資源簡介

1.2　空間向量基本定理
基礎過關練
題組一　空間向量基本定理及相關概念的理解
1.(多選題)給出下列命題,其中正確的有(　　)
A.空間任意三個向量都可以構成一個基底
B.已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構成空間的一個基底
C.對空間任一向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc
D.如果a,b是兩個單位向量,那么|a|=|b|
2.(教材習題改編)已知{a,b,c}為空間的一個基底,則下列向量也能構成空間的一個基底的是(　　)
A.a+b,b+c,a-c　　　　B.a+2b,b,a-c
C.2a+b,b+2c,a+b+c　　　　D.a+c,b+2a,b-2c
3.已知點O,A,B,C為空間中不共面的四點,且向量a=++,向量b=+-,則不能與a,b共同構成空間的一個基底的向量是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.以上都不能
4.已知M,A,B,C四點互不重合且無三點共線,O為空間中任意一點,則能使向量,,構成空間的一個基底的關系是(　　)
A.=++
B.=+
C.=++
D.=2-
題組二　空間向量基本定理的應用——用空間的基底表示空間向量
5.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若=x+y+z,則(x,y,z)=(　　)
A.(-1,1,1)　　　　B.(1,-1,1)　　
C.(1,1,-1)　　　　D.(-1,-1,-1)
6.在三棱錐A-BCD中,若=2,=,則=(　　)
A.++　　　　B.++
C.++　　　　D.++
7.如圖,在四面體A-BCD中,點O為底面△BCD的重心,P為AO的中點,設=a,=b,=c,則=(　　)
A.a-b-c　　　　B.-a+b+c
C.a-b-c　　　　D.-a+b+c
8.在空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,對角線AC,BD的中點分別為P,Q,若=ma+nb+pc,則m+n+p=　　　　.
題組三　利用空間向量基本定理解決立體幾何問題
9.在化學中,若粒子(原子、離子、分子等)在空間按一定規律呈周期性重復排列,則它們構成的固體物質稱為晶體.在結構化學中,晶體結構可被截分為一個個包含等同內容的基本單位,這個基本單位叫做晶胞.已知鈣(Ca)、鈦(Ti)、氧(O)原子可以形成如圖所示的立方體晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子位于頂點位置,O原子位于棱的中點),則圖中原子連線BF與B1E所成角的余弦值為　　　　.
10.如圖,M,N分別是四面體OABC的棱OA,BC的中點,P,Q是MN的三等分點(點P靠近點N),若=a,=b,=c.
(1)以{a,b,c}為基底表示;
(2)若|a|=|b|=1,|c|=2,∠OAB=∠OAC=,∠CAB=,求||.
11.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,點E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分別為棱CC1,B1C1,A1C1的中點,EF與B1D相交于點H.求證:
(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EFG∥平面ABD.
12.如圖,在三棱錐O-ABC中,點G為底面△ABC的重心,點M是線段OG上靠近點G的三等分點,過點M的平面分別交棱OA,OB,OC于點D,E,F,若=k,=m,=n,求證:++為定值,并求出該定值.
答案與分層梯度式解析
1.2　空間向量基本定理
基礎過關練
1.BD 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.B
1.BD　空間任意三個不共面的向量才可以構成基底,故A錯誤;
因為a∥b,所以a與b共線,故a,b與任何向量都不能構成空間的一個基底,故B正確;
當{a,b,c}為空間的一個基底時,才有C選項中的結論,故C錯誤;
單位向量的模都為1,故D正確.故選BD.
2.B　∵a+b=(b+c)+(a-c),a+b+c=(2a+b)+(b+2c),a+c=(b+2a)-(b-2c),∴A,C,D中的三個向量都共面,不能構成空間的一個基底.
對于B,假設a+2b,b,a-c共面,
則存在實數λ,μ使得a+2b=λb+μ(a-c),
∴無解,∴a+2b,b,a-c不共面,可以構成空間的一個基底.故選B.
3.C　=(++)-(+-)=(a-b),∴與a,b共面,∴不能與a,b共同構成空間的一個基底.易知,均能與a,b共同構成空間的一個基底.
故選C.
4.C　只有不共面的向量才可以構成空間的一個基底.對于A,由=x +y +z (x+y+z=1),知M,A,B,C四點共面,故,,共面;對于B,D,由共面向量定理知,,共面.
故選C.
5.A　易得=+=+=+-,
∴x=-1,y=1,z=1,故選A.
6.B　如圖.因為=2,所以-=2-2,故=+,又=,所以=+=×+=++.
故選B.
7.B　取CD的中點E,連接BE,由重心的性質可知,BO=BE,且B,O,E三點共線.
因為=(+)=(-+-)=(b-2a+c),所以==(b-2a+c),
所以=(+)=-+=-a+×(b-2a+c)=-a+b+c.故選B.
8.答案　1
解析　∵Q為BD的中點,∴=(+),
又∵P為AC的中點,∴==(+),
∴=-=(+)-(+)=(+).∵=a-2c,=5a+6b-8c,
∴=(+)=[(a-2c)+(5a+6b-8c)]=3a+3b-5c,又∵=ma+nb+pc,
∴根據空間向量基本定理,得m=3,n=3,p=-5.
由此可得m+n+p=3+3-5=1.
9.答案　
解析　設立方體的棱長為a(a>0).取{,,}為空間的一個基底,其中<,>=90°,<,>=90°,<,>=90°,
則=-=-=-,
=+=+.
設BF與B1E所成的角為θ,則cos θ=|cos<,>|====,∴BF與B1E所成角的余弦值為.
10.解析　(1)由題可知=,即-=-,故=+,
由于M,N分別為棱OA,BC的中點,所以=,=+=(+)+(+)=++,
所以=+++=-a+b+c.
(2)由(1)得=-a+b+c,
所以||=,
故||2==a2+b2+c2-a·b-a·c+c·b=,故||=.
11.證明　(1)易得=+=+,=+=-,
∴·=·=0,
·=·=-=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD 平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
(2)連接B1G.易得=-=(+)-=+-,=,
∴·=+·+-=-=0,
·=·=0,
∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,
又EG,FG 平面EFG,EG∩FG=G,
∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,且易知平面ABD與平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD.
12.解析　由題意可知,==(+)=×+×(+)=×+(-)+(-)=++,
因為D,E,F,M四點共面,所以存在實數λ,μ,使得=λ+μ,
所以-=λ(-)+μ(-),
所以=(1-λ-μ)+λ+μ=(1-λ-μ)k·+λm+μn,
所以
故++=(1-λ-μ)+λ+μ=.
7(共7張PPT)
1.2　空間向量基本定理
知識點 1 空間向量基本定理
　　如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量p,存在唯一的有序實數組(x,y,z),使
得p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫做空間的一個基底,a,b,c都叫做基向量.
必備知識 清單破
　　如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正
交基底,常用{i,j,k}表示.由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,均可以分解為三個
向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像這樣,把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量,叫做把空間向
量進行正交分解.
知識點 2 空間向量的正交分解
1.若a,b,c能構成空間的一個基底,則a,b,c中會不會有零向量
2.空間向量的基底是否唯一 對于某一空間向量,它的表達式是否唯一
3.若a,b,c能構成空間的一個基底,是否存在實數λ,μ,使a=λb+μc成立
4.已知e1,e2,e3不共面,且 =e1+2e2-e3, =-3e1+e2+2e3, =e1+e2-e3,則{ , , }能否作為空
間的一個基底
知識辨析
一語破的
1.不會.構成基底的三個向量不共面,而零向量與任意向量都共線,從而與任意向量都共面,所
以a,b,c中不會有零向量.
2.基底不唯一,但是當基底選定之后,空間中的向量均可由該基底唯一表示.對于某一空間向
量,它的表達式并不唯一.
3.不存在.若a,b,c能構成空間的一個基底,則a,b,c不共面,故不滿足共面向量定理,即a=λb+μc
(λ,μ∈R)不成立.
4.能.假設 , , 共面,則存在實數λ,μ,使得 =λ +μ ,∴e1+2e2-e3=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+
(2λ-μ)e3,∴ 此方程組無解,
∴ , , 不共面,
∴{ , , }能作為空間的一個基底.
關鍵能力 定點破
定點 空間向量基本定理的應用
1.用基底表示空間向量
　　若未給定基底,則先選擇基底,選擇時,要盡量選擇共起點的三個向量,且要考慮向量間的
夾角及各自的模是否已知或易求.基底確定后,利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法
則和共線向量的特點,把目標向量逐步分解,向基底靠近,最后化簡整理求出結果.
2.用基底法解決立體幾何問題
　　利用基底法可解決立體幾何中線面關系問題及與夾角、距離(長度)有關的問題,解題時,
首先要確定基底,將所需向量用基底表示出來,然后通過向量運算解決問題.基底法是向量法
中的一種.
典例 如圖,在棱長為1的正四面體ABCD中,E是線段CD的中點,O在線段BE上,且 =2 .設
=a, =b, =c,以{a,b,c}為基底,用向量法解決下列問題:

(1)用基底表示向量 ;
(2)證明:AO⊥平面BCD.
思路點撥： (1)利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則運算即可.
(2)要證AO⊥平面BCD,只需證明AO垂直于平面BCD內的兩條相交直線BC,BD即可.先用基底
表示出 , ,再計算 · , · 即可.
解析：(1)連接AE. = + = + = + ( - )= + = + × ( +
)= + + = a+ b+ c.
(2)證明:由題意知,a2=b2=c2=1,a·b=b·c=c·a= , =b-a, =c-a.
∵ · = (a+b+c)·(b-a)= (a·b-a2+b2-b·a+c·b-c·a)=0,
∴AO⊥BC.
∵ · = (a+b+c)·(c-a)= (a·c-a2+b·c-b·a+c2-c·a)=0,
∴AO⊥BD.
∵BC,BD 平面BCD,且BC∩BD=B,
∴AO⊥平面BCD.

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