資源簡(jiǎn)介

(共26張PPT)
1.點(diǎn)的位置向量
　　如圖,在空間中,我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn),那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量 來表
示.我們把向量 稱為點(diǎn)P的位置向量.

1.4　空間向量的應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn) 1 空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
必備知識(shí) 清單破
2.空間直線的向量表示式
　　如圖(1),a是直線l的方向向量,在直線l上取 =a,設(shè)P是直線l上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)P在直線
l上 存在實(shí)數(shù)t,使得 =ta,即 =t .
　　如圖(2),取定空間中的任意一點(diǎn)O,則點(diǎn)P在直線l上 存在實(shí)數(shù)t,使 = +ta(i),將 =a
代入(i)式,得 = +t (ii).
(i)式和(ii)式都稱為空間直線的向量表示式.

圖(1)
圖(2)
　　
3.空間平面的向量表示式
　　如圖,取定空間任意一點(diǎn)O,則空間一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi) 存在實(shí)數(shù)x,y,使 = +x +y
(iii).我們把(iii)式稱為空間平面ABC的向量表示式.

1.空間直線的方向向量:若l是空間一直線,A,B是直線l上的任意兩點(diǎn),則稱 為直線l的方向向
量,與 平行的任意非零向量也是直線l的方向向量.
2.平面的法向量:與平面垂直的直線的方向向量,稱為平面的法向量.
待定系數(shù)法求平面法向量的步驟
(1)設(shè)法向量為n=(x,y,z);
(2)在已知平面內(nèi)找或求兩個(gè)不共線向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);
(3)建立方程組
(4)解方程組:用一個(gè)未知量表示其他兩個(gè)未知量,然后對(duì)這個(gè)未知量賦特殊值,從而得到平面
的一個(gè)法向量.
知識(shí)點(diǎn) 2 空間直線的方向向量和平面的法向量
位置關(guān)系 向量表示
線線平行 設(shè)u1,u2分別是直線l1,l2的方向向量,則l1∥l2 u
1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2
線面平行 設(shè)u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l
α,則l∥α u⊥n u·n=0
面面平行 設(shè)n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β n1
∥n2 λ∈R,使得n1=λn2
知識(shí)點(diǎn) 3 空間中直線、平面的平行
位置關(guān)系 向量表示
線線垂直 設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2 u
1⊥u2 u1·u2=0
線面垂直 設(shè)直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,
則l⊥α u∥n λ∈R,使得u=λn
面面垂直 設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β n1
⊥n2 n1·n2=0
知識(shí)點(diǎn) 4 空間中直線、平面的垂直
知識(shí)辨析
1.直線的方向向量和平面的法向量是否唯一
2.點(diǎn)A,B 在平面α上,且 ∥ ,能否判定直線CD與平面α平行
3.直線l的方向向量與平面α內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直,那么l與α垂直嗎
4.若m⊥α,l為平面α的法向量所在的直線,且m,l的方向向量分別為a,b,則a與b有什么關(guān)系
一語破的
1.不唯一.直線的方向向量不是唯一的,它們都是共線向量.解題時(shí),可以選取坐標(biāo)最方便計(jì)算
的方向向量.一個(gè)平面的法向量也不是唯一的,一個(gè)平面的所有法向量都共線.在應(yīng)用時(shí),可以
根據(jù)需要進(jìn)行選取.
2.不能.題目未說明C、D兩點(diǎn)是否在平面α上,所以直線CD可能在平面α內(nèi),也可能與平面α平
行.
3.垂直.由線面垂直的判定定理可得l與α垂直.
4.a∥b.因?yàn)閘為平面α的法向量所在的直線,所以l⊥α,又m⊥α,所以l∥m或l與m重合,所以a∥b.
1.解決立體幾何問題的方法
(1)幾何法:利用判定定理和性質(zhì)定理解決問題;
(2)基底法:利用基向量進(jìn)行向量運(yùn)算,從而解決問題;
(3)坐標(biāo)法:通過建系,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問題.
基底法和坐標(biāo)法都是向量法.在解決具體問題時(shí),要靈活選擇不同方法,使解題方便,當(dāng)圖形的
垂直特征明顯且坐標(biāo)易求時(shí)可優(yōu)先選擇坐標(biāo)法.
2.利用空間向量證明線線平行
(1)基底法:分別用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量,然后通過線性運(yùn)算,證明兩方
向向量共線即可.
(2)坐標(biāo)法:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行證明.
定點(diǎn) 1 利用空間向量解決平行問題
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
3.利用空間向量證明線面平行
(1)常用方法:設(shè)直線l的方向向量是u,平面α的法向量是n,要證明l∥α,只需證明u⊥n,即證明u·
n=0.求解平面的法向量時(shí),對(duì)未知數(shù)的賦值與相關(guān)運(yùn)算一定要準(zhǔn)確.
(2)根據(jù)線面平行的判定定理進(jìn)行證明:定理為平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,
則該直線與此平面平行.要證明一條直線和一個(gè)平面平行,只需在平面內(nèi)找一向量,證明它與
已知直線的方向向量是共線向量即可,但需要特別注意已知直線不在平面內(nèi).
(3)根據(jù)共面向量定理進(jìn)行證明:要證明一條直線和一個(gè)平面平行,只要證明這條直線的方向
向量能夠用這個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示即可.
4.利用空間向量證明面面平行
(1)向量法:設(shè)平面α的法向量為u,平面β的法向量為v,則α∥β u∥v;
(2)轉(zhuǎn)化法:轉(zhuǎn)化為證明線面平行、線線平行.
典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面A1BD.

思路點(diǎn)撥：
證明： 證法一:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),M ,N ,∴ =(1,0,1), =(1,1,
0), = .
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
則 取x=1,則y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ·(1,-1,-1)=0,
∴ ⊥n,∵M(jìn)N 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
證法二: = - = - = ( - )= ,∴ ∥ ,
又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
證法三: = - = - = - = ( + )- ( + )= - .
根據(jù)共面向量定理可知,MN∥平面A1BD.
1.利用向量方法證明線線垂直
(1)坐標(biāo)法:建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后
通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及相關(guān)運(yùn)算律,結(jié)合圖形的幾何特征,將
與兩直線有關(guān)的向量分別用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明此數(shù)量積等于0,從而
證明兩條直線互相垂直.
2.用坐標(biāo)法證明線面垂直的兩種思路
(1)基向量法:根據(jù)線面垂直的判定定理證明,先用基向量表示直線的方向向量a,然后在平面
內(nèi)找兩條相交直線,并分別用基向量表示它們的方向向量b,c,由a·b=0且a·c=0,得該直線與平
面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,從而可得線面垂直.
定點(diǎn) 2 利用空間向量解決垂直問題
(2)法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,利用向量的線性運(yùn)算判定直線的方向向
量與平面的法向量平行,從而可得線面垂直.
3.證明面面垂直的三種方法
(1)利用兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理,證明其中一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,即轉(zhuǎn)化為證明線
面垂直,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.
(2)直接求解兩個(gè)平面的法向量,證明這兩個(gè)法向量垂直,從而得到兩個(gè)平面垂直.
(3)證明一個(gè)平面的法向量平行于另一個(gè)平面.
典例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面B1AC.

證明： 證法一:設(shè) =a, =b, =c,連接BD,則 = + = ( + ) = ( + )=
( + - )= (b+c-a), = + =a+b.
∵ · = (b+c-a)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,
∴ ⊥ ,即EF⊥AB1.
同理,可證得EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
證法二:設(shè)正方體的棱長為2a(a>0),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),
∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
∵ · =(-a,-a,a)·(0,2a,2a)=-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =(-a,-a,a)·(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
證法三:由證法二得 =(-a,-a,a),
=(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
設(shè)平面B1AC的法向量為n=(x,y,z),
則 即
令y=1,則x=1,z=-1,∴n=(1,1,-1).
∵ =-an,∴ ∥n,∴EF⊥平面B1AC.
典例2 如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點(diǎn),證明:平
面AEC1⊥平面AA1C1C.

證明：由題意得BA,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y
軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,則 =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =
.
設(shè)平面AA1C1C的法向量為n=(x1,y1,z1),
則 即
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).
設(shè)平面AEC1的法向量為m=(x2,y2,z2),
則 即
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).
∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
1.存在、判斷型
　　先假設(shè)存在,設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo),然后將待求解的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程“是否有解”或
“是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”的問題.若有解且滿足題意,則存在;若有解但不滿足題意或無解,
則不存在.
2.位置探究型
　　借助向量,引入?yún)?shù),綜合題目中各已知信息列關(guān)系式,解出參數(shù),從而確定位置.
定點(diǎn) 3 用空間向量解決立體幾何中與平行、垂直相關(guān)的探索性問題
典例 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,CC1的中點(diǎn).在棱CD上是否存在點(diǎn)T,使
得AT∥平面B1EF 若存在,求出點(diǎn)T的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

解析： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長為2a(a>0),則B1(2a,2a,2a),E(2a,a,0),F(0,2a,a),A(2a,0,0).
假設(shè)在棱CD上存在點(diǎn)T(0,t,0),t∈[0,2a],使得AT∥平面B1EF.
易得 =(0,-a,-2a), =(-2a,a,a), =(-2a,t,0).
設(shè)平面B1EF的法向量為n=(x,y,z),
則 令z=1,則y=-2,x=- ,∴n= .
由題意得 ·n=a-2t=0,解得t= ,
∴DT= DC,
∴在棱CD上存在點(diǎn)T,使得AT∥平面B1EF,此時(shí)點(diǎn)T在DC上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)處.1.4　空間向量的應(yīng)用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的方向向量和平面的法向量
1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直線l上,則直線l的一個(gè)方向向量為(　　)
A.(1,2,3)　　　　B.(1,3,2)　　
C.(2,1,3)　　　　D.(3,2,1)
2.已知A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),若平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,1),則n=(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
3.如圖,在四棱錐E-ABCD中,AB⊥平面ADE,AC=CD=AE=DE=,AD=2,F為DE的中點(diǎn).試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,并求出平面EAF、平面ACF的一個(gè)法向量.
題組二　空間中直線、平面的平行問題
4.已知直線l的方向向量為a=(1,2,-2),平面α的法向量為n=(2,4,m),若l∥α,則m等于(　　)
A.5　　B.2　　C.　　D.-4
5.已知e1,e2,e3為空間內(nèi)三個(gè)不共面的向量,平面α和平面β的法向量分別為a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,若α∥β,則λ+μ=(　　)
A.5　　B.-5　　C.3　　D.-3
6.若直線l的方向向量為m,平面α的法向量為n,則可能使l∥α的是(　　)
A.m=(3,-1,0),n=(-1,0,2)　　　　
B.m=(-2,1,4),n=(2,0,1)
C.m=(2,9,7),n=(-2,0,-1)　　　　
D.m=(1,-2,3),n=(0,3,1)
題組三　空間中直線、平面的垂直問題
7.(教材習(xí)題改編)若直線l1,l2的方向向量分別為a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),則l1與l2的位置關(guān)系是(　　)
A.l1⊥l2　　　　B.l1∥l2
C.l1、l2相交但不垂直　　　　D.不能確定
8.已知直線l的方向向量為a=(1,2,m),平面α的法向量為b=(2,n,2),若l⊥α,則m+n=(　　)
A.-1　　B.0　　C.2　　D.5
9.某三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為三角形A1B1C1,若∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為BC的中點(diǎn).證明:平面A1AD⊥平面BCC1B1.
能力提升練
題組一　用空間向量研究平行、垂直問題
1.(多選題)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=AA1=2,P,Q,R分別是AB,BB1,A1C上的動(dòng)點(diǎn),下列結(jié)論正確的是(　　)
A.對(duì)于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q使得D1P⊥CQ
B.對(duì)于任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)R使得D1R⊥CQ
C.當(dāng)AR⊥A1C時(shí),AR⊥D1R
D.當(dāng)A1C=3A1R時(shí),D1R∥平面BDC1
2.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,E,F分別為A1C1和BC的中點(diǎn).求證:
(1)平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)C1F∥平面ABE.
題組二　用空間向量解決立體幾何中的探索性問題
3.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.
(1)求證:CD⊥平面PAC;
(2)在側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD 若存在,指出點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
4.如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形,AB=BD,E是線段AC上一點(diǎn).
(1)若E為AC的中點(diǎn),求直線AC與平面BDE所成角的正弦值;
(2)是否存在點(diǎn)E,使得平面BDE⊥平面ADC 若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
答案與分層梯度式解析
1.4　空間向量的應(yīng)用
1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C 2.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D
1.C　依題意,得直線l的一個(gè)方向向量為=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3).故選C.
2.C　∵A(1,2,1),B(0,1,2),C(3,1,1),
∴=(-1,-1,1),=(3,0,-1),
∵平面ABC的一個(gè)法向量為n=(x,y,1),
∴解得
∴n=.故選C.
3.解析　取AD的中點(diǎn)O,連接OE,OC,∵AC=CD=AE=DE,∴AD⊥OC,AD⊥OE,∵AB⊥平面ADE,OE 平面ADE,∴AB⊥OE,又AB,AD 平面ABCD,AB∩AD=A,∴OE⊥平面ABCD,又OC 平面ABCD,∴OE⊥OC,因此OA,OE,OC兩兩垂直,故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,
由題意可知A(1,0,0),F,C(0,0,1),∴=,=(-1,0,1),
設(shè)平面ACF的法向量為n=(x,y,z),
則即令z=1,得x=1,y=3,∴平面ACF的一個(gè)法向量為n=(1,3,1).
顯然=(0,0,1)是平面EAF的一個(gè)法向量.
解題模板　
利用待定系數(shù)法求平面法向量的步驟
(1)設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).
(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量a,b,其中a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).
(3)利用建立關(guān)于x,y,z的方程組.
(4)解方程組,取其中的一組解,即得法向量(注:一個(gè)平面的法向量不是唯一的).
4.A　因?yàn)閘∥α,且直線l的方向向量為a=(1,2,-2),平面α的法向量為n=(2,4,m),
所以a⊥n,即a·n=0,則1×2+2×4+(-2)×m=0,解得m=5.故選A.
5.B　∵e1,e2,e3為空間內(nèi)三個(gè)不共面的向量,∴{e1,e2,e3}可以作為空間的一個(gè)基底,
又平面α和平面β的法向量分別為a=e1+λe2+3e3和b=-e1+2e2+μe3,且α∥β,∴a∥b,
設(shè)a=tb,t∈R,則e1+λe2+3e3=t(-e1+2e2+μe3),
∴解得∴λ+μ=-5.故選B.
6.B　根據(jù)題意,要使l∥α,則m·n=0,由此分析選項(xiàng).
對(duì)于A,m·n=-3≠0,不符合題意;對(duì)于B,m·n=-4+0+4=0,符合題意;對(duì)于C,m·n=-11≠0,不符合題意;對(duì)于D,m·n=-3≠0,不符合題意.故選B.
7.A　由題意得a·b=-2+6-4=0,∴a⊥b,故l1⊥l2.
故選A.
8.D　因?yàn)閘⊥α,所以a∥b,則有==,
解得m=1,n=4,故m+n=5.故選D.
9.證明　證法一:以A為原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系(圖略),則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,).∵D為BC的中點(diǎn),∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,1,0),∴=(1,1,0),=(0,0,),=(-2,2,0),∴·=1×(-2)+1×2+0×0=0,·=0×(-2)+0×2+×0=0,∴⊥,⊥,∴BC⊥AD,BC⊥AA1.又A1A,AD 平面A1AD,A1A∩AD=A,∴BC⊥平面A1AD.又BC 平面BCC1B1,∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
證法二:同證法一建系后,得C1(0,1,),=(0,0,),=(1,1,0),=(-2,2,0),=(0,-1,).設(shè)平面A1AD的法向量為n1=(x1,y1,z1),平面BCC1B1的法向量為n2=(x2,y2,z2).
由得
令y1=-1,則x1=1,z1=0,∴n1=(1,-1,0).
由得
令y2=1,則x2=1,z2=,∴n2=.
∵n1·n2=1-1+0=0,∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
能力提升練
1.ABD　如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,
則D(0,0,0),D1(0,0,2),A(2,0,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),B(2,2,0).
設(shè)P(2,a,0),Q(2,2,b),a∈[0,2],b∈[0,2],
設(shè)=λ,λ∈[0,1],可得R(2-2λ,2λ,2-2λ).
=(2,a,-2),=(2,0,b),·=4-2b,當(dāng)b=2時(shí),D1P⊥CQ,故A正確;
=(2-2λ,2λ,-2λ),·=2(2-2λ)-2λb,取λ=,此時(shí)D1R⊥CQ,故B正確;
當(dāng)AR⊥A1C時(shí),·=(-2λ,2λ,2-2λ)·(-2,2,-2)=4λ+12λ-4+4λ=0,解得λ=,
此時(shí)·=·=-≠0,故C錯(cuò)誤;
當(dāng)A1C=3A1R時(shí),λ=,則R,=,=(-2,-2,0),=(0,2,2),設(shè)平面BDC1的法向量為n=(x,y,z),
則即取y=-1,得x=,z=,∴n=(,-1,),故·n=0,
又D1R 平面BDC1,∴D1R∥平面BDC1,故D正確.
故選ABD.
2.證明　由題意知,,兩兩互相垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.(圖略)
設(shè)BC=a,AB=b,BB1=c,a>0,b>0,c>0,則B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),F,E.
(1)易得=(0,-b,0),=.
設(shè)平面ABE的法向量為n=(x,y,z),
則即
令x=2,則y=0,z=-,∴n=.
易知平面B1BCC1的一個(gè)法向量為(0,1,0),記n'=(0,1,0).∵n·n'=2×0+0×1+×0=0,∴平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)易得=,
由(1)知平面ABE的一個(gè)法向量為n=,
∵n·=2×+0×0+×(-c)=0,且C1F 平面ABE,∴C1F∥平面ABE.
3.解析　因?yàn)椤螾AD=90°,所以PA⊥AD.
又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD,又AB 平面ABCD,所以PA⊥AB.
由AD∥BC,∠ABC=90°得∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP兩兩垂直.以AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(1)證明:因?yàn)?(0,0,1),=(1,1,0),=(-1,1,0),所以·=0,·=0,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因?yàn)锳P∩AC=A,AP,AC 平面PAC,
所以CD⊥平面PAC.
(2)存在.當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD.
證明如下:設(shè)側(cè)棱PA的中點(diǎn)是E,
則E,=.
設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),則
因?yàn)?(-1,1,0),=(0,2,-1),
所以取x=1,則y=1,z=2,
所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,2).
所以n·=(1,1,2)·=0,所以n⊥.
因?yàn)锽E 平面PCD,所以BE∥平面PCD.
故當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD.
4.解析　不妨設(shè)AB=2,在平面BCD中作BF⊥BD,以BF,BD,BA所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz,則B(0,0,0),A(0,0,2),D(0,2,0),C(1,1,0).
(1)易得=(-1,-1,2),=(0,2,0).因?yàn)镋是AC的中點(diǎn),
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為,
所以=,
設(shè)p=(x,y,z)是平面BDE的法向量,則
即取x=2,則y=0,z=-1,
所以平面BDE的一個(gè)法向量為p=(2,0,-1).
所以|cos<,p>|===,
所以直線AC與平面BDE所成角的正弦值為.
(2)存在,當(dāng)=2時(shí),平面BDE⊥平面ADC.
證明如下:假設(shè)存在點(diǎn)E使得平面BDE⊥平面ADC,設(shè)=λ.
顯然=(-1,1,0),=(-1,-1,2).
設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ADC的法向量,
則即取x1=1,則y1=1,z1=1,
所以平面ADC的一個(gè)法向量為m=(1,1,1).
因?yàn)?λ,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為,
所以=,=(0,2,0).
設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面BDE的法向量,
則即
取x2=1,則y2=0,z2=-,所以平面BDE的一個(gè)法向量為n=.
因?yàn)槠矫鍮DE⊥平面ADC,所以m⊥n,即m·n=0,即1-=0,解得λ=2.
所以當(dāng)=2時(shí),平面BDE⊥平面ADC.
7

展開更多......

收起↑