資源簡(jiǎn)介

2.2　直線的方程
2.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的點(diǎn)斜式方程
1.經(jīng)過點(diǎn)P(-1,0)且傾斜角為60°的直線的方程是(　　)
A.x-y-1=0　　　　B.x-y+=0　　
C.x-y-=0　　　　D.x-y+1=0
2.已知直線kx+y-6k+2=0恒過點(diǎn)P,則P的坐標(biāo)為(　　)
A.(0,-2)　　B.(-2,0)　　C.(6,-2)　　D.(-6,2)
3.直線l:y=2x-1繞著點(diǎn)A(1,1)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與直線l1重合,則l1的斜截式方程是　　　　　.
4.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)A(6,-6),B(2,2).
(1)求過點(diǎn)P(2,-3)且與直線AB平行的直線l的方程;
(2)求過點(diǎn)P(2,-3)且與直線AB垂直的直線m的方程.
題組二　直線的斜截式方程
5.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,在y軸上的截距為-1且傾斜角為的直線方程為(　　)
A.x+y+1=0　　　　B.x+y-1=0　　
C.x-y+1=0　　　　D.x-y-1=0
6.若直線y=ax+c經(jīng)過第一、二、三象限,則有(　　)
A.a>0,c>0　　　　B.a>0,c<0 C.a<0,c>0　　　　D.a<0,c<0
7.(教材習(xí)題改編)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(-2,1),B(3,-3),求直線l的方程,并求直線l在y軸上的截距.
題組三　直線的點(diǎn)斜式、斜截式方程的應(yīng)用
8.(多選題)對(duì)于直線l:x=my+1,下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A.直線l恒過定點(diǎn)(1,0)
B.直線l的斜率必定存在
C.m=2時(shí),直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為
D.m=時(shí),直線l的傾斜角為60°
9.已知直線l1:y=2x+3a,l2:y=(a2+1)x+3,若l1∥l2,則實(shí)數(shù)a=　　　　.
10.在平行四邊形ABCD中,
A(-1,2),B(1,3),C(3,-1),E是線段BC的中點(diǎn).
(1)求直線CD的方程;
(2)求過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線.
答案與分層梯度式解析
2.2　直線的方程
2.2.1　直線的點(diǎn)斜式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 2.C 5.A 6.A 8.BD
1.B　由題知斜率k=tan 60°=,∴所求直線的方程是y-0=(x+1),即為x-y+=0.故選B.
解后反思　點(diǎn)斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示過點(diǎn)P(x0,y0)的所有直線,但直線x=x0除外.
2.C　由kx+y-6k+2=0,得y-(-2)=-k(x-6),所以P的坐標(biāo)為(6,-2).故選C.
3.答案　y=-3x+4
解析　易知點(diǎn)A(1,1)在直線l上.設(shè)直線l的傾斜角為α,則tan α=2,則tan==-3,所以直線l1:y-1=-3(x-1),化成斜截式為y=-3x+4.
4.解析　(1)因?yàn)锳(6,-6),B(2,2),所以kAB==-2,因?yàn)橹本€l與直線AB平行,所以kl=kAB=-2,又直線l過點(diǎn)P(2,-3),所以直線l的方程為y+3=-2(x-2),即2x+y-1=0.
(2)由(1)知kAB=-2.
因?yàn)橹本€m與直線AB垂直,所以km=-=,
又直線m過點(diǎn)P(2,-3),
所以直線m的方程為y+3=(x-2),即x-2y-8=0.
5.A　由題意可得,直線的斜率k=tan=-1,故所求的直線方程為y=-x-1,即x+y+1=0.故選A.
6.A　∵直線y=ax+c經(jīng)過第一、二、三象限,∴直線的斜率a>0,在y軸上的截距c>0.
7.解析　依題意知,直線l的斜率k==-,
則直線l的方程為y-1=-(x+2),即4x+5y+3=0,當(dāng)x=0時(shí),y=-,所以直線l的方程為4x+5y+3=0,直線l在y軸上的截距為-.
8.BD　直線l:x=my+1 m(y-0)=x-1,恒過定點(diǎn)(1,0),A中說法正確;m=0時(shí),直線l:x=1垂直于x軸,其傾斜角為90°,斜率不存在,B中說法錯(cuò)誤;m=2時(shí),直線l:x=2y+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)(1,0),,此時(shí)直線l與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為×1×=,C中說法正確;m=時(shí),直線l:x=y+1的斜率k=,因此其傾斜角為30°,D中說法錯(cuò)誤.故選BD.
9.答案　-1
解析　因?yàn)閘1∥l2,所以=,即2=a2+1,即a2=1,所以a=±1.經(jīng)檢驗(yàn),a=1時(shí),l1與l2重合,不合題意,所以a=-1.
10.解析　(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴直線CD的斜率等于直線AB的斜率,為=,故直線CD的方程為y+1=(x-3),即x-2y-5=0.
(2)∵E是線段BC的中點(diǎn),∴E(2,1).根據(jù)(1)中求得的直線CD的方程,可設(shè)D(2m+5,m),在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,易知直線BC的斜率存在,則kAD=kBC,即=,解得m=-2,故D(1,-2),故直線DE的斜率為=3.故過點(diǎn)A且與直線DE垂直的直線的斜率為-,其方程為y-2=-(x+1),即x+3y-5=0.
72.2.2　直線的兩點(diǎn)式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的兩點(diǎn)式方程
1.過點(diǎn)A(5,6)和點(diǎn)B(-1,2)的直線的兩點(diǎn)式方程是(　　)
A.=　　　　B.=
C.=　　　　D.=
2.已知直線l的兩點(diǎn)式方程為=,則l的斜率為(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
3.已知直線l經(jīng)過(-2,-2),(2,4)兩點(diǎn),點(diǎn)(1 348,m)在直線l上,則m的值為(　　)
A.2 021　　B.2 022　　C.2 023　　D.2 024
4.已知A(3,2),B(-2,3),C(4,5),則△ABC的邊BC上的中線所在直線的方程為(　　)
A.x+y+1=0　　　　B.x+y-1=0
C.x+y-5=0　　　　D.x-y-5=0
題組二　直線的截距式方程
5.在x,y軸上的截距分別是-3,4的直線方程是(　　)
A.4x+3y-12=0　　　　B.4x-3y+12=0
C.4x+3y-1=0　　　　D.4x-3y+1=0
6.經(jīng)過點(diǎn)M(1,1)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是(　　)
A.x+y=2　　　　B.x+y=1 C.x=1或y=1　　　D.x+y=2或y=x
7.已知直線mx+3y-12=0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7,則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
8.已知直線l分別交x軸和y軸于A,B兩點(diǎn),若M(2,1)是線段AB的中點(diǎn),則直線l的方程為(　　)
A.2x-y-3=0　　　B.2x+y-5=0 C.x+2y-4=0　　　D.x-2y+3=0
題組三　直線的兩點(diǎn)式、截距式方程的應(yīng)用
9.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2),且在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),則其斜率k的取值范圍是　　　　　　　.
10.若直線l過點(diǎn)A(2,3),則直線l與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積的最小值為　　　　.
11.設(shè)直線l的方程為y=-(a+1)x+a-2(a∈R).
(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求直線l的方程;
(2)若l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若直線l交x軸正半軸于點(diǎn)A,交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),記△AOB的面積為S,求S的最小值及S最小時(shí)直線l的方程.
答案與分層梯度式解析
2.2.2　直線的兩點(diǎn)式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7.C 8.C
1.B　過點(diǎn)A(5,6)和點(diǎn)B(-1,2)的直線的兩點(diǎn)式方程是=或=,故選B.
2.A　由題意知,直線l過點(diǎn)(-3,2),(0,-3),所以l的斜率為=-.
3.C　由題意知l不與x,y軸平行,故由直線l的兩點(diǎn)式方程可得=,解得m=2 023.
一題多解　也可由直線的斜率公式得=,解得m=2 023.
4.C　由題意知邊BC的中點(diǎn)為(1,4),記D(1,4),
∴BC邊上的中線所在直線過A(3,2),D(1,4),
其方程為=,整理得x+y-5=0.故選C.
5.B　根據(jù)直線的截距式方程得直線方程為+=1,化簡(jiǎn)得4x-3y+12=0.故選B.
6.D　當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí),斜率為1,由點(diǎn)斜式求得直線的方程是y-1=x-1,即y=x;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線的方程是+=1,把(1,1)代入方程得a=2,則直線的方程是x+y=2.綜上,所求直線的方程為y=x或x+y=2.故選D.
易錯(cuò)警示　(1)直線的截距式方程不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線,也不能表示過原點(diǎn)的直線,解題時(shí)不要忽視截距為0的情形.
(2)直線在x,y軸上的截距分別是直線與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),而不是“距離”.
7.C　由題意知m≠0,令x=0,得y=4,令y=0,得x=,∵直線mx+3y-12=0在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為7,∴4+=7,∴m=4,故選C.
8.C　設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,b),因?yàn)镸(2,1)是線段AB的中點(diǎn),所以=2,=1,所以a=4,b=2,即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0),B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,2),故直線l的方程為+=1,即x+2y-4=0.故選C.
9.答案　k>或k<-1
解析　記B(-3,0),C(3,0),如圖.
直線AC,AB的斜率分別為=-1,=,因?yàn)橹本€l過點(diǎn)A(1,2),且在x軸上的截距的取值范圍是(-3,3),所以結(jié)合圖形可知k>或k<-1.
10.答案　12
解析　由題意可設(shè)直線l的方程為+=1(a>0,b>0),由直線l過點(diǎn)A(2,3),得+=1,故1=+≥2=2,解得ab≥24,當(dāng)且僅當(dāng)即a=4,b=6時(shí)等號(hào)成立,故三角形面積S=ab≥×24=12,所以直線l與x軸、y軸的正半軸圍成的三角形的面積的最小值為12.
11.解析　(1)當(dāng)直線l過原點(diǎn)時(shí)滿足條件,此時(shí)a-2=0,即a=2,則直線l的方程為y=-3x.當(dāng)直線l不過原點(diǎn)時(shí),由直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等可知其斜率為-1,故a+1=1,即a=0,可得直線l的方程為y=-x-2.綜上所述,直線l的方程為y=-3x或y=-x-2.
(2)∵l不經(jīng)過第二象限,∴
解得a≤-1.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1].
(3)對(duì)于方程y=-(a+1)x+a-2,令x=0,解得y=a-2,由題知a-2<0,解得a<2;令y=0,解得x=,由題知>0,解得a>2或a<-1.綜上可得a<-1.∴S=|a-2|·=a+1+-6=3+(-a-1)+≥3+×2=6,當(dāng)且僅當(dāng)-a-1=,即a=-4時(shí)取等號(hào).
∴△AOB的面積S的最小值是6,此時(shí)直線l的方程為y=3x-6.
名師點(diǎn)評(píng)
求直線方程時(shí)方程形式的選擇技巧
(1)已知一點(diǎn)的坐標(biāo),求過該點(diǎn)的直線方程時(shí),通常選用點(diǎn)斜式方程.
(2)已知直線的斜率,通常選用點(diǎn)斜式或斜截式,再由其他條件確定一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)或在y軸上的截距.
(3)已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距時(shí),通常選用截距式方程.
(4)已知直線上兩點(diǎn)時(shí),通常選用兩點(diǎn)式方程,也可選用點(diǎn)斜式.
7(共23張PPT)
2.2　直線的方程
知識(shí)點(diǎn) 1 直線的方程形式與適用條件
名稱 點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式 截距式 一般式
方程形式 y-y0=k(x-x0) y=kx+b = (x1≠x2,y1≠y2) + =1(a≠ 0,b≠0) Ax+By+C=0
(A,B不同時(shí)
為0)
已知條件 直線上一定
點(diǎn)(x0,y0),斜率
k 斜率k,直線在
y軸上的截距
b 直線上兩點(diǎn)(x
1,y1),(x2,y2) 直線在x軸上
的非零截距a,
直線在y軸上
的非零截距b 系數(shù)A,B,C
必備知識(shí) 清單破
名稱 點(diǎn)斜式 斜截式 兩點(diǎn)式 截距式 一般式
適用范圍 不垂直于x軸
的直線 不垂直于x軸
的直線 不垂直于x軸
和y軸的直線 不垂直于x軸
和y軸,且不過
原點(diǎn)的直線 任何位置的
直線
　　注意:兩點(diǎn)式方程不必記憶,可先用過兩點(diǎn)的直線的斜率公式算出斜率,再用點(diǎn)斜式寫出
方程.
斜截式: l1:y=k1x+b1; l2:y=k2x+b2 一般式:
l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時(shí)為0);
l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時(shí)為0)
l1,l2相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0
l1∥l2
l1,l2重合
l1⊥l2 k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0
知識(shí)點(diǎn) 2 直線方程的斜截式、一般式與兩直線的位置關(guān)系
知識(shí)辨析
1.方程k= 與y-y0=k(x-x0)表示的圖形相同嗎
2.直線y-3=k(x+1)是否恒過定點(diǎn)
3.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離嗎
4.方程 = 和方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0表示的直線相同嗎
5.直線y=kx+b就是一次函數(shù)y=kx+b的圖象嗎
6.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程在任何情況下都可以與一般式方程進(jìn)行互
化嗎
7.當(dāng)A=0或B=0時(shí),方程Ax+By+C=0分別表示什么樣的直線
一語破的
1.不相同.方程k= 表示的圖形中少了一點(diǎn)(x0,y0).
2.是.恒過定點(diǎn)(-1,3).
3.不是.直線l在y軸上的截距是直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo).
4.不一定相同.方程 = 不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線,方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=
0表示經(jīng)過兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的任意直線.
5.不一定.當(dāng)k≠0時(shí),y=kx+b為一次函數(shù);當(dāng)k=0時(shí),y=b,不是一次函數(shù),所以只有直線方程y=kx+b
中的k≠0時(shí),該直線才是一次函數(shù)的圖象.
6.不是.直線的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式方程均可以化為一般式方程,但一般式方程
轉(zhuǎn)化為其他形式時(shí),必須要在該形式的適用范圍內(nèi).
7.當(dāng)A=0,B≠0時(shí),原方程可化為y=- ,它表示與y軸垂直的一條直線;
當(dāng)B=0,A≠0時(shí),原方程可化為x=- ,它表示與x軸垂直的一條直線.
定點(diǎn) 1 直線方程的選擇和求解
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
1.求直線方程時(shí)對(duì)方程形式的選擇一般有以下幾類:
①已知一點(diǎn)的坐標(biāo),一般選取點(diǎn)斜式方程,求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的斜率.注意斜率不
存在的情況.
②已知直線的斜率,一般選用斜截式方程,求解時(shí)根據(jù)其他條件確定直線的截距.
③已知兩點(diǎn)坐標(biāo),一般選用兩點(diǎn)式方程或點(diǎn)斜式方程,若兩點(diǎn)是與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),則選用截距
式方程.
=0(A,B不同時(shí)為0,C1≠C),與其垂直的直線方程可設(shè)為Bx-Ay+C2=0(A,B不同時(shí)為0),再由直線
所過的點(diǎn)確定C1或C2即可.
2.過一點(diǎn)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法
(1)直接法:確定已知直線的斜率,再利用平行(垂直)關(guān)系得出所求直線的斜率,最后由直線的
點(diǎn)斜式求方程.
(2)待定系數(shù)法:已知直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0),則與其平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+C1
典例1 求滿足下列條件的直線方程:
(1)經(jīng)過點(diǎn)(5,-2),且與y軸平行;
(2)過P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn);
(3)過點(diǎn)(3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù);
(4)過點(diǎn)(2,2)且與直線3x+4y-20=0平行或垂直.
解析：(1)與y軸平行的直線的斜率不存在.
∵所求直線經(jīng)過點(diǎn)(5,-2),∴該直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為5,故所求直線方程為x=5.
(2)解法一(兩點(diǎn)式):過P(-2,3),Q(5,-4)兩點(diǎn)的直線方程為 = ,整理可得x+y-1=0.
解法二(點(diǎn)斜式):易知過P,Q兩點(diǎn)的直線的斜率存在,且kPQ= =-1.
∴所求直線方程為y-3=-(x+2),即x+y-1=0.
(3)①當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且不為0時(shí),設(shè)直線方程為 + =1.
又過點(diǎn)(3,4),
∴ + =1,解得a=-1.
∴所求直線方程為 + =1,即x-y+1=0.
②當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)且為0,即直線過原點(diǎn)時(shí),設(shè)直線方程為y=kx.又過點(diǎn)
(3,4),
∴4=k×3,解得k= ,
∴所求直線方程為y= x,即4x-3y=0.
綜上,所求直線方程為x-y+1=0或4x-3y=0.
(4)解法一:直線3x+4y-20=0的斜率為- ,故過點(diǎn)(2,2)且與其平行的直線方程為y-2=- (x-2),即3
x+4y-14=0;過點(diǎn)(2,2)且與其垂直的直線方程為y-2= (x-2),即4x-3y-2=0.
解法二:設(shè)與直線3x+4y-20=0平行、垂直的直線方程分別為3x+4y+a=0(a≠-20)和4x-3y+b=0,
把(2,2)分別代入兩方程,解得a=-14,b=-2,∴所求直線方程分別為3x+4y-14=0,4x-3y-2=0.
易錯(cuò)警示 若題目中出現(xiàn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距“相等”“互為相反數(shù)”或“在一坐標(biāo)
軸上的截距是其在另一坐標(biāo)軸上截距的m倍(m>0)”等條件時(shí),可采用截距式求直線的方程,
但一定要考慮截距為0的情況.
典例2 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4),B(-2,6),C(-8,0).
(1)分別求邊AC和AB所在直線的方程;
(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程;
(3)求AC邊上的中垂線的方程;
(4)求AC邊上的高所在直線的方程.
解析：(1)由截距式,得邊AC所在直線的方程為 + =1,即x-2y+8=0.由兩點(diǎn)式,得邊AB所在
直線的方程為 = ,即x+y-4=0.
(2)由題意,得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-4,2),由兩點(diǎn)式,得中線BD所在直線的方程為 = ,即2x-
y+10=0.
(3)由(1)可知kAC= ,故AC邊上的中垂線的斜率為-2.
又AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,2),
所以由點(diǎn)斜式,可得AC邊上的中垂線的方程為y-2=-2(x+4),即2x+y+6=0.
(4)由(1)可知kAC= ,故AC邊上的高所在直線的斜率為-2.
又所求直線過點(diǎn)B(-2,6),
所以由點(diǎn)斜式,可得AC邊上的高所在直線的方程為y-6=-2(x+2),即2x+y-2=0.
1.根據(jù)斜截式方程中k,b的幾何意義確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的大致圖象.
2.方程中含參的直線過定點(diǎn)類問題常用的三種方法:
①將方程化為點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0),其中k為參數(shù),從而求得直線恒過定點(diǎn)(x0,y0).
②分離參數(shù)法:將方程中的參數(shù)分離,把含x,y的關(guān)系式作為參數(shù)的系數(shù),即有參數(shù)的放在一起,
沒參數(shù)的放在一起,因?yàn)榇耸阶釉趨?shù)取任意的值時(shí)都成立,所以令參數(shù)的系數(shù)和不含參數(shù)
的式子為零,解方程組可得x,y的值,從而得到直線所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).
③賦值法:因?yàn)閰?shù)取任意實(shí)數(shù)時(shí)方程都成立,所以可給參數(shù)任意賦兩個(gè)值,得到關(guān)于x,y的二
元一次方程組,解方程組可得x,y的值,從而得到直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo).
定點(diǎn) 2 利用直線方程中系數(shù)的幾何意義解決相關(guān)問題
典例 已知直線l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求證:無論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限;
(2)若直線l不經(jīng)過第二象限,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析：(1)證明:5ax-5y-a+3=0可化為y- =a ,∴直線l的斜率為a,且過定點(diǎn) .∵點(diǎn)
在第一象限內(nèi),
∴無論a為何值,直線l總經(jīng)過第一象限.
(2)記A ,如圖所示,kOA= =3.
∴要使l不經(jīng)過第二象限,只需a≥kOA,
∴a≥3.

規(guī)律總結(jié) 已知方程中含參的直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0),求參數(shù)的值或取值范圍的步
驟:

　　實(shí)際問題中,經(jīng)常會(huì)遇到過定點(diǎn)的直線,此時(shí)可以先設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方
程,再綜合其他知識(shí)解決問題,需要注意直線的斜率是否存在和直線在兩坐標(biāo)軸上的截距是
否存在、是不是0等特殊情況.
在解決直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積、線段長(zhǎng)度等問題時(shí),通常要先設(shè)出直線方程,再借
助其他知識(shí)(如函數(shù)、基本不等式等)解決問題.
定點(diǎn) 3 直線方程的應(yīng)用
典例 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B.
(1)求△AOB面積的最小值以及此時(shí)直線l的方程;
(2)當(dāng)|OA|+|OB|取最小值時(shí),求直線l的方程.
解析： 解法一:設(shè)A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),則直線l的方程為 + =1.
因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),所以 + =1.
(1)由于a>0,b>0時(shí),1= + ≥2 =2 ,所以ab≥24,所以S△AOB= ab≥12,當(dāng)且僅當(dāng) = ,
即a=6,b=4時(shí)取等號(hào).
故△AOB面積的最小值為12,此時(shí)直線l的方程為 + =1,即2x+3y-12=0.
(2)|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + ≥5+2 =5+2 ,
當(dāng)且僅當(dāng) = 且 + =1,即a=3+ ,b=2+ 時(shí)取等號(hào),
所以直線l的方程為 + =1,即2x+ y-6-2 =0.
解法二:依題意,直線l的斜率存在,設(shè)為k,則k<0.易得直線l的方程為y-2=k(x-3),A ,B(0,2
-3k).
(1)S△AOB= (2-3k) = 12+(-9k)+ .由于k<0,所以S△AOB≥ · 12+2 =
×(12+12)=12,
當(dāng)且僅當(dāng)-9k=- ,即k=- 時(shí)取等號(hào).
故△AOB面積的最小值為12,
此時(shí)直線l的方程為y-2=- (x-3),
即2x+3y-12=0.
(2)易得|OA|=3- ,|OB|=2-3k.
因?yàn)閗<0,所以-k>0,
所以|OA|+|OB|=3- +2-3k= +(-3k)+5≥2 +5=2 +5,當(dāng)且僅當(dāng)- =-3k,即k=-
時(shí)取等號(hào),
所以直線l的方程為y-2=- (x-3),即2x+ y-6-2 =0.2.2.3　直線的一般式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的一般式方程及應(yīng)用
1.(教材習(xí)題改編)過點(diǎn)P(-1,2)且平行于直線l:2x-y+1=0的直線方程為(　　)
A.x+2y-3=0　　　　B.x+2y-5=0
C.2x-y=0　　　　D.2x-y+4=0
2.直線l過點(diǎn)(-1,2)且與直線2x-3y+1=0垂直,則l的方程為(　　)
A.3x+2y-1=0　　　　B.3x+2y+7=0
C.2x-3y+5=0　　　　D.2x-3y+8=0
3.已知直線l1:x-2y-2=0的傾斜角為θ,直線l2的傾斜角為2θ,且直線l2在y軸上的截距為3,則直線l2的一般式方程為(　　)
A.x+y-3=0　　　　B.4x-3y+9=0　　
C.3x-4y+3=0　　　　D.2x+y-3=0
4.已知直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k等于(　　)
A.1或3　　B.5　　C.3或5　　D.3
5.已知直線ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直,垂足為(1,c),則a+b+c的值為(　　)
A.-4　　B.0　　C.20　　D.24
6.(教材習(xí)題改編)已知點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B在直線l:x+y=0上運(yùn)動(dòng),則當(dāng)線段AB最短時(shí),直線AB的一般式方程為　　　　　　　.
題組二　直線方程幾種形式的相互轉(zhuǎn)化
7.直線3x-y-1=0的斜率k及在y軸上的截距b分別是(　　)
A.3,-1　　　　B.-3,1　　
C.,1　　　　D.3,1
8.無論m為何值,直線mx-y+2m+1=0所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(2,-1)
C.(-2,1)　　　　D.(2,1)
9.如果A·C<0,且B·C<0,那么直線Ax+By+C=0不通過(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
10.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知點(diǎn)A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分別以AB,AC為邊向外作正方形ABEF與ACGH,則點(diǎn)H的坐標(biāo)為　　　　,直線FH的一般式方程為　　　　　　　　.
11.已知直線(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,若它分別與x軸,y軸的負(fù)半軸交于A,B兩點(diǎn),則三角形AOB的面積最小時(shí)的直線的方程為　　　　　.
12.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-1,2),B(2,-2),C(3,5).
(1)求邊AC上的高所在直線的一般式方程;
(2)求∠BAC的平分線所在直線的一般式方程.
能力提升練
題組　直線方程的綜合應(yīng)用
1.(多選題)已知直線l:(a2+a+1)x-y+1=0,其中a∈R,下列說法正確的是(　　)
A.當(dāng)a=-1時(shí),直線l與直線x+y=0垂直
B.若直線l與直線x-y=0平行,則a=0
C.直線l過定點(diǎn)(0,1)
D.當(dāng)a=0時(shí),直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等
2.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線,后人將這條直線稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(0,2),C(-6,0),則其歐拉線的一般式方程為　(　　)
A.3x+y=1　　　　B.3x-y=1
C.x+3y=0　　　　D.x-3y=0
3.已知直線l不過第二象限,且與直線2x+3y+5=0垂直,寫出一個(gè)滿足上述條件的直線l的方程:　　　　　.
4.已知直線l1:y=x-k+4,直線l2:2x+k2y-4k2-4=0(k≠0),若直線l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形,則當(dāng)k>4時(shí),四邊形面積的取值范圍是　　　　.
5.已知直線l過點(diǎn)P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A,B.
(1)若直線l的斜率為-2,求△AOB的面積;
(2)若△AOB的面積S滿足12≤S<,求直線l的斜率k的取值范圍.
6.已知直線l1,l2均過點(diǎn)P(1,2).
(1)若直線l1過點(diǎn)A(-1,3),且l1⊥l2,求直線l2的方程;
(2)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若直線l1的斜率為k,其中07.已知直線l1:x+3y-5=0,l2:3kx-y+1=0.若l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓,求k的值.
答案與分層梯度式解析
2.2.3　直線的一般式方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D 2.A 3.B 4.C 5.A 7.A 8.C 9.C
1.D　設(shè)所求直線方程為2x-y+t=0(t≠1),由點(diǎn)P(-1,2)在直線2x-y+t=0上,得-2-2+t=0,解得t=4,即直線方程為2x-y+4=0.故選D.
2.A　由直線l與直線2x-3y+1=0垂直,可設(shè)l的方程為3x+2y+t=0,由點(diǎn)(-1,2)在直線3x+2y+t=0上,得-3+4+t=0,解得t=-1,因此l的方程為3x+2y-1=0.故選A.
3.B　由直線l1:x-2y-2=0的傾斜角為θ,可知tan θ=,∵直線l2的傾斜角為2θ,∴直線l2的斜率為tan 2θ==,∵直線l2在y軸上的截距為3,∴直線l2的方程為y=x+3,即4x-3y+9=0.故選B.
4.C　∵l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,∴-2(k-3)=2(k-3)(4-k),解得k=3或k=5.當(dāng)k=3時(shí),l1:y+1=0,l2:-2y+3=0,滿足直線l1與l2平行;當(dāng)k=5時(shí),l1:2x-y+1=0,l2:4x-2y+3=0,滿足直線l1與l2平行.∴k=3或k=5.故選C.
易錯(cuò)警示　已知直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0平行求參數(shù),可令A(yù)1B2=A2B1,但是要注意檢驗(yàn)并舍去使兩直線重合的參數(shù)值.
5.A　因?yàn)橹本€ax+4y-2=0與2x-5y+b=0互相垂直,
所以2a+4×(-5)=0,解得a=10.把(1,c)分別代入兩直線的方程,得a+4c-2=0,2-5c+b=0,解得c=-2,b=-12.所以a+b+c=-4.故選A.
方法點(diǎn)撥　直線A1x+B1y+C1=0與直線A2x+B2y+C2=0垂直的等價(jià)條件為A1A2+B1B2=0.
6.答案　x-y+1=0
解析　當(dāng)線段AB最短時(shí),AB⊥l,此時(shí)kAB=1.所以直線AB的方程為y=x+1,化為一般式為x-y+1=0.
7.A　將直線方程3x-y-1=0化成斜截式為y=3x-1,故其斜率k=3,在y軸上的截距b=-1.故選A.
8.C　將直線方程mx-y+2m+1=0化為點(diǎn)斜式為y-1=m(x+2),所以直線過定點(diǎn)(-2,1).
9.C　由題意得B≠0,則直線方程Ax+By+C=0化為斜截式為y=-x-,∵A·C<0,B·C<0,∴A·B>0,∴-<0,->0,∴直線通過第一、二、四象限,不通過第三象限.故選C.
10.答案　(2,3);x+4y-14=0
解析　如圖,過H,F作y軸的垂線,垂足分別為M,N,易知Rt△AHM≌Rt△CAO,∴|AM|=|OC|,|MH|=|OA|,∵A(0,2),C(1,0),∴|MH|=|OA|=2,|AM|=|OC|=1,可得|OM|=|OA|+|AM|=3,故點(diǎn)H的坐標(biāo)為(2,3),同理可得F(-2,4),∴直線FH的斜率為=-,可得直線FH的方程為y-3=-(x-2),化簡(jiǎn)得x+4y-14=0.
11.答案　2x+y+4=0
解析　方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4=0,即(2y-x+3)m+2x+y+4=0,令2y-x+3=0,且2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,即直線恒過定點(diǎn)(-1,-2).由題可設(shè)直線方程為+=1,其中a,b<0,則A(a,0),B(0,b),--=1.由基本不等式可知,1=+≥2,解得ab≥8,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=-2,b=-4時(shí)取等號(hào),故△AOB的面積S=|ab|的最小值為4,此時(shí)直線方程為+=1,即2x+y+4=0.
12.解析　(1)由題知直線AC的斜率kAC==,設(shè)邊AC上的高所在直線的斜率為k,所以k·kAC=-1,所以k=-,故所求直線方程為y+2=-(x-2),即4x+3y-2=0.
(2)由題意得=(3,-4),=(4,3),所以||=||=5,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則D,故kAD==-,由等腰三角形的性質(zhì)知,∠BAC的平分線所在直線的斜率為-,
或:設(shè)e1,e2分別為與,同向的單位向量,則e1==,e2==,所以e1+e2=,所以∠BAC的平分線所在直線的斜率為-
故所求直線方程為y-2=-(x+1),即x+7y-13=0.
能力提升練
1.AC　對(duì)于A,當(dāng)a=-1時(shí),直線l的方程為x-y+1=0,顯然與x+y=0垂直,所以正確;
對(duì)于B,若直線l與直線x-y=0平行,則(a2+a+1)×(-1)=1×(-1),解得a=0或a=-1,此時(shí)直線l的方程為x-y+1=0,滿足直線l與直線x-y=0平行,所以不正確;
對(duì)于C,當(dāng)x=0時(shí),y=1,所以直線l過定點(diǎn)(0,1),所以正確;
對(duì)于D,當(dāng)a=0時(shí),直線l的方程為x-y+1=0,其在x軸,y軸上的截距分別是-1,1,所以不正確.故選AC.
2.C　顯然△ABC為直角三角形,且BC為斜邊,所以其歐拉線為斜邊上的中線所在直線,易知線段BC的中點(diǎn)為(-3,1),設(shè)D(-3,1),所以AD所在直線的方程為y=-x,所以△ABC的歐拉線的一般式方程為x+3y=0.故選C.
3.答案　3x-2y=0(答案不唯一)
解析　易知直線2x+3y+5=0的斜率為-.因?yàn)橹本€l與直線2x+3y+5=0垂直,所以直線l的斜率為.
因?yàn)橹本€l不過第二象限,所以直線l在y軸上的截距小于或等于0,故滿足題意的直線l的方程可以為3x-2y=0.
4.答案　
解析　直線l2的方程可化為y=-x++4.
當(dāng)k>4時(shí),>0,-<0,-k+4<0,+4>0.
易知l1,l2均過定點(diǎn)(2,4),直線l1與x軸交于點(diǎn),直線l2與y軸交于點(diǎn),
∴四邊形的面積S=×2×+×4×=4-16×+8=4-8,
∵k>4,∴0<<,∴S∈.
5.解析　(1)因?yàn)橹本€l的斜率為-2,且過點(diǎn)P(3,2),
所以直線l的方程為y-2=-2(x-3),即y=-2x+8,
所以直線l與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A(4,0),B(0,8),
故△AOB的面積為×4×8=16.
(2)根據(jù)題意,可知直線l的斜率k存在且k≠0,
所以直線l的方程為y-2=k(x-3)(k≠0),
整理得y=kx+2-3k,所以直線l與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B(0,2-3k),
所以解得k<0,
所以△AOB的面積S=··(2-3k)==-+6,
由于△AOB的面積S滿足12≤S<,
所以6≤-<,整理得24k≥-18k2-8>51k,
解得-故直線l的斜率k的取值范圍為.
6.解析　(1)因?yàn)橹本€l1過點(diǎn)P(1,2),A(-1,3),
所以直線l1的斜率為=-,
因?yàn)閘1⊥l2,所以·=-1,所以=2,
所以直線l2的方程為y-2=2(x-1),即y=2x.
(2)根據(jù)題意可得直線l1的方程為y-2=k(x-1),
令x=0,得y=2-k,即N(0,2-k),
令y=0,得x=-+1,
設(shè)直線l1與x軸的交點(diǎn)為T,則T.
因?yàn)橹本€l2過點(diǎn)P(1,2),Q,
所以直線l2的方程為y-2=(x-1),即y-2=-(x-1),令y=0,得x=R2+1,即M(R2+1,0),
所以S四邊形PNOM=S△TPM-S△TNO=R2+1-×2-××(2-k)=R2+-=R2+=R2-+2,0易知當(dāng)k=2時(shí),S四邊形PNOM取得最小值,為R2+1.
7.解析　如圖所示,直線l1:x+3y-5=0分別交x軸,y軸于點(diǎn)A,B,直線l2:3kx-y+1=0過定點(diǎn)C(0,1).
由點(diǎn)C在線段OB上,且l1,l2與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有一個(gè)外接圓,可知l2⊥l1或l2與x軸交于D點(diǎn),且∠BCD+∠BAD=180°.
①由l1⊥l2知1×3k+3×(-1)=0,解得k=1.
②由∠BCD+∠BAD=180°得∠BAD=∠OCD.
設(shè)直線l1的傾斜角為α1,l2的傾斜角為α2,則α1=180°-∠BAD,α2=90°+∠OCD,∴α1=180°-∠BAD=180°-∠OCD=180°-(α2-90°)=270°-α2,
∴tan α1=tan(270°-α2)=tan(90°-α2)===,∴tan α1·tan α2=1,∴-×3k=1,解得k=-1.
綜上,k的值為±1.
7

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