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(共9張PPT)
　　已知兩圓C1:(x-x1)2+(y-y1)2= ,C2:(x-x2)2+(y-y2)2= ,且r2>r1,聯立兩圓方程得到方程組,兩圓
圓心距d=|C1C2|.
知識 清單破
2.4 圓與圓的位置關系
知識點 圓與圓的位置關系
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖形表示
幾何特征 d>r1+r2 d=r1+r2 r2-r1代數特征 方程組無實
數解 方程組有 一組實數解 方程組有 兩組實數解 方程組有一 組實數解 方程組無實
數解
公切線條數 4 3 2 1 0
知識辨析
判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“ ”.
1.若圓C1與圓C2有且只有一個公共點,則圓C1與圓C2外切. ( )
2.設圓C1與圓C2的半徑分別為r1,r2,若|C1C2|3.若兩圓相切,則d=r1+r2(d為兩圓圓心距,r1,r2分別為兩圓半徑). ( )
4.若兩圓沒有公共點,則d>r1+r2(d為兩圓圓心距,r1,r2分別為兩圓半徑). ( )
5.若兩圓有兩條公切線,則兩圓相交. (　 )




√
提示
提示
提示
提示
兩圓外切或內切.
當|r1-r2|<|C1C2|相切包括外切和內切,兩圓外切,則d=r1+r2,兩圓內切,則d=|r1-r2|.
若兩圓沒有公共點,則兩圓外離或內含,應有d>r1+r2或d<|r1-r2|.
判斷圓與圓的位置關系的一般步驟
(1)分別求出兩圓的圓心坐標和半徑r1,r2;
(2)求兩圓的圓心距d;
(3)比較d與|r1-r2|,r1+r2的大小;
(4)根據大小關系確定圓與圓的位置關系.
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 圓與圓的位置關系
典例 圓C:x2+y2-3x+5y=r2- (r>0)與圓D:x2+y2=9的位置關系不可能是 (　 )
A.內含　 B.相交　 C.外切　 D.內切
C
解析 將圓C的方程化為 + =r2(r>0),其圓心為C ,圓D:x2+y2=9的圓心為D
(0,0),半徑為3,因為兩圓的圓心距|CD|= <3,所以圓C的圓心在圓D的內部,所以兩
圓的位置關系不可能是外切.
1.求兩圓的公共弦所在直線的方程
設圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,
聯立
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若兩圓交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③就
是經過兩圓交點的直線方程.
當兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線的
方程.
講解分析
疑難 2 兩圓的公共弦問題
當兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線方程.
當兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線方程.
若兩圓是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平分線的方
程.
2.兩圓公共弦長的求法
(1)幾何法:先求出兩圓公共弦所在直線的方程,再利用圓的半徑、弦心距、弦長的一半構成
的直角三角形求解;
(2)代數法:聯立兩圓的方程,求出交點坐標,再利用兩點間的距離公式求解.
3.求經過兩圓交點的圓的方程的方法
一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓的方程可設為x2+y2+
D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),然后由其他條件求出λ即得圓的方程.
典例 已知兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)求它們的公共弦所在直線的方程;
(2)求它們的公共弦長.
解析 (1)將兩圓方程相減,得公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0.
(2)解法一:由(1)得x=2y-4,代入圓C2的方程得y2-2y=0,解得y1=0,y2=2,
∴兩圓的交點坐標分別為(-4,0)和(0,2),
∴兩圓公共弦的長為 =2 .
解法二:由(1)知兩圓公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0,且圓心C1(1,-5),半徑r1=5 .
圓心C1到直線x-2y+4=0的距離d= =3 ,
設兩圓公共弦的長為2l,由勾股定理得r2=d2+l2,即50=45+l2,解得l= (負值舍去),∴兩圓公共弦
的長為2l=2 .
易錯警示 只有在兩圓相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圓C1:x2+y2+D1x+E1y
+F1=0與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共弦所在直線的方程.2.4　圓與圓的位置關系
基礎過關練　　　　　 　　　　 　　　　
題組一　圓與圓的位置關系的判斷
1.已知圓C1:x2+y2=49和圓C2:x2+y2-6x-8y+9=0,則兩圓的位置關系是(　　)
A.外離　　　　　　B.相交
C.內切　　　　　　D.外切
2.圓C:x2+y2-4x+6y+13=r2(r>0)與圓D:x2+y2=16的位置關系可能是(　　)
A.內含　　　　　　B.相交
C.外切　　　　　　D.內切
3.早在兩千多年前,墨子就給出了圓的定義:“一中同長也.”已知O為坐標原點,P(-1,),若圓O,圓P的“長”分別為1,r,且兩圓外切,則r=　　　　.
4.已知A是圓C1:x2+y2=1上的動點,B是圓C2:(x-3)2+(y-4)2=1上的動點,則|AB|的取值范圍為　　　　.
5.已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,問:m為何值時,
(1)圓C1與圓C2外切
(2)圓C1與圓C2內含
(3)圓C1與圓C2只有一個公共點
題組二　兩圓的公共弦問題
6.圓x2+y2-2x-8=0和圓x2+y2+2x-4y-4=0的公共弦的長為(　　)
A.
7.已知圓C1:x2+y2-4=0與圓C2:x2+y2+mx+4y-11=0(m∈R)的公共弦所在直線與直線l:2x-y+1=0垂直,則m的值為(　　)
A.2　　　B.-2　　　C.8　　　D.-8
8.已知圓C1與y軸相切于點(0,3),圓心在經過點(2,1)與點(-2,-3)的直線l上.
(1)求圓C1的方程;
(2)若圓C1與圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0相交于M,N兩點,求兩圓的公共弦長.
題組三　兩圓的公切線問題
9.圓O:x2+y2=4與圓M:x2+(y-5)2=4的公切線條數為(　　)
A.1　　　B.2　　　C.3　　　D.4
10.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N+.若圓C1,C2僅有2條公切線,則a的值可能是　　　　(給出滿足條件的一個值即可).
11.在平面直角坐標系內,與點A(1,2)的距離為3,且與點B(3,8)的距離為1的直線共有　　　　條.
能力提升練
題組　圓與圓的位置關系的綜合問題　　　　　 　　　　 　　　　
1.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2,r>0},且M∩N=N,則r的取值范圍是(　　)
A.(0,-1)　　　　　　B.(0,1]
C.(0,2-]　　　　　　D.(0,2]
2.兩圓x2+y2=16,(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0)在交點P處的切線互相垂直,則r=(　　)
A.5　　　　　　B.4
C.3　　　　　　D.2
3.已知平面內一點M(3,4),若圓C上存在點P,使|PM|=3,則稱該圓為點M(3,4)的“3價圓”.下列圓中不是點M(3,4)的“3價圓”的是(　　)
A.圓x2+y2=1
B.圓x2+(y-2)2=4
C.圓(x-2)2+y2=4
D.圓(x-4)2+(y-3)2=9
4.(多選題)已知圓O:x2+y2=9和圓M:x2+y2+6x-4y+9=0交于P,Q兩點,下列說法中正確的有(　　)
A.兩圓有兩條公切線
B.直線PQ的方程為3x-2y+9=0
C.線段PQ的長為
D.所有過點P,Q的圓的方程可以記為x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)
5.已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=4和兩點A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圓C上有且僅有一點P,使得∠APB=90°,則實數a的值是(　　)
A.2-
C.2-或2+
6.已知圓C的直徑AB=6,點M滿足|MA|=2|MB|.記點M的軌跡為W,設W與C交于P,Q兩點,則|PQ|=　　　　.
7.某沿海地區的海岸線為一段圓弧AB,對應的圓心角∠AOB=,該地區為打擊走私,在海岸線外側2海里內的海域ABCD對不明船只進行識別查證(如圖,其中海域與陸地近似看作在同一平面內),在圓弧的兩端點A,B處分別建有監測站,A與B之間的直線距離為10海里.
(1)求海域ABCD的面積;
(2)現海上P點處有一艘不明船只,在A點測得其距A點4海里,在B點測得其距B點2海里.判斷這艘不明船只是否進入了海域ABCD內,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.4　圓與圓的位置關系
基礎過關練
1.B　由題意得,圓C1的圓心為(0,0),半徑為7,圓C2的圓心為(3,4),半徑為4,兩圓心之間的距離為=5,因為7-4<5<7+4,所以兩圓的位置關系是相交.故選B.
2.ABD　由圓C的方程可得圓心C(2,-3),∵22+(-3)2=13<16,∴圓心C(2,-3)在圓D的內部,∴兩圓的位置關系可能是內含、相交或內切.故選ABD.
3.答案　1
解析　由題意知圓O的圓心為O(0,0),半徑為1,
圓P的圓心為P(-1,),半徑為r,|OP|==2.又∵兩圓外切,∴|OP|=r+1,∴r=1.
4.答案　[3,7]
解析　由題意知圓C1的圓心為C1(0,0),半徑為1,圓C2的圓心為C2(3,4),半徑為1.易知|C1C2|=5,則兩圓外離,所以5-2≤|AB|≤5+2,即3≤|AB|≤7.
5.解析　把圓C1,圓C2的方程化為標準方程,得圓C1:(x-m)2+(y+2)2=9,其圓心為(m,-2),半徑為3,圓C2:(x+1)2+(y-m)2=4,其圓心為(-1,m),半徑為2.
(1)如果圓C1與圓C2外切,那么=3+2,整理得m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,即當m=-5或m=2時,兩圓外切.
(2)如果圓C1與圓C2內含,那么<3-2,整理得m2+3m+2<0,解得-2(3)如果圓C1與圓C2只有一個公共點,那么兩個圓相切,因此=3-2或=3+2,解得m=-2或m=-1或m=-5或m=2,即當m的值為-2或-1或-5或2時,兩圓只有一個公共點.
6.D　將兩圓方程相減得4x-4y+4=0,即x-y+1=0,易知圓x2+y2-2x-8=0的標準方程為(x-1)2+y2=9,則其半徑為3,圓心(1,0)到公共弦所在直線的距離d=,因此所求弦長為2.故選D.
7.A　把圓C1與圓C2的方程相減得mx+4y-7=0,即為圓C1與圓C2的公共弦所在直線方程,由直線mx+4y-7=0與直線l垂直,得2m-4=0,解得m=2.當m=2時,圓C2:x2+y2+2x+4y-11=0,即圓C2:(x+1)2+(y+2)2=16,圓心為C2(-1,-2),半徑r2=4,圓C1:x2+y2=4的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,于是|C1C2|=∈(r2-r1,r2+r1),則圓C1與圓C2相交,符合題意,所以m的值為2.
8.解析　(1)經過點(2,1)與點(-2,-3)的直線l的方程為,即y=x-1,
因為圓C1與y軸相切于點(0,3),
所以圓心在直線y=3上,
聯立可得圓心坐標為(4,3),
故圓C1的半徑為4,
故圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16.
(2)圓C1的方程為(x-4)2+(y-3)2=16,即x2+y2-8x-6y+9=0,圓C2:x2+y2-6x-3y+5=0,
兩式作差可得兩圓公共弦所在的直線方程為2x+3y-4=0,
圓C1的圓心到直線2x+3y-4=0的距離d=,
所以兩圓的公共弦長為2.
9.D　圓O:x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑r1=2,圓M:x2+(y-5)2=4的圓心為M(0,5),半徑r2=2,所以兩圓圓心距|OM|=5>r1+r2,所以圓O與圓M的位置關系為外離,所以圓O與圓M的公切線條數為4.故選D.
10.答案　5(答案不唯一,填寫5,6,7,8,9中的一個均可)
解析　圓C1:x2+y2=4的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圓心為C2(4,-a),半徑r2=8,所以|C1C2|=,因為圓C1,C2僅有2條公切線,所以圓C1,C2相交,所以6<<10,即2011.答案　4
解析　到點A(1,2)的距離為3的點的軌跡是以A(1,2)為圓心,3為半徑的圓,
到點B(3,8)的距離為1的點的軌跡是以B(3,8)為圓心,1為半徑的圓,
則所求直線即為兩圓的公切線,
由|AB|=,且|AB|>1+3,
可知兩圓外離,有4條公切線,所以符合題意的直線有4條.
能力提升練
1.C　由M∩N=N得N M,∴圓(x-1)2+(y-1)2=r2內切或內含于圓x2+y2=4,又兩圓的圓心距為,∴2-r≥,∴02.C　設交點P(x0,y0),則=16,(x0-4)2+(y0+3)2=r2,∴r2=41-8x0+6y0,不妨令過點P的兩條切線的斜率存在,∵兩切線互相垂直,∴=
-1,∴3y0-4x0=-16.∴r2=41+2(3y0-4x0)=9,∴r=3.
3.A　因為|PM|=3,所以點P在以M為圓心,3為半徑的圓上,又P為圓C上一點,所以P為圓M與圓C的公共點.問題轉化為判斷圓M與圓C的位置關系.x2+y2=1表示以(0,0)為圓心,1為半徑的圓,該圓與圓M的圓心距d==5>3+1=4,所以兩圓外離,所以x2+y2=1表示的圓不是點M(3,4)的“3價圓”.同理可判斷圓M與選項B、C、D中的圓都相交.故選項B、C、D中的圓均是點M(3,4)的“3價圓”.故選A.
4.AB　A中,因為圓O:x2+y2=9和圓M:x2+y2+6x-4y+9=0相交,所以兩圓有兩條公切線,故正確;B中,圓O:x2+y2=9和圓M:x2+y2+6x-4y+9=0的方程相減得3x-2y+9=0,所以直線PQ的方程為3x-2y+9=0,故正確;C中,圓心O(0,0)到直線PQ的距離d=,所以|PQ|=2,故錯誤;D中,方程可化為x2+y2+=0,而>0,所以方程x2+y2-9+λ(x2+y2+6x-4y+9)=0(λ∈R,λ≠-1)表示圓,因為λ∈R,λ≠-1,所以由所給方程可得所以該圓恒過P,Q兩點,但此方程不能表示圓M,而圓M也是過點P、Q的圓,故不正確.故選AB.
5.C　圓C:(x-1)2+(y-1)2=4的圓心為C(1,1),半徑r=2,由兩點A(a,0),
B(-a,0)(a>0),可得以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,設該圓為圓O,則其圓心為O(0,0),半徑R=a,若點P滿足∠APB=90°,則點P在圓x2+y2=a2上,又圓C上有且只有一點P使得∠APB=90°,所以圓C與圓x2+y2=a2相切,則有|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或|OC|2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又因為a>0,所以a=2-或a=2+.故選C.
6.答案　
解析　以線段AB的中點為原點,AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系,
則圓C的方程為x2+y2=9,A(-3,0),B(3,0),設M(x,y),
由題意可知,,
整理,得(x-5)2+y2=16,
故點M的軌跡為圓,即圓W的方程為(x-5)2+y2=16,
兩圓的方程相減,得直線PQ的方程為x=,
圓心(0,0)到直線x=的距離d=,
所以線段|PQ|=2.
7.信息提取?、俸Ｓ駻BCD的形狀為扇環,且在海岸線(弧)外側2海里內;②∠AOB=,AB=10海里;③PA=4海里,PB=2海里.
數學建?！∫蕴骄亢Ｓ虮O測問題為背景,構建圓的模型解決實際問題.根據題意建立平面直角坐標系,分析出不明船只既在以A為圓心,4海里為半徑的圓上,也在以B為圓心,2海里為半徑的圓上,得出相關圓的方程,從而通過解方程組可以確定不明船只的準確位置(即不明船只相應的坐標),再判斷不明船只是否在海域ABCD內,而海域ABCD的范圍也可以通過圓的方程進行表達.
解析　(1)因為∠AOB=,AB=10海里,AD=BC=2海里,所以OA=OB=AB=10海里,OD=OA+AD=12海里,所以S海域ABCD=·π(OD2-OA2)=π·(122-102)=(平方海里).
(2)以O為原點,OC所在直線為x軸建立平面直角坐標系(令點A在第一象限).由題意知,點P在以A為圓心,4海里為半徑的圓(x-5)2+(y-5)2=16上;點P也在以B為圓心,2海里為半徑的圓(x-10)2+y2=76上.
由
易知海域ABCD內的點(x,y)滿足
由32+(3)2=156>144,可知這艘不明船只沒有進入海域ABCD內.
1

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