資源簡介

(共16張PPT)
1.1　空間向量及其運算
知識點 1 空間向量的概念及幾類特殊向量
名稱 定義
空間向量 在空間中,具有大小和方向的量叫做空間向,空間向量的大小叫做空間向量的長度或模
單位向量 模為1的向量
零向量 長度為0的向量
必備知識 清單破
名稱 定義
相等向量 長度相等且方向相同的向量
相反向量 長度相等而方向相反的向量
共線(平行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線(平行)向量
方向向量 在直線l上取非零向量a,把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量
共面向量 平行于同一個平面的向量,叫做共面向量
空間向量的線性運算 加法 三角形法則:a+b= + = ; 平行四邊形法則:a+b= + =
減法 a-b= - = 數乘 運算 當λ>0時,λa=λ = (與a同向)
當λ<0時,λa=λ = (與a反向) 當λ=0時,λa=0
知識點 2 空間向量的線性運算
運算律 (λ,μ ∈R) 交換律 a+b=b+a
結合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a
分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
知識點 3 空間向量共線、共面的有關定理
內容 共線向量定理 共面向量定理
對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實數λ,使a=λb 向量p與兩個不共線的空間向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對(x,y),使p=xa+yb
知識點 4 空間向量的數量積
數量積 a·b=|a||b|cos,其中為兩個非零向量a,b的夾角
運算律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R;a·b=b·a(交換律);(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
性質和 應用 若a,b為非零向量,則a⊥b a·b=0
a·a=|a||a|cos=|a|2,即|a|=

cos= ,的范圍為[0,π]
誤區警示 (1)兩個向量數量積的結果是數量,而不是向量,它可以是正數、負數或零;(2)兩個
向量數量積的運算不滿足消去律(a·b=a·c /b=c)和乘法的結合律((a·b)·c≠a·(b·c)).
知識辨析
1.在空間中,將表示所有單位向量的有向線段的起點移到同一點后,它們的終點形成的軌跡是
什么圖形
2.如果向量 與 的夾角為α,那么直線AB與CD所成的角是α嗎
3.如果 ∥平面CDE,則直線MN∥平面CDE嗎
一語破的
1.球面.因為單位向量的模均等于1,所以將表示所有單位向量的有向線段的起點移到同一點
后,它們的終點形成的軌跡是一個球面.
2.不一定.當α∈ 時,直線AB與CD所成的角為α;當α∈ 時,直線AB與CD所成的角為
α的補角.
3.不一定.當直線MN 平面CDE時,才能通過 ∥平面CDE得到直線MN∥平面CDE.
定點 1 空間向量共線、共面的結論和應用
關鍵能力 定點破

1.空間向量共線、共面的結論
(1)證明空間三點A,B,P共線:① =λ ;② = +λ ;③ =x +y ,其中x+y=1.(O為空
間中任意一點)
(2)證明空間四點A,B,P,M共面:① =x +y ;② = +x +y ;③ =x +y +z
,其中x+y+z=1;④ ∥ (或 ∥ 或 ∥ ).(O為空間中任意一點)
2.空間向量共線、共面的應用
　　共線向量定理除了可以證明三點共線,還可以證明空間中兩直線平行.由于空間中兩個
非零向量共線時,這兩個向量所在的直線可能平行,也可能重合,所以在證明時要說明一條直
線上有一點不在另一條直線上,從而推得兩直線平行,不能由向量平行直接推出線線平行.
共面向量定理除了可以證明四點共面,還可以證明線面平行,同理,也要說明線不在面內.
典例 如圖,在四面體ABCD中, =λ , =λ , =(1-λ) , =(1-λ) ,λ∈(0,1).

(1)求證:E,F,G,H四點共面;
(2)若λ= ,M是EG和FH的交點,O是空間任意一點,用 , , , 表示 .
解析： (1)證明:因為 = - =λ -λ =λ , = - =(1-λ) -(1-λ) =(1-λ) ,
所以 = ,則 ∥ ,因此E,F,G,H四點共面.
(2)由(1)知, = , = ,因此 = ,又EH,FG不在同一條直線上,所以EH∥FG,則
= = ,則 = ,即 - = ( - ),即 = + .當λ= 時, = ,
即 - = ( - ),可得 = + ,同理, = ,即 - = ( - ),可得 =
+ ,所以 = × + × = + + + .
　　求解線段的長度、兩點間的距離時,均可將其轉化為求對應有向線段表示的向量的模,
將此向量表示為已知的幾個向量的和或差的形式,分析已知向量兩兩之間的夾角以及它們的
模,然后利用公式|a|= (推廣公式:|a±b|= = )求解即可.
定點 2 利用數量積求長度(距離或模)
典例 已知平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為1,且
∠A1AD=∠A1AB=60°,∠DAB=45°,則BD1等于 (　 )
A. -1　 B. -1
C. 　 D. -
C
解析：易得 = - + ,
∴| |=
=
=
= ,
即BD1= .
求兩條異面直線所成的角或其余弦值的步驟
(1)根據題設條件取與兩條異面直線分別平行的非零向量(即兩條直線的方向向量);
(2)將求異面直線所成角的問題轉化為求向量夾角的問題;
(3)利用公式cos= 求向量夾角的余弦值;
(4)將所求得的余弦值加上絕對值即得異面直線所成角的余弦值,進而可求出異面直線所成
角的大小.
定點 3 利用數量積求異面直線所成的角或其余弦值
典例 如圖所示,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求異
面直線OA與BC所成角的余弦值.

解析：∵ = - ,∴ · = ·( - )= · - · =| |·| |·cos< , >-| |·
| |·cos< , >=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=24-16 .
∴cos< , >= = = ,∴異面直線OA與BC所成角的余弦值為
.1.1.2　空間向量的數量積運算
基礎過關練
題組一　空間向量數量積的概念及其運算
1.如圖,若正四面體A-BCD的棱長為1,且=,則·=(　　)
A.-1　　B.-　　C.　　D.1
2.已知i,j,k為空間兩兩垂直的單位向量,且a=i+2j-k,b=3i-j+4k,則a·b=　　　　.
3.已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角是120°,當a+2b與ka-b的夾角為鈍角時,k的取值范圍為　　　　.
題組二　利用空間向量的數量積求夾角或其余弦值
4.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,那么a與b的夾角為(　　)
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
5.(教材習題改編)已知空間四邊形OABC的各邊長及對角線長都相等,E,F分別是AB,OC的中點,則向量與向量夾角的余弦值為　　　　.
題組三　利用空間向量的數量積求長度(模)
6.(教材習題改編)已知兩條異面直線a,b所成的角為60°,在直線a,b上分別取點A,E和點B,F,使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6,BF=8,EF=2,則線段AB的長為(　　)
A.10　　　　B.2　　
C.2或10　　　　D.2或2
7.已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,向量,,兩兩的夾角均為60°,且||=1,||=2,||=3,則||=(　　)
A.5　　B.6　　C.4　　D.8
題組四　利用空間向量的數量積解決垂直問題
8.(多選題)已知四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,則以下結論中一定成立的是(　　)
A.|++|=|+-|
B.(++)·=0
C.|++|2=||2+||2+||2
D.·=·=·
9.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,DA,DB,DC兩兩垂直,且DB=DC=DA=2,E為BC的中點.
(1)證明:AE⊥BC;
(2)求直線AE與DC所成角的余弦值.
能力提升練
題組一　利用空間向量的數量積求異面直線所成的角或其余弦值
1.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,則直線BD1與直線AC所成角的余弦值為(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
2.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,則AB1與BC1所成角的大小為(　　)
A.60°　　B.90°　　C.105°　　D.75°
3.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中點,則異面直線PD與A1B所成角的余弦值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
題組二　利用空間向量的數量積求長度(距離)
4.如圖,在平面角大小為60°的二面角A-EF-D中,四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形,則B,D兩點間的距離是　　　　.
5.已知空間向量,,的模分別為1,2,3,且兩兩間的夾角均為60°.點G為△ABC的重心,若=x+y+z,x,y,z∈R,則||=　　　　.
題組三　空間向量數量積的綜合應用
6.在四面體P-ABC中,有以下四個結論,其中錯誤的是(　　)
A.若=+,則=3
B.若四面體P-ABC的各棱長都相等,則·=0
C.若·=0,·=0,則·=0
D.若四面體P-ABC的各棱長都為2,M,N分別為PA,BC的中點,則||=1
7.(教材深研拓展)(多選題)在三維空間中,定義a×b叫做向量a與b的外積,它是一個向量,滿足下列兩個條件:
①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b和a×b構成右手系(即三個向量的方向依次與右手的拇指、食指、中指的指向一致,如圖所示);
②a×b的模|a×b|=|a||b|sin(表示向量a,b的夾角).
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有以下四個結論,其中正確的有(　　)
A.|×|=|×|
B.×與共線
C.×=×
D.6|×|與正方體表面積的數值相等
答案與分層梯度式解析
1.1.2　空間向量的數量積運算
基礎過關練
1.C 4.B 6.D 7.A 8.ACD
1.C　因為正四面體A-BCD的棱長為1,且=,
所以·=(+)·=·=·=·+·-·=1×1×cos 60°+×1×1×cos 60°-×1×1×cos 60°=.故選C.
2.答案　-3
解析　∵i,j,k為空間兩兩垂直的單位向量,∴|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0,
∴a·b=(i+2j-k)·(3i-j+4k)=3i2-2j2-4k2=3-2-4=-3.
3.答案　k>-7且k≠-
解析　由題意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=k+(2k-1)×1×2×cos 120°-8=-k-7<0,解得k>-7.
又當k=-時,a+2b與ka-b反向共線,此時它們的夾角為180°,并不是鈍角,∴k>-7且k≠-.
名師點睛　利用兩向量的夾角求參時,要考慮兩向量同向、反向的情形.
4.B　根據題意,設a與b的夾角為θ,因為|a+2b|=2,所以(a+2b)2=a2+4b2+4a·b=8+8cos θ=12,即cos θ=,又0°≤θ≤180°,故θ=60°,故選B.
5.答案　-
解析　設=a,=b,=c且|a|=|b|=|c|=1,易知∠AOB=∠BOC=∠AOC=,則a·b=b·c=c·a=.
因為=(+)=(a+b),=-=-=c-b,||=||=,
所以·=(a+b)·=a·c+b·c-a·b-b2=-.
設與的夾角為θ,
則cos θ===-.
所以向量與向量夾角的余弦值為-.
6.D　因為=++,所以=+++2·+2·+2·,
又異面直線a,b所成的角為60°,EF=2,AE=6,BF=8,故156=36+||2+64+48或156=36+||2+64-48,則||=2或||=2,故選D.
7.A　易知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=++,
∴==+++2·+2·+2·
=1+4+9+2×1×2×cos 60°+2×1×3×cos 60°+2×2×3×cos 60°=25,∴||=5,故選A.
方法總結　用數量積求線段長度的步驟:(1)用向量表示此線段;(2)用其他向量表示此向量;(3)結合公式a·a=|a|2,求此向量的模;(4)此向量的模即為所求長度.
8.ACD　由題意可知,,,兩兩垂直,所以·=·=·=0.
對于A,=++2(+)·=+,
=+-2(+)·=+,
所以=,
即|++|=|+-|,故A正確;
對于B,(++)·=(++)·(-)=-,
當=時,-=0,否則不成立,故B錯誤;
對于C,|++|2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=||2+||2+||2,故C正確;
對于D,·=·(-)=0,
同理可得·=0,·=0,
所以·=·=·,故D正確.
故選ACD.
9.解析　(1)證明:連接DE,則=-=(+)-,=-,
所以·=·(-)=·-·+·-·-·+·=0-2+2-0-0+0=0,
所以AE⊥BC.
(2)·=·=·+·-·=0+2-0=2,||==,
所以cos<,>===,
即直線AE與DC所成角的余弦值為.
能力提升練
1.D 2.B 3.A 6.D 7.ABD
1.D　易得=++=+-,=+,所以·=(+)·(+-)=·+·-++·-·,
又AB=AD=AA1=1,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,所以·=0+-1+1+-0=,
而||=,||==
==,
所以直線BD1與直線AC所成角的余弦值為==.故選D.
2.B　易得=-,=+,令||=a,則||=||=a,又⊥,⊥,所以·=(-)·(+)=·+-·-·=a2-a·acos 60°=0,因此,⊥,所以AB1與BC1所成角的大小為90°.故選B.
3.A　如圖所示,
=+=-,
=++=++(+)=+-+=++,
∴||=
==,
又·=++·(-)=-=2,||=2,
∴cos<,>===.
∴異面直線PD與A1B所成角的余弦值是.
4.答案　
解析　∵四邊形ABFE、CDEF都是邊長為1的正方形,∴AE⊥EF,DE⊥EF,BF⊥EF,CF⊥EF,又平面ABFE∩平面CDEF=EF,∴平面ABFE與平面CDEF的二面角為∠AED=∠BFC=60°,易得=++,∴||2=(++)2=||2+||2++2·+2·+2·=1+1+1+0+2×1×1×cos 120°+0=2,∴||=,故B,D兩點間的距離是.
5.答案　
解析　設BC的中點為D,因為G為△ABC的重心,
所以==(+),
所以-=(-+-)=+-,所以=++,
所以||2==(+++2·+2·+2·)
=×1+4+9+2×1×2×+2×2×3×+2×1×3×=,所以||=.
6.D　對于A,若=+,則3=+2,
整理得2-2=-,所以2=,
故2=-,所以=3,故A中結論正確;
對于B,設四面體的棱長均為a,則·=(+)·=·+·=a·a·cos 60°+a·a·cos 120°=0,故B中結論正確;對于C,若·=0,·=0,則·+·=0,所以·+·(+)=0,整理得(-)·+·=0,所以·+·=0,即·+·=0,即·=0,故C中結論正確;對于D,由題可知,四面體的各個面均為正三角形,則||=||=||=2,,,兩兩之間的夾角均為60°,又=-=(+)-=(+-),且|+-|
=
=2,所以||=,故D中結論錯誤.故選D.
7.ABD　對于A,設正方體的棱長為1,易知在正方體中,<,>=60°,則|×|=||||sin<,>=××=,因為BD∥B1D1,且∠AD1B1=60°,所以<,>=120°,所以|×|=||·||sin<,>=××=,所以|×|=|×|,故A正確;對于B,易知A1C1⊥B1D1,A1C1⊥BB1,因為B1D1∩BB1=B1,B1D1,BB1 平面BB1D1D,所以A1C1⊥平面BB1D1D,又BD1 平面BB1D1D,故BD1⊥A1C1,同理可得BD1⊥A1D,由右手系知,×與共線,故B正確;對于C,由a,b和a×b構成右手系知,a×b與b×a的方向相反,由a×b的模的定義知,|a×b|=|a||b|·sin=|b||a|sin=|b×a|,所以a×b=-b×a,則×=-×,故C錯誤;對于D,設正方體的棱長為a,則6|×|=6||·||·sin 45°=6a·a·=6a2,而正方體的表面積為6a2,故D正確.故選ABD.
7第一章　空間向量與立體幾何
1.1　空間向量及其運算
1.1.1　空間向量及其線性運算
基礎過關練
題組一　空間向量的基本概念
1.(多選題)下列命題中,是真命題的是(　　)
A.同平面向量一樣,任意兩個空間向量都不能比較大小
B.兩個相等的向量,若起點相同,則終點也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
2.(多選題)下列說法中正確的是(　　)
A.向量的模是一個正實數
B.任一向量與它的相反向量都不相等
C.四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=
D.“向量的模為0”是“一個向量的方向是任意的”的充要條件
3.(教材習題改編)給出下列命題:①若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p;②空間中,a∥b,b∥c,則a∥c;③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與是相等向量;④在空間四邊形ABCD中,與是相反向量;⑤在三棱柱ABC-A1B1C1中,與的模一定相等的向量一共有4個.
其中正確命題的序號為　　　　.
題組二　空間向量的線性運算
4.(多選題)(2024湖北荊門龍泉中學月考)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的運算結果為的是(　　)
A.--
B.+-
C.--
D.-+
5.如圖,在斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AC與BD的交點為M,=a,=b,=c,則=(　　)
A.a+b+c　　　　B.-a-b-c C.-a+b+c　　　　D.-a-b+c
6.(教材習題改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,=2,則以下結論正確的是(　　)
A.=++　　　　
B.=-+-
C.=-+　　　　
D.=+-
7.如圖,在四面體OABC中,=a,=b,=c,G為△ABC的重心,P為OG的中點,則=(　　)
A.-a+b+c　　　B.a-b-c　　C.-a+b+c　　　　D.a-b-c
8.在四面體OABC中,=a,=b,=c,=λ(λ>0),N為BC的中點,若=-a+b+c,則λ=(　　)
A.　　B.3　　C.　　D.2
9.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設AD=AA1=1,AB=2,則|-|=　　　　.
題組三　空間向量共線、共面問題
10.設e1,e2是兩個不共線的空間向量,且=e1+2e2,=2e1+7e2,=3(e1+e2),則(　　)
A.A,C,D三點共線　　　　B.A,B,C三點共線
C.B,C,D三點共線　　　　D.A,B,D三點共線
11.(多選題)若O為空間中任意一點,在下列條件中,不能使M與A,B,C四點共面的是(　　)
A.=2--　　　　
B.=++
C.++=0　　　　
D.+++=0
12.(多選題)如圖,在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中,=a,=b,=c.若=,=,則(　　)
A.=a+b+c　　　　B.=a+b+c
C.A,P,D'三點共線　　　　D.A,P,M,D四點共面
13.已知O,A,B,C為空間不共面的四點,且=+λ+μ(λ,μ∈R),若P,A,B,C四點共面,則函數f(x)=x2-3(λ+μ)x-1(x∈[-1,2])的最小值是　　　　.
14.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=k,=k,=k,=k.
(1)當k=時,試用,,表示;
(2)證明:E,F,G,H四點共面.
答案與分層梯度式解析
第一章　空間向量與立體幾何
1.1　空間向量及其運算
1.1.1　空間向量及其線性運算
基礎過關練
1.ABC 2.CD 4.AB 5.A 6.D 7.C 8.B 10.D
11.ABD 12.BD
1.ABC　空間向量不能比較大小,A正確;易知B、C正確;共線的單位向量大小相等,但方向可能相同,也可能不同,故它們不一定相等,D錯誤.
2.CD　A不正確,向量的模是一個非負實數.B不正確,零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的.易知C,D正確.
3.答案　①③
解析　①正確,向量的相等滿足傳遞性;②錯誤,平行向量不一定具有傳遞性,當b=0時,a與c不一定平行;③正確,與的模相等,方向相同;④錯誤,空間四邊形ABCD中,與的模不一定相等,方向也不是相反的;⑤錯誤,在三棱柱ABC-A1B1C1中,與的模一定相等的向量是,,,,,一共有5個.
4.AB　A中,--=-=;
B中,+-=+=;
C中,--=-=-=≠;
D中,-+=++=+≠.故選AB.
方法技巧　化簡空間向量的常用思路
①分組:將向量合理分組,以便靈活運用三角形法則、平行四邊形法則進行化簡.
②利用多邊形法則:在空間向量的加法運算中,若是多個向量求和,還可利用多邊形法則,即將若干個向量的和轉化為首尾相接的向量求和.
③“走邊路”:靈活運用空間向量的加法、減法法則,盡量“走邊路”(即沿幾何體的邊選擇化簡途徑).
5.A　=+=+=(a+b)+c=a+b+c.故選A.
6.D　因為底面ABCD是平行四邊形,=2,
所以=+=++=++(+)=+-.故選D.
7.C　∵G為△ABC的重心,∴=(+)=(-+-)=(b+c-2a),∵P為OG的中點,∴=(+)=-a+b+c.故選C.
8.B　∵=λ(λ>0),N為BC的中點,∴=,=+,∴=-=+-=-a+b+c,
又∵=-a+b+c,∴-=-,解得λ=3.
故選B.
9.答案　
解析　|-|=|-|=||=||==.
10.D　∵=+=3e1+9e2,=3(e1+e2),∴不存在實數λ,使得=λ成立,故A錯誤;∵=e1+2e2,=+=3e1+9e2,∴不存在實數λ,使得=λ成立,故B錯誤;∵=2e1+7e2,=3(e1+e2),∴不存在實數λ,使得=λ成立,故C錯誤;∵=e1+2e2,=+=5e1+10e2,∴=,故D正確.
規律總結　對于空間三點P,A,B,可通過下列結論來得出三點共線:
(1)存在實數λ,使=λ成立.
(2)對空間中任意一點O,有=+t(t∈R).
(3)對空間中任意一點O,有=x+y(x+y=1).
11.ABD　空間四點A,B,C,M共面的充要條件是=x+y+z,其中O為空間中任意一點,且x+y+z=1.對于A,因為2-1-1=0≠1,所以A,B,C,M不共面;對于B,因為++=≠1,所以A,B,C,M不共面;對于C,=--,若,共線,則易知M,A,B,C四點一定共面,若,不共線,則由共面向量定理可知,,為共面向量,所以M與A,B,C一定共面;對于D,因為+++=0,所以=---,因為-1-1-1=-3≠1,所以A,B,C,M不共面.故選ABD.
名師支招　1.證明點P在平面ABC內,可以用=x+y,或=+x+y,或=x+y+z(x+y+z=1),其中O為空間中任意一點.
2.證明三個向量共面一般用p=xa+yb,證明三線共面常用=x+y,證明四點共面常用=x+y+z(其中x+y+z=1,O為空間中任意一點).
12.BD　對于A,=++=a+b-c,故A錯誤;對于B,=+=++(+)=++=a+b+c,故B正確;對于C,易知A,P,D'三點不共線,故C錯誤;對于D,連接PM,由題可知點P和點M分別為CA'和CD'的中點,故PM∥A'D',又A'D'∥AD,所以PM∥AD,所以A,P,M,D四點共面,故D正確.故選BD.
13.答案　-2
解析　因為P,A,B,C四點共面,且=+λ+μ,所以+λ+μ=1,所以λ+μ=,所以f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2.當x∈[-1,2]時, f(x)min=f(1)=-2,即函數的最小值為-2.
14.解析　(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,=+,
當k=時,=,=,∴=+=(+)+=++.
(2)證明:連接AC,EG.由共面向量定理可設=λ+μ(λ,μ∈R,且λ,μ不為0),
則=-=k-k=k=k(λ+μ)=kλ+kμ=kλ(-)+kμ(-)=λ(-)+μ(-)=λ+μ,則,,共面且有公共點E,所以E,F,G,H四點共面.
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