資源簡介

2.2　圓的一般方程
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　對圓的一般方程的理解
1.圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的半徑為(　　)
A.4　　　　　　 B.2　　　
C.　　　　　　D.1
2.下列關于方程x2+y2+2ax-b2=0的說法正確的是　　(　　)
A.該方程表示一個圓
B.只有當a=0時,該方程才能表示一個圓
C.該方程表示一個點
D.當a,b不全為0時,該方程才能表示一個圓
3.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,且坐標原點在該圓外,則a的取值范圍是　　　　.
4.若圓C:x2+y2+Dx+2y=0的圓心在直線x-2y+1=0上,則圓C的半徑為　　　　.
題組二　求圓的一般方程
5.圓心在射線y=x(x≤0)上,半徑為5,且經過坐標原點的圓的方程為(　　)
A.x2+y2-8x-6y=0　　　　　　
B.x2+y2-6x-8y=0
C.x2+y2+8x+6y=0　　　　　　
D.x2+y2+6x+8y=0
6.過點M(-1,1),且圓心與已知圓C:x2+y2-4x+6y-3=0相同的圓的一般方程為　　　　　　　　.
7.已知點A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),D(2,a)四點共圓,則a=　　　　.
8.已知圓C過點M(0,-2),N(3,1),且圓心C在直線x+2y+1=0上,求圓C的一般方程.
題組三　圓的一般方程的應用
9.圓x2+y2-2x-2y-7=0的圓心到直線x+y=0的距離為(　　)
A.
C.2　　　　　　 D.3
10.若圓x2+y2+Dx+Ey+F=0關于直線y=x-1對稱,則(　　)
A.D+E=2　　　　　　B.D-E=-1
C.D-E=-2　　　　　　D.D+E=1
11.(多選題)若點A(a,a)在圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,則實數a的值可以是(　　)
A.-5　　　B.-4　　　C.4　　　D.5
12.(多選題)若P為圓C:x2+y2-4x-6y+9=0上任意一點,點Q(1,2),則|PQ|的值可以為(　　)
A.0.6　　　B.2　　　C.3.41　　　D.3.42
13.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長,則(a-2)2+(b-7)2的最小值為　　　　.
能力提升練
題組　圓的方程及其應用　　　　　 　　　　 　　　　
1.在平面直角坐標系中,已知點A(4,3),點B是圓(x+1)2+y2=4上的動點,則線段AB的中點M的軌跡方程是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.=1
B.=4
C.(x-3)2+(y-3)2 =1
D.(x-3)2+(y-3)2=2
2.方程x2+y2+ax+(2b-1)y-1-b2=0表示圓心在y軸上的圓,當其半徑r最小時,方程為(　　)
A.x2+=1　　　　　　B.x2+(y-1)2=2
C.x2+
3.阿波羅尼斯是古希臘著名數學家,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知動點M與兩定點Q,P的距離之比=λ(λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為x2+y2=1,Q為x軸上一定點,P,且λ==2,則點Q的坐標為(　　)
A.(-1,0)　　　　　　B.(1,0)
C.(-2,0)　　　　　　D.(2,0)
4.當方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓取得最大面積時,直線y=(k-1)x+2的傾斜角α等于(　　)
A.135°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.120°
5.圓x2+y2-4y=0關于直線y=2x+1對稱的圖形的方程為(　　)
A.(x-1)2+(y-1)2=2　　　　　　
B.(x-1)2+(y-2)2=4
C.=4　　　　　　
D.=4
6.圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點關于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對稱,則的最小值為　　　　.
7.平面直角坐標系中,已知點A(-1,-1),B(0,3),P(1,a),N(1,a+1),當四邊形PABN的周長最小時,△APN的外接圓的方程為　　　　　　　　.
8.已知圓C過點A(4,2),B(1,3),它與x軸的交點為(x1,0),(x2,0),與y軸的交點為(0,y1),(0,y2),且x1+x2+y1+y2=6,求圓C的一般方程.
9.已知平面直角坐標系中的點P(x,y)的坐標x,y滿足x2+y2-6x+4y+4=0,記μ=x2+y2+2x-4y的最大值為M,最小值為m.
(1)請說明點P的軌跡是怎樣的圖形;
(2)求M+m的值.
答案與分層梯度式解析
2.2　圓的一般方程
基礎過關練
1.B　圓C的半徑r==2.故選B.
2.D　方程x2+y2+2ax-b2=0可化為(x+a)2+y2=a2+b2,所以當a=b=0時,方程表示一個點;當a,b不全為0時,方程表示一個圓.故選D.
3.答案　(-2,-1)∪
解析　因為方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,
所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0,
整理,得3a2+4a-4<0,解得-2又坐標原點在圓外,所以2a2+a-1>0,即(2a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>.
綜上所述,a∈(-2,-1)∪.
4.答案　
解析　圓C:x2+y2+Dx+2y=0的圓心為,
則有--2×(-1)+1=0,解得D=6,所以圓C的半徑為.
5.C　因為圓心在射線y=x(x≤0)上,所以設圓心為(a≤0),又半徑為5,且經過坐標原點,所以=5,解得a=-4或a=4(舍去),所以圓心為(-4,-3),則圓的方程為(x+4)2+(y+3)2=25,即x2+y2+8x+6y=0.故選C.
6.答案　x2+y2-4x+6y-12=0
解析　將圓C的方程化為標準方程得(x-2)2+(y+3)2=16,則圓心C的坐標為(2,-3),故所求圓的半徑r=|CM|==5,所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25,即x2+y2-4x+6y-12=0.
7.答案　1
解析　設過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則
所以過A,B,C三點的圓的方程為x2+y2+6x-2y-15=0,又點D在此圓上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1.
8.解析　設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則有
所以圓C的一般方程為x2+y2-6x+4y+4=0.
9.A　將x2+y2-2x-2y-7=0化為(x-1)2+(y-1)2=9,則圓心為(1,1),其到直線x+y=0的距離d=.故選A.
10.C　由圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可知圓心坐標為,因為圓關于直線y=x-1對稱,所以圓心在直線y=x-1上,所以-
-1,即D-E=-2.故選C.
11.AB　解法一:由題意得(-2a)2+02-4(a2+2a-3)>0,解得a<.又點A(a,a)在圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,所以a2+a2-2a2+a2+2a-3>0,即a2+2a-3>0,解得a<-3或a>1.
綜上所述,a的取值范圍為(-∞,-3)∪,故選AB.
解法二:把圓的方程化為標準方程為(x-a)2+y2=3-2a,設圓心為P,則P(a,0),半徑r=,易知3-2a>0,所以a<.若點A(a,a)在圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0外,則|AP|=,即有a2>3-2a,解得a<-3或a>1,又a<,所以實數a的取值范圍是(-∞,-3)∪.故選AB.
ABC　由圓C的方程得圓心為C(2,3),半徑r==2,而|CQ|=<2,故點Q在圓C內,
由圖可知,|PQ|max=r+|CQ|=2+,此時P與P1重合;|PQ|min=r-|CQ|=2-,此時P與P2重合.
故|PQ|的取值范圍為[2-].
結合選項可知ABC正確.
13.答案　20
解析　圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的圓心為(-2,-1),半徑為2,由題意得直線l:ax+by+1=0過圓心,則-2a-b+1=0,即b=1-2a,則(a-2)2+(b-7)2=(a-2)2+(1-2a-7)2=5(a+2)2+20≥20.故答案為20.
能力提升練
1.A　設B(m,n),M(x,y),則根據中點坐標公式得由點B在圓(x+1)2+y2=4上,得(2x-3)2+(2y-3)2=4,即=1,故選A.
2.D　由題意得a=0,則方程為x2+y2+(2b-1)y-1-b2=0,即x2+,則r2=1+,令函數f(b)=,可知其圖象的開口向上,對稱軸為直線b=,所以f(b)的最小值為f,即r2的最小值為,此時圓的方程為x2+.故選D.
3.C　設Q(a,0),M(x,y),則|MQ|=.因為λ==2,所以=2,整理得x2+y2+.因為動點M的軌跡方程是x2+y2=1,所以解得a=-2,所以Q(-2,0).
故選C.
4.A　設圓的半徑為r.方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的標準方程為,則r2=1-,當此圓取得最大面積時,k=0,此時r=1,直線y=(k-1)x+2即為y=-x+2,所以tan α=-1,因為0°≤α<180°,所以α=135°,故選A.
5.D　圓關于直線對稱的圖形仍為圓.
將已知圓的方程x2+y2-4y=0化為標準方程可得x2+(y-2)2=4,其圓心為(0,2),記C(0,2),半徑r=2.
設點C(0,2)關于直線y=2x+1對稱的點為D(x0,y0),
則有
即對稱圓的圓心為D.
易知對稱圓的半徑r1=r=2,
所以其方程為=4.故選D.
6.答案　9
解析　圓x2+y2+4x-2y-1=0,即(x+2)2+(y-1)2=6,其圓心為(-2,1),
因為圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點關于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對稱,
所以直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)過圓心(-2,1),
所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,
又a>0,b>0,
所以≥2+5=9,
當且僅當,即a=時取等號,
所以的最小值為9.
7.答案　x2+y2+3x-3y-2=0
解析　四邊形PABN的周長C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+1,
故當取得最小值時四邊形PABN的周長最小.
,它表示y軸上的點(0,-a)與(-2,1)和點(1,-2)的距離之和,易知當這三點共線時該距離之和最小,為點(-2,1)和點(1,-2)間的距離,令G(-2,1),H(1,-2),則kGH==-1,所以直線GH的方程為y-1=-(x+2),令x=0,得y=-1,所以a=1.
因此四邊形PABN的周長最小時,P(1,1),N(1,2).
設經過A,P,N三點的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則
故△APN的外接圓的方程為x2+y2+3x-3y-2=0.
8.解析　設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.
令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-D;
令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.
所以x1+x2+y1+y2=-(D+E)=6,
所以D+E=-6.①
又圓C過點A(4,2),B(1,3),
所以42+22+4D+2E+F=0,②
12+32+D+3E+F=0,③
由①②③得D=-4,E=-2,F=0,
所以圓C的一般方程為x2+y2-4x-2y=0.
9.解析　(1)x2+y2-6x+4y+4=0可化為(x-3)2+(y+2)2=9.因此,點P的軌跡是以(3,-2)為圓心,3為半徑的圓.
(2)μ=x2+y2+2x-4y=(x+1)2+(y-2)2-5,
設C1(3,-2),C2(-1,2),則μ=|C2P|2-5,
|C2C1|=.
易知|C2P|max=|C2C1|+3=4+3,
|C2P|min=|C2C1|-3=4-3,
∴M=(4-3)2-5,∴M+m=72.
1(共13張PPT)
　　圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特別地,當a=b=0時,方程為x2+y2=r2,表示以坐標原點為圓心,r為半徑的圓.
§２ 圓與圓的方程
知識點 1 圓的標準方程
知識 清單破
2.1 圓的標準方程
2.2 圓的一般方程
1.圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F>0),其圓心為 ,半徑為
.
2.圓的一般方程在代數結構上的典型特征
(1)x2,y2的系數相同,且不等于0;
(2)不含xy項.
知識點 2 圓的一般方程
知識點 3 點與圓的位置關系
點(x0,y0)與圓的位置關系 判斷方法 若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2 若圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0
點在圓內 (x0-a)2+(y0-b)2點在圓上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
點在圓外 (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.已知圓心和圓上一點,能確定圓的方程.(　 )
2.圓(x-1)2+(y-2)2=5的圓心為(1,2),半徑為5. ( )
3.過原點且圓心為(a,b)的圓的標準方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0). (　 )
4.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓.( )
5.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圓. (　 )


√
√
√
提示
提示
提示
半徑為 .
當m=0時,方程表示一個點,當m≠0時,方程表示一個圓.
方程可化為x2+y2+ax-ay=0.因為D2+E2-4F=2a2>0,所以此方程表示圓.
1.直接代入法
　　確定圓心坐標和半徑,直接代入圓的標準方程即可.
(1)利用已知條件確定圓心C(a,b)及半徑r.
(2)利用幾何性質,確定圓心C(a,b)及半徑r.
①圓心與切點的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑;
③圓的半徑r,弦長的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過圓心;
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 圓的標準方程的求法
⑤已知過圓心的直線l及圓上兩點,則兩點連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與直線l
的交點即為圓心.
2.待定系數法
(1)根據題意,設所求圓的標準方程或一般方程;
(2)根據已知條件建立關于參數的方程組;
(3)解方程組,求出參數的值;
(4)將參數的值代入所設的方程中,即可得到所求圓的方程.
典例 (1)已知圓P過點A(1,0),B(4,0),若圓心P的縱坐標為2,求圓P的標準方程;
(2)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點M(0, )在圓C上,且圓心到直線2x-y=0的距離為 ,
求圓C的標準方程;
(3)已知圓C的圓心在直線x-2y-3=0上,且圓C過點A(2,-3),B(-2,-5),求圓C的標準方程.
解析 (1)由圓的對稱性可知,圓心P必在線段AB的垂直平分線上,
∴P的橫坐標為 = ,即P ,
圓P的半徑r=|AP|= = ,
∴圓P的標準方程為 +(y-2)2= .
(2)設圓心C(a,0)(a>0),則 = ,
∴a=2,半徑r=|CM|= =3,
故圓C的標準方程為(x-2)2+y2=9.
(3)∵圓C的圓心在直線x-2y-3=0上,
∴設圓心C(2m+3,m),半徑為r,
則圓C的方程為(x-2m-3)2+(y-m)2=r2,
又圓C過點A(2,-3),B(-2,-5),
∴ 解得
∴C(-1,-2),
故圓C的標準方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
1.求與圓有關的軌跡問題的方法
(1)直接法:直接根據已知條件列出方程.
(2)定義法:根據圓、直線等定義列方程.
(3)代入法:找到要求點與已知點的關系,將已知點的坐標用要求點的坐標表示并代入已知點
的坐標滿足的關系式.
2.直接法求軌跡方程的一般步驟
(1)建立適當的坐標系,用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;
(2)列出適合條件P的點M的集合{M|P(M)};
(3)用坐標表示P(M),列出方程f(x,y)=0;
講解分析
疑難 2 與圓有關的軌跡問題
(4)化方程f(x,y)=0為最簡形式;
(5)證明以化簡后方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
　　也可簡記為:建系、設點、列式、化簡、證明.
典例 已知圓x2+y2=4上一定點A(2,0),B(1,1)為圓內一點,P,Q為圓上的動點.
(1)求線段AP的中點M的軌跡方程;
(2)若∠PBQ=90°,求線段PQ的中點的軌跡方程.
解析 (1)設線段AP的中點M的坐標為(x,y),點P的坐標為(x0,y0),
由題意得 ∴
又點P(x0,y0)在圓x2+y2=4上,
∴(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故線段AP的中點M的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
(2)設PQ的中點為N(x1,y1),
在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
設O為圓x2+y2=4的圓心,連接ON,則ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以 + +(x1
-1)2+(y1-1)2=4,化簡得 + -x1-y1-1=0.
故線段PQ的中點的軌跡方程為x2+y2-x-y-1=0.

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