資源簡介

2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.1　直線與圓的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與圓的位置關系
1.圓x2+(y+1)2=1與直線x+2y+3=0的位置關系是(　　)
A.相交　　　　B.相切
C.相離　　　　D.不能確定
2.直線3x+my-2m=0平分圓C:x2+2x+y2-2y=0,則m=(　　)
A.　　B.1　　C.-1　　D.-3
3.若點(m,n)在圓O:x2+y2=4上,則直線mx+ny=4與圓O的位置關系是(　　)
A.相離　　B.相切　　C.相交　　D.不確定
4.圓x2+y2=1與直線xsin θ+y-1=0的位置關系為(　　)
A.相交　　　　B.相切　　
C.相離　　　　D.相切或相交
5.(教材習題改編)已知直線mx-y-m-1=0,圓x2+y2-4x-2y+1=0.當m為何值時,圓與直線:
(1)有兩個公共點
(2)只有一個公共點
(3)沒有公共點
6.已知圓C經過A(2,0),B(0,4)兩點,且圓心在直線2x-y-3=0上.
(1)求圓C的標準方程;
(2)過點T(-1,0)的直線l與圓C交于P,Q兩點,且·=-5,求直線l的方程.
題組二　圓的相交弦問題
7.若直線l:y=x+2與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則|AB|=(　　)
A.　　B.2　　C.2　　D.4
8.已知直線l:y=2x與圓C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)交于A,B兩點,且點C到直線l的距離等于|AB|,則a的值為(　　)
A.1　　　　B.2+4
C.1或-　　　　D.2+4或2-4
9.直線y=kx+2與圓(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N兩點,若|MN|≥2,則k的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.∪
C.　　　　D.∪
10.已知直線xsin θ+2ycos θ=2(θ∈R)與圓O:x2+y2=4交于A,B兩點,則|AB|的最大值為　　　　.
11.已知圓C:x2+(y-1)2=5,直線l:mx-y+1-m=0.
(1)求證:對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點;
(2)設直線l與圓C交于A,B兩點,若|AB|=,求m的值.
12.已知定點A(1,-3),點B為圓(x+1)2+(y+1)2=4上的動點.
(1)求AB的中點C的軌跡方程;
(2)若過定點P的直線l與C的軌跡交于M,N兩點,且|MN|=,求直線l的方程.
題組三　圓的切線問題
13.過點P(2,4)向圓(x-1)2+(y-1)2=1引切線,則切線的方程為(　　)
A.x=-2或4x+3y-4=0　　　　　B.4x-3y+4=0
C.x=2或4x-3y+4=0　　　　　D.4x+3y-4=0
14.已知直線l:x+y-4=0上有一動點P,過點P向圓x2+y2=1引切線,則切線長的最小值是(　　)
A.　　B.　　C.2-1　　D.2
15.過圓O:x2+y2=1外一點P(a-2,a)作圓O的切線,切點分別為A,B,則直線AB過定點(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
16.過圓x2+y2=4外一點P(4,2)作圓的兩條切線,切點分別為A,B,則△ABP的外接圓的方程是　　　　.
17.已知圓M:x2+(y-2)2=1,點P是直線l:x+2y=0上的一個動點,過點P作圓M的切線PA,PB,切點分別為A,B.
(1)當切線PA的長度為時,求點P的坐標;
(2)求線段AB長度的最小值.
能力提升練
題組一　直線與圓的位置關系
1.無論實數t取何值,直線tx+y+t-1=0與圓(x-2)2+(y-2)2=m2恒有公共點,則實數m的取值范圍是(　　)
A.m>　　　　
B.m≥
C.m<-或m>　　　　
D.m≤-或m≥
2.若圓M:x2+y2-6x+8y=0上至少有3個點到直線l:y-1=k(x-3)的距離為,則k的取值范圍是(　　)
A.[-,0)∪(0,]　　　　
B.[-,]
C.(-∞,-]∪[,+∞)　　　　
D.(-∞,-)∪(,+∞)
3.(多選題)已知圓M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直線l:y=kx,則下列命題中正確的是(　　)
A.對任意實數k和θ,直線l和圓M都有公共點
B.對任意實數θ,必存在實數k,使得直線l與圓M相切
C.對任意實數k,必存在實數θ,使得直線l與圓M相切
D.存在實數k與θ,使得圓M上有一點到直線l的距離為3
4.已知直線l:kx-y+k=0,若直線l與圓x2-2x+y2-4y+3=0在第一象限內的部分有公共點,則k的取值范圍是　　　　.
題組二　圓的相交弦、切線問題
5.已知圓C:(x-1)2+y2=4,直線l:x-my+2m=0與圓C相交于A,B兩點,若圓C上存在點P,使得△ABP為正三角形,則實數m的值為(　　)
A.-　　　　B.
C.-或0　　　　D.或0
6.在平面直角坐標系Oxy中,過點A(0,a)向圓C:(x-2)2+(y-1)2=3引切線,切線長為d1,設點A到直線x-y+4=0的距離為d2,當d1+d2取最小值時,a=(　　)
A.　　B.3　　C.2　　D.1
7.已知圓O:x2+y2=r2(r>0),A(x1,y1),B(x2,y2)是圓O上兩點,滿足x1+y1=x2+y2=3,x1x2+y1y2=-r2,則r=(　　)
A.　　B.3　　C.2　　D.3
8.已知P,Q是圓O:x2+y2=2上的兩個動點,點A在直線l:x+y-4=0上,若∠PAQ的最大值為90°,則∠PAQ最大時,點A的坐標是(　　)
A.(1,)　　　　B.　　
C.(4,0)　　　　D.
9.(多選題)已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0,則所給說法錯誤的是(　　)
A.y-x的最大值為-2
B.x2+y2的最大值為7+4
C.的最大值為
D.x+y的最大值為2+
10.在平面直角坐標系Oxy中,圓O:x2+y2=1,圓C:(x-4)2+y2=4.若存在過點P(m,0)的直線l被兩圓截得的弦長相等,則實數m的取值范圍是　　　　　　.
11.已知直線l:x+y+m=0,圓C:x2+y2-4x=0,若在直線l上存在一點P,使得過點P所作的圓的切線PA,PB(切點分別為A,B)滿足∠APB=60°,則m的取值范圍為　　　　　.
題組三　直線與圓的位置關系的綜合應用
12.設m∈R,圓M:x2+y2-2x-6y=0,若動直線l1:x+my-2-m=0與圓M交于點A,C,動直線l2:mx-y-2m+1=0與圓M交于點B,D,則|AC|+|BD|的最大值是　　　　.
13.已知圓O:x2+y2=1和直線l:x+y-2=0,圓P以點(-1,-2)為圓心,且直線l被圓P所截得的弦長為.
(1)求圓P的方程;
(2)設M為圓P上任意一點,過點M向圓O引切線,切點為N,試探究:平面內是否存在一定點R,使得為定值 若存在,請求出定點R的坐標,并指出相應的定值;若不存在,請說明理由.
14.為了保證我國東海油氣田海域的海上平臺的生產安全,海事部門在某平臺O的正東方向設立了兩個觀測站A,B(點A在點O與點B之間),它們到平臺O的距離分別為3海里和12海里,記海平面上到兩觀測站A,B的距離的比值為的點P的軌跡為曲線E,規定曲線E及其內部區域為安全預警區(如圖).
(1)如圖,以O為坐標原點,AB所在直線為x軸,1海里為單位長度,建立平面直角坐標系,求曲線E的方程;
(2)某日在觀測站B處發現,在該海上平臺O的正南方向相距2海里的C處,有一艘輪船正以每小時10海里的速度向北偏東30°方向航行,如果航向不變,該輪船是否會進入安全預警區 如果不進入,說明理由;如果進入,請求出它在安全預警區中的航行時間.
答案與分層梯度式解析
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.1　直線與圓的位置關系
基礎過關練
1.A 2.D 3.B 4.D 7.B 8.C 9.A 13.C
14.A 15.B
1.A　由已知可得圓的圓心為(0,-1),半徑為1,
圓心到直線x+2y+3=0的距離d==<1,
∴直線與圓的位置關系為相交.故選A.
2.D　因為直線3x+my-2m=0平分圓C:x2+2x+y2-2y=0,所以直線過圓心C(-1,1),所以-3+m-2m=0,解得m=-3.故選D.
3.B　圓O:x2+y2=4的圓心為O(0,0),半徑r=2,
O(0,0)到直線mx+ny=4的距離d=,
又點(m,n)在圓O:x2+y2=4上,則m2+n2=4,故d=2=r,所以直線mx+ny=4與圓O相切.故選B.
4.D　圓x2+y2=1的圓心坐標為(0,0),半徑r=1,圓心到直線xsin θ+y-1=0的距離d=≤1,即d≤r,∴直線與圓的位置關系為相交或相切.(速解:易知直線xsin θ+y-1=0恒過點(0,1),而(0,1)是圓上的點,∴直線與圓的位置關系是相交或相切)故選D.
5.解析　解法一:將直線方程mx-y-m-1=0代入圓的方程,化簡并整理,得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0.易知Δ=4m(3m+4).
(1)當Δ>0,即m>0或m<-時,直線與圓相交,即直線與圓有兩個公共點.
(2)當Δ=0,即m=0或m=-時,直線與圓相切,即直線與圓只有一個公共點.
(3)當Δ<0,即-解法二:圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,
故圓心為(2,1),半徑r=2.
設圓心(2,1)到直線mx-y-m-1=0的距離為d,
則d==.
(1)當d<2,即m>0或m<-時,直線與圓相交,即直線與圓有兩個公共點.
(2)當d=2,即m=0或m=-時,直線與圓相切,即直線與圓只有一個公共點.
(3)當d>2,即-6.解析　(1)由題得線段AB的中點為(1,2),直線AB的斜率為=-2,
所以線段AB的中垂線方程為y-2=(x-1),即x-2y+3=0,
易知圓心C為AB的中垂線與直線2x-y-3=0的交點,
聯立解得x=y=3,故圓心為C(3,3),
又圓C的半徑r=|AC|==,
所以圓C的標準方程為(x-3)2+(y-3)2=10.
(2)因為過點T(-1,0)的直線l與圓C相交于P,Q兩點,所以||=||=,又·=-5,故×cos∠PCQ=-5,可得∠PCQ=120°,
所以C到直線PQ的距離為,
易知直線l的斜率存在,設為k,則直線l:y=k(x+1),即kx-y+k=0,
可得=,解得k=或k=,
則直線l的方程為x-3y+1=0或13x-9y+13=0.
7.B　圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑r=2,
所以圓心到直線l:y=x+2的距離d==,所以|AB|=2=2,故選B.
8.C　圓C:x2+y2+2x-4ay+1=0(a≠0)即(x+1)2+(y-2a)2=4a2(a≠0),所以其圓心為C(-1,2a),半徑r=|2a|,
則圓心到直線l:y=2x的距離d=,
因為點C到直線l的距離等于|AB|,所以d2+=r2,
即+=4a2,解得a=1或a=-.故選C.
9.A　由圓的方程:(x-3)2+(y-2)2=4,可得其圓心為(3,2),半徑r=2,所以圓心到直線y=kx+2的距離d==,由弦長公式可得|MN|=2=2,因為|MN|≥2,所以2≥2,所以0≤d≤1,即∈[0,1],解得-≤k≤,故k的取值范圍是.故選A.
10.答案　2
解析　易知圓O的圓心為O(0,0),半徑R=2,設圓心O到直線的距離為d,則d==≥1(僅當cos2θ=1時取等號),又|AB|=2=2,故當d取最小值時|AB|取得最大值,即d=1時,|AB|取得最大值,且|AB|max=2.
11.解析　(1)證明:易知直線l過定點(1,1),記P(1,1),∵|PC|==1<,即點P在圓C內,∴對m∈R,直線l與圓C總有兩個不同的交點.
(2)∵圓C的半徑r=,|AB|=,∴圓心(0,1)到l的距離d==,即=,解得m=±.
12.解析　(1)設點C的坐標為(x,y),則點B的坐標為(2x-1,2y+3),
∵點B為圓(x+1)2+(y+1)2=4上的動點,
∴(2x-1+1)2+(2y+3+1)2=4,即x2+(y+2)2=1,
∴AB的中點C的軌跡方程為x2+(y+2)2=1.
(2)由(1)知點C的軌跡為圓,且該圓的圓心為(0,-2),半徑r=1.當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=,此時|MN|=,滿足條件;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y+1=k,
∵r=1,|MN|=,∴圓心(0,-2)到直線l的距離d=,即d==,解得k=,
∴直線l的方程為y+1=,即6x-8y-11=0.
綜上,直線l的方程為x=或6x-8y-11=0.
13.C　若切線與x軸垂直,則切線方程為x=2,此時圓心(1,1)到直線x=2的距離為1,與圓的半徑相等,符合題意;
當切線的斜率存在時,設切線的方程為y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
由題意可得==1,解得k=,
此時,所求切線的方程為4x-3y+4=0.
綜上所述,所求切線方程為x=2或4x-3y+4=0.
故選C.
14.A　設坐標原點為O,圓x2+y2=1的半徑為r.根據切線的性質可得切線長==,要使切線長最小,則要求|OP|最小,易知當OP⊥l時,滿足要求,此時|OP|==2,∴切線長的最小值為=,故選A.
15.B　不妨設P(x0,y0),則以OP為直徑的圓的方程為x(x-x0)+y(y-y0)=0,即x2+y2-x0x-y0y=0①,記該圓為M.因為PA,PB是圓O的切線,所以OA⊥PA,OB⊥PB,所以A,B在圓M上,所以AB是圓O與圓M的公共弦,又因為圓O:x2+y2=1②,所以由①-②得直線AB的方程為x0x+y0y-1=0,又x0=a-2,y0=a,代入得(a-2)x+ay-1=0,即a(x+y)-2x-1=0,令解得所以直線AB過定點.故選B.
16.答案　(x-2)2+(y-1)2=5
解析　不妨設yA>yB,坐標原點為O.由題意可得A(0,2),所求圓的圓心在AP的垂直平分線(即直線x=2)上,且在弦AB的垂直平分線(即直線OP)上,易得直線OP的方程為y=x,聯立x=2和y=x,可得x=2,y=1,∴所求圓的圓心為(2,1),故所求圓的半徑的平方r2=(2-0)2+(1-2)2=5,∴所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.
17.解析　(1)由題意可知,圓M的圓心為M(0,2),半徑r=1,設P(-2b,b),
因為PA是圓M的一條切線,A為切點,所以∠MAP=90°,又|AM|=r=1,|AP|=,
所以|MP|===2,解得b=0或b=,
所以點P的坐標為(0,0)或.
(2)設P(-2t,t),因為PA,PB是圓M的兩條切線,切點分別為A,B,所以∠PAM=∠PBM=90°,
所以A,P,B,M四點共圓,且以MP為直徑,
設圓心為N,可得圓N的方程為x(x+2t)+(y-2)(y-t)=0,即x2+y2+2tx-(t+2)y+2t=0①,
又圓M:x2+y2-4y+3=0②,
所以由①-②得圓M與圓N的相交弦AB所在直線的方程為2tx-(t-2)y+2t-3=0.
點M(0,2)到直線AB的距離d=,所以|AB|=2=2=2,
所以當t=時,線段AB的長度取最小值,為.
能力提升練
1.D 2.C 3.AC 5.C 6.C 7.D 8.A 9.CD
1.D　直線tx+y+t-1=0即t(x+1)+y-1=0,所以直線過定點(-1,1),因為直線與圓恒有公共點,所以點(-1,1)在圓內或在圓上,所以(-1-2)2+(1-2)2≤m2,解得m≤-或m≥.故選D.
2.C　圓M:x2+y2-6x+8y=0可化為(x-3)2+(y+4)2=25,∴圓心坐標為(3,-4),半徑為5.若圓M上至少有3個點到直線l:y-1=k(x-3)的距離為,則圓心(3,-4)到直線l的距離應小于或等于,即≤,解得k≥或k≤-,∴k的取值范圍是(-∞,-]∪[,+∞).
3.AC　圓心M(-cos θ,sin θ)到直線l的距離d===|sin(θ+φ)|,其中tan φ=k.∵d≤1,∴直線l與圓M恒有公共點,A正確.當θ=0時,d=<1恒成立,此時不存在實數k,使得直線l和圓M相切,B錯誤.無論k為何值,d=|sin(θ+φ)|=1都有解,即對任意實數k,必存在實數θ,使得直線l與圓M相切,C正確.∵d≤1,且圓上任一點到直線l的距離都不超過d+1,∴d+1≤2,D錯誤.故選AC.
4.答案　[2-,3)
解析　圓x2-2x+y2-4y+3=0可化為(x-1)2+(y-2)2=2,∴圓心為(1,2),半徑r=,記C(1,2).
由直線l:kx-y+k=0即y=k(x+1),可得直線l過定點(-1,0),記A(-1,0).
如圖,當直線與圓相切于點M時直線斜率最小,且直線斜率的最大值趨近于kAB.
由=,可得k=2±,結合圖形可知kAM=2-;
由A(-1,0),B(0,3),可得kAB==3,
∴k的取值范圍是[2-,3).
5.C　圓C:(x-1)2+y2=4的圓心為C(1,0),半徑r=2,圓心C到直線l的距離d==,|AB|=2=2,由△ABP為等邊三角形,可得P到直線AB的距離為|AB|=,過P作直線n∥l,設直線n:x-my+t=0,t≠2m,可得直線n與圓C相切,即有=2,解得t=-1±2,則直線l,n間的距離為=,由|AB|>0,得m<,所以m=0或m=-.故選C.
6.C　由題可知圓C的圓心為C(2,1),半徑r=,
點A(0,a)到圓心C的距離為|AC|==,
所以切線長d1===,可看成點A到定點P(1,1)的距離,
由(1-2)2+(1-1)2<3,可知P(1,1)在圓C內.
如圖,設過A向圓引的切線的切點為B,過點P作PH垂直于直線x-y+4=0,垂足為H,與y軸的交點為A',所以kPH=-1,
則直線PH:y-1=-(x-1),即y=-x+2,
令x=0,得y=2,即A'(0,2).易知當點A與A'重合時,d1+d2有最小值,此時a=2.故選C.
7.D　因為A(x1,y1),B(x2,y2)滿足x1+y1=x2+y2=3,所以AB所在直線的方程為x+y=3,由題知A,B是圓O:x2+y2=r2(r>0)與直線x+y=3的公共點,聯立消去x,可得2y2-6y+9-r2=0,可得y1y2=,同理可得x1x2=,又x1x2+y1y2=-r2,故+=-r2,解得r=3(負值舍去).故選D.
8.A　O(0,0)到直線x+y-4=0的距離d==2>,故直線與圓相離,故直線上任意一點A與圓上兩點P,Q所成角最大時,AP,AQ均為圓的切線,如圖,
因為∠PAQ的最大值為90°,所以當∠PAQ最大時,四邊形APOQ是邊長為的正方形,則|OA|=2,此時d=|OA|,令A(4-y,y),則有(4-y)2+y2=4,即y2-2y+3=0,所以y=,即A(1,).故選A.
9.CD　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,它表示以(2,0)為圓心,為半徑的圓.令y-x=a,=k,x+y=b,則這三條直線都與該圓有公共點,所以≤,≤,≤,解得--2≤a≤-2,-≤k≤,2-≤b≤2+,所以y-x的最大值為-2,的最大值為,x+y的最大值為2+,所以A中說法正確,C、D中說法錯誤;易知x2+y2表示圓上的點與坐標原點間距離的平方,且圓上的點到原點的距離的范圍為[2-,2+],即2-≤≤2+,故7-4≤x2+y2≤7+4,所以x2+y2的最大值為7+4,B中說法正確.故選CD.
方法總結　若P(x,y)是定圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上一動點,則mx+ny,,x2+y2的最值一般都采用幾何法求解,具體求法如下:
①mx+ny的最值:設mx+ny=t,則圓心C(a,b)到直線mx+ny=t的距離d=,由d≤r可得兩個t值,一個為最大值,一個為最小值.
②的最值:即點P與原點連線的斜率,通過數形結合可求得斜率的最大值和最小值.
③x2+y2的最值:x2+y2可視為點P到原點的距離d的平方,可通過圓心到原點的距離加上或者減去半徑得到d的最大值或最小值,然后平方即可.
10.答案　-4解析　顯然直線l的斜率存在,設直線l:y=k(x-m),即kx-y-km=0,
依題意得1->0,4->0,且1-=4-有解,故∴∴13-8m>0,
消去k2可得3m2+8m-16<0,解得-411.答案　[-4-2,4-2]
解析　圓C:x2+y2-4x=0可化為(x-2)2+y2=4,其圓心為(2,0),半徑r=2,
過點P作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,連接PC,CA,CB,如圖所示,
若直線l:x+y+m=0上存在點P滿足∠APB=60°,則∠APC=30°,
又CA⊥PA,
故|PC|=2|CA|=2r=4,
故點C到直線l的距離d=≤4,
解得-4-2≤m≤4-2,
即m的取值范圍是[-4-2,4-2].
12.答案　2
解析　圓M:x2+y2-2x-6y=0可化為(x-1)2+(y-3)2=10,∴其圓心為M(1,3),半徑r=.
由直線l1:x+my-2-m=0,即x-2+m(y-1)=0,可知l1過定點(2,1),記E(2,1),
由直線l2:mx-y-2m+1=0,即m(x-2)-y+1=0,可知l2過定點E(2,1).
易知l1⊥l2,如圖,設線段AC和BD的中點分別為F,G,則四邊形EFMG為矩形,
設|MF|=d,0≤d≤|ME|=,則|MG|===,
則|AC|+|BD|=2+2=2(+)≤2=2,
當且僅當10-d2=5+d2,即d=時取等號.
13.解析　(1)點P(-1,-2)到直線l的距離d==,
故圓P的半徑r==4,
所以圓P的方程為(x+1)2+(y+2)2=16.
(2)設M(x,y),R(a,b),則(x+1)2+(y+2)2=16,整理得x2+y2=-2x-4y+11,
則|MN|2=|MO|2-1=x2+y2-1,|MR|2=(x-a)2+(y-b)2,
則==
=,
若使為定值,則==,
解得或
所以平面內存在一定點R,使得為定值,且當R的坐標為時,=,當R的坐標為1-,2-時,=.
14.解析　(1)設P(x,y),由題意知A(3,0),B(12,0),且=,即2=,
化簡得x2+y2=36,所以曲線E的方程為x2+y2=36.
(2)由題意知C(0,-2),設D為輪船原航線上任意一點,如圖.
∵輪船向北偏東30°方向航行,
∴直線CD的傾斜角為60°,即直線CD的斜率為,
∴直線CD的方程為y=x-2,
∵曲線E的方程為x2+y2=36,圓心O(0,0),半徑R=6海里,
圓心O到直線CD的距離d==(海里),滿足d∴如果輪船不改變航向,那么它一定會進入安全預警區.
直線CD被圓O截得的弦長l=2=10(海里),
∵輪船以每小時10海里的速度航行,
∴它在安全預警區中的航行時間t==1(小時).
故如果航向不變,輪船一定會進入安全預警區,它在安全預警區中的航行時間為1小時.
7(共38張PPT)
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關系
2.5.1　直線與圓的位置關系
　　設圓M:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0).圓心M(a,b)到直線l的距離
d= .由 消去y(或x),得到關于x(或y)的一元二次方程,其判別式
為Δ.
知識點 直線與圓的位置關系
位置關系 相交 相切 相離
公共點個數 2 1 0
幾何法 dr
代數法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
必備知識 清單破
知識辨析
1.若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解,則直線和圓的位置關系有哪些可能
2.若直線與圓相交,則相交弦的垂直平分線經過圓的圓心嗎
3.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線方程與圓的方程聯立消元后得到的一元二次方程是
否有解
4.經過圓內一點(非圓心)的最長弦與最短弦所在直線的位置關系如何
5.若兩條不重合的直線被同一個圓截得的弦長相等,則這兩條直線一定平行嗎
一語破的
1.相交或相切.
2.經過.
3.沒有.若圓心到直線的距離大于半徑,則直線與圓相離,消元后的方程一定無解.
4.垂直.經過圓內一點(非圓心)的最長弦即為經過該點的直徑,最短弦和該直徑垂直.
5.不一定.也可能相交.
　　判斷直線和圓的位置關系主要有幾何法和代數法兩種方法.幾何法側重圖形的幾何性
質,較代數法步驟簡捷,所以一般選用幾何法.
定點 1 直線與圓的位置關系
關鍵能力 定點破
典例 已知圓x2+y2=1與直線y=kx-3k,當k分別為何值時,直線與圓:①相交 ②相切 ③相離
解析：解法一(代數法):聯立
消去y,整理得(k2+1)x2-6k2x+9k2-1=0,
則Δ=(-6k2)2-4(k2+1)(9k2-1)=-32k2+4=4(1-8k2).
①當直線與圓相交時,Δ>0,故- ②當直線與圓相切時,Δ=0,故k=± ;
③當直線與圓相離時,Δ<0,故k<- 或k> .
解法二(幾何法):圓心(0,0)到直線y=kx-3k的距離d= = .
由題意知,圓的半徑r=1.
①當直線與圓相交時,d②當直線與圓相切時,d=r,即 =1,解得k=± ;
③當直線與圓相離時,d>r,即 >1,解得k<- 或k> .
技巧點撥：直線與圓的位置關系的判斷方法
直線與圓的位置關系反映在三個方面,一是點到直線的距離與圓半徑大小的關系;二是直線
與圓的公共點的個數;三是兩方程組成的方程組解的個數.因此,若給出圖形,可直接根據公共
點的個數判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數法求解,幾何法計算量小,代數
法可一同求出交點.解題時可根據已知條件做出恰當的選擇.
1.過點P(x0,y0)的圓的切線方程的求法
過定點P作已知圓的切線,當點P在圓內時,無切線;當點P在圓上時,有且只有一條切線;當點P
在圓外時,有兩條切線.
(1)當點P在圓上時,求點P與圓心連線的斜率,若斜率存在且不為0,記其為k,則切線斜率為- ;
若斜率為0,則切線斜率不存在;若斜率不存在,則切線斜率為0.
(2)當點P在圓外時,設切線斜率為k,由點斜式寫出切線方程,利用圓心到切線的距離等于半徑
r解出k即可(若僅求出一個k值,則還有一條斜率不存在的切線).
2.切線長的求法
　　過圓外一點P可作圓的兩條切線,我們把點P與切點之間的距離稱為切線長.切線長可由
勾股定理來計算.
定點 2 與圓有關的切線問題
如圖,從圓外一點P(x0,y0)作圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切線,則切線長為 .

3.過圓上一點的切線僅有一條,可熟記下列結論
(1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2=r2(r>0)上,則過點P的圓的切線方程為x0x+y0y=r2;
(2)若點P(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則過點P的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2;
(3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上,則過點P的圓的切線方程為x0x+y0y+D·
+E· +F=0.
4.過圓外一點的切線有兩條,可熟記下列結論
(1)若點P(x0,y0)為圓x2+y2=r2(r>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,如圖1,則直線
AB的方程為x0x+y0y=r2.

(2)若點P(x0,y0)為圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為A,B,如圖2,
則直線AB的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.

(3)若點P(x0,y0)為圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點,過點P作圓的兩條切線,切點分別為
A,B,則直線AB的方程為x0x+y0y+D· +E· +F=0.
典例 (1)已知圓的方程為x2+y2=13,它與斜率為- 的直線相切,則該切線方程為
　 　　　　 　 .
(2)過點A(4,-3)作圓C:(x-3)2+(y-1)2=1的切線,則其切線長為　　　 .
(3)已知圓C:x2+y2=9,點P為直線x+2y-9=0上一動點,過點P向圓C引兩條切線PA,PB,且A,B為切
點,則直線AB經過定點　　　 .
2x+3y-13=0或2x+3y+13=0
4
(1,2)
解析：(1)解法一:由題可設所求切線方程為y=- x+b,即2x+3y-3b=0.
因為圓x2+y2=13與直線2x+3y-3b=0相切,
所以圓心(0,0)到直線2x+3y-3b=0的距離d= = ,解得b=± .所以所求切線方程為2x+
3y-13=0或2x+3y+13=0.
解法二:由題可設所求切線方程為y=- x+b.
由 消去y并整理,得 x2- x+b2-13=0.令Δ=0,即 b2-4× ×(b2-13)=0,解得b=± .
所以所求切線方程為2x+3y-13=0或2x+3y+13=0.
(2)易得點A在圓C外,圓心C的坐標為(3,1),圓的半徑為1.
設切點為B,則△ABC為直角三角形,
易得|AC|= = ,|BC|=1,所以|AB|= = =4,所以切線長
為4.
(3)設P(9-2b,b),易得直線AB的方程為(9-2b)x+by=9,即b(y-2x)+9x=9,令 解得 故
直線AB經過定點(1,2).
1.直線與圓相交的弦長的求法
定點 3 直線與圓相交的弦長及圓的中點弦問題
幾何法 利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,弦長l之間的關系r2=d2+ 求解
代數法 若直線與圓的交點坐標易求出,則求出交點坐標,然后用兩點間的距離公式計算弦長
弦長公式法 設直線l:y=kx+b與圓的兩交點分別為(x1,y1),(x2,y2),將直線方程代入圓的方程,消元后得到關于x(或y)的一元二次方程,利用根與系數的關系得弦長l= |x1-x2|
=
= (k≠0)
2.解決與中點弦有關問題的方法
(1)聯立直線方程與圓的方程,消元后得到一個一元二次方程,利用根與系數的關系求出中點
坐標;
(2)設出弦的兩個端點的坐標,利用點在圓上得到兩個方程,通過作差求出弦所在直線的斜率,
此法即為點差法;
(3)利用圓本身的幾何性質,即圓心與非直徑的弦中點的連線與弦所在直線垂直解決問題.
典例1 直線l經過點P(5,5),且和圓C:x2+y2=25相交于A,B兩點,截得的弦的長為4 ,求直線l的
方程.
思路點撥：通過討論直線斜率不存在的情況,可知直線的斜率存在,直接設出直線的點斜式
方程.
思路一:聯立直線與圓的方程,消去y,得到一個關于x的一元二次方程,利用根與系數的關系結
合弦長公式求出斜率k,進而求出l的方程.
思路二:求出圓心到直線l的距離,利用半徑、半弦長、圓心到直線的距離之間的關系求出斜
率k,進而求出l的方程.
解析：若直線l的斜率不存在,則l:x=5,與圓C相切,不合題意,所以直線l的斜率存在.
設直線l的方程為y-5=k(x-5),且與圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點.
解法一:由 消去y,
得(k2+1)x2+10k(1-k)x+25k(k-2)=0.
所以Δ=[10k(1-k)]2-4(k2+1)·25k(k-2)>0,解得k>0.
又因為x1+x2=- ,x1x2= ,
所以|AB|=
=
=4 ,整理得2k2-5k+2=0,解得k= 或k=2,均符合題意.
故直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.
解法二:直線l:y-5=k(x-5),即kx-y+5(1-k)=0.設圓心(0,0)到直線l的距離為d,圓C的半徑為r,則d=
,r=5,
又d= = = ,
所以 = ,解得k= 或k=2,均符合題意.
所以直線l的方程為x-2y+5=0或2x-y-5=0.
典例2 已知圓x2+y2-4x+6y-12=0內一點A(4,-2),求以A為中點的弦所在直線l的方程.
思路點撥：根據斜率是否存在進行分類討論.
思路一:結合一元二次方程根與系數的關系列方程求解.
思路二:利用“點差法”及“設而不求,整體代換”的策略求解.
思路三:利用圓的幾何性質——非直徑的弦的中點與圓心的連線和弦所在的直線垂直求解.
解析：解法一:由題知直線l與圓有兩個交點,設兩個交點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),
當直線l的斜率存在時,設其為k,則直線l的方程為y+2=k(x-4),代入圓的方程,消去y,
得(1+k2)x2-(8k2-2k+4)x+16k2-8k-20=0.
則Δ>0,x1+x2= =4×2,解得k=-2.
所以直線l的方程為2x+y-6=0.
當直線l的斜率不存在時,其方程為x=4,此時圓與直線l的兩個交點分別為(4,-3- ),(4,-3+
),不滿足題意.
綜上,直線l的方程為2x+y-6=0.
解法二:由題知直線l與圓有兩個交點,設兩個交點分別為B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=8,y1+y2=-4.
當直線l的斜率不存在時,其方程為x=4,此時圓與直線l的兩個交點分別為(4,-3- ),(4,-3+
),不滿足題意.
當直線l的斜率存在時,設其為k,則k= .
把B,C兩點的坐標分別代入圓的方程,
得
①-②,等號兩邊同時除以(x1-x2)并整理,得(x1+x2)+(y1+y2)· -4+6· =0,即8-4k-4+6k=0,
解得k=-2.
故直線l的方程為2x+y-6=0.
綜上,直線l的方程為2x+y-6=0.
解法三:當直線l的斜率不存在時,其方程為x=4,此時圓與直線l的兩個交點分別為(4,-3- ),
(4,-3+ ),不滿足題意.
設圓心為M,直線l的斜率為k.
易知M(2,-3),所以kMA= ,所以k=-2.
所以直線l的方程為2x+y-6=0.
利用圓的方程解決最值問題的方法
(1)由某些代數式的結構特征聯想其幾何意義,然后利用直線與圓的方程及解析幾何的有關
知識,結合圖形的直觀性來分析并解決問題,常涉及的幾何量有直線的斜率、截距,兩點間的
距離等.
(2)轉化成函數解析式,利用函數的性質解決.
(3)利用三角代換,若點P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上,則設 (θ為參數),代入目
標函數,利用三角函數知識求最值.
定點 4 與圓有關的最值問題
典例1 已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0.
(1)m∈R時,證明l與C總相交;
(2)當m取何值時,l被C截得的弦最短 求最短弦的長.
解析：(1)證明:直線l的方程可化為y+3=2m(x-4),由直線的點斜式方程可知,直線恒過點(4,-3),
記P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,
所以點P在圓內,故直線l與圓C總相交.
(2)圓的方程可化為(x-3)2+(y+6)2=25.
結合弦長公式可知,當圓心C(3,-6)到直線l的距離最大時,l被C截得的弦最短,此時直線PC⊥l,
又kPC= =3,所以直線l的斜率為- ,則2m=- ,所以m=- .所以直線l:x+3y+5=0.
此時設直線l與圓C的兩個交點分別為A,B.在Rt△APC中,|PC|= = ,|AC|=r=5,
所以|AB|=2 =2 .
故當m=- 時,l被C截得的弦最短,最短弦的長為2 .
典例2 已知點P(x,y)是圓x2+y2=4上的一點.
(1)求4x-3y的最大值和最小值;
(2)求 的最大值和最小值;
(3)求(x-4)2+(y+3)2的最大值和最小值.
解析：(1)令4x-3y=m,則 可以看成直線4x-3y=m在x軸上的截距,要使m最大(或最小),只需直
線在x軸上的截距最大(或最小).由圖1可知,當直線4x-3y=m與圓x2+y2=4相切時,m分別取得最
大值和最小值.

圖1
由圓心(0,0)到直線4x-3y-m=0的距離等于圓的半徑,得 =2,即|m|=10,故m=±10.故
mmax=10,mmin=-10,即4x-3y的最大值為10,最小值為-10.
(2)令 =k,則k表示圓x2+y2=4上一點(x,y)與點(-2 ,-2)連線的斜率.
由圖2知,當直線y+2=k(x+2 )與圓x2+y2=4相切時,k分別取得最大值和最小值.

圖2
由 =2,得|2 k-2|=2 ,即3k2-2 k+1=k2+1,解得k=0或k= ,故kmax= ,
kmin=0,即 的最大值為 ,最小值為0.
(3)令(x-4)2+(y+3)2=d,則 表示圓上一點(x,y)與點(4,-3)的距離.如圖3,由點(4,-3)到圓心(0,0)的
距離為5可知,( )max=5+2=7,( )min=5-2=3,故dmax=49,dmin=9,即(x-4)2+(y+3)2的最大值為49,最
小值為9.

圖3
素養解讀
　　通過建立平面直角坐標系寫出直線和圓的方程,將實際問題中直線與圓的位置關系轉化
為坐標運算,體現了數學建模的核心素養.通過代數式的變形來研究不等式或最值問題,體現
了邏輯推理和數學運算的核心素養.
典例呈現
學科素養 情境破
素養 通過直線與圓的方程和位置關系在實際問題中的應用發展邏輯推理和數學建模的核心素養
例題 如圖1,某十字路口的花圃中央有一個底面半徑為2 m的圓柱形花柱,四周斑馬線的內側
連線構成邊長為20 m的正方形.因工程需要,測量員將使用儀器沿斑馬線的內側進行測量,其
中儀器P的移動速度為1.5 m/s,儀器Q的移動速度為1 m/s.若儀器P與儀器Q的對視光線被花
柱阻擋,則稱儀器Q在儀器P的“盲區”中.

圖1
(1)如圖2,斑馬線的內側連線構成正方形ABCD,儀器P在點A處,儀器Q在BC上且距離點C 4 m,
試判斷儀器Q是否在儀器P的“盲區”中,并說明理由;
(2)如圖3,斑馬線的內側連線構成正方形ABCD,儀器P從點A出發向點D移動,同時儀器Q從點
C出發向點B移動,在這個移動過程中,儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為多少

圖2 圖3
信息提?。簝x器Q在儀器P的“盲區”中要滿足P,Q的連線與圓有公共點,即相交或相切.
解題思路：(1)儀器Q在儀器P的“盲區”中,理由如下:
建立如圖①所示的平面直角坐標系,則Q(10,6),P(-10,-10),
所以kPQ= ,
所以直線PQ的方程是y-6= (x-10),
即4x-5y-10=0,故圓心O到直線PQ的距離d= = <2,
所以圓O與直線PQ相交,故儀器Q在儀器P的“盲區”中.

圖①　　　　　　　圖②
(2)建立如圖②所示的平面直角坐標系,則A(-10,-10),B(10,-10),C(10,10),D(-10,10).
依題意知起始時刻儀器Q在儀器P的“盲區”中.
假設儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為t s(t≥0),則P ,Q(10,10-t),所以kPQ=
= = ,
故直線PQ的方程是y-(10-t)= (x-10),
即(t-8)x+8y-2t=0,
從而圓心O到直線PQ的距離d= = ≤2,
即t2≤t2-16t+128,解得t≤8,
又t≥0,所以0≤t≤8.
故儀器Q在儀器P的“盲區”中的時長為8 s.
利用直線與圓的方程解應用題的步驟
(1)審題:從題目中抽象出幾何模型,明確已知和未知.
(2)建系:建立適當的平面直角坐標系,用坐標和方程表示幾何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直線與圓的有關知識求出未知.
(4)還原:將運算結果還原到實際問題中去.
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