資源簡(jiǎn)介

1.3　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系　1.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　空間直角坐標(biāo)系
1.(多選題)下列命題正確的是(　　)
A.點(diǎn)(1,-2,3)關(guān)于坐標(biāo)平面Ozx的對(duì)稱點(diǎn)為(1,2,3)
B.點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為-,1,3
C.點(diǎn)(2,-1,3)到坐標(biāo)平面Oyz的距離為1
D.設(shè)i,j,k分別是x,y,z軸正方向上的單位向量,若m=3i-2j+4k,則m=(3,-2,4)
2.設(shè)z為任意實(shí)數(shù),則(2,2,z)表示的圖形是(　　)
A.z軸
B.與Oxy平面平行的一條直線
C.與Oxy平面垂直的一條直線
D.Oxy平面
3.在三棱錐P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分別是PC,AC的中點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為　　　　.
題組二　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
4.若△ABC在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,且D為BC的中點(diǎn),則=(　　)
A.(1,1,0)　　　　B.(-1,-1,1)　　C.(1,1,-1)　　　　D.(0,1,1)
5.已知i,j,k分別是空間直角坐標(biāo)系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量,且=3k,=-i+j-k,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(　　)
A.(1,-1,1)　　　　B.(-1,1,1)　　C.(1,-1,2)　　　　D.(-1,1,2)
6.與向量a=(3,0,-4)共線的單位向量可以為(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點(diǎn)共面,則下列關(guān)系式成立的是(　　)
A.2x+y+z=1　　　　B.x+y+z=0　　C.x-y+z=-4　　　　D.x+y-z=0
8.若向量a=(1,1,2),b=(1,2,1),c=(1,1,1),則(c-a)·2b=　　　　.
題組三　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行和垂直問(wèn)題
9.已知向量a=(λ+1,0,2),b=(3λ,2μ-1,1),若a∥b,則λ+μ=(　　)
A.-　　B.　　C.-7　　D.7
10.(多選題)已知空間中三點(diǎn)A(2,1,-1),B(1,0,2),C(0,3,-1),則　(　　)
A.||=　　　　B.AB⊥AC
C.cos∠ABC=　　　　D.A,B,C三點(diǎn)共線
11.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
12.已知=(1,2,3),=(2,λ,3),=(4,2,k),若OA⊥平面ABC,則λ+k的值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
13.已知空間中三點(diǎn)A(-2,1,3),B(1,-2,0),C(-1,-1,5).
(1)若四邊形ABCD是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)若|a|=3,且a∥,求向量a;
(3)若點(diǎn)P(2,-1,m)在平面ABC內(nèi),求m的值.
題組四　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和模的相關(guān)問(wèn)題
14.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3),則cos<,>=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
15.設(shè)y,z∈R,向量a=(0,1,z),b=(2,y,2),c=(-3,6,-3),且a⊥b,b∥c,則|a-b|=(　　)
A.2　　B.3　　C.3　　D.
16.已知空間中三點(diǎn)A(x,y,z),O(0,0,0),B(,,2),若AO=1,則||的最小值為　　　　.
17.已知空間中三點(diǎn)A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為　　　　.
18.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2a+b|;
(2)若點(diǎn)E在直線AB上,且⊥b,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
19.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC1的中點(diǎn),E1,F1分別在棱A1B1,C1D1上,B1E1=A1B1,D1F1=C1D1.
(1)求線段AM的長(zhǎng);
(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.
能力提升練
題組一　空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
1.已知空間向量a=(1,1,1),b=(1,0,-2),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.向量a在向量b上的投影向量是
B.a-b=(0,-1,-3)
C.a⊥b
D.cos=
2.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,則a與c的夾角為(　　)
A.30°　　B.60°　　C.120°　　D.150°
3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb與2a+b所成的角為銳角,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　　　　.
題組二　利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行和垂直問(wèn)題
4.已知點(diǎn)A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),則△ABC的形狀是(　　)
A.等腰三角形　　　　B.等邊三角形
C.直角三角形　　　　D.等腰直角三角形
5.(教材習(xí)題改編)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CD,CC1的中點(diǎn),則直線A1M與DN的位置關(guān)系是(　　)
A.平行　　　　B.垂直
C.異面垂直　　　　D.異面不垂直
6.(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)(包括邊界),并且總是保持AP⊥BD1,則以下結(jié)論正確的是(　　)
A.=
B.點(diǎn)P必在線段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
7.已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC的中點(diǎn),N為四邊形DCC1D1及其內(nèi)部任意一點(diǎn),若MN⊥A1C,則三棱錐N-AA1D體積的取值范圍是　　　　.
題組三　空間向量的夾角和模的問(wèn)題
8.設(shè)空間向量μ=(a,b,0),ν=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,則下列判斷錯(cuò)誤的是(　　)
A.向量ν與z軸正方向的夾角為
B. μ·ν的最大值為
C. μ與ν的夾角的最大值為
D.ad+bc的最大值為1
9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=,AB=AC=AA1=1,G,E分別為A1B1,CC1的中點(diǎn),D,F分別為線段AC,AB上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GD⊥EF,則線段DF的長(zhǎng)度的取值范圍為(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
10.在空間直角坐標(biāo)系中,已知A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1).
(1)若點(diǎn)P滿足=2,求||;
(2)求△ABD的面積.
11.設(shè)全體空間向量組成的集合為V,a=(a1,a2,a3)為V中的一個(gè)單位向量,建立一個(gè)“自變量”為向量,“因變量”也是向量的“向量函數(shù)”f(x):f(x)=-x+2(x·a)a(x∈V).
(1)設(shè)u=(1,0,0),v=(0,0,1),若f(u)=v,求向量a;
(2)對(duì)于V中的任意兩個(gè)向量x,y,證明:f(x)·f(y)=x·y;
(3)對(duì)于V中的任意單位向量x,求|f(x)-x|的最大值.
答案與分層梯度式解析
1.3　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.3.1　空間直角坐標(biāo)系
1.3.2　空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.ABD 2.C 4.C 5.D 6.D 7.A 9.B 10.AB
11.D 12.D 14.A 15.D
1.ABD　易知A、B正確;
點(diǎn)(2,-1,3)到坐標(biāo)平面Oyz的距離為2,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)閕,j,k分別是x,y,z軸正方向上的單位向量,m=3i-2j+4k,所以m=(3,-2,4),故D正確.
故選ABD.
方法技巧　空間點(diǎn)的對(duì)稱口訣:關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱全都變.
2.C　(2,2,z)(z∈R)表示過(guò)點(diǎn)(2,2,0)且與z軸平行的直線,即與Oxy平面垂直的一條直線,故選C.
3.答案　
解析　由題意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),
所以M(0,1,1),N(1,1,0),
則線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
4.C　結(jié)合題圖得A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),
∵D為BC的中點(diǎn),∴D(1,1,0),∴=(1,1,-1).故選C.
5.D　由題意可知,=(0,0,3),=(-1,1,-1),
設(shè)B(x,y,z),則=-,即(-1,1,-1)=(x,y,z-3),所以x=-1,y=1,z=2,故B(-1,1,2).
故選D.
6.D　與a=(3,0,-4)共線的單位向量為±=±.故選D.
7.A　易得=(0,1,-1),=(-2,2,2),=(x-1,y-1,z+2),
因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共面,所以,,共面,即存在λ,μ∈R,使得=λ+μ,
即消去λ,μ得2x+y+z=1,故選A.
8.答案　-2
解析　易得c-a=(0,0,-1),2b=(2,4,2),∴(c-a)·2b=0+0-2=-2.
9.B　由a∥b,可得b=ma,m∈R,即(3λ,2μ-1,1)=m(λ+1,0,2),
即解得λ=,μ=,m=,則λ+μ=+=.故選B.
10.AB　根據(jù)題意,可得=(-1,-1,3),=(-2,2,0),=(-1,3,-3).對(duì)于A,||==,A正確;對(duì)于B,·=2-2+0=0,則AB⊥AC,B正確;對(duì)于C,cos∠ABC=cos<,>===≠,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由B中的結(jié)論知AB⊥AC,所以A,B,C三點(diǎn)不共線,D錯(cuò)誤.故選AB.
11.D　∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),
∴ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),
2a-b=2(1,1,0)-(-1,0,2)=(3,2,-2),
又ka+b與2a-b互相垂直,
∴3(k-1)+2k-4=0,解得k=.故選D.
12.D　易得=(1,λ-2,0),=(3,0,k-3).
若OA⊥平面ABC,則⊥,⊥,
即·=1+2(λ-2)=0,·=3+3(k-3)=0,所以λ=,k=2,故λ+k=.故選D.
13.解析　(1)設(shè)D(x,y,z),
由四邊形ABCD是平行四邊形,可得=,
即(3,-3,-3)=(-1-x,-1-y,5-z),
所以x=-4,y=2,z=8,故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,2,8).
(2)易得=(1,-2,2),因?yàn)閍∥,所以a=λ=(λ,-2λ,2λ),λ∈R,
又|a|=3,所以=3,解得λ=±1,
所以a=(1,-2,2)或a=(-1,2,-2).
(3)因?yàn)辄c(diǎn)P(2,-1,m)在平面ABC內(nèi),所以存在實(shí)數(shù)x,y使得=x+y,
又=(4,-2,m-3),=(3,-3,-3),=(1,-2,2),故(4,-2,m-3)=x(3,-3,-3)+y(1,-2,2),
所以解得
故m的值為-7.
14.A　由點(diǎn)A(1,2,-1),B(2,0,0),C(0,1,3),
得=(1,1,-4),=(2,-1,-3),
則||==3,||==,·=2-1+12=13,
則cos<,>===.
故選A.
15.D　因?yàn)閍⊥b,b∥c,所以解得則a=(0,1,2),b=(2,-4,2),
可得a-b=(-2,5,0),
所以|a-b|==.故選D.
16.答案　2
解析　由題意可知點(diǎn)A是以O(shè)為球心,1為半徑的球面上的點(diǎn),
又B(,,2),所以O(shè)B==3,
故||的最小值為3-1=2,當(dāng)且僅當(dāng)O,A,B三點(diǎn)共線,且A在O,B之間時(shí),||取最小值.
17.答案　6
解析　=(2,3,-1),=(-2,1,3),
∴·=-4+3-3=-4,||==,||==.
∴cos∠BAC===-.
∴sin∠BAC==.
∴以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積S=||·||·sin∠BAC=××=6.
18.解析　(1)∵a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),
∴2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),
故|2a+b|==5.
(2)若點(diǎn)E在直線AB上,則可設(shè)=t,
則=+t=(-3+t,-1-t,4-2t),
∵⊥b,b=(-2,1,1),
∴·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故點(diǎn)E的坐標(biāo)為.
19.解析　(1)以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),M,則=,
所以||==,即線段AM的長(zhǎng)為.
(2)結(jié)合(1)中所建坐標(biāo)系,可得B(1,1,0),E1,D(0,0,0),F1,
所以=-(1,1,0)=,=-(0,0,0)=,
所以||=,||=.
所以·=0×0-×+1×1=,
所以cos<,>==.
所以BE1與DF1所成角的余弦值為.
能力提升練
1.A 2.C 4.C 5.C 6.BD 8.B 9.A
1.A　a在b上的投影為=-,
與b同向的單位向量為=,
所以向量a在向量b上的投影向量是-,0,-=,故A正確;
a-b=(0,1,3),故B錯(cuò)誤;
因?yàn)閍·b≠0,所以a與b不垂直,故C錯(cuò)誤;
cos==-,故D錯(cuò)誤.
故選A.
2.C　∵向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),
∴a+b=(-1,-2,-3).設(shè)c=(x,y,z),
由(a+b)·c=7,可得(-1,-2,-3)·(x,y,z)=-x-2y-3z=7,∴x+2y+3z=-7,即a·c=-7,
設(shè)a,c的夾角等于θ,
則cos θ===-.
又0°≤θ≤180°,故θ=120°.故選C.
3.答案　
解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
由題意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共線,
∴1-k+2+4k>0,且==不成立,
解得k>-1且k≠,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.
4.C　易得=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),
∵·=(5,1,-7)·(2,-3,1)=0,∴⊥,即AC⊥BC,
又||==,||==,||==,∴△ABC為直角非等腰三角形.故選C.
5.C　以D為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),∴=(-2,1,-2),=(0,2,1),∴·=0,∴A1M⊥DN,又DN 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M DN,∴直線A1M與DN異面垂直.故選C.
6.BD　∵P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng)(包括邊界),平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴P到平面AA1D1D的距離即為C到平面AA1D1D的距離,此距離等于正方體的棱長(zhǎng),∴=·CD=××1×1×1=,故A中結(jié)論錯(cuò)誤.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),設(shè)P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),∴=(x-1,1,z),=(-1,-1,1),=(-1,0,-1).
∵AP⊥BD1,∴·=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴=(x,0,x),∴=-x,即B1,P,C三點(diǎn)共線,又0≤x≤1,∴P必在線段B1C上,故B中結(jié)論正確.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=(x-1,1,x),∴·=1-x+x=1≠0,∴AP與BC1不垂直,故C中結(jié)論錯(cuò)誤.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(-1,1,0),=(1,0,1),又=(x-1,1,x),∴=x+ (其中0≤x≤1),∴,,共面,又AP 平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中結(jié)論正確.
故選BD.
7.答案　
解析　以D為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則有A1(1,0,1),C(0,1,0),M,
由題可設(shè)點(diǎn)N(0,t,s),0≤t≤1,0≤s≤1,
∴=(-1,1,-1),=,
又MN⊥A1C,∴·=+t-1-s=t-s-=0,
∴s=t-,≤t≤1,∴點(diǎn)N到平面AA1D的距離t∈,
∴三棱錐N-AA1D的體積=·t=·AA1·AD·t=t∈,
∴三棱錐N-AA1D體積的取值范圍是.
8.B　對(duì)于A,設(shè)方向與z軸正方向相同的向量為z=(0,0,t)(t>0),則cos<ν,z>====,
∵<ν,z>∈[0,π],∴<ν,z>=,
∴向量ν與z軸正方向的夾角為,故A中判斷正確;
對(duì)于B,∵μ·ν=ac+bd≤+==1,當(dāng)且僅當(dāng)a=c,b=d時(shí)取等號(hào),
∴μ·ν的最大值為1,故B中判斷錯(cuò)誤;
對(duì)于C,由B選項(xiàng)可知|μ·ν|≤1,
∴-1≤μ·ν≤1,
∴cos<μ,ν>==≥-=-,又∵<μ,ν>∈[0,π],
∴μ與ν的夾角的最大值為,故C中判斷正確;
對(duì)于D,由ad+bc≤+==1,當(dāng)且僅當(dāng)a=d,b=c時(shí)取等號(hào),∴ad+bc的最大值為1,故D中判斷正確.故選B.
9.A　以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則E,G.
設(shè)F(x,0,0)(0則=,=.
因?yàn)镚D⊥EF,所以·=-x-y+=0,即x+2y-1=0,所以x=1-2y,y∈,所以DF====∈.故選A.
10.解析　(1)設(shè)P(x,y,z),
∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(x,y-1,z-2),=(3-x,-2-y,-1-z),
∵=2,
∴解得∴P(2,-1,0),
∴=(1,-2,-1),
∴||==.
(2)∵A(0,1,2),B(3,-2,-1),D(1,1,1),
∴=(3,-3,-3),=(1,0,-1),
∴cos∠BAD=
==,
∴sin∠BAD==,
∴△ABD的面積S=AB·ADsin∠BAD=×3××=.
11.解析　(1)依題意得 f(u)=-u+2(u·a)a=v,
即-(1,0,0)+2(1×a1+0×a2+0×a3)(a1,a2,a3)=(0,0,1),即(-1,0,0)+2a1(a1,a2,a3)=(0,0,1),即解得或
∴a=或a=.
(2)證明: f(x)·f(y)=[-x+2(x·a)a]·[-y+2(y·a)a]=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)a2=x·y-4(y·a)(x·a)+4(y·a)(x·a)=x·y,故得證.
(3)設(shè)x與a的夾角為α,則x·a=|x|·|a|cos α=cos α,則|f(x)-x|=|-2x+2(x·a)a|==,∵0≤cos2α≤1,∴0≤|f(x)-x|≤2,
∴|f(x)-x|的最大值為2.
7(共20張PPT)
1.空間直角坐標(biāo)系
　　在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以i,j,k的方向?yàn)檎?br/>向、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸:x軸、y軸、z軸,它們都叫做坐標(biāo)軸,這時(shí)我們就建
立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.
2.相關(guān)概念
　 O叫做原點(diǎn),i,j,k都叫做坐標(biāo)向量,通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫
做坐標(biāo)平面,分別稱為Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它們把空間分成
八個(gè)部分,如圖所示.
1.3　空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
知識(shí)點(diǎn) 1 空間直角坐標(biāo)系
必備知識(shí) 清單破
　　注意:
(1)坐標(biāo)向量i,j,k滿足|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí),一般使∠x(chóng)Oy=135°(或45°),∠yOz=90°.
(3)在空間直角坐標(biāo)系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向z
軸的正方向,則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系,如圖所示.我們建立的坐標(biāo)系一般都是右手
直角坐標(biāo)系.
1.如圖,在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,i,j,k為坐標(biāo)向量,對(duì)空間任意一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一個(gè)向量 ,且點(diǎn)A
的位置由向量 唯一確定,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使 =xi+yj+
zk.在單位正交基底{i,j,k}下與向量 對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中
的坐標(biāo),記作A(x,y,z).
知識(shí)點(diǎn) 2 空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)
點(diǎn)的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標(biāo)形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
2.空間直角坐標(biāo)系中位于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面的點(diǎn)的坐標(biāo)如下表所示:
點(diǎn)的位置 Oxy平面 Oyz平面 Ozx平面
坐標(biāo)形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
3.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)
　　空間點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題,掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律,才
能準(zhǔn)確求解.對(duì)稱點(diǎn)的問(wèn)題常常用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱,誰(shuí)保持不變,其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論來(lái)解
決.例如:
(1)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為(-a,-b,-c);
(2)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為(a,-b,-c);
(3)點(diǎn)(a,b,c)關(guān)于Oxy平面的對(duì)稱點(diǎn)為(a,b,-c).
4.(1)已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
(2)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC重心的坐標(biāo)為
.
1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,給定向量a,作 =a,由空間向量基本定理,存在唯一的有序?qū)崝?shù)
組(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo),可簡(jiǎn)記作a=
(x,y,z).
注意:符號(hào)(x,y,z)具有雙重意義,它既可以表示點(diǎn),也可以表示向量,但向量與坐標(biāo)之間用“=”
連接,點(diǎn)與坐標(biāo)之間無(wú)“=”.
2.設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);
λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;
a·b=a1b1+a2b2+a3b3.
知識(shí)點(diǎn) 3 空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示
　　設(shè)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),則
知識(shí)點(diǎn) 4 空間向量的平行、垂直及模、夾角的坐標(biāo)表示
結(jié)論 坐標(biāo)表示
平行 a∥b(b≠0) a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b(a≠0,b≠0) a·b=a1b1+a2b2+a3b3=0
模 |a|= = ;
|b|= =
夾角 cos= = (a≠0,b≠0)
　　設(shè)P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間中任意兩點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),則 = - =(x2-x1,y2-y1,z2-z1),
所以P1P2=| |= .
　　特別地,空間任意一點(diǎn)P(x,y,z)到原點(diǎn)O的距離OP=| |= .
知識(shí)點(diǎn) 5 空間兩點(diǎn)間的距離公式
知識(shí)辨析
1.空間直角坐標(biāo)系有什么作用
2.如何求解空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)的坐標(biāo)
3.空間向量 (O為坐標(biāo)原點(diǎn))的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)有什么關(guān)系
4.點(diǎn)(2,1,3)關(guān)于Oyz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是什么
5.已知點(diǎn)A(3,4,5),則點(diǎn)A到原點(diǎn)O的距離是多少
一語(yǔ)破的
1.空間直角坐標(biāo)系可以將空間點(diǎn)、直線、平面數(shù)量化,將空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系解
析化.
2.點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的位置有3種可能:點(diǎn)在坐標(biāo)軸上、點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)和點(diǎn)不是特殊
點(diǎn).對(duì)于前兩種,熟悉點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可輕松寫(xiě)出其坐標(biāo);對(duì)于第三種,一般是先確定點(diǎn)在Oxy
平面內(nèi)的射影的位置,再由豎坐標(biāo)確定點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的具體位置,進(jìn)而得到其坐標(biāo).
3.若點(diǎn)P在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y,z),那么向量 的坐標(biāo)也為(x,y,z).
4.(-2,1,3).根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的結(jié)論可知橫坐標(biāo)變?yōu)槠湎喾磾?shù),其余坐標(biāo)不變.
5. =(3,4,5),則OA=| |= =5 .
定點(diǎn) 1 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問(wèn)題
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
1.建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)運(yùn)算解決空間平行、垂直問(wèn)題的方法稱為“坐標(biāo)法”,是向
量法中的一種.
2.與向量坐標(biāo)有關(guān)的平行、垂直問(wèn)題主要有兩種類型:一是判定平行、垂直;二是已知平行
或垂直求參數(shù).
利用向量的坐標(biāo)證明兩直線平行或垂直的步驟:
(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求出有關(guān)直線的方向向量;
(3)證明兩直線平行即證明兩直線的方向向量共線;證明兩直線垂直即證明兩直線的方向向
量的數(shù)量積為0;
(4)還原到幾何問(wèn)題中,得出結(jié)論.
典例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點(diǎn).以A為坐標(biāo)原點(diǎn), , ,
的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,解決以下問(wèn)題.
(1)求證:AB1∥GE,AB1⊥EH;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC1于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

解析：如圖.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,
1,1).由線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式,得E ,G ,H .

(1)證明: =(1,0,1), = , = .因?yàn)?=2 , · =1× +0×
+1× =0,所以 ∥ , ⊥ ,即AB1∥GE,AB1⊥EH.
(2)設(shè)M(x,y,z),則 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1).
由BM⊥AC1,得 · =0,即x-1+y+z=0.①因?yàn)镸在直線AC1上,所以 ∥ ,所以設(shè) =μ
(μ∈R),得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②得μ= ,所以x= ,y= ,z= .
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為 .
典例2 已知空間三點(diǎn)A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a= ,b= .
(1)若|c|=3,c∥ ,求c;
(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求k.
解析：(1)∵ =(-2,-1,2)且c∥ ,
∴設(shè)c=λ =(-2λ,-λ,2λ)(λ∈R).
∴|c|= =3|λ|=3,解得λ=±1.
∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).
(2)∵a= =(1,1,0),b= =(-1,0,2),
∴ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4).
∵ka+b與ka-2b互相垂直,
∴(ka+b)·(ka-2b)=0,
即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0,
解得k=2或k=- .
關(guān)鍵技巧： 利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量平行與垂直類問(wèn)題時(shí)要注意:適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如根
據(jù)向量a,b平行,可設(shè)a=λb,λ∈R,其中b≠0),建立關(guān)于參數(shù)的方程(組).
利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求異面直線所成角或線段長(zhǎng)度的步驟
(1)根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;
(2)利用已知條件寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而獲得相關(guān)向量的坐標(biāo);
(3)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式求得相關(guān)向量的夾角,并將它轉(zhuǎn)化為異面直線所成的角;利用
兩點(diǎn)間的距離公式求出線段的長(zhǎng)度.
　　注意:設(shè)異面直線l1,l2所成的角為θ,它們的方向向量分別為a,b,則θ∈ ,cos θ=
|cos|.
定點(diǎn) 2 利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求夾角和長(zhǎng)度
典例 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N為A1A的中點(diǎn).
(1)求BN的長(zhǎng);
(2)求A1B與B1C所成角的余弦值.
解析：如圖,以C為坐標(biāo)原點(diǎn), , , 為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.

(1)依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),
∴ =(1,-1,1),
∴BN=| |= = .
(2)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),
∴ =(1,-1,2), =(0,1,2),
∴ · =1×0+(-1)×1+2×2=3,
| |= = ,
| |= = ,
∴cos< , >= = = .
故A1B與B1C所成角的余弦值為 .
解后反思：在解題過(guò)程中,建立的坐標(biāo)系不同,得到的點(diǎn)的坐標(biāo)也可能不相同,但是求解的最
終結(jié)果是相同的.

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