資源簡介

2.3.3　點到直線的距離公式　
2.3.4　兩條平行直線間的距離
基礎過關練
題組一　點到直線的距離
1.若點P(1,3)到直線l:4x+3y+a=0(a>0)的距離為3,則a=(　　)
A.2　　B.3　　C.　　D.4
2.已知直線l過原點O,且點A(1,0),B(3,2)到直線l的距離相等,則直線l的方程為(　　)
A.x-y=0　　　　B.x-2y=0
C.x+y=0或x+2y=0　　　　D.x-y=0或x-2y=0
3.點P(-2,-1)到直線l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距離最大時,此最大值和此時過點P且與l垂直的直線方程分別為(　　)
A.,x+y-2=0　　　　B.,3x+y-4=0
C.,2x-3y+1=0　　　　D.,2x-3y+1=0
4.已知直線l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,點M(4,3),則M到直線l的距離d的取值范圍為(　　)
A.[0,8)　　　　B.[0,8]　　
C.[0,2)　　　　D.[0,2]
5.若P(2,)到直線x+y+t=0的距離不超過2,則實數t的取值范圍是　　　　.
6.已知△ABC的頂點A(1,1),C(3,-4),邊BC的垂直平分線的方程為x-y-5=0.
(1)求邊BC所在直線的方程;
(2)求△ABC的面積.
題組二　兩條平行直線間的距離
7.平行直線x-2y+1=0,2x-4y-3=0間的距離是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.已知直線x+3y+λ=0與直線2x+6y+1=0間的距離為,則λ=(　　)
A.-或　　　　B.-9　　
C.-9或11　　　　D.6或-4
9.直線l1,l2是分別經過點A(1,1),B(0,-1)的兩條平行直線,則l1,l2間的距離的取值范圍是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(0,]　　
C.(0,]　　　　D.(0,)
10.若直線l1:x+ay-2=0與l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,則兩直線之間的距離為(　　)
A.　　B.1　　C.　　D.2
11.若平面內兩條平行線l1:x+(a-1)y+2=0與l2:ax+2y+1=0間的距離為,則實數a=(　　)
A.-1　　B.2　　C.-1或2　　D.-2或1
12.已知兩條平行直線l1:2x+y+1=0,l2:ax+2y+c=0間的距離為,則a+c=　　　　.
13.已知兩條平行直線l1:x-2y+1=0,l2:mx-y+n=0間的距離為,則|2m-2n|=　　　　.
能力提升練
題組　距離公式的應用
1.已知點A(1,3),B(3,1),C(-1,0),則△ABC的面積等于(　　)
A.3　　B.4　　C.5　　D.6
2.若動點M(x1,y1),N(x2,y2)分別在直線x+y+7=0與直線x+y+5=0上移動,則MN的中點P到原點的距離的最小值為(　　)
A.2　　B.3　　C.3　　D.2
3.在平面直角坐標系中,點P(a,b)滿足|a|+|b|=1,記d為點P到直線x-my-2=0的距離.當a,b,m變化時,d的最大值為(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
4.已知點P,Q分別在直線l1:x+y+2=0與l2:x+y-1=0上,且PQ⊥l1,A(-3,-3),B,則|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為　　　　.
5.已知直線l在兩坐標軸上的截距相等,且點P(1,3)到直線l的距離為,則直線l的方程為　　　　　　.
6.已知三條直線l1:2x-y+3=0,l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,能否找到一點P,使得點P同時滿足:①P是第一象限的點;②點P到l1的距離是點P到l2的距離的;③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶ 若能,求出點P的坐標;若不能,請說明理由.
7.已知直線l經過點A(2,4),且被平行直線l1:x-y+1=0與l2:x-y-1=0所截得的線段的中點M在直線x+y-3=0上,求直線l的方程.
8.(教材深研拓展)已知直線l:ax+by+c=0和點P(x0,y0),點P到直線l的有向距離d(P,l)的計算方法規定如下:若b≠0,d(P,l)=,若b=0,d(P,l)=.
(1)已知直線l1:3x-4y+12=0,直線l2:2x+3=0,求原點O到直線l1,l2的有向距離d(O,l1),d(O,l2);
(2)已知點A(2,1)和點B(3,-1),是否存在通過點A的直線l3,使得d(B,l3)=2 如果存在,求出所有這樣的直線l3的方程;如果不存在,說明理由;
(3)設直線l4:xcos α+2ysin α-2=0,問是否存在實數t>0,使得對任意的參數α都有:點F1(-t,0),F2(t,0)到l4的有向距離d(F1,l4),d(F2,l4)滿足d(F1,l4)·d(F2,l4)=1 如果存在,求出所有滿足條件的實數t;如果不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.3.3　點到直線的距離公式
2.3.4　兩條平行直線間的距離
基礎過關練
1.A 2.D 3.C 4.C 7.D 8.A 9.C 10.C
11.A
1.A　由點到直線的距離公式知,d===3,又a>0,故a=2.故選A.
2.D　由題知直線l的斜率存在.∵直線l過原點O,∴可設直線l的方程為y=kx,即kx-y=0,∵A(1,0),B(3,2)兩點到直線l的距離相等,∴=,解得k=1或k=,故直線l的方程為x-y=0或x-2y=0.故選D.
3.C　直線l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R),即x+y-2+λ(3x+y-4)=0(λ∈R),從代數觀點來看,若 λ∈R,有x+y-2+λ(3x+y-4)=0成立,則只能滿足解得即直線l過定點(1,1),記Q(1,1).若要P(-2,-1)到直線l的距離最大,只需PQ⊥l,此時點P(-2,-1)到直線l的最大距離等于線段PQ的長度,且|PQ|==,又直線PQ的斜率為=,故此時直線PQ的方程為y+1=(x+2),即2x-3y+1=0.故選C.
4.C　當M在直線l上時,有4(m+2)+3(m-1)-3m-3=0,解得m=-,即直線l:x-y-1=0,此時M到l的距離d=0;當M在直線l外時,由(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0,可得m(x+y-3)+2x-y-3=0,由解得x=2,y=1,即直線l:(m+2)x+(m-1)y-3m-3=0過定點(2,1),記A(2,1),易知當MA⊥l時,d取得最大值,且dmax=|MA|==2,此時kMA==1,所以直線l的斜率為-1,即-=-1,此時無解,所以d<2.故d∈[0,2).故選C.
5.答案　[-9,-1]
解析　因為P(2,)到直線x+y+t=0的距離不超過2,所以≤2,解得-9≤t≤-1,即實數t的取值范圍是[-9,-1].
6.解析　(1)由邊BC的垂直平分線的方程為x-y-5=0,得kBC=-1,又C(3,-4),∴BC邊所在直線的方程為y+4=-(x-3),即x+y+1=0.
(2)因為直線x-y-5=0是BC邊的垂直平分線,
所以點B與點C關于直線x-y-5=0對稱,
設B(a,b),則BC的中點為,將中點坐標代入得解得
所以B(1,-2),
故|BC|==2,
點A到直線BC的距離為=,
所以S△ABC=×2×=3.
7.D　直線x-2y+1=0可化為2x-4y+2=0,∴平行直線x-2y+1=0,2x-4y-3=0間的距離是=.故選D.
8.A　直線x+3y+λ=0可化為2x+6y+2λ=0,由題意可得=,解得λ=-或λ=.故選A.
9.C　易知兩直線之間的最大距離為A,B兩點間的距離.由兩點間的距離公式得|AB|==.故l1,l2間的距離的取值范圍為(0,].
10.C　因為直線l1:x+ay-2=0與l2:2x+(a2+1)y-2=0平行,所以解得a=1(二重根),
故直線l1:x+y-2=0,l2:2x+2y-2=0,即x+y-1=0,所以這兩條平行直線之間的距離為=.故選C.
11.A　當a=1時,可得l1:x+2=0,l2:x+2y+1=0,由≠,可知此時不符合題意.當a≠1時,可得直線l1的斜率=,直線l2的斜率=-,由題知=-,整理可得a2-a-2=0,則(a-2)(a+1)=0,解得a=2或a=-1,當a=-1時,可得l1:x-2y+2=0,l2:-x+2y+1=0,即x-2y-1=0,由兩平行直線之間的距離公式得=,符合題意;當a=2時,可得l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+1=0,即x+y+=0,由兩平行直線之間的距離公式得=≠,不符合題意.綜上可得a=-1.故選A.
12.答案　-4或16
解析　因為直線l1:2x+y+1=0與l2:ax+2y+c=0平行,所以2×2=a×1,即a=4,故l2:4x+2y+c=0,
則l1與l2間的距離為=,解得c=-8或c=12,故a+c=-4或a+c=16.
13.答案　5
解析　根據題意,得1×(-1)=(-2)×m,解得m=,則l2:x-y+n=0,變形可得x-2y+2n=0,又兩條平行直線間的距離為,故=,解得n=3或n=-2,故|2m-2n|=5.
能力提升練
1.C 2.B 3.C
1.C　設AB邊上的高為h,則S△ABC=|AB|·h.|AB|==2,AB邊上的高h就是點C到直線AB的距離.AB邊所在的直線方程為=,即x+y-4=0.點C到直線x+y-4=0的距離為=,因此,S△ABC=×2×=5.
2.B　由題意知,P點的軌跡為平行于直線x+y+7=0與直線x+y+5=0且到兩直線距離相等的直線,易得其方程為x+y+6=0,∴P到原點的距離的最小值即原點到直線x+y+6=0的距離,為=3.故選B.
3.C　直線x-my-2=0恒過點(2,0),設其為C.
作出點P滿足的圖形如圖所示.
旋轉直線x-my-2=0,可以發現,當直線垂直于x軸時,點A(-1,0)到直線的距離最大,為|AC|=3.
所以當a,b,m變化時,d的最大值為3.故選C.
4.答案　+
解析　如圖,由兩平行直線間的距離公式得|PQ|=.
過點A作垂直于l1的直線,并在該直線上截取|AA'|=|PQ|.
設A'(x0,y0),
則所以A'.
連接A'B,A'Q,則四邊形AA'QP是平行四邊形,所以|AP|=|A'Q|,又|A'B|=,故|AP|+|QB|=|A'Q|+|QB|≥|A'B|=.因此,|AP|+|PQ|+|QB|≥+.故|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為+.
5.答案　x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0
解析　若截距為0,則可設直線l的方程為y=kx(k≠0),由題意知=,解得k=1或k=-7,此時直線l的方程為x-y=0或7x+y=0;若截距不為0,則可設直線l的方程為x+y-a=0(a≠0),由題意知=,解得a=2或a=6,此時直線l的方程為x+y-2=0或x+y-6=0.綜上,直線l的方程為x-y=0或7x+y=0或x+y-2=0或x+y-6=0.
6.解析　設P(x0,y0).
若點P滿足條件②,則=·,化簡得4x0-2y0+13=0或12x0-6y0+11=0.
若點P滿足條件③,則=·,化簡得x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
又P是第一象限的點,∴3x0+2=0不合題意,舍去.
由得不合題意,舍去.
由得
∴滿足題意的點P的坐標為.
7.解析　解法一:因為點M在直線x+y-3=0上,
所以設點M的坐標為(t,3-t),因為點M到直線l1,l2的距離相等,所以=,解得t=,
所以M.又直線l經過點A(2,4),
所以直線l的方程為5x-y-6=0.
解法二:設與l1,l2平行且距離相等的直線為l3:x-y+c=0(c≠1,c≠-1),由兩平行直線間的距離公式得=,解得c=0,即l3:x-y=0.由題意得中點M在直線l3上,又點M在直線x+y-3=0上,所以由解得所以M.
又l過點A(2,4),所以直線l的方程為5x-y-6=0.
8.解析　(1)根據點到直線的有向距離的計算方法得,d(O,l1)==-,d(O,l2)==,即d(O,l1)=-,d(O,l2)=.
(2)當直線l3的斜率不存在時,直線l3的方程為x-2=0,此時d(B,l3)==1≠2,舍去;
當直線l3的斜率存在時,設直線l3的方程為y-1=k(x-2),即-kx+y-1+2k=0,
若d(B,l3)==2,則3k2-4k=0,解得k=0或k=.
所以存在這樣的直線l3,其方程為y-1=0或4x-3y-5=0.
(3)當sin α=0時,直線l4:xcos α-2=0,d(F1,l4)=,d(F2,l4)=,
由d(F1,l4)·d(F2,l4)==1,整理得4-t2cos2α=cos2α,因為sin2α+cos2α=1,所以cos2α=1,所以t2=3,因為t>0,所以t=;
當sin α≠0時,直線l4:xcos α+2ysin α-2=0,
可得d(F1,l4)=,d(F2,l4)=,
由d(F1,l4)·d(F2,l4)=1,得=1,
即|4-t2cos2α|=cos2α+4sin2α=4-3cos2α,即4-t2cos2α=4-3cos2α或4-t2cos2α=3cos2α-4,解得t2=3或(t2+3)cos2α=8,
由題意知對任意的參數α都有d(F1,l4)·d(F2,l4)=1恒成立,且t>0,所以t=.
綜上所述,存在滿足條件的實數t,且t=.
72.3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標　2.3.2　兩點間的距離公式
基礎過關練
題組一　直線的交點坐標及其應用
1.已知三條直線3x-4y+11=0,x+2y-3=0和(2m-3)x-(m+1)y-2m+3=0相交于一點,則實數m=(　　)
A.-1　　B.1　　C.　　D.
2.若直線ax+y-4=0與直線x-y-2=0的交點位于第一象限,則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-1,2)　　　　B.(-1,+∞)
C.(-∞,2)　　　　D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
3.(多選題)已知三條直線l1:ax+y-3=0,l2:x+y-1=0,l3:2x-y-5=0不能圍成一個封閉圖形,則實數a的值可以是(　　)
A.-2　　B.1　　C.2　　D.3
4.已知P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+2(k為常數)上兩個不同的點,則關于l1:a1x+b1y-2=0和l2:a2x+b2y-2=0的交點情況,正確的是(　　)
A.無論k,P1,P2如何,總有唯一交點
B.存在k,P1,P2使之有無窮多個交點
C.無論k,P1,P2如何,總是無交點
D.存在k,P1,P2使之無交點
5.已知a>0,直線l1:x+ay=2a+4與y軸的交點為A,l2:2x+ay=2a+8與x軸的交點為B,l1與l2的交點為C,則四邊形OACB的面積的最小值為(　　)
A.8+4　　B.16　　C.8　　D.16+8
6.已知O為坐標原點,直線l1:x+my-2=0與l2:mx-y+2m=0交于點P,則|OP|的值為　　　　.
7.若三條直線l1:x-2y=0,l2:x+y-3=0,l3:2x+ky-3=0圍成三角形,則k的取值范圍是　　　　　　.
題組二　兩點間的距離公式及其應用
8.(教材習題改編)已知三角形的三個頂點分別為A(2,-1),B(3,2),C(-5,4),則△ABC的中線AD的長為(　　)
A.3　　B.5　　C.9　　D.25
9.已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三點,且|AB|=|AC|,則實數a的值為(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
10.(多選題)直線x+y-1=0上與點P(-2,3)的距離等于的點的坐標是(　　)
A.(-4,5)　　B.(-3,4)　　C.(-1,2)　　D.(0,1)
11.已知A(1,0),B(4,0),D(0,3),動點P滿足|PB|=2|PA|,則2|PD|+|PB|的最小值是(　　)
A.8　　B.　　C.10　　D.2
12.很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決,如:可以轉化為平面上點M(x,y)與點N(a,b)的距離.結合上述觀點,可得y=+的最小值為(　　)
A.2　　　　B.2　　
C.+　　　　D.3+
13.已知直線3x+2y-6=0分別與x,y軸交于點A,B,若直線x+y-1=0上存在一點C,使|CA|+|CB|最小,則點C的坐標為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
答案與分層梯度式解析
2.3　直線的交點坐標與距離公式
2.3.1　兩條直線的交點坐標
2.3.2　兩點間的距離公式
基礎過關練
1.C 2.A 3.ABC 4.A 5.A 8.B 9.A 10.BC
11.D 12.A 13.A
1.C　由解得即交點為(-1,2),因為三條直線相交于一點,所以點(-1,2)在直線(2m-3)x-(m+1)y-2m+3=0上,所以(2m-3)×(-1)-(m+1)×2-2m+3=0,解得m=.
2.A　∵直線ax+y-4=0與直線x-y-2=0的交點位于第一象限,∴a≠-1,聯立可得解得-13.ABC　若l1,l2,l3中有兩條相互平行(重合),或三條線過同一點,則它們不能圍成封閉圖形.若l1∥l2,則a=1;若l1∥l3,則a=-2;若l1,l2,l3交于同一點,聯立l2,l3的方程,可得解得故l2,l3的交點為(2,-1),將(2,-1)代入直線l1的方程,可得a=2.故選ABC.
4.A　因為P1(a1,b1)與P2(a2,b2)是直線y=kx+2(k為常數)上兩個不同的點,直線y=kx+2的斜率存在,所以k=,a1≠a2,且b1=ka1+2,b2=ka2+2,所以a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+2a2-2a1=2a2-2a1,聯立方程組可得(a1b2-a2b1)x=2(b2-b1),即(a1-a2)x=b2-b1,所以方程有唯一解,即無論k,P1,P2如何,l1與l2總有唯一交點.故選A.
5.A　易知直線l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都恒過點(4,2),則點C的坐標是(4,2),在方程x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A,同理可得B(4+a,0),所以S四邊形OACB=S△OAC+S△OBC=×4×+×2×(4+a)=8+a+≥8+2=8+4,當且僅當a=,即a=2時等號成立,此時四邊形OACB的面積取得最小值,為8+4.故選A.
6.答案　2
解析　易知直線l1過定點(2,0),l2過定點(-2,0),記A(2,0),B(-2,0).當m≠0時,兩直線l1,l2的斜率分別為-,m,因為-·m=-1,且P為l1與l2的交點,所以AP⊥BP,從而|OP|=|AB|=2;當m=0時,易求得P(2,0),此時|OP|=2.
綜上可知,|OP|=2.
7.答案　{k|k≠-4且k≠-1且k≠2}
解析　易知l1的斜率為,l2的斜率為-1,
由解得∴l1與l2的交點坐標是(2,1),記A(2,1).當k=0時,l3:2x-3=0,即x=,此時直線l3不過A點且與l1,l2均不平行,三條直線可圍成三角形,符合題意;當k≠0時,要使三條直線能圍成三角形,則需解得k≠-4且k≠-1且k≠2,
所以k的取值范圍是{k|k≠-4且k≠-1且k≠2}.
8.B　因為B(3,2),C(-5,4),所以BC的中點為D(-1,3),又因為A(2,-1),所以|AD|==5.故選B.
9.A　由題得=,
解得a=-2.
10.BC　設所求點的坐標為(x0,y0),則有x0+y0-1=0,
且=,兩式聯立,
解得或故選BC.
11.D　因為動點P滿足|PB|=2|PA|,所以2|PD|+|PB|=2|PD|+2|PA|≥2|AD|(當且僅當A,P,D三點共線且P在A,D之間時取等號),又|AD|==,所以2|PD|+|PB|的最小值為2.故選D.
12.A　y=+=+,則y可看成x軸上一點P(x,0)到點A(1,2)與點B(3,-4)的距離之和,即|PA|+|PB|,又A,B位于x軸的兩側,故當A,P,B三點共線且P在A,B之間時,|PA|+|PB|取得最小值,即(|PA|+|PB|)min=|AB|==2.故選A.
13.A　對于方程3x+2y-6=0,令x=0,得y=3,令y=0,得x=2,則A(2,0),B(0,3),設點B關于直線x+y-1=0的對稱點為D(m,n),則解得即D(-2,1),設直線AD與直線x+y-1=0交于點E,則當點C與點E重合時,|CA|+|CB|取得最小值,而直線AD:=,即y=-x+,由解得即E,所以當點C的坐標為時,|CA|+|CB|取得最小值.故選A.
7(共32張PPT)
2.3　直線的交點坐標與距離公式
1.兩條直線的位置關系與相應方程組的解
(1)利用兩直線方程組成的方程組解的個數可以判斷兩直線的位置關系.
已知直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,其中A1,B1不同時為0,A2,B2不同時為0,則
知識點 1 兩條直線的交點坐標
必備知識 清單破
方程組 的解 一組 無數組 無解
直線l1與l2的公共點 一個 無數個 零個
直線l1與l2的位置關系 相交 重合 平行
(2)兩條直線相交的判定方法:①聯立直線方程解方程組,若有一組解,則兩直線相交;②若兩直
線斜率都存在且不相等,則兩直線相交;③若l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0), l2:A2x+B2y+C2=0
(A2,B2不同時為0),則l1與l2相交 A1B2-A2B1≠0.
2.兩直線的交點坐標
兩相交直線的交點坐標,對應兩直線方程組成的方程組的解.
　　注意:若一條直線的方程是斜截式或易化為斜截式,則常常應用代入消元法解方程組;若
兩條直線的方程都是一般式,則常常應用加減消元法解方程組.
3.設直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0),則過l1,l2交點的直
線方程可設為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ為參數),然后根據條件求待定系數即可.
1.兩點間的距離
已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),則|P1P2|= .
　　注意:①此公式與兩點的先后順序無關.②原點O(0,0)與任一點P(x,y)的距離|OP|=
.
2.點到直線的距離
點P0(x0,y0)到直線Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離 d= .
3.兩條平行線間的距離
兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0(A,B不同時為0,C1≠C2)間的距離 d= .
知識點 2 距離公式
知識辨析
1.若兩直線方程組成的方程組無解,則兩直線的位置關系確定嗎
2.若兩直線的方程組成的方程組有解,則兩直線一定相交嗎
3.m為何值時,直線x-y+1=0與x-2my+3=0相交
4.對于直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為0)與直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為0),當A1B2=
A2B1時,直線l1與l2一定沒有交點嗎
5.點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離是不是
6.已知某直線的斜率為k(k≠0),那么如何利用斜率k來表示該直線上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的
距離
一語破的
1.確定.兩直線平行.
2.不一定.當兩直線的方程組成的方程組有無數組解時,兩直線重合.
3.m≠ .由1×(-2m)-(-1)×1≠0得m≠ .
4.不一定.當A1B2=A2B1且B1C2=B2C1時,方程組 有無數組解,此時直線l1與l2重合,
有無數個交點;
當A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1時,方程組 無解,此時直線l1與l2平行,沒有交點.
5.不是.將直線方程化為一般式為kx-y+b=0,所以點P(x0,y0)到直線y=kx+b的距離為 .
6.|P1P2|= = |x2-x1|= |y2-y1|.該公式可以用 =k進行推導,是
之后會經常用到的弦長公式.
定點 1 利用坐標法解決平面幾何問題
關鍵能力 定點破
利用坐標法解決平面幾何問題的步驟
(1)建立坐標系,盡可能將已知元素放在坐標軸上;
(2)用坐標表示有關的量;
(3)進行代數運算;
(4)把代數運算結果“翻譯”成幾何結論.
典例 在△ABC中,AD是BC邊上的中線,求證:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
思路點撥：建立適當的平面直角坐標系,得到相關點的坐標,利用兩點間的距離公式解決有
關線段長度的問題.
證明：以D為原點,BC邊所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,

設A(b,c),C(a,0),B(-a,0).
因為|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+(-c)2,|AD|2=b2+c2,|DC|2=a2,
所以|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AD|2+|DC|2=a2+b2+c2,
所以|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).
　　利用點到直線的距離公式時,一般先分析并確定相應的點和直線,再利用公式計算求解.
當所給條件不能明顯確定所需的點和直線時,可考慮應用待定系數法,有時要結合幾何圖形
的直觀性,綜合分析解決問題.
定點 2 點到直線的距離公式的應用
典例1 已知點A(2,-1),原點為O.
(1)求過點A且與原點的距離為2的直線方程;
(2)求過點A且與原點的距離最大的直線方程,并求出最大距離;
(3)是否存在過點A且與原點的距離為3的直線 若存在,求出直線方程;若不存在,請說明理由.
解析： (1)當直線的斜率不存在時,直線方程為x=2,此時原點到該直線的距離等于2,符合題意;
當直線的斜率存在時,設直線方程為y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0,由已知得 =2,解得k= ,
此時直線方程為3x-4y-10=0.
綜上,所求直線方程為x=2和3x-4y-10=0.
(2)過點A且與原點的距離最大的直線是過點A且與直線OA垂直的直線.
易知kOA=- ,所以所求直線的斜率為2,
所以所求直線方程為y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.
最大距離d= = .
(3)不存在,理由如下:
由(2)可知,過點A的直線與原點的最大距離為 ,因為 <3,所以不存在過點A且與原點的距
離為3的直線.
技巧點撥 解這類題目常用的方法是待定系數法,即根據題意設出方程,然后選擇合適的公
式求參數.也可以綜合應用直線的有關知識,充分發揮幾何圖形的直觀性,找到所求直線的特
征,然后由已知條件寫出直線的方程.
典例2 已知某正方形的中心為直線2x-y+2=0與x+y+1=0的交點,正方形一邊所在直線l的方程
為x+3y-5=0,求:
(1)正方形的面積;
(2)正方形其他三邊所在直線的方程.
思路點撥： (1)利用正方形中心到其一邊的距離為邊長的一半求解.
(2)根據所求的三邊中一邊所在直線與直線x+3y-5=0平行,另兩邊所在直線與直線x+3y-5=0垂
直及正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等求解.
解析： (1)由 得
故正方形中心的坐標為(-1,0).
∵(-1,0)到直線x+3y-5=0的距離d= = ,
∴正方形的邊長為2d= ,
∴正方形的面積為 = .
(2)設正方形中與直線l:x+3y-5=0平行的邊所在的直線為l1:x+3y+c=0(c≠-5).
由點(-1,0)到兩直線l,l1的距離相等,
得 = ,解得c=7或c=-5(舍去),
∴l1:x+3y+7=0.
又正方形另兩邊所在直線均與l垂直,
∴設另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四條邊所在直線的距離相等,∴ = = ,
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9,
∴另兩邊所在直線的方程分別為3x-y+9=0,3x-y-3=0.
∴正方形其他三邊所在直線的方程分別為x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
1.兩條平行線間距離的求法
(1)直接利用公式求解,代入公式時注意兩直線方程中x,y的系數必須對應相等.
(2)利用“轉化與化歸”思想將求兩平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到
另一條直線的距離.
2.兩條平行直線間距離公式的應用
　　已知兩平行直線間的距離及其中一條直線的方程求另一條直線的方程,一般先設出直線
方程,再利用兩平行直線間的距離公式求解.
定點 3 平行線間距離公式的應用
典例 (1)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是　　　 .
(2)已知△ABC的兩頂點A,B在直線l1:2x-y+3=0上,點C在直線l2:2x-y-1=0上.若△ABC的面積為
2,則AB邊的長為　　　 .
思路點撥：(1)首先利用兩直線平行求出參數m的值,然后將兩直線方程對應系數化相同,最
后代入距離公式求解.
(2)易知l1∥l2,所以l2上的點C到l1的距離等于以AB為底時△ABC的高,再根據S△ABC=2求出AB邊
的長.
解析：(1)因為直線3x+2y-3=0和直線6x+my+1=0平行,所以 = ,即m=4.
所以對應直線方程為6x+4y+1=0.
又直線3x+2y-3=0的方程可化為6x+4y-6=0,
所以兩平行線之間的距離d= = = .
(2)易知l1∥l2,故直線l1,l2間的距離d= = ,所以S△ABC= × ×|AB|=2,解得|AB|= .
1.對稱點的求法
(1)求點關于點的對稱點坐標
若點M(x1,y1)關于點P(a,b)的對稱點為N(x,y),則由中點坐標公式可得
(2)求點關于直線的對稱點坐標
設點M(x0,y0)關于直線l:Ax+By+C=0(A,B均不為0)的對稱點為N(x,y),則可根據M,N連線垂直于
直線l,以及線段MN的中點在直線l上列方程組
求得.
定點 4 與點、直線有關的對稱問題
(3)幾個常用結論
①點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,-y),關于y軸的對稱點為(-x,y).
②點(x,y)關于直線y=x的對稱點為(y,x),關于直線y=-x的對稱點為(-y,-x).
③點(x,y)關于直線x=a的對稱點為(2a-x,y),關于直線y=b的對稱點為(x,2b-y).
2.對稱直線的求法
(1)求直線關于點的對稱直線
求直線關于點的對稱直線時,可在已知直線上任取兩點,求其對稱點,從而將問題轉化為求點
關于點的對稱點問題,通過求出的兩個對稱點的坐標確定對稱直線的方程;也可以利用關于
點對稱的兩直線平行且已知點到兩直線的距離相等來求解.
(2)求直線關于直線的對稱直線
求直線l1關于直線l對稱的直線l2時,若l1與l無交點,則可以利用l1,l2兩直線平行且它們與直線l的
距離相等來求解;若l1與l有交點,則可以求直線l1上任一點(l1與l的交點除外)關于直線l的對稱
點,那么該對稱點以及l1與l的交點在直線l2上,由此可確定l2的方程.
典例 直線l1:3x+4y-5=0關于l:3x+4y+1=0的對稱直線l2的方程為　　　　 .
思路點撥： 由題知直線l2滿足條件:①l1∥l2,②l1,l2與直線l間的距離相等.
3x+4y+7=0
解析：設l2的方程為3x+4y+d=0(d≠-5且d≠1).由條件知l1與l之間的距離等于l2與l之間的距離,
則 = ,解得d=7或d=-5(舍去).故直線l2的方程為3x+4y+7=0.
1.在直線l上求一點P,使P到兩定點的距離之和最小的求法
(1)若兩定點A,B在直線l的異側,則當點P為直線AB與l的交點時,點P到兩定點的距離之和最
小,最小值為|AB|.如圖①,在直線l上任取一點P',則|P'A|+|P'B|≥|AB|=|PA|+|PB|.
(2)若兩定點A,B在直線l的同側,如圖②,作點A關于直線l的對稱點A',連接A'B,交直線l于點P,此
時點P到兩定點A,B的距離之和最小.

圖①
定點 5 與對稱有關的最值問題
圖②
2.在直線l上求一點P,使P到兩定點的距離之差最大的求法
　　類比1中方法,利用“三角形任意兩邊之差小于第三邊”解決,必要時進行點關于直線的
對稱轉化.
典例 已知直線l:x-2y+8=0和兩點A(2,0),B(-2,-4),且點P在直線l上.
(1)當|PA|+|PB|最小時,點P的坐標為　　　 ;
(2)當||PB|-|PA||最大時,點P的坐標為　　　 .
(-2,3)
(12,10)
思路點撥：易知A,B兩點在直線l的同側.
(1)利用對稱性將同側兩點轉化為異側兩點,再利用兩點之間線段最短求解.
(2)根據三角形任意兩邊之差小于第三邊求解.
解析：(1)易知A,B兩點在直線l的同側.
設點A關于直線l的對稱點為A'(m,n),
則 解得
故A'(-2,8).因為P為直線l上一點,
所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,當且僅當B,P,A'三點共線時,|PA|+|PB|取得最小值,此時點P為
直線A'B與直線l的交點.
又直線A'B的方程為x=-2,
所以由 得
故點P的坐標為(-2,3).
(2)易知A,B兩點在直線l的同側,
因為P是直線l上一點,
所以||PB|-|PA||≤|AB|,當且僅當A,B,P三點共線時,||PB|-|PA||取得最大值,此時點P為直線AB與
直線l的交點.
又直線AB的方程為y=x-2,
所以由 得
故點P的坐標為(12,10).
與距離有關的最值問題的解題策略
(1)利用對稱轉化為兩點之間的距離問題.
(2)利用所求式子的幾何意義轉化為點到直線的距離或者兩平行線間的距離問題.
　　一般地,形如 的式子可視為點(x,y)與點(a,b)之間的距離,所以解決相關
的最值問題時,可應用數形結合思想,將其轉化為點到直線的距離或兩平行線之間的距離問
題.
(3)利用距離公式將問題轉化為一元二次函數的最值問題,通過配方求最值.
定點 6 與距離有關的最值問題
典例 (1)已知m,n,a,b∈R,且滿足3m+4n=6,3a+4b=1,則 的最小值為 (　 )
A. 　 B. 　 C.1　 D.
(2)已知實數x,y滿足2x+y+3=0,則 的最小值為　　　 .
C
解析：(1)設P(m,n),Q(a,b),則|PQ|= .
依題意,P,Q兩點分別在直線l1:3x+4y-6=0與l2:3x+4y-1=0上.易知直線l1與l2平行,
所以|PQ|的最小值就是兩平行直線間的距離d,又d= =1,所以 的最
小值為1.故選C.
(2)易知 = .
設P(x,y),A(-1,0),
則 表示點P與點A之間的距離.又點P(x,y)在直線2x+y+3=0上,
所以 的最小值即為點A到直線2x+y+3=0的距離.
易知點A(-1,0)到直線2x+y+3=0的距離為 = ,故所求最小值為 .

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