資源簡(jiǎn)介

2.4.2　圓的一般方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　二元二次方程與圓的關(guān)系
1.若方程x2+y2+4x+2y-m=0表示一個(gè)圓,則m的取值范圍是(　　)
A.(-∞,-5)　　　　B.(-5,+∞)　　
C.(-∞,5)　　　　D.(5,+∞)
2.(多選題)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個(gè)圓,則實(shí)數(shù)m的可能取值為(　　)
A.-1　　B.0　　C.　　D.
題組二　圓的一般方程及其應(yīng)用
3.圓的一般方程為x2+y2-4x-6y-3=0,則它的圓心坐標(biāo)和半徑分別為(　　)
A.(2,3),　　　　B.(3,2),　　
C.(2,3),4　　　　D.(3,2),4
4.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則x2+y2的最小值為(　　)
A.2-　　B.7+4　　C.2+　　D.7-4
5.方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,則該圓圓心位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.已知點(diǎn)A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),M(2,a)四點(diǎn)共圓,則a=　　　　.
7.趙州橋,又名安濟(jì)橋,位于河北省石家莊市趙縣的洨河上,距今已有1 400多年的歷史,是保存最完整的古代單孔敞肩石拱橋,其高超的技術(shù)水平和不朽的藝術(shù)價(jià)值,彰顯了中國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧和力量.2023年以來(lái),中國(guó)文旅市場(chǎng)迎來(lái)強(qiáng)勁復(fù)蘇,某地一旅游景點(diǎn)為吸引游客,參照趙州橋的樣式在景區(qū)內(nèi)興建圓拱橋(如圖1),該圓拱橋的圓拱跨度為16 m,拱高為4 m,在該圓拱橋的示意圖中建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.
(1)求這座圓拱橋的拱圓的方程;
(2)若該景區(qū)游船寬10 m,水面以上高3 m,試判斷該景區(qū)游船能否從橋下通過(guò),并說(shuō)明理由.(附:≈1.732)
　
題組三　與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題
8.(教材習(xí)題改編)已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(4,0),且AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為3,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是　　　　　　　　　.
9.(2023四川成都雙流中學(xué)期中)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(1,).
(1)求△ABC的外接圓的方程;
(2)在外接圓上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線PD,D為垂足,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程.
能力提升練
題組　圓的方程及其應(yīng)用
1.在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過(guò)點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(　　)
A.5　　B.10　　C.15　　D.20
2.已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與圓C:x2-12x+y2+16y-25=0相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的長(zhǎng)為整數(shù)時(shí),所有滿足條件的直線的條數(shù)為(　　)
A.12　　B.13　　C.25　　D.26
3.已知兩定點(diǎn)P,Q(m,0),如果動(dòng)點(diǎn)M與P,Q的距離之比=λ(λ>0且λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓,若其方程為x2+y2=4,則λ+m的值為(　　)
A.-8　　B.-4　　
C.0　　D.4
4.已知圓O:x2+y2=16,過(guò)點(diǎn)P(8,0)的動(dòng)直線l與圓O相交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,則M的軌跡的長(zhǎng)度為(　　)
A.8　　B.　　
C.　　D.
5.已知定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓O:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,則點(diǎn)P的軌跡為　　　　　　　　　　　　.
6.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,A和B是圓C:x2-2x+y2=0上兩點(diǎn),且|AB|=,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),則|2-|的取值范圍為　　　　　　.
7.已知圓C上的任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)A(2,0),B(-2,0)的距離之比為,則圓C的方程是　　　　　　;在直線l:3x+4y+m=0上存在點(diǎn)P滿足:過(guò)P作圓C的切線,切點(diǎn)分別為M,N,且四邊形PMCN的面積為4,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　　　　.
8.已知某圓的圓心在直線y=x上,且該圓過(guò)點(diǎn)(-2,2),半徑為2,直線l的方程為(m+1)x+(2m-1)y-3m=0.
(1)求此圓的方程;
(2)若直線l過(guò)定點(diǎn)A,點(diǎn)B,C在此圓上,且AB⊥AC,求|BC|的范圍.
9.(教材習(xí)題改編)()如圖,已知正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求對(duì)角線AC所在直線的方程;
(2)求正方形ABCD外接圓的方程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P為外接圓上一點(diǎn),點(diǎn)N(-2,0)為定點(diǎn),問(wèn)線段PN的中點(diǎn)M的軌跡是什么 并求出軌跡方程.
答案與分層梯度式解析
2.4.2　圓的一般方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.B 2.BC 3.C 4.D 5.D
1.B　因?yàn)榉匠蘹2+y2+4x+2y-m=0表示一個(gè)圓,所以42+22+4m>0,解得m>-5.故選B.
解題技巧　對(duì)于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,計(jì)算D2+E2-4F,若其值為正,則表示圓;若其值為0,則表示一個(gè)點(diǎn);若其值為負(fù),則不表示任何圖形.
2.BC　方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0,變形得[x-(m+3)]2+[y+(1-4m2)]2=-7m2+6m+1,當(dāng)且僅當(dāng)-7m2+6m+1>0,即7m2-6m-1<0時(shí)此方程表示圓,解得-3.C　x2+y2-4x-6y-3=0即(x-2)2+(y-3)2=16,故圓心坐標(biāo)為(2,3),半徑為4.故選C.
4.D　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,圓心為(2,0),設(shè)為C,半徑r=.x2+y2表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)O(0,0)的距離的平方,又|OC|==2,所以x2+y2的最小值為（|OC|-r）2=7-4.故選D.
5.D　∵方程x2+y2+ax-2ay+2a2+3a=0表示的圖形是半徑為r(r>0)的圓,∴a2+(-2a)2-4(2a2+3a)>0且圓心為,解得-46.答案　1
解析　設(shè)過(guò)A,B,C的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
則解得
所以過(guò)A,B,C的圓的方程為x2+y2+6x-2y-15=0,
又點(diǎn)M在此圓上,所以4+a2+12-2a-15=0,即a2-2a+1=0,所以a=1.
7.解析　(1)設(shè)這座圓拱橋的拱圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因?yàn)樵摴皥A過(guò)A(-8,0),B(8,0),C(0,4),
所以解得所以拱圓的方程為x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100.
(2)當(dāng)x=5時(shí),52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3,
所以該景區(qū)游船不能從橋下通過(guò).
8.答案　(x-8)2+y2=36(y≠0)
解析　設(shè)C(x,y)(y≠0),則D.∵B(4,0),且AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為3,∴+=9,即(x-8)2+y2=36(y≠0).
9.解析　(1)設(shè)外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>0,
因?yàn)橥饨訄A經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(2,0),C(1,)三點(diǎn),
所以解得
所以外接圓的方程為x2+y2-4=0.
(2)設(shè)M(x,y),P(xP,yP),則D(xP,0),
因?yàn)镸為線段PD的中點(diǎn),所以xP=x,yP=2y,
又點(diǎn)P在圓x2+y2=4上,
所以x2+(2y)2=4,即+y2=1,
故點(diǎn)M的軌跡方程為+y2=1.
能力提升練
1.B 2.C 3.B 4.B
1.B　把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-1)2+(y-3)2=10,則圓心坐標(biāo)為(1,3),半徑為,設(shè)M(1,3),根據(jù)題意畫出圖形,如圖.
由圖可知過(guò)點(diǎn)E的最長(zhǎng)弦為直徑AC,最短弦為過(guò)E且與直徑AC垂直的弦BD,則|AC|=2,|MB|=,|ME|==,所以|BD|=2|BE|=2=2,所以四邊形ABCD的面積S=|AC|·|BD|=×2×2=10.故選B.
2.C　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y+8)2=125,可得圓心為C(6,-8),半徑r=5.由|OC|==10<5,可知原點(diǎn)在圓C內(nèi)部.又過(guò)原點(diǎn)的直線l與圓C相交于M,N兩點(diǎn),故|MN|max=2r=10,當(dāng)OC與直線l垂直時(shí),|MN|min=2=2=10,因此10≤|MN|≤10,又22<10<23,因此滿足條件的直線l的條數(shù)為(22-10)×2+1=25.故選C.
3.B　設(shè)M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的軌跡方程為x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4.故選B.
4.B　圓O的圓心為O(0,0),半徑為4,設(shè)M(x,y),由線段AB的中點(diǎn)為M,可得OM⊥MP,即有·=(x,y)·(8-x,-y)=x(8-x)-y·y=0,即(x-4)2+y2=16,由題知點(diǎn)M在圓O內(nèi),所以點(diǎn)M的軌跡是以C(4,0)為圓心,4為半徑的圓在圓x2+y2=16內(nèi)部的部分.
如圖,EF垂直平分OC于D,=,所以∠ECD=60°,∠ECF=120°,
所以M的軌跡的長(zhǎng)度為×2πr=×2π×4=.故選B.
5.答案　以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)和點(diǎn)
解析　如圖所示.設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以線段OP與線段MN的中點(diǎn)重合,
所以即故N(x+3,y-4).
又點(diǎn)N(x+3,y-4)在圓x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.
當(dāng)點(diǎn)P在直線OM上時(shí),有x=-,y=或x=-,y=.因此所求軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)和點(diǎn).
解后反思　本題求軌跡方程的方法為代入法,先找到所求動(dòng)點(diǎn)與已知?jiǎng)狱c(diǎn)的關(guān)系,再代入已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程.
6.答案　[-,+]
解析　設(shè)2-=,則有=(+),所以A為BE的中點(diǎn),|AE|=|AB|=.過(guò)C作CF⊥AB,垂足為F,因?yàn)閨AB|=,所以|AF|=|BF|=,|CF|==,|EF|=|AE|+|AF|=+=,所以|CE|===,所以點(diǎn)E的軌跡方程為(x-1)2+y2=5,又|CP|=,所以=-,=+.所以|2-|的取值范圍為[-,+].
7.答案　(x+4)2+y2=12;[-8,32]
解析　設(shè)(x,y)是圓C上的任意一點(diǎn),則=,化簡(jiǎn)得圓C的方程為(x+4)2+y2=12.圓心C的坐標(biāo)為(-4,0),半徑為2,由題意知PM⊥CM,PN⊥CN,所以|PM|=|PN|=,又S四邊形PMCN=2×|PM|×|CM|=×2=4,所以|PC|=4.又點(diǎn)P在直線l:3x+4y+m=0上,所以|PC|不小于C到直線l的距離,即4≥d=,解得-8≤m≤32,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-8,32].
8.解析　(1)∵圓心在直線y=x上,∴設(shè)圓心為(a,a),
又圓過(guò)點(diǎn)(-2,2),半徑為2,
∴=2,∴a=0,
∴圓的方程為x2+y2=8.
(2)(m+1)x+(2m-1)y-3m=0即(x+2y-3)m+(x-y)=0,
令解得∴直線l過(guò)定點(diǎn)A(1,1),
取線段BC的中點(diǎn)為D(x,y),原點(diǎn)為O,
∵AB⊥AC,D為BC的中點(diǎn),∴|BD|=|AD|,|BC|=2|AD|,又|OB|2=|OD|2+|BD|2,∴8=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,
化簡(jiǎn)得+=,即D的軌跡是以為圓心,為半徑的圓,記M,
又|AM|=<,∴|AD|的取值范圍為,
∴|BC|的取值范圍為[-,+].
9.解析　(1)由直線方程的兩點(diǎn)式可知,對(duì)角線AC所在直線的方程為=,整理得x-y-2=0.
(2)設(shè)G為正方形ABCD外接圓的圓心,則G為AC的中點(diǎn),∴G(2,0).
設(shè)r為正方形ABCD外接圓的半徑,則r=|AC|,
又|AC|==4,∴r=2.
∴正方形ABCD外接圓的方程為(x-2)2+y2=8.
(3)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),
則∴∵P為外接圓上一點(diǎn),
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓,軌跡方程為x2+y2=2.
7(共16張PPT)
2.4　圓的方程
　
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.
2.圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),圓心為 ,半徑為 .
說(shuō)明:對(duì)于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,
①當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí),它不表示任何圖形;
②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn) .
3.圓的直徑式方程:平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=
0.
知識(shí)點(diǎn) 1 圓的方程
必備知識(shí) 清單破
4.圓的參數(shù)方程:以(a,b)為圓心,r為半徑的圓的參數(shù)方程是 其中α是參數(shù).
點(diǎn)M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)或圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的位置關(guān)系及判
斷方法:
知識(shí)點(diǎn) 2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 利用距離判斷 利用方程判斷 點(diǎn)M在圓上 |CM|=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 + +Dx0+Ey0+F=0
點(diǎn)M在圓外 |CM|>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 + +Dx0+Ey0+F>0
點(diǎn)M在圓內(nèi) |CM|知識(shí)辨析
1.方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圓嗎
2.方程 (x+2)2+(y+2)2=5是否表示圓心是(2,2),半徑是 的圓
3.過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是否可以表示為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0)
4.方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)一定表示圓嗎
5.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程各有什么特點(diǎn)
6.如果方程x2+y2+2kx+2y+2k2=0表示圓,那么k的取值范圍是什么 點(diǎn)A(1,2)與此圓有怎樣的位
置關(guān)系
一語(yǔ)破的
1.不一定.當(dāng)m=0時(shí),方程表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)m≠0時(shí),方程表示一個(gè)圓.
2.不是.圓心應(yīng)為(-2,-2).
3.可以.設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由原點(diǎn)在圓上得a2+b2=r2>0,因此過(guò)原點(diǎn)的圓的
標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(a2+b2>0).
4.一定.原方程可化為x2+y2+ax-ay=0(a≠0),因?yàn)镈2+E2-4F=2a2>0,所以方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a
≠0)一定表示圓.
5.從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以直接得出圓心與半徑,有較強(qiáng)的幾何特點(diǎn).圓的一般方程是一種特殊的
二元二次方程,圓心和半徑需要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算才能得出,代數(shù)特征更明顯.
6.由方程表示圓,得(2k)2+22-4×2k2>0,解得-10,故點(diǎn)
A在圓外.
1.幾何法
利用相關(guān)幾何性質(zhì)確定圓心和半徑,即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
相關(guān)幾何性質(zhì)如下:
①圓心與切點(diǎn)的連線垂直于圓的切線;
②圓心到切線的距離等于圓的半徑;
③圓的半徑r,弦長(zhǎng)的一半h與弦心距d滿足r2=h2+d2;
④圓的弦的垂直平分線過(guò)圓心;
⑤已知圓心所在的直線l及圓上兩點(diǎn),則兩點(diǎn)連線(圓的弦)的垂直平分線m(m與l不重合)與l的
交點(diǎn)即為圓心.
定點(diǎn) 1 圓的方程的求解
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
(1)根據(jù)題意設(shè)出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程;
(2)根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程(或方程組);
(3)解方程(或方程組),求出參數(shù)的值;
(4)將求得的參數(shù)的值代入所設(shè)的方程中,即可得到所求圓的方程.
2.待定系數(shù)法
典例 求符合下列條件的圓的方程:
(1)圓心是(4,-1),且過(guò)點(diǎn)(5,2);
(2)圓心在直線x-2y-3=0上,且過(guò)點(diǎn)A(2,-3),B(-2,-5);
(3)經(jīng)過(guò)A(1,4),B(-2,3),C(4,-5)三點(diǎn).
解析：(1)解法一:由題意知,圓的半徑為 = ,又圓心是(4,-1),故所求圓的方
程為(x-4)2+(y+1)2=10.
解法二:由題可設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y+1)2=r2(r>0),把(5,2)代入可得r2=10,故所求圓的方
程為(x-4)2+(y+1)2=10.
(2)解法一:設(shè)C為圓心.因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x-2y-3=0上,所以可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a+3,a).由于圓過(guò)A,
B兩點(diǎn),所以|CA|=|CB|,即 = ,解得a=-2,因此圓心C的
坐標(biāo)為(-1,-2),半徑r= ,故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),由題意得
解得 故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
解法三:易得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-4),kAB= = ,所以弦AB的垂直平分線的斜率為-2,
所以弦AB的垂直平分線的方程為y+4=-2x,即2x+y+4=0.
由 解得
所以圓心坐標(biāo)為(-1,-2),因此圓的半徑r= = ,
故所求圓的方程為(x+1)2+(y+2)2=10.
(3)解法一:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因?yàn)辄c(diǎn)A,B,C在圓上,
所以 解得
故所求圓的方程為x2+y2-2x+2y-23=0,即(x-1)2+(y+1)2=25.
解法二:易得kAB= = ,kAC= =-3.
因?yàn)閗AB·kAC=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以∠A為直角的直角三角形,其外心是線段BC的中
點(diǎn),坐標(biāo)為(1,-1),其外接圓半徑r= |BC|=5.故所求圓的方程為(x-1)2+(y+1)2=25.
技巧點(diǎn)撥 求圓的方程時(shí),如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)、
半徑列方程(組),那么一般選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件與圓心和半徑都無(wú)直接關(guān)系,那
么一般選用圓的一般方程.
與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的求解方法
(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.
(2)定義法:根據(jù)圓、直線等的定義列方程.
(3)相關(guān)點(diǎn)法:找到要求點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)的關(guān)系,用要求點(diǎn)的相關(guān)信息表示出相關(guān)點(diǎn),再代入相關(guān)點(diǎn)
滿足的關(guān)系式.
定點(diǎn) 2 與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題
典例 已知直角三角形ABC的斜邊為AB,且A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.
解析：(1)解法一:設(shè)C(x,y).由題意可知AC⊥BC,且A,B,C三點(diǎn)不共線,AC,BC所在直線的斜率
存在.
又kAC= ,kBC= ,所以 · =-1(y≠0),化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).因此,直角頂
點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
解法二:設(shè)C(x,y).
由勾股定理得|AC|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化簡(jiǎn)得x2+y2-2x-3=0.又A,B,C三點(diǎn)不
共線,所以y≠0,即x≠3且x≠-1.因此,直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).
解法三:設(shè)線段AB的中點(diǎn)為D,則D(1,0).
由直角三角形的性質(zhì)知,|CD|= |AB|=2.
由圓的定義知,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點(diǎn)不共線,所以應(yīng)
除去此圓與x軸的交點(diǎn)).
設(shè)C(x,y),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1).
(2)設(shè)M(x',y'),C(x0,y0).
由題意得 即
由(1)知,點(diǎn)C在圓(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上,將(x0,y0)代入,得(2x'-4)2+(2y')2=4,即(x'-2)2+y'2=1(x'
≠3且x'≠1).
因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).2.4　圓的方程
2.4.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.圓心為(-2,3),半徑是3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.(x-2)2+(y+3)2=9　　　　B.(x+2)2+(y-3)2=3
C.(x+2)2+(y-3)2=9　　　　D.(x-2)2+(y+3)2=3
2.設(shè)A(1,-1),B(5,1),則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　)
A.(x-3)2+y2=20　　　　B.(x-3)2+y2=5
C.(x+3)2+y2=20　　　　D.(x+3)2+y2=5
3.圓心在x軸上,并且過(guò)點(diǎn)A(-1,3)和B(1,1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.(x+4)2+y2=18　　　　B.(x+3)2+y2=10
C.(x-2)2+y2=10　　　　D.(x+2)2+y2=10
4.已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線x-y+1=0對(duì)稱,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.(x+1)2+(y-1)2=9　　　　
B.(x-1)2+(y-1)2=81
C.x2+y2=9　　　　
D.x2+(y+1)2=9
5.過(guò)點(diǎn)A(4,1)的圓C與直線x-y=1相切于點(diǎn)B(2,1),則圓C的方程為　(　　)
A.(x-3)2+(y+1)2=5　　　　B.(x-3)2+y2=
C.(x-3)2+(y-8)2=50　　　　D.(x-3)2+y2=2
6.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2),(0,4),且圓心M在直線2x-y-1=0上,則圓M的方程為　　　　　　.
7.已知圓C過(guò)點(diǎn)O(0,0),且與直線x+y+4=0相切,則滿足要求的面積最小的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　.
8.(教材習(xí)題改編)已知△AOB的頂點(diǎn)分別為A(2,0),B(0,4),O(0,0),則△AOB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　.
9.已知直線l:4x-3y-4=0,請(qǐng)寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下條件的圓M的方程:　　　　　　　　　.
①圓M與x軸相切;
②圓M與直線l相切;
③圓M的半徑為2.
10.分別求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,2),B(2,3),圓心在x軸上;
(2)經(jīng)過(guò)直線x+2y+3=0與x-2y+3=0的交點(diǎn),圓心為點(diǎn)C(-2,1).
題組二　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
11.已知a,b是方程x2-x-=0的兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則點(diǎn)P(a,b)與圓C:x2+y2=8的位置關(guān)系是(　　)
A.點(diǎn)P在圓C內(nèi)　　　　B.點(diǎn)P在圓C外　　
C.點(diǎn)P在圓C上　　　　D.無(wú)法確定
12.點(diǎn)P(5a+1,12a)在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是　　　　.
能力提升練
題組　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用
1.方程|x|-1=表示的曲線為(　　)
A.兩個(gè)半圓　　　　B.一個(gè)圓　　
C.半個(gè)圓　　　　D.兩個(gè)圓
2.已知Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為　 (　　)
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.(多選題)設(shè)直線l:x+y-4=0被半徑為3的圓C截得的弦AB的中點(diǎn)為P(3,1),且弦長(zhǎng)|AB|=2,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.x2+(y-3)2=9　　
B.(x-4)2+(y-3)2=9
C.(x-2)2+y2=9　　
D.(x-4)2+(y-2)2=9
4.我國(guó)后漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖證明了勾股定理,這種利用面積出入相補(bǔ)證明勾股定理的方法巧妙又簡(jiǎn)便,對(duì)于勾股定理,我國(guó)歷史上有多位數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了不同的面積證法,如魏晉時(shí)期的劉徽,清代的梅文鼎、華蘅芳等.其中華蘅芳證明勾股定理時(shí)構(gòu)造的圖形如圖所示,若|CB|=1,|CA|=2,∠ACB=90°,以C為原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,以AB的中點(diǎn)D為圓心作圓D,使得圖里三個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)中恰有2個(gè)頂點(diǎn)在圓D外部,則圓D的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　.(寫出一個(gè)即可)
5.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,以AB為直徑的圓C與直線l交于A,D兩點(diǎn),且A,D的坐標(biāo)分別為(3,6),(1,t),E為劣弧上一點(diǎn),滿足=,若點(diǎn)B在y軸的右側(cè),直線CE的斜率為2,△ABD的面積為15,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　.
6.對(duì)非原點(diǎn)O的點(diǎn)M,若點(diǎn)M'在射線OM上,且|OM|·|OM'|=r2,則稱M'為M的“r-圓稱點(diǎn)”,圖形G上的所有點(diǎn)的“r-圓稱點(diǎn)”組成的圖形G'稱為G的“r-圓稱形”.則A(1,0)的“3-圓稱點(diǎn)”為　　　　　　,圓(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原點(diǎn))的“3-圓稱形”的方程為　　　　　　.
7.在△ABC中,A(-4,1),B(8,5),△ABC的內(nèi)心為D(6,1).
(1)求△ABC內(nèi)切圓的方程;
(2)求△ABC外接圓的方程.
答案與分層梯度式解析
2.4　圓的方程
2.4.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.C 2.B 3.D 4.D 5.D 11.A
1.C　圓心為(a,b),半徑是r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.故選C.
2.B　由題知,所求圓的圓心為(3,0),半徑為=,所以以線段AB為直徑的圓的方程是(x-3)2+y2=5.故選B.
知識(shí)延伸　平面上以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑的兩端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.D　∵圓心在x軸上,∴設(shè)圓心為M(a,0),∵圓過(guò)點(diǎn)A(-1,3)和B(1,1),∴|MA|=|MB|,得|MA|2=|MB|2,即(a+1)2+9=(a-1)2+1,解得a=-2,可得圓心為M(-2,0),半徑為|MA|==.故所求圓的方程為(x+2)2+y2=10.故選D.
4.D　設(shè)圓心為C(a,b),由圓心C與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱,得直線CP與直線y=x+1垂直,∵直線y=x+1的斜率為1,∴直線CP的斜率為-1,∴=-1,化簡(jiǎn)得a+b+1=0①,∵線段CP的中點(diǎn)在直線y=x+1上,∴=+1,化簡(jiǎn)得a-b-1=0②,聯(lián)立①②,可解得a=0,b=-1,∴圓心C的坐標(biāo)為(0,-1),∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+1)2=9.故選D.
5.D　設(shè)圓心為C(a,b),因?yàn)橹本€x-y=1與圓C相切于點(diǎn)B(2,1),所以kBC==-1,即a+b-3=0,易知線段AB的中垂線方程為x=3,圓心C在直線x=3上,故a=3,b=0,所以半徑r==,所以圓C的方程為(x-3)2+y2=2.故選D.
名師點(diǎn)睛　確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑,常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式,有時(shí)還用到圓的幾何性質(zhì),如弦的中垂線必過(guò)圓心,圓心到切線的距離等于半徑等.
6.答案　(x-2)2+(y-3)2=5
解析　因?yàn)閳AM過(guò)點(diǎn)(0,2)和(0,4),所以圓心在直線y=3上,又圓心在直線2x-y-1=0上,故圓心的坐標(biāo)為(2,3),故半徑r==,故圓M的方程為(x-2)2+(y-3)2=5.
7.答案　(x+1)2+(y+1)2=2
解析　過(guò)O作直線x+y+4=0的垂線,垂足為A,如圖.當(dāng)OA為直徑時(shí),圓C的面積最小.又O到直線x+y+4=0的距離d==2,所以半徑r=,設(shè)圓心為C(a,b),因?yàn)閳AC與直線x+y+4=0相切,所以·(-1)=-1,即a=b,又a2+b2=2,所以a=-1,b=-1,故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=2.
8.答案　(x-1)2+(y-2)2=5
解析　解法一:設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因?yàn)榇藞A過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,4),O(0,0),
所以解得
故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=5.
解法二:由題得,kOA=0,線段OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),中垂線方程為x=1,同理線段OB的中垂線方程為y=2,聯(lián)立兩中垂線方程得△AOB外接圓的圓心為(1,2),利用兩點(diǎn)間距離公式可求出圓心與點(diǎn)O的距離為,即半徑為,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=5.
解后反思　三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn).
9.答案　x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4(寫出其中的一個(gè)即可)
解析　由①③知圓心的縱坐標(biāo)為2或-2,設(shè)其橫坐標(biāo)為a.當(dāng)圓心為M(a,2)時(shí),因?yàn)閳AM與直線l相切,所以=2,解得a=0或a=5.當(dāng)圓心為M(a,-2)時(shí),因?yàn)閳AM與直線l相切,所以=2,解得a=2或a=-3.所以圓M的方程為x2+(y-2)2=4或(x-5)2+(y-2)2=4或(x-2)2+(y+2)2=4或(x+3)2+(y+2)2=4.
10.解析　(1)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+y2=r2,
由題意得解得
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=13.
(2)聯(lián)立解得所以交點(diǎn)為(-3,0),
則所求圓的半徑為=,
所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2)2+(y-1)2=2.
11.A　由題意得a+b=1,ab=-,∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8,∴點(diǎn)P在圓C內(nèi),故選A.
12.答案　
解析　因?yàn)辄c(diǎn)P在圓(x-1)2+y2=1的內(nèi)部,所以(5a+1-1)2+(12a)2<1,所以-能力提升練
1.A 2.C 3.CD
1.A　兩邊平方得(|x|-1)2=2y-y2,整理得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由題知|x|-1≥0,即|x|≥1,即x≥1或x≤-1.當(dāng)x≥1時(shí),方程為(x-1)2+(y-1)2=1,表示圓心為(1,1)且半徑為1的圓的右半部分;當(dāng)x≤-1時(shí),方程為(x+1)2+(y-1)2=1,表示圓心為(-1,1)且半徑為1的圓的左半部分.
綜上所述,方程|x|-1=表示的曲線為兩個(gè)半圓,故選A.
2.C　解法一:設(shè)C(x,y),則|CA|2+|CB|2=|AB|2,
∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.
∵A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形,∴y≠0.
∴直角頂點(diǎn)C的軌跡方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).
解法二:依題意得,直角頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)C與點(diǎn)A,B不重合.易知線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),|AB|=10,所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-2)2+y2=25(y≠0).故選C.
易錯(cuò)警示　若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則三點(diǎn)不共線,在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及求出方程后要注意排除不滿足題目要求的取值.
3.CD　由題意設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=9.圓心C(a,b)到直線l的距離d===,①
∵直線l:x+y-4=0被圓C截得的弦AB的中點(diǎn)為P(3,1),∴kPC·kl=-1,即×(-1)=-1,②
由①②可得a=4,b=2或a=2,b=0,∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-2)2=9或(x-2)2+y2=9.故選CD.
4.答案　+(y-1)2=(答案不唯一)
解析　如圖所示,A(0,2),B(1,0),C(0,0),則D,易知點(diǎn)D到正方形ACNM、ABRS、BCPQ的頂點(diǎn)A,C,N,M,B,R,S,P,Q的距離依次為,,,,,,,,,所以圓D的方程為+(y-1)2=r2.故圓D的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程為+(y-1)2=.此答案不唯一.
5.答案　(x-5)2+=
解析　根據(jù)題意畫出大致圖形如圖,
因?yàn)辄c(diǎn)E為劣弧上一點(diǎn),滿足=,所以CE⊥BD,因?yàn)锳B為圓C的直徑,所以∠ADB=90°,即AD⊥BD,所以CE∥AD.因?yàn)閗CE=2,所以kAD=2,又A(3,6),所以直線AD:y=2x,又D(1,t),所以t=2,所以D(1,2),設(shè)B的坐標(biāo)為(m,n)(m>0),因?yàn)锳D⊥BD,kAD=2,所以kBD=-,即=-,所以m+2n=5①.
因?yàn)椤鰽BD的面積為15,|AD|==2,所以|AD|·|BD|=×2×=15,即|2m-n|=15②,聯(lián)立①②解得或(舍去),即B(7,-1).
所以C,半徑R=|AC|==,
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-5)2+=.
6.答案　(9,0);2x+4y-9=0
解析　設(shè)A的“3-圓稱點(diǎn)”為A'.∵A(1,0),∴射線OA所在直線的方程為y=0(x>0),∵A'在射線OA上,∴設(shè)A'(a,0),a>0,由|OA|·|OA'|=r2=9,可得1×a=9,∴a=9,∴A(1,0)的“3-圓稱點(diǎn)”為(9,0).設(shè)M(x0,y0)為圓(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原點(diǎn))上任意一點(diǎn),M'(x,y)為其“3-圓稱形”上一點(diǎn),∵點(diǎn)M'在射線OM上,∴O,M,M'三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)k(k>0),使=k,則(x,y)=k(x0,y0),即x=kx0,y=ky0,由|OM|·|OM'|=r2=9,可得·=·=9,可得k(+)=9,∵M(jìn)(x0,y0)在圓(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原點(diǎn))上,∴+-2x0-4y0=0,故k(+)-2kx0-4ky0=0,即9-2x-4y=0,整理得2x+4y-9=0,∴圓(x-1)2+(y-2)2=5(不包含原點(diǎn))的“3-圓稱形”的方程為2x+4y-9=0.
7.解析　(1)由A(-4,1),B(8,5)可得直線AB的方程為y-1=(x+4),即x-3y+7=0,
所以D(6,1)到直線x-3y+7=0的距離d==,
因此△ABC內(nèi)切圓的半徑為,圓心為D(6,1),
所以△ABC內(nèi)切圓的方程為(x-6)2+(y-1)2=10.
(2)設(shè)直線AB與內(nèi)切圓相切于點(diǎn)M,內(nèi)切圓半徑為r,連接AD,BD,DM,如圖,
因?yàn)閨AB|==4,
|AM|===3,
所以|BM|=|AB|-|AM|==r,
所以∠ABD=45°,
因?yàn)锽D平分∠ABC,所以∠ABC=2∠ABD=90°,因此AB⊥BC,
所以△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形.
由kAB==,得kBC=-=-3,
所以直線BC的方程為y=-3(x-8)+5,
又AD∥x軸,所以直線AB,AC關(guān)于直線AD對(duì)稱,因此kAC=-kAB=-,
因此直線AC的方程為y=-(x+4)+1,
聯(lián)立直線AC,BC的方程,得解得故C(11,-4),
因此AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即外接圓圓心為,又外接圓的半徑為|AC|=×=,
故△ABC外接圓的方程為+=.
7

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