資源簡介

2.3　直線與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　直線與圓的位置關(guān)系的判斷
1.直線xsin θ+y-1=0與圓x2+y2=1的位置關(guān)系為(　　)
A.相交　　　　　　B.相切
C.相離　　　　　　D.相切或相交
2.已知直線l:m(x+2)+y-1=0,圓C:x2+y2=6,則直線l與圓C的位置關(guān)系是(　　)
A.相交　　　　　　B.相切
C.相離　　　　　　D.不確定
3.(多選題)在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線ax-y+a=0與圓(x+a)2+y2=a2的位置可能是(　　)
4.若點(diǎn)P(a,b)在圓C:x2+y2=1內(nèi),則直線ax+by=1與圓C的位置關(guān)系為(　　)
A.相交　　　　　　B.相切
C.相離　　　　　　D.不能確定
題組二　圓的切線問題
5.過點(diǎn)M(2,1)作圓C:(x-1)2+y2=2的切線,則切線的條數(shù)為(　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
6.(2024重慶第一中學(xué)校月考)圓心在y軸上的圓C與直線x-y=1相切于點(diǎn)A(1,0),則圓心C的縱坐標(biāo)為(　　)
A.2　　　B.　　　C.1　　　D.0
7.若直線y=k(x-1)+2與圓x2+(y-1)2=2相切,則k的值為　　(　　)
A.2　　　B.-2　　　C.1　　　D.-1
8.以(1,m)為圓心,且與兩條直線2x-y+4=0,2x-y-6=0都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.(x-1)2+(y+9)2=5
B.(x-1)2+(y-1)2=25
C.(x-1)2+(y-1)2=5
D.(x-1)2+(y+9)2=25
9.(多選題)已知圓x2+y2=4和點(diǎn)A(2,-1),則過點(diǎn)A的圓的切線方程為(　　)
A.4x-3y-11=0　　　　　　B.4x+3y-11=0
C.3x-4y-10=0　　　　　　D.x=2
10.已知圓C:(x-2)2+(y-1)2=4及圓C外一點(diǎn)M(-4,-1),過點(diǎn)M作圓C的一條切線,切點(diǎn)為N,則|MN|=　　　　.
11.由直線x-y+2=0上的點(diǎn)P向圓C:(x-4)2+(y+2)2=1引切線PT(T為切點(diǎn)),則線段PT的最小長度為　　　　.
題組三　圓的弦長問題
12.已知直線l:3x-4y+5=0與圓O:x2+y2=21交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(　　)
A.2
C.4　　　　　　 D.8
13.(多選題)圓x2+y2-2x+4y-20=0截直線5x-12y+c=0所得的弦長為8,則c的值可能為(　　)
A.10　　　　　　B.-68
C.5　　　　　　 D.-34
14.直線y=kx+2與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點(diǎn),若|MN|≥2,則k的取值范圍是(　　)
A.　　　　　　
B.
C.　　　　　　
D.
15.(多選題)已知圓(x-1)2+(y-1)2=4與直線x+my-m-2=0,則下列說法正確的是(　　)
A.直線與圓必相交
B.直線與圓不一定相交
C.直線與圓相交且被截得的弦最短為2
D.直線與圓相交且被截得的弦最長為4
16.若a,b,c是直角三角形的三邊長(c為斜邊長),則直線ax+by+c=0被圓x2+y2=2所截得的弦長等于　　　　.
17.直線3x-4y-5=0與圓C:(x-2)2+(y-1)2=25相交于A,B兩點(diǎn),求△ABC的面積.
18.如圖,某海面上有O,A,B三個(gè)小島(面積大小忽略不計(jì)),A島在O島的北偏東45°方向距O島40千米處,B島在O島的正東方向距O島20千米處.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),O的正東方向?yàn)閤軸的正方向,1千米為單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系.圓C經(jīng)過O,A,B三點(diǎn).
(1)求圓C的方程;
(2)若圓C區(qū)域內(nèi)有未知暗礁,現(xiàn)有一船D在O島的南偏西30°方向距O島40千米處,正沿著北偏東45°方向行駛,不改變行駛方向,試問該船有沒有觸礁的危險(xiǎn)
能力提升練
題組一　直線與圓相切的綜合應(yīng)用　　　　　 　　　　 　　　　
1.從原點(diǎn)O引圓(x-m)2+(y-2)2=m2+1的切線y=kx,當(dāng)m的值變化時(shí),切點(diǎn)P的軌跡方程是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.x2+y2=2(x≠0)
B.(x-1)2+y2=3(x≠0)
C.(x-1)2+(y-1)2=1(x≠0)
D.x2+y2=3(x≠0)
2.(多選題)設(shè)圓:x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,P(5,1)為圓外一點(diǎn),過P作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則(　　)
A.|PA|=|PB|=2
B.P,A,C,B四點(diǎn)共圓
C.∠APB=30°
D.直線AB的方程為x=2
3.在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓C:x2+(y-3)2=2,A是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AP,AQ分別切圓C于P,Q兩點(diǎn),則線段PQ長度的取值范圍是(　　)
A.
C.
4.(多選題)已知圓M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直線l:y=kx,則下面命題中是真命題的有(　　)
A.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M相切
B.對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點(diǎn)
C.對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l和圓M相切
D.對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l和圓M相切
5.已知點(diǎn)A(x,y)在曲線y=上運(yùn)動(dòng),則的最大值為　　　　.
6.已知過點(diǎn)P(3,0)的直線與圓C:(x-2)2+(y-1)2=4交于A,B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在x軸上方),若|BP|=3|PA|,圓的切線l與AB平行,則直線AB與切線l間的距離是　　　　　.
7.已知圓C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不過原點(diǎn)的直線l與圓C相切,且在x軸,y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引一條切線,切點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且有|PM|=|PO|,求點(diǎn)P的軌跡方程.
題組二　直線與圓相交的綜合應(yīng)用
8.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,且垂足為M(1,),則四邊形ABCD面積的最大值為(　　)
A.4　　　B.5　　　C.8　　　D.10
9.已知圓O:x2+y2=49,直線l過點(diǎn)M(6,3),且交圓O于P,Q兩點(diǎn),則使弦長|PQ|為整數(shù)的直線l的條數(shù)為(　　)
A.18　　　B.20　　　C.22　　　D.24
10.(多選題)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,2),B(2,2),點(diǎn)P滿足=2,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為圓C,則下列說法正確的是(　　)
A.圓C的方程是(x-4)2+(y-2)2=16
B.過點(diǎn)A向圓C引切線,兩條切線的夾角為
C.過點(diǎn)A作直線l,若圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2,則該直線的斜率為±
D.過直線3x+4y=60上的一點(diǎn)D向圓C引切線DM,DN,切點(diǎn)分別為M,N,則四邊形DMCN的面積的最小值為16
11.已知直線l:mx-y-m=0與☉C:(x+1)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),寫出滿足△ABC的面積為的實(shí)數(shù)m的一個(gè)值:　　　　.
12.若直線l過點(diǎn)A(0,5),且被圓C:x2+y2+4x-12y+24=0截得的弦長為4,則直線l的方程為　　　　　　　　　　　　.
13.若直線l:ax+by=0(b≠0)與圓C:x2+y2-4x-4y-10=0相交于A,B兩點(diǎn),|AB|≥8,則直線l的斜率的取值范圍為　　　　.
14.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā),先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短的問題.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)閤2+(y+2)2≤2,若將軍從點(diǎn)A(-4,0)處出發(fā),河岸線所在直線的方程為x+y-1=0,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營,則“將軍飲馬”的最短總路程為　　　　　.
15.已知兩點(diǎn)D(4,2),M(3,0)及圓C:(x-2)2+(y-3)2=5,l為經(jīng)過點(diǎn)M的一條動(dòng)直線.
(1)若直線l經(jīng)過點(diǎn)D,求證:直線l與圓C相切;
(2)若直線l與圓C相交于兩點(diǎn)A,B,從下列條件中選擇一個(gè)作為已知條件,并求△ABD的面積.
條件①:直線l平分圓C;
條件②:直線l的斜率為-3.
16.已知圓C過點(diǎn)A(6,0),B(1,5),且圓心在直線l:2x-7y+8=0上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)D(0,5)且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N,若=30,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
2.3　直線與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D　圓x2+y2=1的圓心為(0,0),半徑r=1,
則圓心到直線的距離d=≤r=1,
所以直線與圓相切或相交.故選D.
2.A　由直線方程可得y-1=-m(x+2),因此直線l過定點(diǎn)(-2,1),設(shè)為A,因此|AC|=.故點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部,從而直線l與圓C相交,故選A.
3.AD　圓(x+a)2+y2=a2的圓心為(-a,0),半徑為|a|.圓心(-a,0)到直線ax-y+a=0的距離d=.不妨令<|a|,可得<1,即1-2a+a2<1+a2,當(dāng)a>0時(shí),不等式恒成立,說明直線與圓相交,圓心在x軸負(fù)半軸上且直線的斜率為正數(shù);當(dāng)a<0時(shí),不等式不成立,說明直線與圓相離,圓心在x軸正半軸上且直線的斜率為負(fù)數(shù).所以A,D可能,B,C不可能.故選AD.
4.C　因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)在圓C:x2+y2=1內(nèi),所以a2+b2<1,設(shè)圓心C(0,0)到直線ax+by=1的距離為d,則d=>1,因?yàn)閳AC:x2+y2=1的半徑r=1,所以d>r,所以直線ax+by=1與圓C的位置關(guān)系為相離.故選C.
5.B　因?yàn)?2-1)2+12=2,所以點(diǎn)M(2,1)在圓C:(x-1)2+y2=2上,所以過點(diǎn)M(2,1)所作的圓C:(x-1)2+y2=2的切線僅有1條.故選B.
6.C　由題意得,直線AC垂直于直線x-y=1,則直線AC的方程為y=
-(x-1),即x+y-1=0.令x=0,得y=1,即圓心C的縱坐標(biāo)為1.故選C.
7.D　圓x2+(y-1)2=2的圓心為(0,1),半徑r=.∵直線y=k(x-1)+2與圓x2+(y-1)2=2相切,∴,整理得(k+1)2=0,∴k=-1,故選D.
8.C　設(shè)圓的半徑為r,則r=,可得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=5,故選C.
9.CD　當(dāng)過點(diǎn)A且與圓相切的直線的斜率存在時(shí),設(shè)切線方程為y=k(x-2)-1,即kx-y-2k-1=0,則圓心到該直線的距離為=2,解得k=,故切線方程為3x-4y-10=0;當(dāng)過點(diǎn)A且與圓相切的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證,直線x=2與圓x2+y2=4相切.故過點(diǎn)A的圓的切線方程為3x-4y-10=0和x=2,故選CD.
10.答案　6
解析　圓C:(x-2)2+(y-1)2=4的圓心為C(2,1),半徑r=2,由題意得CN⊥MN,
所以|MN|==6.
11.答案　
解析　圓C:(x-4)2+(y+2)2=1的圓心C(4,-2),半徑r=1,點(diǎn)C(4,-2)到直線x-y+2=0的距離d=,
于是得|PT|=,當(dāng)且僅當(dāng)PC垂直于直線x-y+2=0時(shí)取“=”,
所以線段PT的最小長度為.
12.B　由題意得圓O的圓心為O(0,0),半徑r=,圓心O到直線l的距離d==1,所以|AB|=2.故選B.
13.AB　x2+y2-2x+4y-20=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=52,則圓心為(1,-2),半徑r=5,又弦長l=8,∴圓心到直線的距離d=,解得c=10或c=-68.故選AB.
14.A　圓(x-3)2+(y-2)2=4的圓心為(3,2),半徑r=2,將直線y=kx+2化為kx-y+2=0,則圓心到直線kx-y+2=0的距離d=≥0,由垂徑定理得|MN|=2,因?yàn)閨MN|≥2,所以2≥2,解得0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范圍是.故選A.
15.AC　圓(x-1)2+(y-1)2=4的圓心為(1,1),半徑r=2.將x+my-m-2=0變形為x-2+m(y-1)=0,得直線過定點(diǎn)(2,1).∵=1<2,∴點(diǎn)(2,1)在圓內(nèi),∴直線與圓必相交,故A正確,B錯(cuò)誤;由平面幾何知識(shí)可知,當(dāng)直線x+my-m-2=0與過定點(diǎn)(2,1)和圓心的直線垂直時(shí),所得的弦最短,此時(shí)弦長為2×,故C正確;易知直線x+my-m-2=0不可能過圓心,∴直線被截得的弦的長不可能為4,故D錯(cuò)誤.故選AC.
16.答案　2
解析　由題意得a2+b2=c2,則圓心(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d==1,又半徑r=,所以弦長為2=2.
17.解析　由題知圓心為C(2,1),半徑為5,圓心到直線的距離d=.由勾股定理得|AB|=2×,所以S△ABC=.
18.解析　(1)易知O(0,0),A(40,40),B(20,0).
設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則
故圓C的方程為x2+y2-20x-60y=0.
(2)由題意得D(-20,-20),
船航線所在直線的斜率為1,
故船航線所在直線的方程為x-y+20-20=0.
由(1)得圓C的圓心坐標(biāo)為(10,30),半徑為10.
圓心C到直線x-y+20-20=0的距離d=,
故該船有觸礁的危險(xiǎn).
能力提升練
1.D　設(shè)P(x,y),x≠0,易知|OP|=,∴x2+y2=3(x≠0),故選D.
2.ABD　將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-1)2+(y-1)2=4,所以圓心C(1,1),半徑r=2.如圖,對(duì)于A,因?yàn)閨PC|==4,所以|PA|=|PB|=,故A正確;在Rt△BCP中,PC=4,BC=2,則sin∠CPB=,即∠CPB=30°,則∠APB=2∠CPB=60°,∠BCP=∠ACP=60°,所以點(diǎn)A,B在直線PC上的投影長均為2×
cos 60°=1,則點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)均為2,所以直線AB的方程為x=2,故C錯(cuò)誤,D正確;對(duì)于B,直線PC與圓C相交于點(diǎn)D(3,1),顯然|DC|=|DB|=|DP|=|AD|=2,故P,A,C,B四點(diǎn)共圓,故B正確.故選ABD.
B　設(shè)|AC|=x,則x≥3,由PC⊥AP可知|AP|=,
∵AC垂直平分PQ,∴|PQ|=2×,∴當(dāng)x=3時(shí),|PQ|取得最小值,最小值為2,又≤|PQ|<2.故選B.
4.BD　由題意可得,圓M的圓心為(-cos θ,sin θ),半徑為1,則圓心到直線l:y=kx的距離d==|sin(θ+φ)|≤1,所以直線l和圓M有公共點(diǎn),且對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l和圓M相切.故選BD.
5.答案　
解析　y=可變形為x2+y2=4(y≥0),它是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的上半圓,如圖,
點(diǎn)A(x,y)在上半圓上運(yùn)動(dòng),表示點(diǎn)A(x,y)與點(diǎn)M(-4,0)連線的斜率,
由圖可知,當(dāng)直線AM與半圓相切時(shí)斜率最大,設(shè)直線AM的斜率為k,則直線方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,
因此=2,解得k=(負(fù)值舍去),
所以.
6.答案　2-或2+
解析　因?yàn)?3-2)2+(0-1)2<4,所以點(diǎn)P(3,0)在圓C內(nèi),即點(diǎn)P在弦AB上.
因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上,點(diǎn)A在x軸上方,所以點(diǎn)B在x軸下方,如圖所示:
則直線AB必不可能與y軸垂直,可設(shè)直線AB的方程為x=my+3.
由得(m2+1)y2+(2m-2)y-2=0,
易知該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y2<0因?yàn)閨BP|=3|PA|,所以|0-y2|=3|y1-0|,即-y2=3y1,
則y1+y2=-2y1=,即y1=,
由y1>0可得m>1,
所以y1y2=-3,整理得m2-6m+1=0,
解得m1=3-2(舍去),m2=3+2,
所以直線AB的方程為x=(3+2)y+3,即(3+2)y-x+3=0,則圓心C(2,1)到直線AB的距離d=.
因?yàn)閳A心C(2,1)到切線l的距離是半徑2,
所以直線AB與切線l間的距離是2-或2+.
7.解析　(1)易知圓C的圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑為.
由題意知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零,設(shè)直線方程為x+y-a=0(a≠0),由直線與圓相切得,解得a=-1或a=3,
∴直線l的方程為x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)易知|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+2,
∴|PM|2=|PC|2-2.
∵|PM|=|PO|,∴|PC|2-2=|PO|2,
∴(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2,
即2x-4y+3=0,故點(diǎn)P的軌跡方程為2x-4y+3=0.
8.B　設(shè)圓心O到直線AC,BD的距離分別為d1,d2,則=OM2=3,所以四邊形ABCD的面積S=AC·BD=≤4-=5,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故四邊形ABCD面積的最大值為5.故選B.
9.B　圓O的半徑r=7,因?yàn)?2+32=45<49,所以點(diǎn)M在圓O內(nèi).過點(diǎn)O作OC⊥PQ,垂足為C,連接OM,OP,如圖所示,
設(shè)|OC|=d,
則有|PQ|=2,
所以當(dāng)|CM|=0,即M,C兩點(diǎn)重合時(shí),|PQ|取得最小值,為2=4,
當(dāng)PQ為圓O的直徑時(shí),|PQ|取得最大值,為2r=14,
所以4≤|PQ|≤14.
當(dāng)|PQ|=4時(shí),表示圓O內(nèi)過點(diǎn)M的最短弦,只有1條;當(dāng)|PQ|=14時(shí),表示圓O內(nèi)過點(diǎn)M的最長弦,只有1條;當(dāng)|PQ|=5,6,7,8,9,10,11,12,13時(shí),由圓的對(duì)稱性可知,圓O內(nèi)過點(diǎn)M的弦有2條.
故使弦長|PQ|為整數(shù)的直線l的條數(shù)為1+1+9×2=20.
10.ABD　對(duì)于A,設(shè)P(x,y),則=2,化簡得x2+y2-8x-4y+4=0,即(x-4)2+(y-2)2=16,故A正確;對(duì)于B,易知圓心C(4,2),半徑r=4,則|AC|=8,設(shè)兩條切線的夾角為α,則sin ,又為銳角,所以,則α=,故B正確;對(duì)于C,易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-2=k(x+4),即kx-y+4k+2=0,因?yàn)閳AC上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為2,所以圓心到直線l的距離d==2,解得k=±,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由題意可得四邊形DMCN的面積S=2×,故只需求|DC|的最小值即可,|DC|的最小值為點(diǎn)C到直線3x+4y=60的距離d1==8,所以四邊形DMCN的面積的最小值為4×,故D正確.故選ABD.
11.答案　
解析　☉C:(x+1)2+y2=4的圓心為C(-1,0),半徑r=2,
則圓心C到直線l:mx-y-m=0的距離d=,
則|AB|=2,
故S△ABC=|AB|·d=d,
所以d=1或d=.
當(dāng)d=1時(shí),=1,解得m=±;
當(dāng)d=時(shí),,解得m=±.
故m=±或m=±.
12.答案　3x-4y+20=0或x=0
解析　圓C的方程x2+y2+4x-12y+24=0可化為(x+2)2+(y-6)2=16,∴圓心為C(-2,6),半徑為4.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l的方程為x=0,令圓的方程中x=0,則y=6±2,此時(shí)直線被圓C截得的弦長為4,滿足題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0,
∵直線被圓C截得的弦長為4,∴圓心到直線l的距離d=,
∴l(xiāng)的方程為3x-4y+20=0.
綜上,l的方程為3x-4y+20=0或x=0.
13.答案　[2-]
解析　將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x-2)2+(y-2)2=18,則圓心坐標(biāo)為(2,2),半徑r=3,
設(shè)圓心到直線l的距離為d,要求|AB|≥8,
即2≥8,即d2≤2,
∴,即a2+b2+4ab≤0(b≠0),
∴+1≤0,解得-2-≤-2+,
設(shè)直線l的斜率為k,則k=-,
∴2-≤k≤2+.
14.答案　4
解析　設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A'(a,b),則AA'的中點(diǎn)坐標(biāo)為,
故則A'(1,5).
由x2+(y+2)2≤2知軍營所在區(qū)域中心為C(0,-2),
則“將軍飲馬”的最短總路程為|A'C|-.
15.解析　(1)證明:因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)D,M,所以直線l的方程為2x-y-6=0.
圓C的圓心為C(2,3),半徑r=,則圓心C(2,3)到直線l的距離為=r,
所以直線l與圓C相切.
(2)選擇條件①:若直線l平分圓C,
則直線l過圓心C(2,3),所以直線l的方程為y-0=(x-3),即3x+y-9=0.
此時(shí)|AB|=2r=2,
點(diǎn)D(4,2)到直線l的距離為,
所以S△ABD=.
選擇條件②:若直線l的斜率為-3,
則直線l的方程為y-0=-3(x-3),即3x+y-9=0,
此時(shí)圓心C(2,3)在直線l上,則|AB|=2r=2,
點(diǎn)D(4,2)到直線l的距離為,
所以S△ABD=.
16.解析　(1)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,
由已知得
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-2)2=13.
(2)由題意知直線l的方程為y=kx+5,
代入方程(x-3)2+(y-2)2=13,整理得(1+k2)x2-6(1-k)x+5=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=,
故=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+5)(kx2+5)
=(1+k2)x1x2+5k(x1+x2)+25=+30=30,
解得k=1或k=0.
當(dāng)k=1時(shí),Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=-40<0,不符合題意,舍去,
當(dāng)k=0時(shí),Δ=[-6(1-k)]2-4(1+k2)×5=16>0,符合題意.
所以直線l的方程為y=5.
1(共14張PPT)
　　一般地,已知直線l:Ax+By+C=0(A,B不全為0)和圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心C(a,b)到直線l
的距離d= ,由 消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,其
判別式為Δ.
知識(shí) 清單破
2.3 直線與圓的位置關(guān)系
知識(shí)點(diǎn) 直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 相離 相切 相交
代數(shù)法 Δ<0 Δ=0 Δ>0
幾何法 d>r d=r d公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 1 2
知識(shí)辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“ ”.
1.直線4x+3y-40=0與圓x2+y2=100的位置關(guān)系是相交.(　 )
2.直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)|AB|最大時(shí),直線l過圓心. (　 )
3.過點(diǎn)P且和圓相切的直線有兩條. ( )
4.直線x+y=m(m>0)與圓x2+y2=m相切,則m= . ( )
5.x軸被圓心為(1,-2),半徑為2 的圓所截得的弦長為8. (　 )
6.直線ax-y+3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且弦AB的長為2 ,則a=0. (　 )
√
√
√
√


提示
提示
當(dāng)點(diǎn)P在圓的外部時(shí),有兩條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓上時(shí),有一條切線;當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí),沒有切
線.
若直線x+y=m(m>0)與圓x2+y2=m相切,則有 = ,所以m=2.
1.直線與圓的位置關(guān)系有三種:相交、相切、相離.主要區(qū)別是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
2.常見的直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法有三種:代數(shù)法、幾何法、直線系法.
(1)代數(shù)法:將直線與圓的方程聯(lián)立,消去y(或x),得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,利用Δ判斷位
置關(guān)系.
(2)幾何法:計(jì)算圓心到直線的距離,再與半徑比較大小即可.
(3)直線系法:若直線恒過定點(diǎn),可通過點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其他條件判斷直線與圓的位置關(guān)
系.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 直線與圓的位置關(guān)系
典例 設(shè)m∈R,則直線l:mx+y-2m-1=0與圓x2+y2=5的位置關(guān)系為 (　 )
A.相離　 B.相切
C.相交或相切　 D.相交
C
解析 解法一:方程mx+y-2m-1=0可化為m(x-2)+y-1=0,
由 解得
所以直線l恒過點(diǎn)A(2,1).
又22+12=5,所以點(diǎn)A在圓x2+y2=5上,
所以過點(diǎn)A的直線l與圓相交或相切.
解法二:圓心到直線l的距離d= ,不妨假設(shè) ≤ ,即(2m+1)2≤5(m2+1),整理,得
(m-2)2≥0,顯然成立,所以d≤ ,所以直線l與圓相交或相切.
1.過點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
(1)點(diǎn)P在圓上時(shí),求切點(diǎn)與圓心連線所在直線的斜率,若斜率存在且不為0,記為k,則k切線=- ;若
斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.
　　結(jié)論:①過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程是x0x+y0y=r2;②過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)
P(x0,y0)的切線方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(2)點(diǎn)P在圓外時(shí),設(shè)切線斜率為k,列出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑r,解出k即可
(若僅求出一個(gè)k值,則有一條斜率不存在的切線).
2.切線長的求法
過圓外一點(diǎn)P可作圓的兩條切線,我們把點(diǎn)P與切點(diǎn)之間的線段的長稱為切線長.切線長可由
講解分析
疑難 2 圓的切線
勾股定理來計(jì)算.
如圖,過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2的切線,則切線長為 .

　　從圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓的兩條切線,切線長為
.
典例 (1)過點(diǎn)(4,0)的直線l與圓x2+y2-4x-8y+16=0相切,則直線l的方程為　 　　 ;
(2)已知圓O:x2+y2=1,過直線3x+4y-10=0上的動(dòng)點(diǎn)P作圓O的一條切線,切點(diǎn)為A,則|PA|的最小
值為　　　 .
3x+4y-12=0或x=4
解析 (1)將圓的方程化為(x-2)2+(y-4)2=4,得圓心為(2,4),半徑為2,
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線l:x=4,
此時(shí)直線l與圓x2+y2-4x-8y+16=0相切,符合題意;
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
則圓心(2,4)到直線l的距離d= = =2,解得k=- ,所以直線l的方程為3x+4y-12
=0.
綜上,直線l的方程為3x+4y-12=0或x=4.
(2)如圖所示,連接PO,AO,則|PA|2=|PO|2-|OA|2=|PO|2-1,

當(dāng)|PO|最小時(shí),|PA|最小,|PO|的最小值為點(diǎn)O到直線3x+4y-10=0的距離,即|PO|min= =2,
故|PA|的最小值為 = .
1.弦長的求法
講解分析
疑難 3 弦長問題
幾何法 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關(guān)系r2=d2+ 解題
交點(diǎn)法 若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出,則直接用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長
公式法 設(shè)直線m:y=kx+b與圓的兩交點(diǎn)分別為(x1,y1),(x2,y2),將直線方程與圓的方程聯(lián)立,消去y后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l= |x1-x2|=

2.圓的中點(diǎn)弦問題
(1)若線段AB是圓C的弦,D是弦AB的中點(diǎn),則在解題中可應(yīng)用以下性質(zhì):
①AB⊥CD,如果斜率kAB,kCD都存在,則kAB·kCD=-1;
②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),則x0= ,y0= .
(2)解決與中點(diǎn)弦有關(guān)的問題,有下列三種常見方法:
①利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點(diǎn)坐標(biāo);
②設(shè)出弦的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,利用作差法求出斜率,此法即為點(diǎn)差法;
③利用圓本身的幾何性質(zhì),即圓心與非直徑的弦中點(diǎn)的連線與弦垂直解決問題.
典例 (1)直線l:x-2y-1=0與圓M:x2+y2-4x-6y+k=0相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4,則實(shí)數(shù)k的值為 ( )
A. 　　B.2 　　C. 　　D.4
(2)過原點(diǎn)且傾斜角為60°的直線被圓C:x2+y2-4x=0所截得的弦長為　　　 .
D
2
解析 (1)圓M的方程可化為(x-2)2+(y-3)2=13-k,則圓心為M(2,3),半徑r= ,所以圓心M到
直線l的距離d= = ,由d2+ =r2,得5+22=13-k,解得k=4,故選D.
(2)由題意得直線方程為y= x,即 x-y=0,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4,
圓心為C(2,0),半徑r=2,
圓心C到直線的距離d= = ,
所以弦長l=2 =2 =2.
　　形如z= 的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題;形如z=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)
化為動(dòng)直線截距的最值問題;形如z=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的
最值問題.
利用所給式子的幾何意義解題,充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
講解分析
疑難 4 利用代數(shù)式的幾何意義求解最值問題
典例 已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:
(1) 的最大值和最小值;
(2)y-x的最小值;
(3)x2+y2的最大值和最小值.
解析 方程x2+y2-4x+1=0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心, 為半徑的圓.
(1)設(shè) =k,即y=kx,則當(dāng)圓心(2,0)到直線y=kx的距離等于半徑時(shí),直線與圓相切,斜率取得最大
值和最小值.
由點(diǎn)到直線的距離公式,得 = ,解得k=± ,所以kmax = ,kmin=- .
(2)設(shè)y-x=b,即y=x+b,則當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí),直線在y軸上的截距b取得最值.由點(diǎn)到直線
的距離公式,得 = ,解得b=-2± ,所以(y-x)min=-2- .
(3)x2+y2是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離的平方,設(shè)圓與x軸交于B,D兩點(diǎn),點(diǎn)B位于O,D之間,則(x2+y2)max=
|OD|2=(2+ )2=7+4 ,(x2+y2 )min=|OB|2=(2- )2=7-4 .

展開更多......

收起↑