取一點B(0,-2),設點B關于直線l的
對稱點為B'(x1,y1),則 解得 即B' , ,所以直線l2的斜率kNB'=
=7,所以l2的方程為y=7(x-2),即7x-y-14=0.
(3)設直線l關于點A(1,1)的對稱直線為l',則直線l'上任一點P'2(x'2,y'2)關于點A的對稱點P2(x2,y2)
一定在直線l上.
則 得 將(x2,y2)代入直線l的方程得x'2+2y'2-4=0,所以直線l'的方程為x+2y-
4=0.
1.在直線l上求一點P,使P到兩個定點的距離之和最小
(1)當兩定點A,B在直線l的異側時,由“兩點之間線段最短”及“三角形中任意兩邊之和大于
第三邊”可知,當P為直線AB與l的交點時,點P到兩定點的距離之和最小,最小值為|AB|.如圖
①,在直線l上任取一點P',則|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.
(2)當兩定點A,B在直線l的同側時,作點A關于直線l的對稱點A',連接A'B交直線l于點P,此時點
P到兩定點A,B的距離之和最小,最小值為|A'B|.如圖②,在直線l上任取一點P',則|P'A|+|P'B|≥
|A'B|=|PA|+|PB|.
講解分析
疑難 2 利用對稱解決線段和、差的最值問題

2.在直線l上求一點P,使點P到兩定點的距離之差的絕對值最大
(1)當兩定點A,B在直線l的同側時(A,B的連線與l不平行),直線AB交直線l于點P.此時,點P到兩
定點的距離之差的絕對值最大,最大值為|AB|.如圖③,在直線l上任取一點P',則有||P'B|-|P'A||≤
|AB|=||PB|-|PA||.
(2)當兩定點A,B在直線l的異側時,作點A關于直線l的對稱點A',直線A'B交直線l于點P.此時,點
P到兩定點的距離之差的絕對值最大,最大值為|A'B|.如圖④,在直線l上任取一點P',則有||P'B|-
|P'A||≤|A'B|=||PB|-|PA||.

典例 (1)在x軸上求一點P,使得點P到點A(4,1),B(0,4)的距離之差的絕對值最大,并求出最大值;
(2)已知點A(1,2),B(-2,3),直線l:y=x,在直線l上存在一點P,使得|PA|+|PB|最小,求這個最小值.
解析 (1)∵||PA|-|PB||≤|AB|,
∴當P為直線BA與x軸的交點時,點P到點A(4,1),B(0,4)的距離之差的絕對值最大,
∴||PA|-|PB||max=|AB|= =5.
∵直線BA的斜率kBA= =- ,
∴直線BA的方程為y=- x+4,則P .
故所求距離之差的絕對值最大為5,此時點P的坐標為 .
(2)設點A關于直線y=x的對稱點為A'(a,b),
則 解得 ∴A'(2,1),
∴|PA|+|PB|的最小值為|A'B|= =2 .1.6　平面直角坐標系中的距離公式
基礎過關練
題組一　兩點間的距離公式及其簡單應用　　　　　 　　　　 　　　　
1.已知點M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2,則實數m等于(　　)
A.1　　　　　　B.3
C.1或3　　　　D.-1或3
2.(多選題)對于,下列說法正確的是(　　)
A.可看成點(x,0)與點(1,2)的距離
B.可看成點(x,0)與點(-1,-2)的距離
C.可看成點(x,-1)與點(1,2)的距離
D.可看成點(x,-1)與點(-1,1)的距離
3.已知點A(-1,2),B(2,),P為x軸上一點,且|PA|=|PB|,則點P的坐標為(　　)
A.(-1,0)　　　　　　B.(1,0)
C.(0,-1)　　　　　　D.(0,1)
4.直線l1:3ax-y-2=0和直線l2:y-2=a(x-1)分別過定點A和B,則|AB|=　　　　.
5.已知△ABC的頂點分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).證明:△ABC為等腰直角三角形.
6.如圖,點P(6,4),Q(-2,1),P1是點P關于x軸的對稱點,連接P1Q交x軸于點M.
(1)求點M的坐標;
(2)求|MP|+|MQ|的值;
(3)N是x軸上不同于點M的任意一點,試比較|NP|+|NQ|與|MP|+|MQ|的大小.
題組二　點到直線的距離公式及其簡單應用
7.(多選題)已知A(-2,0),B(4,a)兩點到直線l:x-y+1=0的距離相等,則a的值可以是(　　)
A.4　　　B.6　　　C.2　　　D.-2
8.已知點P在直線3x+y-5=0上,且點P到直線x-y-1=0的距離等于,則點P的坐標為(　　)
A.(-1,8)或(3,-4)　　　　　　B.(1,2)或(2,-1)
C.(-2,11)或(1,2)　　　　　　D.(-1,8)或(2,1)
9.美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭:將整個臉部按照發際線至眉骨、眉骨至鼻底、鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭,各占臉長的.五眼:臉的寬度比例,以眼形長度為單位,把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖,假設三庭中一庭的高度為2,五眼中一眼的寬度為1,若直線AB近似記為該人像的劉海邊緣,且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點,
則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為(　　)
A.
C.
10.點P(2,)到直線x+y+t=0的距離不超過2,則實數t的取值范圍是　　　　.
11.已知△ABC的頂點分別為A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3).求:
(1)BC邊上的中線的長;
(2)△ABC的面積.
題組三　兩條平行線間的距離公式及其簡單應用
12.若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為(　　)
A.
13.若P,Q分別為直線3x+4y-6=0與直線6x+8y+3=0上任一點,則|PQ|的最小值為(　　)
A.
14.已知正方形的一組對邊所在的直線方程分別為2x+3y+2=0和2x+3y+4=0,另一組對邊所在的直線方程分別為6x-4y+c1=0和6x-4y+c2=0,則|c1-c2|=(　　)
A.4　　　B.
15.冰糖葫蘆是中國傳統小吃,起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示,若將山楂看成是大小相同的圓,竹簽看成一條線段,如圖2所示,且山楂的半徑為2,竹簽所在的直線方程為2x+y=0,則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為(　　)
　
A.2x+y±2=0　　　　　　B.2x+y±=0
C.2x+y±4=0　　　　　　D.2x+y±2=0
16.若兩平行直線分別經過點A(5,0),B(0,12),則兩平行直線間的距離d的取值范圍是　　　　.
17.已知直線l1:x-y=0,l2:2x+y-3=0,l3:ax-2y+4=0.
(1)若點P在l1上,且到l2的距離為3,求點P的坐標;
(2)若l2∥l3,求l2與l3之間的距離.
能力提升練
題組一　與直線有關的對稱問題　　　　 　　　　 　　　　
1.直線3x+4y+5=0關于直線x=1對稱的直線方程為(　　)
A.3x-4y+13=0　　　　　　B.3x-4y-11=0
C.3x+4y-11=0　　　　　　D.3x+4y+13=0
2.入射光線在直線l1:2x-y-3=0上,先經過x軸反射到直線l2上,再經過y軸反射到直線l3上,則直線l3的方程為(　　)
A.x-2y+3=0　　　　　　B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0　　　　　　D.2x-y+6=0
3.已知直線l:y=2x+3,點M(1,0),則直線l關于點M對稱的直線的方程為　　　　　.
4.在△ABC中,頂點A(-1,-4),∠B,∠C的平分線所在直線的方程分別是l1:y+1=0,l2:x+y+1=0,則BC邊所在直線的方程為　　　　　.
5.已知直線l:x-y+3=0,一束光線從點A(1,2)處射向x軸上一點B,又從點B反射到l上的一點C,最后從點C反射回點A.
(1)試判斷由此得到的△ABC的個數;
(2)求直線BC的方程.
題組二　與距離最值有關的問題
6.已知點(a,b)在線段3x+4y-10=0(-2≤x≤6)上,則a2+b2-2的取值范圍是(　　)
A.[2,18]　　　　　　B.[2,38]
C.[0,38]　　　　　　D.[0,2-2]
7.著名數學家華羅庚曾說過:“數形結合百般好,隔離分家萬事休.”事實上,有很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決,如可以轉化為平面上點M(x,y)與點N(a,b)之間的距離.根據上述觀點,可得f(x)=的最小值為(　　)
A.3
8.已知點A(3,1),在直線y=x和y=0上分別找一點M和N,使△AMN的周長最短,則最短周長為　　(　　)
A.4　　　B.2
9.設m∈R,過定點A的動直線l1:x+my+1=0和過定點B的動直線l2:mx-y-2m+3=0交于點P(x,y),則|PA|+|PB|的最大值為(　　)
A.3　　　D.12
10.(多選題)已知點M(-1,1),N(2,1),且點P在直線l:x+y+2=0上,則(　　)
A.存在點P,使得PM⊥PN
B.存在點P,使得2|PM|=|PN|
C.|PM|+|PN|的最小值為
D.||PM|-|PN||的最大值為3
11.已知在△ABC中,點A(1,1),B(m,)(112.已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則的最小值為　　　　.
答案與分層梯度式解析
1.6　平面直角坐標系中的距離公式
基礎過關練
1.C　因為|MN|=,所以,即m2-4m+3=0,解得m=1或m=3,故選C.
2.BD　　,可看成點(x,0)與點(-1,-2)或點(-1,2)的距離,也可看成點(x,-1)與點(-1,1)的距離,故選BD.
3.B　設P(m,0),則|PA|=,由|PA|=|PB|,得,解得m=1,故P(1,0).故選B.
4.答案　
解析　易得直線l1:3ax-y-2=0經過定點A的坐標為(0,-2),直線l2:y-2=a(x-1)經過定點B的坐標為(1,2),所以|AB|=.
5.證明　因為|AB|=,
|BC|=,
|AC|=,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|.
所以△ABC為等腰直角三角形.
6.解析　(1)根據題意可知P1(6,-4),又Q(-2,1),
所以,
所以直線P1Q的方程為y-1=-(x+2),
整理,得5x+8y+2=0.
令y=0,解得x=-,所以點M的坐標為.
(2)根據題意,得|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
由P1(6,-4),Q(-2,1),得|QP1|=.
所以|MP|+|MQ|=.
(3)|NP|+|NQ|=|NP1|+|NQ|,
|MP|+|MQ|=|MP1|+|MQ|=|QP1|,
在△NQP1中,由兩邊之和大于第三邊,知|NP1|+|NQ|>|QP1|,所以|NP|+|NQ|>|MP|+|MQ|.
7.AB　因為點A,B到直線l的距離相等,所以,解得a=4或a=6.故選AB.
8.B　因為點P在直線3x+y-5=0上,所以可設點P的坐標為(a,5-3a),則點P到直線x-y-1=0的距離d=,解得a=2或a=1.當a=2時,點P的坐標為(2,-1);當a=1時,點P的坐標為(1,2).綜上所述,點P的坐標為(1,2)或(2,-1).故選B.
9.B　如圖所示,以鼻尖所在位置為原點O,中庭下邊界為x軸,垂直于中庭下邊界的直線為y軸,建立平面直角坐標系,
則A,
所以直線AB的方程為,整理得x-y+=0,所以原點O到直線AB的距離為.故選B.
10.答案　[-9,-1]
解析　因為點P(2,)到直線x+y+t=0的距離不超過2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,
故實數t的取值范圍是[-9,-1].
11.解析　(1)設BC邊的中點為D,連接AD,則D(1,1),所以BC邊上的中線AD的長為.
(2)因為kAB==6,所以AB邊所在直線的方程為y+1=6(x+2),即6x-y+11=0,
又|AB|=,
點C(4,3)到直線AB的距離d=,
所以S△ABC==16.
12.B　∵直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,∴3-a(a-2)=0且2a2-18≠0,解得a=-1,∴l1:x-y+6=0,l2:-3x+3y-2=0,即x-y+=0,∴直線l1與l2間的距離d=.故選B.
13.C　由,得兩條直線相互平行,|PQ|的最小值就是兩平行線之間的距離,
方程3x+4y-6=0可變形為6x+8y-12=0,
則|PQ|的最小值為.
故選C.
14.A　直線2x+3y+2=0與直線2x+3y+4=0之間的距離d1=,直線6x-4y+c1=0與直線6x-4y+c2=0之間的距離d2=|c1-c2|,由題意得d1=d2,即|c1-c2|,解得|c1-c2|=4.故選A.
15.D　因為竹簽所在的直線方程為2x+y=0,所以可設與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為2x+y+c=0(c≠0),由兩平行直線間的距離公式,可得=2,解得c=±2,所以與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為2x+y±2=0.故選D.
16.答案　(0,13]
解析　易知當兩平行直線與直線AB垂直時,d最大,即dmax=|AB|=13,所以0故d的取值范圍是(0,13].
17.解析　(1)設點P的坐標為(t,t),
由,得|t-1|=5,∴t=-4或t=6,
∴點P的坐標為(-4,-4)或(6,6).
(2)由l2∥l3,得a=-4,
∴l3:-4x-2y+4=0,即2x+y-2=0,
∴l2與l3之間的距離d=.
能力提升練
1.B　設點P(x,y)是所求直線上任意一點,則P(x,y)關于直線x=1的對稱點為P'(2-x,y),且點P'在直線3x+4y+5=0上,所以3(2-x)+4y+5=0,整理得3x-4y-11=0.所以所求直線的方程為3x-4y-11=0.故選B.
2.B　設直線l1:2x-y-3=0與x軸,y軸的交點分別為A,B,則A,B(0,-3).易知點A關于y軸的對稱點A1的坐標為,點B關于x軸的對稱點B1的坐標為(0,3),且A1,B1在反射光線l3上,故l3的方程為=1,即2x-y+3=0.故選B.
3.答案　2x-y-7=0
解析　設(x0,y0)為對稱直線上任一點,
則其關于點M的對稱點為(2-x0,-y0),易知該點在直線l上,
所以-y0=2(2-x0)+3,化簡得2x0-y0-7=0,
所以所求直線的方程為2x-y-7=0.
4.答案　x+2y-3=0
解析　由題意得,點A關于直線l1和l2對稱的點A1,A2都在直線BC上,
設A1(x1,y1),A2(x2,y2),
易得所以A1(-1,2),
易得所以A2(3,0),
則,所以BC邊所在直線的方程為y-0=-(x-3),整理得x+2y-3=0.
5.解析　(1)如圖,設B(m,0),點A關于x軸的對稱點為A'(1,-2),
設點B關于直線l:x-y+3=0的對稱點為B'(x0,y0),
則
∴B'(-3,m+3).
根據光學知識,知點C既在直線A'B上,也在直線B'A上,易得直線A'B的方程為y=(x-m).
由得x=.
又直線B'A的方程為y-2=(x-1),
由得x=.
所以,即3m2+8m-3=0,
解得m=或m=-3.
當m=時,符合題意;
當m=-3時,點B在直線x-y+3=0上,不符合題意.
綜上,符合題意的△ABC只有1個.
(2)由(1)得m=,
則直線A'B的方程為3x+y-1=0,
即直線BC的方程為3x+y-1=0.
6.B　如圖所示,
(a,b)是圖中線段AB上的一點,且a2+b2為原點到該線段上點的距離的平方,易知A(-2,4),B(6,-2),所以|OA|2=22+42=20,|OB|2=62+22=40,又原點到直線的距離d==2,則d2=4,所以a2+b2∈[4,40],所以a2+b2-2∈[2,38].故選B.
7.答案　C　
信息提取　①令|PA|=;②求|PA|+|PB|的最小值.
數學建模　構建平面內兩點間的距離問題,將求函數的最值問題轉化為平面內動點到兩定點的距離之和的最值問題,再通過對稱性求解.
解析　f(x)=,
表示點P(x,0)到點A(-2,4)和B(-1,3)的距離之和,如圖所示:
C(-2,-4)是點A(-2,4)關于x軸的對稱點,故最小值為|BC|=.
8.B　設點A關于直線y=x和y=0的對稱點分別為B,C,則B(1,3),C(3,-1),∴|BC|=2.
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,
∴最短周長為2.故選B.
9.B　方程x+my+1=0可化為my=-(x+1),則直線l1過定點A(-1,0),方程mx-y-2m+3=0可化為y-3=m(x-2),則直線l2過定點B(2,3),當m=0時,如圖①所示,
直線l1:x=-1,直線l2:y=3,則交點P(-1,3),
此時|PA|=3,|PB|=3,∴|PA|+|PB|=6;
當m≠0時,如圖②所示,
直線l1的斜率k1=-,直線l2的斜率k2=m,
∵k1k2=-1,∴l1⊥l2,則△PAB是直角三角形,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=(2+1)2+(3-0)2=18,
又∵(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA||PB|≤2(|PA|2+|PB|2)=2×18=36,且|PA|+|PB|>0,
∴|PA|+|PB|≤=6,當且僅當|PA|=|PB|=3時等號成立.∴|PA|+|PB|的最大值為6.故選B.
10.BCD　對于A,設P(a,-a-2),當a=-1時,P(-1,-1),PM的斜率不存在,kPN=≠0,PM與PN不垂直,同理,當a=2時,P(2,-4),易知PM與PN不垂直,當a≠-1且a≠2時,kPM=,若PM⊥PN,則kPM·kPN==-1,整理,得2a2+5a+7=0,則Δ=52-4×2×7<0,方程無解,故PM與PN不垂直,故A錯誤;
對于B,設P(a,-a-2),若2|PM|=|PN|,則2,即2a2+10a+9=0,則Δ=102-4×2×9=28>0,方程有解,則存在點P,使得2|PM|=|PN|,故B正確;
對于C,如圖①,設M(-1,1)關于直線l的對稱點為M'(m,n),
則即M'(-3,-1),所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|M'N|=,當且僅當M',P,N三點共線時取等號,故C正確;
對于D,如圖②,
||PM|-|PN||≤|MN|=3,當且僅當P在NM的延長線與直線l的交點處時取等號,故D正確.
故選BCD.
11.答案　
解析　因為A(1,1),C(4,2),
所以|AC|=.
直線AC的方程為y-1=(x-1),即x-3y+2=0,
根據點到直線的距離公式可得點B(m,)(1所以S=|AC|·d=+2|
=.
因為1所以-,所以0≤,
所以當=0,即m=時,S最大.
12.答案　1
解析　設點A(m,n),B(a,b),直線l1:3x+4y=6,直線l2:3x+4y=1,
則|AB|=,
由題意知點A(m,n)在直線l1:3x+4y=6上,點B(a,b)在直線l2:3x+4y=1上,顯然l1∥l2,
所以|AB|的最小值就是兩平行線之間的距離,
即|AB|min==1.
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