資源簡介

2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　圓與圓的位置關(guān)系
1.圓x2+y2=2與圓x2+y2+2x-2y-a=0(a∈R)的位置關(guān)系是(　　)
A.相交　　　　B.相切　　
C.內(nèi)含　　　　D.以上均有可能
2.若圓C1:x2-2x+y2+4y+4=0與圓C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)恰有一條公切線,則r=(　　)
A.4　　B.6　　C.4或6　　D.8
3.已知圓C1:x2+(y-1)2=1和圓C2:(x-a)2+(y-1)2=16,其中a>0,則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是(　　)
A.2C.34.已知圓C1的方程為(x-a)2+y2=1,圓C2的方程為(x-a-1)2+(y-b)2=4,其中a,b∈R.那么這兩個圓的位置關(guān)系不可能為(　　)
A.外離　　B.外切　　C.內(nèi)含　　D.內(nèi)切
5.已知圓C1:x2+y2=4,圓C2:(x-4)2+(y+a)2=64,其中a∈N*.若圓C1,C2僅有2條公切線,則a的值可能是　　　　(給出滿足條件的一個值即可).
6.我們把圓心在一條直線上且相鄰圓彼此外切的一組圓叫做“串圓”.在如圖所示的“串圓”中,圓A的方程為x2+(y-1)2=2,圓C的方程為(x-6)2+(y-7)2=2,則圓B的方程為　　　　　　　　.
題組二　兩圓的公共弦問題
7.已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0與圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,則兩圓的公共弦所在直線的方程為(　　)
A.3x+4y+6=0　　　　B.3x+4y-6=0
C.3x-4y-6=0　　　　D.3x-4y+6=0
8.圓x2+y2+4x-2y=0和圓x2+y2-2x-3=0交于A,B兩點,則相交弦AB的垂直平分線的方程為(　　)
A.6x-2y+3=0　　　　B.x+3y-1=0　　
C.2x-2y+3=0　　　　D.x-3y-1=0
9.若圓O1:x2+y2=25與圓O2:(x-7)2+y2=r2(r>0)的公共弦的長為2,則r=(　　)
A.　　　　B.　　
C.或　　　　D.或
10.已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心為O2(2,1).
(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程,并求它們的內(nèi)公切線方程;
(2)若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=2.求圓O2的方程.
能力提升練
題組　圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用
1.已知圓C1:(x-a)2+(y+3)2=9與圓C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,則ab的最大值為(　　)
A.2　　　　B.2　　C.　　　　D.3
2.圓O1:x2+y2=4和圓O2:x2+y2+2x-4y=0的交點為A,B,則有(　　)
A.公共弦AB所在直線的方程為x-2y+1=0
B.公共弦AB的長為
C.線段AB的中垂線方程為2x-y=0
D.∠AO2B>
3.(多選題)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m可能的取值為(　　)
A.7　　B.6　　
C.5　　D.4
4.已知圓C1:(x-1)2+(y-2)2=1,圓C2:(x-5)2+(y-6)2=16,M,N分別是圓C1,C2上的動點,P為x軸上的動點,當(dāng)P點的橫坐標為x0時,|PM|+|PN|取得最小值,則此時|PM|+|PN|+x0=(　　)
A.2+4　　　　B.4-3 C.2+2　　　　D.9
5.已知點A,B分別為圓C1:x2+y2-2x+8y+16=0與圓C2:x2+y2-6x+5=0上的兩個動點,點P為直線l:x-y+2=0上一點,則|PA|+|PB|的最小值為　　　　,|PA|-|PB|的最小值為　　　　.
6.在平面直角坐標系Oxy中,若圓C1:+(y+2)2=r2(r>1)上任意一點關(guān)于原點的對稱點都不在圓C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,則r的取值范圍為　　　　.
7.已知P,Q分別是圓C:(x-4)2+y2=8與圓D:x2+(y-4)2=5上的點,O是坐標原點,則|PQ|+|PO|的最小值為　　　　.
8.已知圓O:x2+y2=1與圓O1:x2+y2+6x-8y-10-a=0,當(dāng)a=1時,兩圓的公切線方程為　　　　　;若兩圓相交于A,B兩點,且|AB|=,則a=　　　　.
9.已知圓C過點M(1,4),N(3,2),且圓心在直線4x-3y=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)已知平面內(nèi)兩點A(-2,0),B(2,0),P是圓C上的動點,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(3)若Q是x軸上的動點,QR,QS與圓C相切,切點分別為R,S,試問直線RS是否恒過定點 若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.D 2.B 3.B 4.C 7.D 8.B 9.D
1.D　設(shè)圓x2+y2=2與圓x2+y2+2x-2y-a=0的圓心分別為O1,O2,則O1(0,0),O2(-1,1),且圓心O2(-1,1)在圓O1上,因為圓O2的半徑不確定,所以兩圓可能相交,可能內(nèi)切,也可能內(nèi)含.故選D.
2.B　圓C1:(x-1)2+(y+2)2=1的圓心為C1(1,-2),半徑r1=1,圓C2:(x+2)2+(y-2)2=r2(r>0)的圓心為C2(-2,2),半徑為r,因為圓C1與圓C2恰有一條公切線,所以圓C1與圓C2內(nèi)切,則|C1C2|=5=|r-1|,所以r=6.故選B.
3.B　由題意知圓C1的圓心為C1(0,1),半徑R1=1,圓C2的圓心為C2(a,1),半徑R2=4,所以|C1C2|=a,要使兩圓相交,只需R2-R1<|C1C2|4.C　根據(jù)題意,知圓C1的圓心為C1(a,0),半徑r=1,圓C2的圓心為C2(a+1,b),半徑R=2,所以r+R=3,R-r=1,因為|C1C2|=≥1,所以|C1C2|≥R-r,故兩圓的位置關(guān)系不可能是內(nèi)含.故選C.
5.答案　5(答案不唯一)
解析　圓C1:x2+y2=4的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2:(x-4)2+(y+a)2=64的圓心為C2(4,-a),半徑r2=8,所以|C1C2|=,因為圓C1,C2僅有2條公切線,所以圓C1,C2相交,所以6<<10,即20故答案為5(答案不唯一,填寫5,6,7,8,9均可).
6.答案　(x-3)2+(y-4)2=8
解析　依題意可得,A(0,1),C(6,7),且B為線段AC的中點,所以B(3,4).又|AC|=6,圓A,圓C的半徑都是,所以圓B的半徑r=2.故圓B的方程為(x-3)2+(y-4)2=8.
7.D　將兩個圓的方程相減,得3x-4y+6=0.故選D.
8.B　圓x2+y2+4x-2y=0即(x+2)2+(y-1)2=5,其圓心坐標為(-2,1),圓x2+y2-2x-3=0即(x-1)2+y2=4,其圓心坐標為(1,0).易知過兩圓圓心的直線為弦AB的垂直平分線,則弦AB的垂直平分線的方程是=,即x+3y-1=0.故選B.
9.D　因為公共弦的長為2,所以圓心O1到公共弦所在直線的距離d1==2,又|O1O2|=7,所以圓心O2到公共弦所在直線的距離d2=7-2=5或d2=7+2=9,則r==或r==.故選D.
規(guī)律總結(jié)　與兩圓公共弦的長有關(guān)的問題,通常利用圓的半徑、公共弦的一半、圓心到弦的垂線段構(gòu)成一個直角三角形,結(jié)合勾股定理進行求解.
10.解析　(1)由圓O1的方程可得其圓心為O1(0,-1),半徑r1=2,設(shè)圓O2的半徑為r2(r2>0),
由題意可得|O1O2|==2,
由兩圓外切可得r1+r2=|O1O2|,即2+r2=2,可得r2=2-2,
所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=(2-2)2.
將圓O1與圓O2的方程作差,可得x+y+1-2=0,即內(nèi)公切線方程為x+y+1-2=0.
(2)設(shè)圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在直線的方程,即4x+4y+r2-8=0,
O1(0,-1)到直線AB的距離d==,
由弦長|AB|=2=2,可得d2=2,即=2,可得r2=4或r2=20,所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
方法歸納　將兩圓方程作差得直線方程時,若兩圓外切,則此直線方程是兩圓的內(nèi)公切線方程;若兩圓內(nèi)切,則此直線方程是兩圓的外公切線方程;若兩圓相交,則此直線方程是兩圓公共弦所在的直線方程.
能力提升練
1.D 2.D 3.CD 4.B
1.D　由于圓C1:(x-a)2+(y+3)2=9與圓C2:(x+b)2+(y+1)2=1外切,所以=3+1,整理得(a+b)2=16-4=12,故12=a2+b2+2ab≥4ab,即ab≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,等號成立.故選D.
2.D　由x2+y2-4=0與x2+y2+2x-4y=0作差,可得2x-4y+4=0,即x-2y+2=0,即公共弦AB所在直線的方程為x-2y+2=0,故A錯誤;圓心O1(0,0)到直線x-2y+2=0的距離d=,圓O1的半徑r=2,所以|AB|=2=,故B錯誤;易知O1O2垂直平分AB,因為圓O1的圓心為O1(0,0),圓O2:x2+y2+2x-4y=0的圓心為O2(-1,2),所以線段AB的中垂線方程為2x+y=0,故C錯誤;對于D,圓心O2(-1,2)到直線x-2y+2=0的距離d'==,又|AB|=,d'<|AB|,所以∠AO2B>,故D正確.故選D.
3.CD　圓C:(x-3)2+(y-4)2=1的圓心為C(3,4),半徑為1,∵∠APB=90°,∴P是以AB為直徑的圓上的點,又AB的中點為(0,0),記O(0,0),∴P是以O(shè)為圓心的圓上的點,∵C(3,4)到O(0,0)的距離為5,∴圓C上的點到點O的距離的最大值為6,最小值為4,又|PO|=|AB|==,故4≤≤6,解得≤m≤,故選CD.
4.B　圓C1的圓心為C1(1,2),半徑為1;圓C2的圓心為C2(5,6),半徑為4.如圖所示,設(shè)點C1關(guān)于x軸的對稱點為C3,則C3(1,-2).
則|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-4=|PC3|-1+|PC2|-4≥|C2C3|-5,
而|C2C3|==4,
所以|PM|+|PN|≥4-5,又==2,
故直線C2C3的方程為y+2=2(x-1),即y=2x-4,
令y=0,得x=2,所以x0=2,
所以|PM|+|PN|取得最小值時,|PM|+|PN|+x0=4-3.故選B.
5.答案　3-3;2+3
解析　由C1:x2+y2-2x+8y+16=0,得(x-1)2+(y+4)2=1,∴其圓心為C1(1,-4),半徑r1=1,由C2:x2+y2-6x+5=0,得(x-3)2+y2=4,∴其圓心為C2(3,0),半徑r2=2.設(shè)點C2關(guān)于直線l:x-y+2=0對稱的點為C(a,b),∴解得a=-2,b=5,即C(-2,5),
則|PA|+|PB|≥|PC1|-r1+|PC2|-r2=|PC1|-r1+|PC|-r2≥|CC1|-r1-r2,
而|CC1|==3,∴|PA|+|PB|≥3-3.
由三角形的相關(guān)性質(zhì)可知|PA|-|PB|≤|AB|,當(dāng)|AB|取到最大值時,|PA|-|PB|取到最大值,設(shè)C1C2所在直線交圓C1,C2分別于點M,N,如圖,
由圖可知,|AB|max=|MN|=|C1C2|+r1+r2=2+3,
∴|PA|-|PB|的最大值為2+3.
6.答案　
解析　設(shè)圓C1:+(y+2)2=r2(r>1)關(guān)于原點的對稱圓為C3,則C3:+(y-2)2=r2.圓C2的圓心為C2(2,1),半徑為1,圓C3的圓心為C3,半徑為r,所以|C2C3|==,由已知得,圓C3與C2無公共點,所以|C2C3|>r+1或|C2C3|<|r-1|,所以>r+1或<|r-1|,解得r<-1或r>+1,又r>1,所以r∈.
7.答案　
解析　由(x-4)2+y2=8得x2-8x+y2+8=0,于是2x2-8x+2y2+8=x2+y2,從而x2-4x+y2+4=(x2+y2),即=,設(shè)P(x,y),則|PO|等于點P到點(2,0)的距離,記M(2,0),所以|PQ|+|PO|=|PQ|+|PM|≥|MQ|,而|MQ|min=-=,所以|PQ|+|PO|的最小值為.
8.答案　3x-4y-5=0;-8或-10
解析　當(dāng)a=1時,圓O1:x2+y2+6x-8y-11=0,即(x+3)2+(y-4)2=36.因為兩圓圓心距為=5,恰為兩圓半徑之差,所以兩圓內(nèi)切,即兩圓有唯一公切線,
圓x2+y2=1與圓x2+y2+6x-8y-11=0的方程作差,可得兩圓的公切線方程為3x-4y-5=0.
若兩圓相交于A,B兩點,則由兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線的方程為6x-8y-9-a=0.因為|AB|=,圓O的半徑r=1,所以點O到直線AB的距離d==,則由點到直線的距離公式,可得=,即|-9-a|=1,解得a=-8或a=-10.
9.解析　(1)∵圓心C在直線4x-3y=0上,∴設(shè)C,由圓C過點M,N,可得|CM|=|CN|,
即=,
解得a=3,
∴圓心為C(3,4),半徑r=|CM|=2,
∴圓C的方程為(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)設(shè)O為坐標原點,P(x,y),則|AP|2+|BP|2=(x+2)2+y2+(x-2)2+y2=2(x2+y2)+8=2|PO|2+8.
∵|PO=(|OC|-r)2=(5-2)2=9,
∴(|AP|2+|BP|2)min=18+8=26.
(3)設(shè)Q(t,0),則以CQ為直徑的圓的圓心為,半徑為|CQ|=,記D,
則圓D的方程為+(y-2)2=,
即x2+y2-(3+t)x-4y+3t=0.
易知直線RS為圓C與圓D的相交弦所在直線,兩圓方程作差可得直線RS的方程,為(3-t)x+4y+3t-21=0,即(3-x)t+3x+4y-21=0.
由解得
∴直線RS恒過定點,定點坐標為(3,3).
7(共17張PPT)
2.5　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
2.5.2　圓與圓的位置關(guān)系
　　
知識點 1 圓與圓的位置關(guān)系
圓與圓的位置關(guān)系的判定方法
(1)幾何法:若兩圓的半徑分別為r1,r2,兩圓圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系如下:
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖示
d與r1,r2的關(guān)
系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|必備知識 清單破
(2)代數(shù)法:設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>
0),聯(lián)立兩圓方程得
則此方程組解的情況與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下:
方程組的解 2組 1組 0組
兩圓的公共點 2個 1個 0個
兩圓的位置關(guān)系 相交 外切或內(nèi)切 外離或內(nèi)含
　　兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置關(guān)系的相關(guān)結(jié)論如下:
知識點 2 兩圓公切線條數(shù)和兩圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系 兩圓外離 兩圓外切 兩圓相交 兩圓內(nèi)切 兩圓內(nèi)含
圖示
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
知識辨析
1.由兩圓的公切線條數(shù)能推出兩圓的位置關(guān)系嗎
2.如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實數(shù)解,則兩圓的位置關(guān)系是什么
3.如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和,則兩圓一定相交嗎
4.若兩圓有公共點,則兩圓的圓心距d和兩圓的半徑r1,r2需滿足什么條件
一語破的
1.能.由知識點2知它們有一定的對應(yīng)關(guān)系.
2.外切或內(nèi)切.
3.不一定.還需要滿足兩圓圓心距大于兩圓半徑之差的絕對值.
4.|r1-r2|≤d≤r1+r2.
定點 1 兩圓的位置關(guān)系
關(guān)鍵能力 定點破
　一般利用幾何法解決兩圓位置關(guān)系的相關(guān)問題,其關(guān)鍵是正確找出圓心和半徑,分析兩
圓圓心之間的距離與兩圓半徑的和(或差的絕對值)的大小關(guān)系.
典例 (1)圓O1:(x+2)2+(y-2)2=1與圓O2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置關(guān)系為　　　 .
(2)已知圓C1:x2+y2-2x+4y+4=0和圓C2:4x2+4y2-16x+8y+19=0,則這兩個圓的公切線的條數(shù)為
　　 .
(3)已知圓O1:x2+y2+2x+6y+9=0,圓O2:x2+y2-6x+2y+1=0,則兩圓的公切線方程為
　　　　　　 　　　　　 .
外切
2
y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0
解析： (1)設(shè)圓O1,O2的半徑分別為r1,r2,則O1(-2,2),O2(2,5),r1=1,r2=4,
因為|O1O2|= =5=r1+r2,
所以兩圓外切.
(2)易知圓C1:(x-1)2+(y+2)2=1,圓C2:(x-2)2+(y+1)2= ,
則兩圓圓心距|C1C2|= = ,
又1- < <1+ ,所以兩圓相交,
所以這兩個圓的公切線的條數(shù)為2.
(3)圓O1的圓心為O1(-1,-3),半徑r1=1;
圓O2的圓心為O2(3,-1),半徑r2=3,因為|O1O2|=2 >r1+r2,所以兩圓外離,故兩圓有四條公切線.
當(dāng)公切線的斜率存在時,設(shè)公切線方程為y=kx+b,即kx-y+b=0,
則有
解得 或 或
所以公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0.
當(dāng)公切線的斜率不存在時,易得其方程為x=0.
綜上,兩圓的公切線方程為y+4=0,4x-3y=0,3x+4y+10=0,x=0.
易錯警示 本例(3)中易忽略斜率不存在的情況,防止出現(xiàn)這種情況的有效方法就是先判斷
出兩圓的位置關(guān)系,確定公切線的條數(shù),再求解.若通過設(shè)斜截式方程求得的直線少于確定的
條數(shù),則一定有斜率不存在的公切線.

1.兩圓的公共弦所在直線方程的求法
　　設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0),圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0).
聯(lián)立,得
①-②,得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.③
若兩圓的交點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B的坐標適合方程①②,也適合方程③,因此方程③
就是經(jīng)過兩圓交點的直線方程.
有以下結(jié)論:
(1)當(dāng)兩圓相交時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是經(jīng)過兩圓交點的直線方程,即公共弦所在直線
的方程.
定點 2 兩圓的公共弦問題
(2)當(dāng)兩圓外離時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于兩圓圓心連線的一條直線的方程.
(3)當(dāng)兩圓相切時,(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是兩圓的一條公切線的方程.
(4)若兩圓(不重合)是等圓,則(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以兩圓圓心為端點的線段的垂直平
分線的方程.
2.兩圓公共弦的長度的求法
(1)代數(shù)法:將兩圓的方程聯(lián)立,解出交點的坐標,再利用兩點間的距離公式求出弦長.
(2)幾何法:①將兩圓的方程作差,求出公共弦所在直線的方程;②求出其中一個圓的圓心到公
共弦所在直線的距離;③利用勾股定理求出公共弦的長度.
3.求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程的方法
　　一般地,過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F
2>0)交點的圓的方程可設(shè)為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1),或者x2+y2+
D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2]=0(λ∈R),再由其他條件求出λ即得圓的方程.
典例1 求圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的方程及公共弦
的長.
解析：聯(lián)立
兩式相減并化簡,得x-2y+4=0,
即兩圓公共弦所在直線的方程為x-2y+4=0.
解法一:設(shè)兩圓相交于A,B兩點,則A,B兩點的坐標滿足方程組
解得 或
所以|AB|= =2 ,即公共弦的長度為2 .
解法二:由x2+y2-2x+10y-24=0得(x-1)2+(y+5)2=50,其圓心坐標為(1,-5),半徑為5 .
圓心(1,-5)到直線x-2y+4=0的距離為 =3 .
設(shè)公共弦的長度為2l(l>0),則50=(3 )2+l2,所以l= ,
故公共弦的長度為2l=2 .
易錯警示 只有在兩圓相交的前提下,方程(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0才是圓C1:x2+y2+D1x+E1y
+F1=0( + -4F1>0)與圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0( + -4F2>0)的公共弦所在直線的方程.
典例2 求以圓C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圓C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦為直徑的圓C的方程.
解析：解法一:聯(lián)立兩圓方程,得
兩式相減并化簡,得公共弦所在直線的方程為4x+3y-2=0.
聯(lián)立
解得 或
即兩圓交點為(-1,2),(5,-6).
∵圓C以公共弦為直徑,
∴其圓心是公共弦的中點,即(2,-2),半徑為 =5.
∴圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=25.
設(shè)所求圓的方程為x2+y2-12x-2y-13+λ(4x+3y-2)=0(λ為參數(shù),λ∈R),即x2+y2+(4λ-12)x+(3λ-2)y-13-
2λ=0.
可求得圓心為C .
∵圓心C在公共弦所在直線上,
∴4(6-2λ)+3 -2=0,
解得λ=2.
∴圓C的方程為x2+y2-4x+4y-17=0.
解法三:由解法一可知公共弦所在直線的方程為4x+3y-2=0.
設(shè)所求圓的方程為x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ為參數(shù),λ≠-1).
可求得圓心為C .
解法二:由解法一可知公共弦所在直線的方程為4x+3y-2=0.
∵圓心C在公共弦所在直線上,
∴4· +3· -2=0,
解得λ= .
∴圓C的方程為x2+y2-4x+4y-17=0.

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