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§2　圓與圓的方程
2.1　圓的標準方程
基礎過關練
題組一　對圓的標準方程的認識
　　　　　 　　　　 　　　　
1.圓心為(1,-2),半徑為3的圓的方程是(　　)
A.(x+1)2+(y-2)2=9
B.(x-1)2+(y+2)2=3
C.(x+1)2+(y-2)2=3
D.(x-1)2+(y+2)2=9
2.方程x=表示的圖形是(　　)
A.兩個半圓　　　　　　B.兩個圓
C.圓　　　　　　 D.半圓
3.“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圓”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
4.若直線l:y=ax-b經過第二、三、四象限,則圓C:(x-a)2+(y-b)2=1的圓心C位于(　　)
A.第一象限　　　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　　　D.第四象限
題組二　點與圓的位置關系
5.點P(m,3)與圓(x-2)2+(y-1)2=3的位置關系為(　　)
A.點在圓外　　　　　　B.點在圓內
C.點在圓上　　　　　　D.與m的值有關
6.M(x,y)為圓B:(x-2)2+(y-1)2=4上任意一點,且點Q(-1,-3),則|MQ|的最大值為(　　)
A.5　　　B.9　　　C.8　　　D.7
題組三　求圓的標準方程
7.圓心為(1,1),且經過原點的圓的方程是(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y-1)2=4
C.(x+1)2+(y+1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=4
8.經過三個點A(0,0),B(2,0),C(0,-2)的圓的方程為(　　)
A.(x-)2+(y+1)2=2
B.(x-)2+(y-1)2=2
C.(x-)2+(y+1)2=4
D.(x-)2+(y-1)2=4
9.關于圓(x-a)2+(y-b)2=r2有四個命題:①點A(1,-3)在圓內;②點B(2,3)在圓上;③圓心為(-1,0);④圓的半徑為3.若其中只有一個假命題,則該命題是(　　)
A.①　　　B.②　　　C.③　　　D.④
10.已知點A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)過點A,B且周長最小的圓的標準方程;
(2)過點A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標準方程.
答案與分層梯度式解析
§2　圓與圓的方程
2.1　圓的標準方程
基礎過關練
1.D　
2.D　根據題意得x≥0,方程兩邊同時平方并整理得x2+y2=1(x≥0),由此確定其表示的圖形為半圓,故選D.
3.B　當m=n=0時,方程等價于0=1,無意義,故充分性不成立;若方程mx2+ny2=1表示圓,則m=n>0,必要性成立.∴“m=n”是“方程mx2+ny2=1表示圓”的必要不充分條件.故選B.
4.B　因為直線l經過第二、三、四象限,所以a<0,-b<0,即a<0,b>0,故圓心C(a,b)位于第二象限.故選B.
5.A　∵(m-2)2+(3-1)2=(m-2)2+4>3,
∴點P(m,3)在圓(x-2)2+(y-1)2=3外,故選A.
6.D　圓B:(x-2)2+(y-1)2=4的圓心為B(2,1),半徑r=2,因為|BQ|==5>2,所以點Q在圓外,所以|MQ|的最大值為|BQ|+r=5+2=7.故選D.
7.A　因為圓心為(1,1),所以設圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=r2,因為圓經過原點,所以(0-1)2+(0-1)2=r2,所以r2=2,所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=2.故選A.
8.C　易知AB⊥AC,∴BC為圓的直徑,∴圓的半徑r==2,又圓心為線段BC的中點,其坐標為(,-1),∴圓的方程為(x-)2+(y+1)2=4.故選C.
9.D　若②③正確,可得圓的半徑r=,所以圓的方程為(x+1)2+y2=18,顯然點A(1,-3)在圓內,①正確,④錯誤,符合題意;若③④正確,則圓的方程為(x+1)2+y2=9,顯然點A(1,-3)在圓外,①錯誤,點B(2,3)不在圓上,②錯誤,不合題意;其他四種命題組合①②,①③,①④,②④均無法確定圓的方程,無法對剩余命題的真假進行判斷.綜上所述,④為假命題.
10.解析　(1)當AB為直徑時,過點A,B的圓的周長最小.易知線段AB的中點為(0,1),|AB|=2,
故所求圓的圓心為(0,1),半徑為,
故所求圓的標準方程為x2+(y-1)2=10.
(2)設圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
則
∴所求圓的標準方程為(x-3)2+(y-2)2=20.
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