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(共23張PPT)
1.傾斜角的定義:當直線l與x軸相交時,以x軸為基準,x軸正向與直線l向上的方向之間所成的
角α叫做直線l的傾斜角.
當直線與x軸平行或重合時,它的傾斜角為0°;當直線與x軸垂直時,它的傾斜角為90°.
2.直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準傾斜角,有時要根據(jù)情
況分類討論.注意:直線傾斜角α的取值范圍是 0°≤α<180°.
2.1　直線的傾斜角與斜率
知識點 1 直線的傾斜角
必備知識 清單破
1.若直線l的傾斜角為α,則α=90°時,直線l的斜率不存在;α≠90°時,直線l的斜率k=tan α.
2.斜率與傾斜角的對應(yīng)關(guān)系
知識點 2 直線的斜率

α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α
<180°
k=0 k>0 k不存在 k<0
3.已知直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,則直線l的斜率不存在;若x1≠x2,則直線l的斜率 k
= .
　　注意:若已知兩點的橫坐標中含有參數(shù),則要對參數(shù)進行分類討論,分類的依據(jù)便是“兩
點的橫坐標是否相等”.
4.直線的方向向量與斜率的關(guān)系
(1)當直線的斜率k存在時,直線的一個方向向量為(1,k);
(2)當直線的一個方向向量為(x,y)(x≠0)時,直線的斜率k= .
　　兩條直線(不重合)平行的判定如下表:
知識點 3 兩條直線平行的判定
類型 斜率存在 斜率不存在
前提條件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
對應(yīng)關(guān)系 l1∥l2 = 兩直線的斜率都
不存在 l1∥l2
圖示
　　注意:若l1,l2重合,則仍有 = 或l1,l2的斜率均不存在.
兩條直線垂直的判定如下表:
知識點 4 兩條直線垂直的判定
圖示
對應(yīng) 關(guān)系 l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)
=-1 l1的斜率不存在,l2的斜率為0
l1⊥l2
知識辨析
1.不同直線的傾斜角一定不相同嗎
2.直線的斜率k一定隨著傾斜角α的增大而增大嗎
3.若兩直線(不重合)平行,則兩直線的傾斜角一定相等嗎 反之呢
4.若兩直線(不重合)的斜率相等,則兩直線平行,正確嗎 反之呢
5.設(shè)直線l1的斜率為k1,直線l2垂直于直線l1,則直線l2的斜率為- ,此結(jié)論正確嗎
一語破的
1.不一定.由傾斜角的定義可以知道,任何一條直線都有唯一的傾斜角,但是不同直線的傾斜
角有可能相同,如兩條平行直線的傾斜角是相同的.
2.不一定.k=tan α 在α∈ 和α∈ 時均單調(diào)遞增,但在α∈ ∪ 時,k=
tan α不單調(diào).
3.一定;反之亦成立.
4.正確;反之不正確.若兩直線(不重合)的斜率相等,則兩直線的傾斜角必相等,兩直線必定平
行;若兩直線(不重合)平行,則兩直線的斜率相等或均不存在.
5.錯誤.若兩直線l1,l2的斜率均存在,則結(jié)論正確;若直線l1的斜率k1=0,則兩直線垂直時,直線l2的
斜率不存在.
定點 1 傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用
關(guān)鍵能力 定點破
直線的傾斜角與斜率的關(guān)系
(1)當直線的傾斜角α滿足0°≤α<90°時,斜率非負,傾斜角越大,斜率越大;
(2)當直線的傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率為負,傾斜角越大,斜率越大;
(3)k=tan α 0≤α<π,α≠ 的圖象如圖所示.

　　由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,進而得到傾斜角α的范圍;反過來,由傾斜角α的范圍截取函
數(shù)圖象,進而得到斜率k的范圍.
典例 已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的傾斜角α的取值范圍;
(2)求直線l的斜率k的取值范圍.
思路點撥：作出圖形并觀察 計算“邊界直線”的斜率 得“邊界直線”的傾斜角
根據(jù)傾斜角定義及斜率的變化趨勢求解.
解析：如圖,由題意可知kPA= =-1,kPB= =1.

(1)由圖可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括直線PB與PA的傾斜角),又
直線PB的傾斜角是 ,直線PA的傾斜角是 ,∴直線l的傾斜角α的取值范圍是 ≤α≤ .
(2)根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系知,直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
易錯警示：本題易錯誤地認為-1≤k≤1,由 ≤α≤ ,利用函數(shù)k=tan α(0≤α<π)的圖象(如圖
所示)得到k的取值范圍應(yīng)是k≤-1或k≥1.

1.若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點的坐標都可以確定這條直線的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或直線AB與BC
或直線AC與BC)的傾斜角相同,又過同一點A(或B或C),所以點A,B,C在同一條直線上.
　　注意:若點A,B,C確定的三條直線AB,AC,BC中,任意兩條直線的傾斜角都為90°,且這兩條
直線有公共點,則A,B,C三點共線.
2.形如 的范圍(最值)問題,可以利用 的幾何意義(過定點(a,b)與動點(x,y)的直線的斜
率),借助圖形,將求范圍(最值)問題轉(zhuǎn)化為求斜率的范圍(最值)問題,從而簡化運算過程.
定點 2 直線斜率的應(yīng)用
典例 已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求 的最大值和最小值.
思路點撥： 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直線
的斜率,結(jié)合圖形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析： 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直線的斜
率.
對于y=x2-2x+2,當x=-1時,y=5;當x=1時,y=1.
設(shè)點(-1,5)為B,點(1,1)為A,點(-2,-3)為P,如圖所示.

由圖可知,當直線經(jīng)過點P(-2,-3)和B(-1,5)時,斜率最大;當直線經(jīng)過點P(-2,-3)和A(1,1)時,斜率
最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值為8,最小值為 .
1.判斷兩條不重合的直線是否平行的方法
(1)利用直線的斜率判斷:

(2)利用直線的方向向量判斷:分別求出兩直線的方向向量,通過判斷兩向量是否共線,得到兩
直線是否平行的結(jié)論.
定點 3 兩條直線平行、垂直的判斷方法
2.判斷兩條直線是否垂直的方法
(1)利用直線的斜率判斷:在兩條直線都有斜率的前提下,看它們的斜率之積是否等于-1即可.
特別地,當一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,這兩條直線也垂直.
(2)利用直線的方向向量判斷:設(shè)直線l1的方向向量為n,直線l2的方向向量為m,則l1⊥l2 n⊥m
n·m=0.
典例 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四點,順次連接A,B,C,D四點,試判斷四邊形ABCD的形
狀.
思路點撥：作出圖形,計算各邊所在直線的斜率,判斷對邊是否平行、鄰邊是否垂直,進而得
出結(jié)論.
解析：A,B,C,D四點在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

易得kAB= = ,kCD= = ,kAD= =-3,kBC= =- .
因為kAB=kCD,且AB與CD不重合,
所以AB∥CD.
因為kAD≠kBC,所以AD與BC不平行.
因為kAB·kAD= ×(-3)=-1,所以AB⊥AD.
故四邊形ABCD為直角梯形.
利用平行、垂直關(guān)系求待定參數(shù)的值或范圍
(1)作出示意圖,確定問題中的平行、垂直關(guān)系,利用斜率、方向向量等條件列出相關(guān)方程
(組)并求解.
(2)充分分析圖形特征,有多種情況的,要分類依次求解.
(3)解題時要注意考慮斜率不存在的情況.
定點 4 兩條直線平行、垂直的應(yīng)用
典例 (1)已知 ABCD的三個頂點分別為A ,B ,C ,則點D的坐標為
　　 .
(2)已知四邊形ABCD的四個頂點分別為A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角梯
形,求m和n的值.
思路點撥： (1)思路一:設(shè)出點D的坐標,根據(jù)AB∥CD,AD∥BC,利用斜率相等列方程組求解.
思路二:設(shè)出點D的坐標,根據(jù) = ,利用向量的坐標列方程組求解.
(2)分析直角頂點的位置,利用兩底邊平行、直角腰與底邊垂直求解.
解析： (1)解法一:設(shè)點D的坐標為(m,n).由題意知,AB∥CD,AD∥BC,且直線AB,CD,AD,BC的
斜率均存在,
∴kAB=kCD,kAD=kBC,
∴ 化簡,得
解得 ∴點D的坐標為 .
解法二:設(shè)點D的坐標為(m,n).
由題意知, = .
易得 = , = ,
∴ 解得
∴點D的坐標為 .
(2)當AB∥CD,AB⊥AD時,由圖a可知,A(2,-1).∴m=2,n=-1.

圖a

圖b
當AD∥BC,AD⊥AB時,由圖b可知, 即
解得m= ,n=- .
綜上,m=2,n=-1或m= ,n=- .
易錯警示 由幾何圖形的特征求頂點坐標時,注意判斷圖形是否唯一,防止遺漏.2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　兩條直線平行
1.下列說法正確的有(　　)
①若兩直線斜率相等,則兩直線平行;
②若兩直線平行,則兩直線斜率相等;
③若兩直線中有一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率存在,則兩直線相交;
④若兩直線的斜率都不存在,則兩直線平行.
A.1個　　　　B.2個　　
C.3個　　　　D.4個
2.(教材習題改編)若直線l1的傾斜角為135°,直線l2經(jīng)過點A(2,-1),B(-3,4),則直線l1與l2的位置關(guān)系是(　　)
A.垂直　　　　B.平行
C.重合　　　　D.平行或重合
3.若過點P(3,2m)和點Q(-m,2)的直線與方向向量為a=(-5,5)的直線平行,則實數(shù)m的值是(　　)
A.　　B.-　　C.2　　D.-2
題組二　兩條直線垂直
4.若直線l1過點(1,1),(2,-1),直線l2過點(2,1),(x,3),且l1⊥l2,則x等于(　　)
A.1　　B.-2　　C.6　　D.-1
5.(教材習題改編)判斷下列各題中直線l1與l2是否平行或垂直:
(1)l1經(jīng)過點A(-1,-2),B(2,1),l2經(jīng)過點M(3,4),N(-1,-1);
(2)l1經(jīng)過點A(-3,2),B(-3,10),l2經(jīng)過點M(5,-2),N(5,5);
(3)l1經(jīng)過點A(-3,-4),B(1,3),l2經(jīng)過點M(-4,-3),N(3,1);
(4)l1經(jīng)過點A(3,4),B(3,10),l2經(jīng)過點M(-10,40),N(10,40).
題組三　兩條直線平行和垂直的應(yīng)用
6.已知直線l的傾斜角為20°,直線l1∥l,直線l2⊥l,則直線l1與l2的傾斜角分別是(　　)
A.20°,20°　　　　B.70°,70°　　
C.20°,110°　　　　D.110°,20°
7.已知兩點A(2,0),B(3,4),直線l過點B,交y軸于點C(0,y),O是坐標原點,如果O,A,B,C四點共圓,那么y的值是(　　)
A.19　　B.　　C.5　　D.4
8.若不同兩點P,Q的坐標分別為(a,b),(3-b,3-a),則線段PQ的垂直平分線的斜率為　　　　.
9.已知l1,l2不重合,直線l1經(jīng)過點A(-2,m)和點B(m,4),直線l2的斜率為-2,直線l3的斜率為-,若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為　　　　.
10.直線l1,l2的斜率k1,k2是關(guān)于k的方程2k2-3k-b=0的兩根,若l1∥l2,則b=　　　　.
11.已知直線l1,l2,l3的斜率分別是k1,k2,k3,其中l(wèi)1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的兩根,則k1+k2+k3的值為　　　　.
能力提升練
題組一　直線的平行與垂直
1.已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若AB⊥CD,則m的值為(　　)
A.1　　B.2　　C.±1　　D.-2
2.將一張畫了直角坐標系(兩坐標軸單位長度相同)的紙折疊一次,使點(2,0)與點(-2,4)重合,點(2 023,2 024)與點(m,n)重合,則m+n=(　　)
A.1　　B.2 025　　C.4 047　　D.4 049
3.(多選題)已知點O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB為直角三角形,則以下可能成立的有(　　)
A.b=a3　　　　
B.b=a3+
C.∠AOB=90°　　　　
D.|b-a3|+b-a3-=0
4.在平面直角坐標系Oxy中,四邊形OPQR的頂點分別為O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0且t≠.試判斷四邊形OPQR的形狀.
題組二　直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
5.光線從點A(-3,4)射出,到x軸上的點B后,被x軸反射到y(tǒng)軸上的點C,又被y軸反射,這時反射光線恰好過點D(-1,6),則光線BC所在直線的斜率是　　　　.
6.(教材習題改編)某縣相鄰兩鎮(zhèn)在同一平面直角坐標系中的位置分別為A(-3,-4),B(6,3),交通樞紐的位置為C(0,-1),計劃經(jīng)過C修建一條馬路l(l看成一條直線,l的斜率為k).若A,B兩個鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則k=　　　　;若A,B兩個鎮(zhèn)位于馬路l的兩側(cè),則k的取值范圍為　　　　　　　.
7.已知點M(2,2),N(5,-2),點P在x軸上,分別求滿足下列條件的點P的坐標.
(1)∠MOP=∠OPN(O是坐標原點);
(2)∠MPN是直角.
8.如圖所示,一個矩形花園里需要鋪設(shè)兩條筆直的小路,已知矩形花園的長為AD,寬為AB,且|AD|=5 m,|AB|=3 m,其中一條小路定為AC,另一條小路過點D,問在BC上能否找到一點M,使得兩條小路所在直線AC與DM相互垂直
答案與分層梯度式解析
2.1.2　兩條直線平行和垂直的判定
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A 2.D 3.B 4.C 6.C 7.B
1.A　①不正確,兩直線可能平行或重合;②不正確,當兩直線平行時,兩直線的斜率相等或均不存在;③正確,兩直線的傾斜角不相等,則一定相交;④不正確,兩直線也可能重合.故選A.
2.D　由題意得,直線l1的斜率為tan 135°=-1,直線l2的斜率為=-1,∴直線l1與l2平行或重合.
3.B　方向向量為a=(-5,5)的直線的斜率為=-1,因此直線PQ的斜率為=-1,解得m=-.經(jīng)檢驗,m=-符合題意,故選B.
易錯警示　當兩直線的斜率都存在時,由兩直線平行可以推出兩直線的斜率相等;但由兩直線的斜率相等推不出兩直線平行,此時還有可能重合.解題時要注意驗證.
4.C　由題意可知直線l1的斜率為=-2,直線l2的斜率為=,∵l1⊥l2,∴(-2)×=-1,解得x=6.故選C.
5.解析　(1)易知兩直線的斜率都存在,
且==1,==.
由≠,≠-1,得l1與l2既不平行也不垂直.
(2)l1與l2都與x軸垂直,且l1與l2不重合,所以l1與l2平行.
(3)易知兩直線的斜率都存在,且==,==,
由≠,≠-1,得l1與l2既不平行也不垂直.
(4)易知l1與x軸垂直,l2與y軸垂直,故l1與l2垂直.
6.C　∵l1∥l,∴直線l1的傾斜角與直線l的傾斜角相等,即為20°.∵l2⊥l,∴直線l2向上的方向與x軸的非正半軸成70°角,因此直線l2的傾斜角為110°.
7.B　由于A,B,C,O四點共圓,所以四邊形OABC的對角互補,所以AB⊥BC,∴kAB·kBC=-1,即·=-1,∴y=.故選B.
8.答案　-1
解析　若a=3-b,則P,Q兩點重合,不合題意,故直線PQ的斜率存在.由kPQ==1,得線段PQ的垂直平分線的斜率為-1.
9.答案　-10
解析　由題意可得,直線l1的斜率為,且=-2,解得m=-8.
由于直線l3的斜率為-,l2⊥l3,所以-2×=-1,解得n=-2.所以m+n=-10.
10.答案　-
解析　當l1∥l2時,k1=k2,故關(guān)于k的一元二次方程2k2-3k-b=0有兩個相等的實根,
所以Δ=(-3)2-4×2×(-b)=0,解得b=-.
11.答案　1或
解析　因為k1,k3是方程2x2-3x-2=0的兩根,所以或
又l1∥l2,所以k1=k2,
所以k1+k2+k3=1或k1+k2+k3=.
能力提升練
1.C 2.C 3.AB
1.C　因為A,B兩點的縱坐標不等,所以直線AB與x軸不平行,因為AB⊥CD,所以CD與x軸不垂直,故m≠-3.
當直線AB與x軸垂直時,-m-3=-2m-4,解得m=-1,而當m=-1時,C,D兩點的縱坐標均為-1,所以直線CD∥x軸,此時AB⊥CD,滿足題意.
當直線AB與x軸不垂直時,由斜率公式得kAB==,kCD==.因為AB⊥CD,所以kAB·kCD=-1,解得m=1.
綜上,m的值為1或-1.
2.C　記(2,0),(-2,4)分別為A,B,則kAB==-1.
由題意知,過點(2 023,2 024)和點(m,n)的直線與直線AB平行,所以=-1,整理得m+n=2 023+2 024=4 047.故選C.
3.AB　由題意知a≠0,b≠0.若O為直角頂點,則B在x軸上,則a必為0,此時O,B重合,不符合題意,故C錯誤;若A為直角頂點,則b=a3,故A正確;若B為直角頂點,則OB⊥AB,故kOB·kAB=-1,即a2·=-1,所以a(a3-b)=-1,即b=a3+,故B正確;b=a3和b=a3+不可能同時成立,所以|b-a3|+b-a3-=0不可能成立,故D錯誤.故選AB.
4.解析　當t>0且t≠時,由斜率公式,得kOP==t,kQR===t,kOR==-,kPQ===-,kOQ=,kPR=.
∴kOP=kQR,kOR=kPQ,∴OP∥QR,OR∥PQ,
∴四邊形OPQR為平行四邊形.
又kOP·kOR=-1,∴OP⊥OR,四邊形OPQR為矩形.
令kOQ·kPR=-1,得·=-1,無實數(shù)解,∴OQ與PR不垂直,
∴四邊形OPQR為矩形.
5.答案　
解析　設(shè)B(a,0),C(0,b),過點B,C分別作x軸,y軸的垂線交于點E,如圖,
則∠E=90°,所以∠ECB+∠EBC=90°,
所以2∠ECB+2∠EBC=180°,
由反射角等于入射角,得∠EBC=∠ABE,∠DCE=∠BCE,所以∠DCB+∠ABC=180°,
所以AB∥CD,故kAB=kCD,即=,得ab-6a+3b-14=0,
又由反射角等于入射角,可得直線AB的傾斜角與直線BC的傾斜角互補,所以kAB=-kBC,即=-,即ab+4a+3b=0,
聯(lián)立解得
故B,C,所以kBC==.
6.答案　或;∪(1,+∞)
解析　若A,B兩個鎮(zhèn)到馬路l的距離相等,則有兩種情況:當l與直線AB平行時,k==;當l與直線AB相交時,直線l過線段AB的中點,又線段AB的中點為,所以k==.故k=或k=.易得kAC==1,kBC==,若A,B兩個鎮(zhèn)位于馬路l的兩側(cè),則k的取值范圍為∪(1,+∞).
7.解析　設(shè)P(x,0).
(1)因為∠MOP=∠OPN,所以O(shè)M∥NP,由題知直線OM的斜率存在,所以kOM=kNP,且x≠5.又kOM==1,kNP==,所以1=,所以x=7,即點P的坐標為(7,0).
(2)因為∠MPN=90°,所以MP⊥NP,根據(jù)題意知直線MP,NP的斜率均存在,所以x≠2且x≠5,所以kMP·kNP=-1.又kMP=,kNP=,所以×=-1,解得x=1或x=6,即點P的坐標為(1,0)或(6,0).
8.解析　以點B為坐標原點,,的方向分別為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標系.則C(5,0),D(5,3),A(0,3).由題可設(shè)M(x,0),07第二章　直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的傾斜角與斜率
1.(多選題)在下列四個命題中,錯誤的有(　　)
A.坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率
B.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π)
C.若一條直線的斜率為tan α,則此直線的傾斜角為α
D.若一條直線的傾斜角為α,則此直線的斜率為tan α
2.直線y=的傾斜角為(　　)
A.0°　　B.60°　　C.90°　　D.180°
3.若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角,則直線l的傾斜角為(　　)
A.30°　　　　B.60°　　
C.30°或150°　　　　D.60°或120°
4.已知直線l經(jīng)過兩點(0,0),(0,1),直線l的傾斜角是直線m的傾斜角的兩倍,則直線m的斜率是(　　)
A.0　　B.1　　C.-2　　D.不存在
5.已知直線l的斜率為k,傾斜角為α,若45°<α<135°,則k的取值范圍為　　　　　　　　.
6.過點P(0,-1)作直線l,若直線l與連接A(-2,1),B(2,1)兩點的線段總有公共點,則直線l的傾斜角的范圍為　　　　.
題組二　直線的斜率公式及其應(yīng)用
7.若過點M(-2,m),N(m,4)的直線的斜率等于1,則m的值為(　　)
A.1　　 B.4　　
C.1或3　　D.1或4
8.已知直線l的一個方向向量為=(2,-2),則直線l的斜率為(　　)
A.-　　B.-　　
C.　　D.
9.直線l1,l2,l3如圖所示,它們的斜率依次為k1,k2,k3,則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.k1>k2>k3　　　　
B.k3>k1>k2　　
C.k2>k1>k3　　　　
D.k2>k3>k1
10.已知點A(2,-1),若在坐標軸上存在一點P,使直線PA的傾斜角為45°,則點P的坐標為　　　　　　.
11.(教材習題改編)已知坐標平面內(nèi)兩點M(m+3,2m+5),N(m-2,1).
(1)當m為何值時,直線MN的傾斜角為銳角
(2)當m為何值時,直線MN的傾斜角為鈍角
(3)直線MN的傾斜角可能為直角嗎
能力提升練
題組一　直線的傾斜角與斜率
1.已知兩條直線l1,l2的斜率分別為k1,k2,傾斜角分別為α,β.若α<β,則下列關(guān)系不可能成立的是(　　)
A.0C.k22.過點A(2,1),B(m,3)的直線的傾斜角α的取值范圍是,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
3.已知點A(2,1),B(-2,2),若直線l過點P且總與線段AB有交點,則直線l的斜率k的取值范圍是　　　　　　　　　　.
4.已知A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1)三點構(gòu)成一個三角形,則實數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　.
題組二　直線斜率的綜合應(yīng)用
5.已知點A(-1-,-1),B(3,0),若點M(x,y)在線段AB上,則的取值范圍是(　　)
A.∪[,+∞)　　　　 B.
C.[-1,]　　　　 D.
6.臺球運動中的反彈球技法是常見的技巧,其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法,主球撞擊目標球后,目標球撞擊臺邊,然后按照光線反射的方向彈出,想要讓目標球沿著理想的方向反彈,就要事先根據(jù)需要確認臺邊的撞擊點,同時做到用力適當,方向精確,這樣才能通過反彈來將目標球成功擊入袋中.如圖,現(xiàn)有一目標球從點A(-2,3)無旋轉(zhuǎn)射入,經(jīng)過x軸(桌邊)上的點P反彈后,經(jīng)過點B(5,7),則點P的坐標為　　　　.
7.足球是一項很受歡迎的體育運動.如圖,某標準足球場的底線寬為AB,球門寬為EF,且|AB|=72碼,|EF|=8碼(碼是英制單位,1碼≈0.914 4米),球門位于底線的正中位置.在比賽過程中,攻方球員帶球運動時,往往需要找到一點P,使得∠EPF最大,這時候點P就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點O處(|OA|=|AB|,OA⊥AB)時,根據(jù)場上形勢判斷,有O→A,O→B兩條進攻路線可供選擇.
(1)若選擇路線O→A,則甲帶球多少碼時,到達最佳射門位置
(2)若選擇路線O→B,則甲帶球多少碼時,到達最佳射門位置
答案與分層梯度式解析
第二章　直線和圓的方程
2.1　直線的傾斜角與斜率
2.1.1　傾斜角與斜率
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.ACD 2.A 3.D 4.B 7.A 8.B 9.C
1.ACD　坐標平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角,但傾斜角為90°的直線沒有斜率,故A中命題錯誤;直線的傾斜角的取值范圍是[0,π),故B中命題正確;C中命題錯誤,如直線的斜率為tan時,其傾斜角為;D中命題錯誤,如α=90°時直線的斜率不存在.故選ACD.
2.A　∵直線y=的斜率為0,∴其傾斜角為0°.
故選A.
3.D　如圖所示,直線l有兩種情況,故l的傾斜角為60°或120°.
4.B　∵直線l經(jīng)過兩點(0,0),(0,1),∴直線l的傾斜角為90°,又直線l的傾斜角是直線m的傾斜角的兩倍,∴直線m的傾斜角為45°,其斜率km=tan 45°=1.故選B.
5.答案　(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析　由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k方法點撥　由傾斜角確定斜率的范圍時,注意傾斜角中若含90°,則以90°為“分界線”,把斜率的范圍分為“兩部分”.
6.答案　
解析　如圖,kPB==,kPA==-1,所以直線PB,PA的傾斜角分別為,.
設(shè)直線l的傾斜角為θ,因為直線l經(jīng)過點P(0,-1),且與線段AB總有公共點,所以≤θ≤.
7.A　由題意得=1,解得m=1.
8.B　因為直線l的一個方向向量為=(2,-2),所以其斜率kl==-.故選B.
解題技巧　由斜率為k的直線的方向向量為(1,k),知直線的方向向量為(x,y)時,其斜率k=.
9.C　易知k=tan α,作出正切函數(shù)y=tan x在[0,π)上的圖象如圖.
由題圖知直線l3的傾斜角為鈍角,對應(yīng)所作的圖象可知k3<0;
直線l1與l2的傾斜角都為銳角,且l2的傾斜角大于l1的傾斜角,則k2>k1>0,故k2>k1>k3.故選C.
10.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　若點P在x軸上,設(shè)點P的坐標為(x,0),易知x≠2,則=tan 45°=1,解得x=3,即P(3,0).若點P在y軸上,設(shè)點P的坐標為(0,y),則=tan 45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).
綜上,點P的坐標為(3,0)或(0,-3).
11.解析　(1)若傾斜角為銳角,則斜率大于0,
即kMN==>0,解得m>-2.
(2)若傾斜角為鈍角,則斜率小于0,
即kMN==<0,解得m<-2.
(3)當直線MN垂直于x軸時直線的傾斜角為直角,此時m+3=m-2,此方程無解,故直線MN的傾斜角不可能為直角.
能力提升練
1.C 2.B 5.A
1.C　當0<α<β<時,02.B　設(shè)過點A(2,1),B(m,3)的直線為l.當直線l的傾斜角α的取值范圍是∪時,直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞),即<
-1或>1,解得0綜上,實數(shù)m的取值范圍是(0,4).故選B.
3.答案　∪
解析　設(shè)過點P且垂直于x軸的直線交線段AB于點C,如圖所示.
當直線l由PA的位置繞點P轉(zhuǎn)動到PC的位置時,l的斜率由kPA逐漸增大至+∞,此時k≥kPA==;當直線l由PC的位置繞點P轉(zhuǎn)動到PB的位置時,l的斜率為負值,且由-∞逐漸增大至kPB,此時k≤kPB==-.
綜上所述,直線l的斜率k的取值范圍是∪.
4.答案　∪
解析　因為A(a+2,a),B(1,-a),C(a-4,a-1),所以kAC==.當a+2=1,即a=-1時,A(1,-1),B(1,1),C(-5,-2),則直線AB的斜率不存在,此時A,B,C三點能構(gòu)成一個三角形;當a+2≠1,即a≠-1時,kAB=,要使A,B,C三點能構(gòu)成一個三角形,則kAB≠kAC,即≠,解得a≠.綜上可得,實數(shù)a的取值范圍為∪.
5.A　易知表示線段AB上的點(x,y)與點(-1,2)連線的斜率.設(shè)Q(-1,2),則kQA==,kQB==-,結(jié)合圖形(圖略)可知的取值范圍為∪[,+∞).故選A.
6.答案　
解析　設(shè)P(x,0).易知A點關(guān)于x軸對稱的點A'的坐標為(-2,-3),則kA'P==,kA'B==.易知A',B,P三點共線,∴kA'P=kA'B,即=,解得x=,故點P的坐標為.
解題模板　求解光線的反射問題通常用到對稱的知識,若A點經(jīng)x軸上的P點反射至B點,則A點關(guān)于x軸的對稱點A'與P,B共線,此直線為反射線所在直線;B點關(guān)于x軸的對稱點B'與P,A共線,此直線為入射線所在直線.
7.解析　(1)若選擇路線O→A,設(shè)|AP|=t,其中0tan∠APE==,tan∠APF==,
所以tan∠EPF=tan(∠APF-∠APE)
=
===≤=,
當且僅當t=,即t=16時,等號成立,
此時|OP|=|OA|-|AP|=(72-16)碼.
由題意知∠EPF∈,因為函數(shù)y=tan x在上單調(diào)遞增,所以tan∠EPF最大時,∠EPF最大,
所以若選擇路線O→A,則甲帶球(72-16)碼時,到達最佳射門位置.
(2)若選擇路線O→B,設(shè)線段EF的中點為N,以N為坐標原點,,的方向分別為x軸,y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標系,
則B(-36,0),O(36,72),F(-4,0),E(4,0),
則kOB==1,則∠OBA=45°,
過P作x軸的垂線,垂足為M,根據(jù)三角形相似可設(shè)點P(x,x+36),其中-36當x≠±4時,tan∠AFP=kPF=,tan∠AEP=kPE=,
所以tan∠EPF=tan(∠AEP-∠AFP)
=
===,
令m=x+36,則m∈(0,72],x=m-36,
所以(x+36)+=m+=2m+-72≥2-72=32-72,
當且僅當2m=,即m=8,即x=8-36時等號成立,
所以tan∠EPF=≤=,當且僅當x=8-36時等號成立,
此時|OP|=|36-(8-36)|=72-16;
當x=4時,P(4,40),tan∠EPF===;
當x=-4時,P(-4,32),tan∠EPF===.
由題意知∠EPF∈,因為函數(shù)y=tan x在上單調(diào)遞增,所以tan∠EPF最大時,∠EPF最大,
所以若選擇路線O→B,則甲帶球(72-16)碼時,到達最佳射門位置.
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