資源簡介

第2課時　直線與橢圓的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與橢圓的位置關系
1.已知橢圓C:+y2=1,直線l:x-2y+=0,則l與C的位置關系為(　　)
A.相交　　　　B.相切
C.相離　　　　D.以上選項都不對
2.若直線l:mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數為(　　)
A.0　　B.0或1　　C.1　　D.2
3.若直線l過點(0,2)且與橢圓C:+=1僅有1個交點,則直線l的斜率為　　　　.
題組二　直線與橢圓的相交弦問題
4.(多選題)已知直線l:y=2x+1被橢圓C:+=1(0A.y=2x-2　　　　B.y=-2x-1　　
C.y=-2x+1　　　　D.y=2x-1
5.過橢圓+=1(a>b>0)的一個焦點F作弦AB,若|AF|=d1,|BF|=d2,則+=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的長軸長為2,離心率為,過右焦點F且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)當|AB|=時,求直線l的方程.
題組三　直線與橢圓的位置關系的簡單應用
7.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,且橢圓E過T(2,1),直線l:y=x+m與橢圓E交于A,B兩點.
(1)求橢圓E的標準方程;
(2)設直線TA,TB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2=0.
8.已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點D,A為左頂點,且直線DA的斜率為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)設M(m,0)在橢圓內部,T(t,0)在橢圓外,過M作斜率存在且不為0的直線交橢圓C于P,Q兩點,若∠PTM=∠QTM,求證:m·t為定值,并求出這個定值.
9.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經過點M,F為橢圓C的右焦點,O為坐標原點,△OFM的面積為.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)橢圓C的左、右兩個頂點分別為A,B,過點K(,0)的直線m的斜率存在且不為0,設直線m交橢圓C于M,N兩點,直線n過點T(-,0)且與x軸垂直,直線AM交直線n于點P,直線BN交直線n于點Q,則是不是定值 若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
能力提升練
題組一　“點差法”在橢圓中的應用
1.已知橢圓+=1,則與橢圓相交且以A(1,1)為弦中點的直線的方程為　　　　　　.
2.已知橢圓C的標準方程為+=1(a>b>0),點F(2,0)是橢圓C的右焦點,過F的直線與橢圓C相交于A,B兩點,且線段AB的中點為D,則橢圓C的離心率e=　　　　.
3.已知直線l與橢圓+=1在第一象限內交于A,B兩點,l與x軸、y軸分別交于點M,N,且|MA|=|NB|,|MN|=4,則l的方程為　　　　　　.
4.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的焦距為2c,左、右焦點分別為F1,F2,圓F1:(x+c)2+y2=1與圓F2:(x-c)2+y2=9相交,且交點在橢圓E上,直線l:y=x+m與橢圓E交于A,B兩點,且線段AB的中點為M,直線OM的斜率為-,O為坐標原點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若m=1,試問E上是否存在P,Q兩點關于l對稱,若存在,求出直線PQ的方程;若不存在,請說明理由.
題組二　橢圓中的面積問題
5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,直線y=kx(k≠0)交橢圓C于M,N兩點,且|MN|=|F1F2|,若四邊形MF1NF2的面積為16,則b=(　　)
A.2　　B.2　　C.4　　D.4
6.已知中心在原點O,焦點在y軸上,且離心率為的橢圓與經過點C(-2,0)的直線l交于A,B兩點,若點C在橢圓內,△OAB被x軸分成兩部分,且△OAC與△OBC的面積之比為3∶1,則△OAB的面積的最大值為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點A為橢圓C的右頂點,點B為橢圓上一動點,O為坐標原點,若△OAB的面積的最大值為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點,若kOM·kON=,求△MON的面積的最大值.
題組三　直線與橢圓的位置關系的綜合應用
8.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為,O為坐標原點,過C上一點P分別作與l1:y=2x和l2:y=-2x平行的直線,交直線l2,l1于點M,N,則線段MN長度的最大值為(　　)
A.4　　B.3　　C.2　　D.1
9.(多選題)橢圓有如下的光學性質:從橢圓的一個焦點出發的光線射到橢圓鏡面后反射,反射光線經過另一個焦點.現橢圓C的焦點在x軸上,中心在坐標原點O處,從左焦點F1射出的一束光線經過橢圓鏡面反射到右焦點F2.若兩段光線走過的路程的總長度為4,且橢圓的離心率為,左頂點和上頂點分別為A,B.則下列說法正確的是(　　)
A.橢圓的標準方程為+y2=1
B.若點P在橢圓上,則|BP|的最大值為
C.若點P在橢圓上,則∠F1PF2的最大值為
D.過直線y=x+1上一點M作橢圓的切線,分別交橢圓于點P,Q,則直線PQ恒過定點(-4,1)
10.已知橢圓C:+=1(a>b>0)過點A(2,1),且焦距為2.
(1)求C的方程;
(2)已知點B(2,-1),D(3,0),E為線段AB上一點,且直線DE交C于G,H兩點.證明:=+.
11.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的焦點分別為F1,F2,過左焦點F1的直線與橢圓交于M,N兩點,△MNF2的周長為4|F1F2|.
(1)求橢圓E的離心率e;
(2)直線l:y=k(x-4)與橢圓有兩個不同的交點A,B,直線l與x軸的交點為D,若A,B都在x軸上方且點A在線段DB上,O為坐標原點,△AOD和△BOD的面積分別為S1,S2,記λ=,當滿足條件的實數k變化時,λ的取值范圍是,求橢圓E的方程.
答案與分層梯度式解析
第2課時　直線與橢圓的位置關系
基礎過關練
1.A 2.D 4.BCD 5.B
1.A　解法一:由消去y并整理,得x2+x-1=0,顯然Δ=()2-4×1×(-1)=6>0,因此方程組有兩個不同的解,所以l與C相交.故選A.
解法二:易得直線l過點(-,0),因為+02<1,所以點(-,0)在橢圓+y2=1的內部,故直線l與橢圓C必相交,故選A.
2.D　因為直線l:mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,所以圓心O(0,0)到直線l的距離d=>2,即m2+n2<4,所以點P(m,n)是以原點為圓心,2為半徑的圓內部的點,
由橢圓方程+=1,可得a=3,b=2,所以圓x2+y2=4內切于橢圓,故點P(m,n)是橢圓+=1內部的點,所以過點P(m,n)的直線與橢圓的交點個數為2.故選D.
3.答案　±
解析　由已知可設直線l:y=kx+2,
聯立消去y,化簡得(2+7k2)x2+28kx+14=0.
因為直線與橢圓僅有1個交點,所以Δ=(28k)2-4×14×(2+7k2)=0,解得k=±.
4.BCD　易知橢圓C關于原點、x軸、y軸對稱.
直線y=2x-2與直線l平行,且兩直線不關于原點對稱,則直線y=2x-2被橢圓C所截得的弦長不為,A不符合要求;
直線y=-2x-1與直線l關于x軸對稱,直線y=-2x+1與直線l關于y軸對稱,直線y=2x-1與直線l關于原點對稱,則直線y=-2x-1,y=-2x+1,y=2x-1被橢圓C所截得的弦長均為,B,C,D符合要求.
5.B　令F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).
①當直線AB的斜率不存在時,直線AB的方程為x=c,
由解得y=±,則d1=d2=,所以+=;
②當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=k(x-c),
由消去y,整理得(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0,
所以x1+x2=,x1x2=,
又離心率e=,|AF|=a-ex1,|BF|=a-ex2,即d1=a-ex1,d2=a-ex2,
所以+====.
綜上,+=.故選B.
6.解析　(1)因為橢圓C的長軸長為2,所以2a=2,解得a=,
因為橢圓C的離心率e==,所以c=1,
所以b2=a2-c2=1,
則橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由(1)知橢圓C的右焦點為F(1,0),易知直線l的斜率存在,不妨設直線l的方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y并整理得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,此時Δ=8k2+8>0,
由根與系數的關系得x1+x2=,x1x2=,
因為|AB|=·=,
所以·=,
即=,解得k=±,則直線l的方程為y=±(x-1).
7.解析　(1)由題可知這個直角三角形為等腰直角三角形,腰長為a,斜邊長為2c,此時a2+a2=(2c)2,即a2=2c2,
又b==c,所以橢圓E的方程可表示為+=1,因為橢圓E過T(2,1),所以將(2,1)代入其方程,得+=1,解得c=(負值舍去),
則橢圓E的標準方程為+=1.
(2)證明:不妨設A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y并整理得3x2+4mx+2m2-6=0,此時Δ=16m2-12(2m2-6)=72-8m2>0,
解得-3由根與系數的關系可得x1+x2=-,x1x2=,
易知m≠-1,否則直線l過點T(2,1),
所以k1+k2=+=+=2++=2+=2+
=2+=2-
=2-2=0,故k1+k2=0.
8.解析　(1)由題意得A(-a,0),所以
解得故橢圓C的標準方程為+=1.
(2)設直線PQ的方程為x=ny+m(n≠0),與橢圓方程+=1聯立,消去x,整理得(3n2+4)y2+6mny+3m2-12=0,
記P(x1,y1),Q(x2,y2),因為M(m,0)在橢圓內部,所以Δ>0,
所以y1+y2=,y1y2=,
若∠PTM=∠QTM,則kTP+kTQ=0,可得+=0,
即y1(ny2+m-t)+y2(ny1+m-t)=0,
即2ny1y2+(m-t)(y1+y2)=0,可得+=0,即-24n+6mnt=0,又n≠0,
所以mt=4(定值).
9.解析　(1)由已知得
又a2=b2+c2,故a=2,b=1,c=,則橢圓C的標準方程為+y2=1.
(2)易知K(,0)在橢圓+y2=1內,因為直線m過點K且與橢圓相交,直線m的斜率存在且不為0,
所以不妨設直線m的方程為x=ty+(t≠0),另設M(x1,y1),N(x2,y2),
聯立消去x并整理得(t2+4)y2+2ty-1=0,
由根與系數的關系得y1+y2=-,y1y2=-,易知ty1y2=-=(y1+y2),直線n:x=-,
又A(-2,0),所以直線AM的方程為y=(x+2),
聯立解得yP=(2-),同理得yQ=-(2+),
所以==(7-4)·,
因為==
==(7-4)·=7-4,
則=(7-4)(7-4)=97-56.
能力提升練
5.B 6.D 8.A 9.ABD
1.答案　3x+4y-7=0
解析　設直線與橢圓的兩個交點分別為M(x1,y1),N(x2,y2),
由題意知且①-②,得+=0,整理得=-=-,
所以所求直線的斜率k=-,其方程為y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
2.答案　
解析　設A(x1,y1),B(x2,y2),由題知直線的斜率存在,
則kAB=kDF==-,且x1+x2=2,y1+y2=,
又A,B在橢圓上,故
兩式作差得+=0,
故=-=-×=,
故橢圓C的離心率e====.
3.答案　x+y-2=0
解析　設A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點為E,坐標原點為O,
由題知+=1,+=1,兩式相減可得=-,則kOE·kAB=·==-,
不妨設直線l的方程為y=kx+m,則k<0,m>0,M,N(0,m),
∵|MA|=|NB|,∴E也為MN的中點,
故E,∴kOE=-k,∴-k·k=-,解得k=-,
∵|MN|=4,∴=4,即+m2=16,
∴4m2=16,由m>0,得m=2,
∴l的方程為y=-x+2,即x+y-2=0.
4.解析　(1)因為圓F1:(x+c)2+y2=1與圓F2:(x-c)2+y2=9相交,且交點在橢圓E上,所以2a=1+3,即a=2,
設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
則①-②,得+=0,即+·=0,
即kOM·kAB=-,即-=-,即b2=1,
則橢圓E的方程為+y2=1.
(2)假設存在P,Q兩點關于l對稱,設直線PQ的方程為y=-x+t,P(x3,y3),Q(x4,y4),PQ的中點為N(xN,yN),
聯立消去y并整理,得5x2-8tx+4t2-4=0,則Δ=64t2-20(4t2-4)>0,解得-則xN==,yN=,即N,
由N在l上,可得=+1,解得t=-,此時t∈(-,),滿足題意,
故存在P,Q兩點關于l對稱,且直線PQ的方程為y=-x-.
5.B　由題意知四邊形MF1NF2為矩形,其對角線的長為2c,且|MF1|2+|MF2|2=4c2,|MF1|+|MF2|=2a,
所以=|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|×|MF2|=4a2,
故|MF1|×|MF2|==2b2,
故四邊形MF1NF2的面積為|MF1|×|MF2|=2b2=16,解得b=2(負值舍去).故選B.
6.D　設橢圓的方程為+=1(a>b>0),直線l的方程為x=my-2,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去x并整理得(b2+a2m2)y2-4ma2y+4a2-a2b2=0(*),
由橢圓的離心率e===,得b2=a2,
代入(*)式并整理得(7+9m2)y2-36my+36-7a2=0,
則y1+y2=,y1y2=,由△OAC與△OBC的面積之比為3∶1,可得y1=-3y2,則y2=,
所以△OAB的面積為S△OAC+S△OBC=×|OC|×|y1|+|OC|×|y2|=|y1|+|y2|=4|y2|=≤==,
當且僅當9m2=7,即m=±時等號成立,
故△OAB的面積的最大值為.故選D.
7.解析　(1)設焦距為2c(c>0),由題意知,e==,當點B是橢圓的上或下頂點時,△OAB的面積最大,此時有ab=1,即ab=2,又因為a2=b2+c2,所以a=2,b=1,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)設M(x1,y1),N(x2,y2),
聯立得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,Δ=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化簡得m2<4k2+1①,
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,
因為kOM·kON=,所以=,即5x1x2=4y1y2=4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2,
所以(4k2-5)·-4km·+4m2=0,即(4k2-5)·(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,
整理得,m2+k2=②,由①②知,因為直線l:y=kx+m與x軸的交點坐標為,
所以△MON的面積S=··|y1-y2|=··|k(x1-x2)|=·=·=2|m|·
=2
=,
令t=4k2+1,則所以S==≤=1,當且僅當=-=,即t=2時等號成立,
所以△MON的面積的最大值為1.
8.A　由橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為2,離心率為,可得c=,a=2,b=1,
所以橢圓C的方程為+y2=1.
設M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0),則y1=-2x1,y2=2x2,
易知四邊形PMON為平行四邊形,
所以即
故|MN|===,因為-2≤x0≤2,所以0≤≤4,可得|MN|max=4.故選A.
9.ABD　根據題意,設該束光線從F1射出,經橢圓上的E點反射至F2,如下圖所示:
由題可得|EF1|+|EF2|=2a=4,即a=2.
又橢圓的離心率e==,所以c=,所以b2=a2-c2=1,故橢圓的標準方程為+y2=1,所以A正確.
易知A(-2,0),B(0,1),設P(xP,yP),則+=1,
且|BP|====,
又-1≤yP≤1,故|BP|=≤=,當且僅當yP=-時取等號,
所以|BP|的最大值為,所以B正確.
由橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=4,不妨設|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0),
則cos∠F1PF2====-1,
又m+n=4≥2,當且僅當m=n時取等號,所以0所以cos∠F1PF2=-1≥-1=-,
當且僅當m=n=2時,等號成立,
即∠F1PF2的余弦值最小為-,所以∠F1PF2的最大值為,所以C錯誤.
易知橢圓+=1(a>b>0)在其上一點(x0,y0)處的切線方程為+=1,證明如下:
當切線的斜率存在時,設其方程為y=kx+m,切點為(x0,y0),
聯立消去y,可得(a2k2+b2)x2+2a2kmx+a2(m2-b2)=0,
所以Δ=(2a2km)2-4a2(m2-b2)(a2k2+b2)=0,整理可得m2=a2k2+b2,
又易知y0=kx0+m,即m=y0-kx0,所以可得m2=(y0-kx0)2=a2k2+b2,
整理可得k2(a2-)+b2-+2kx0y0=0①.
又因為切點(x0,y0)在橢圓上,所以+=1,整理可得②
聯立①②可得k2·++2kx0y0=0,即=0,可得k=-(二重根),
所以切線方程為y-y0=-(x-x0),化簡可得+=1,經檢驗,當切線的斜率不存在時也符合此式,
故橢圓+=1(a>b>0)在其上一點(x0,y0)處的切線方程為+=1.
設M(t,t+1),P(x1,y1),Q(x2,y2),
則橢圓+y2=1在點P處的切線PM的方程為+y1y=1,
同理,在點Q處的切線QM的方程為+y2y=1,
又兩切線交于點M,所以可得
即P,Q的坐標滿足方程+(t+1)y=1,所以直線PQ的方程為+(t+1)y-1=0,即t+y-1=0,
若直線PQ過定點,則此方程與t無關,
所以可得x=-4,y=1,即直線PQ恒過定點(-4,1),所以D正確.
故選ABD.
10.解析　(1)設橢圓的焦距為2c,c>0,
由焦距為2,知c=,所以a2-b2=c2=3①,
因為點A(2,1)在橢圓上,所以+=1②,
由①②解得a2=6,b2=3,所以C的方程為+=1.
(2)證明:當直線DE的斜率為0時,直線DE與橢圓的兩個交點分別為(,0),(-,0),不妨設G(,0),H(-,0),易得E(2,0),
所以|DE|=1,|DG|=3-,|DH|=3+,
所以==2,+====2,所以=+;
當直線DE的斜率不為0時,易知其必存在,設直線DE的方程為x=ty+3,G(xG,yG),H(xH,yH),
在x=ty+3中,令x=2,得y=-,即E,
聯立消去x,得(t2+2)y2+6ty+3=0,所以yG+yH=-,yGyH=,
要證=+,只需證=+,
而==-2t,+===-2t,
所以=+,即=+.
綜上所述,=+.
11.解析　(1)易知△MNF2的周長為|MN|+|MF2|+|NF2|=|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a,
即4a=4|F1F2|=8c,所以e==.
(2)由題可知D(4,0),因為A,B兩點都在x軸上方,所以點D必在橢圓外,則a<4,
不妨設A(x1,y1),B(x2,y2),
由題可知λ==,因為點A在線段DB上,所以不妨設=λ,其中λ∈,
所以(xD-x2,yD-y2)=λ(xD-x1,yD-y1),
所以xD==4,yD==0,
因為A,B兩點都在橢圓E上,
所以+=1,+=1,則+=λ2,則+=1-λ2,即··+··=1,
又xD==4,yD==0,所以·=1,
所以解得
不妨設過點D且和橢圓上半部分相切的直線與橢圓的切點為P,易知x1∈(xP,a)①,
因為a<4,所以-2<0,又λ∈,故x1=+2+∈②,聯立①和②,可得+2+=a,解得a=1或a=4(舍去),又e=,所以c=,則b2=a2-c2=,故橢圓E的方程為x2+=1.
73.1.2　橢圓的簡單幾何性質
第1課時　橢圓的簡單幾何性質
基礎過關練
題組一　橢圓的簡單幾何性質及其應用
1.橢圓+=1與橢圓+=1(0A.長軸長相等　　　　B.短軸長相等
C.離心率相等　　　　D.焦距相等
2.古希臘數學家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線,用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐,得到的截面是圓;把平面漸漸傾斜,得到的截面是橢圓.若用面積為48的矩形ABCD截某圓錐得到橢圓C,且橢圓C與矩形ABCD的四邊均相切.設橢圓C在平面直角坐標系中的方程為+=1,則下列選項中滿足題意的方程為(　　)
A.+y2=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
3.設B是橢圓C:+y2=1的上頂點,點P在C上,則|PB|的最大值為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.已知P1(1,1),P2(0,1),P3,P4四點中恰有三點在橢圓+=1(a>b>0)上,則a=(　　)
A.8　　　　B.6　　 C.4　　　　D.2
5.(多選題)已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,上頂點為B,直線l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于M,N兩點,點T(4,4),則(　　)
A.四邊形MF1NF2的周長為8
B.+的最小值為9
C.直線BM,BN的斜率之積為-
D.若點P為橢圓C上的一個動點,則|PT|-|PF1|的最小值為1
題組二　橢圓的離心率
6.下列四個橢圓中,形狀最扁的是(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
7.(教材習題改編)假設某宇宙飛船的飛行軌道可以看成以地球球心為左焦點的橢圓,我們把飛行軌道的長軸端點與地面上的點的最近距離叫近地距離,最遠距離叫遠地距離.設地球半徑為R,若該飛船飛行軌道的近地距離為,遠地距離為,則該飛船的飛行軌道的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.如圖,已知圓柱的底面半徑為2,高為3,軸截面是矩形ABCD,E,F分別是母線AB,CD上的動點(含端點),過EF且與軸截面ABCD垂直的平面與圓柱側面的交線是圓或橢圓,當此交線是橢圓時,其離心率的取值范圍是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.數學家蒙日發現:橢圓的兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上,且圓半徑的平方等于長半軸長、短半軸長的平方和,此圓被命名為該橢圓的蒙日圓.若橢圓+=1的蒙日圓為x2+y2=20,則該橢圓的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.設F1(-c,0),F2(c,0)分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點.若在直線x=上存在點P,使線段PF1的中垂線過點F2,則橢圓離心率的取值范圍是　　　　.
11.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2,左、右頂點分別是A,B.
(1)若橢圓C上的點M到F1,F2兩點的距離之和等于4,求橢圓C的方程;
(2)設直線x=與x軸交于點H,點O為坐標原點,試求的最大值;
(3)若P是橢圓C上異于A,B的任一點,記直線PA與PB的斜率分別為k1,k2,且k1·k2=-,試求橢圓C的離心率.
題組三　橢圓的簡單幾何性質的綜合運用
12.(多選題)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,左、右焦點分別為F1,F2,P為橢圓上一點(異于左、右頂點),且△PF1F2的周長為6,則下列結論正確的是(　　)
A.橢圓C的焦距為1
B.橢圓C的短軸長為2
C.△PF1F2面積的最大值為
D.橢圓C上存在點P,使得∠F1PF2=90°
13.已知橢圓+=1(b>0)的左、右頂點分別為A和B,右焦點的坐標為(c,0),點P為直線l:x=上一點.若△PAB外接圓的面積的最小值為64π,則b=　　　　.
14.已知橢圓+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,P為該橢圓上一點,O為坐標原點且|OP|=λa,若滿足=|PF1|·|PF2|,則λ的取值范圍為　　　　　　.
能力提升練
題組一　求橢圓的離心率的值或取值范圍
1.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為,則C的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.已知F1,F2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,M,N是橢圓C上兩點,且=2,·=0,則橢圓C的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,P為C上不與左、右頂點重合的一點,I為△PF1F2的內心,且3+2=2,則C的離心率為(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
4.已知焦點分別在x,y軸上的兩個橢圓C1,C2,且橢圓C2經過橢圓C1的兩個頂點與兩個焦點,設橢圓C1,C2的離心率分別是e1,e2,則(　　)
A.<且+<1　　　　B.<且+>1
C.<且+<1　　　　D.<且+>1
5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,點P,Q為C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面積S≥|PQ|2,則C的離心率的取值范圍為　　　　　　　　.
題組二　橢圓幾何性質的綜合運用
6.(多選題)已知橢圓C:+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P是橢圓C上的動點,點Q是圓E:(x-2)2+(y-4)2=2上任意一點,O為坐標原點.若|PQ|+|PF2|的最小值為4-,則下列說法中正確的是(　　)
A.k=
B.·的最大值為5
C.存在點P使得∠F1PF2=
D.|PQ|-|PF2|的最小值為4-6
7.已知動點P(x,y)在橢圓+=1上,過點P作圓(x+3)2+y2=的切線,切點為M,則|PM|的最小值是　　　　　　.
8.已知橢圓C:+=1,F1,F2分別是其左、右焦點,P為橢圓C上非長軸端點的任意一點,D是x軸上一點,使得PD平分∠F1PF2.過點D作PF1,PF2的垂線,垂足分別為A,B,則
+的最小值是　　　　.
答案與分層梯度式解析
3.1.2　橢圓的簡單幾何性質
第1課時　橢圓的簡單幾何性質
基礎過關練
1.D 2.C 3.A 4.D 5.ACD 6.A 7.D 8.A
9.A 12.BC
1.D　橢圓+=1的長軸長是10,短軸長是6,焦距是8,離心率是.
橢圓+=1(0由02.C　由題意可知2a×2b=48,所以ab=12.
A中,a=2,b=1,ab=2,不滿足;B中,a=6,b=4,ab=24,不滿足;C中,a=4,b=3,ab=12,滿足;D中,a=4,b=2,ab=8,不滿足.故選C.
3.A　設點P(x0,y0),則+=1,又B(0,1),所以|PB|2=+=3(1-)+=-2-2y0+4=-2+,而-1≤y0≤1,所以當y0=-時,|PB|取得最大值,為.故選A.
4.D　由于橢圓關于y軸對稱,且P3,P4關于y軸對稱,故P3,P4必然同時在或同時不在橢圓上.由于四點中恰有三點在橢圓上,故P3,P4都在橢圓上.
若P1(1,1)在橢圓上,則+=1.因為P3,P4都在橢圓上,所以+=1.兩個等式矛盾,故P1(1,1)不在橢圓上.
因此P2(0,1),P3,P4三個點在橢圓上,故=1,+=1,解得a2=4,b2=1,所以a=2.故選D.
5.ACD　對于A,由橢圓方程+=1,可知a=2,b=,c==1,
因為l:y=kx(k≠0)與橢圓C交于M,N兩點,
所以M,N關于原點對稱,且|MF1|+|MF2|=2a=4,|NF1|+|NF2|=2a=4,
故四邊形MF1NF2的周長為|MF1|+|MF2|+|NF1|+|NF2|=4a=8,A正確;
對于B,由于M,N關于原點對稱,故|NF1|=|MF2|,
所以+=(|MF1|+|MF2|)=5++≥5+2=,
當且僅當|MF2|=2|MF1|,|MF1|+|MF2|=4,即|MF1|=,|MF2|=時等號成立,B錯誤;
對于C,設M(x1,y1),則N(-x1,-y1),而B(0,),
故kBM·kBN=·=,
而M(x1,y1)在橢圓C:+=1上,故+=1,
即=4=(3-),故kBM·kBN==-,C正確;
對于D,由于點P為橢圓C上的一個動點,故|PF1|+|PF2|=4,則|PF1|=4-|PF2|,故|PT|-|PF1|=|PT|+|PF2|-4≥|TF2|-4,當且僅當T,P,F2共線,且P在T,F2之間時等號成立,
而F2(1,0),T(4,4),故|TF2|==5,
故|PT|-|PF1|的最小值為5-4=1,D正確.
故選ACD.
6.A　結合選項可知四個橢圓的a相同,當a相同時,橢圓的離心率越大,橢圓越扁,
又離心率e==,所以b越小,離心率越大,故選A.
7.D　根據題意,可得a-c=R+,a+c=R+,解得a=R,c=R,故離心率e==.故選D.
8.A　當EF與AD行時,交線近似為一個圓,此時離心率接近于0;
當|EF|=|AC|時,交線是一個“最扁”的橢圓,此時離心率最大,
且長軸長為|EF|=|AC|=2a=5,解得a=,
又短半軸長b=2,則半焦距c==,
所以此時的離心率e=.
所以離心率的取值范圍是.故選A.
9.A　由題意得12+b2=20,故b2=8,所以c===2,故離心率為==.故選A.
10.答案　
解析　設直線x=交x軸于點M,如圖,
由已知可得|F1F2|=|F2P|,
又|PF2|≥|F2M|,故2c≥-c,則3c2≥a2,即≥,即e=∈.
11.解析　(1)由題知2a=4,解得a=2,故橢圓C的方程為+=1,將代入方程+=1,解得b2=3,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)易得|F2B|=a-c,|OH|=,所以===-e2+e=-+,又e∈(0,1),
故當e=時,取得最大值,且=.
(3)設點P的坐標為(x0,y0)(x0≠±a),則=(a2-),又A(-a,0),B(a,0),
所以k1·k2=·===-,
又k1·k2=-,所以=,即1-e2=,所以e=.
12.BC　根據題意可得∴
橢圓C的焦距為2c=2,∴A錯誤;
橢圓C的短軸長為2b=2,∴B正確;
△PF1F2面積的最大值為×2c×b=bc=,∴C正確;
設∠F1PF2=2θ,則tan θ≤=,∴θ≤30°,
∴∠F1PF2=2θ≤60°,∴橢圓C上不存在點P,使得∠F1PF2=90°,∴D錯誤.
故選BC.
13.答案　2
解析　易知橢圓+=1(b>0)的左、右頂點分別為A(-4,0),B(4,0),
易知△PAB外接圓的圓心在y軸上,又右焦點為(c,0),故c>0,>0.
如圖所示,當△PAB外接圓的面積取到最小值時,其半徑最小,此時外接圓與直線l:x=相切,又外接圓的面積的最小值為64π,故此時圓的半徑r==8,解得c=2,又a2=16,故b===2.
14.答案　
解析　設|PF1|=m,|PF2|=n,m,n>0,
由題意可得mn=4c2,m+n=2a,
∴2a≥2=4c,∴e≤,∴≤,解得≥,
∵|OP|=λa,∴
∴≤λ≤1,
∴≤λ≤1.
能力提升練
1.A 2.C 3.B 4.A 6.ABC
1.A　解法一:設P(m,n)(n≠0),則Q(-m,n),易知A(-a,0),所以kAP·kAQ=·==(*).因為點P在橢圓C上,所以+=1,得n2=(a2-m2),代入(*)式,得=,結合b2=a2-c2,得3a2=4c2,所以e==.故選A.
解法二:設橢圓C的右頂點為B,則直線BP與直線AQ關于y軸對稱,所以kAQ=-kBP,所以kAP·kBP=-kAP·kAQ=-=e2-1,所以e=.故選A.
知識拓展　橢圓的一個性質
橢圓+=1(a>b>0)上的點(長軸的端點除外)與長軸的兩個端點連線的斜率之積為定值-或e2-1(e為橢圓的離心率).
2.C　連接NF2,如圖:
設|NF1|=n,則|MF1|=2n,|MF2|=2a-2n,|NF2|=2a-n,∵·=0,∴MF2⊥MN,
在Rt△MNF2中,|MN|2+|MF2|2=|NF2|2,即(3n)2+(2a-2n)2=(2a-n)2,∴9n2+4a2-8an+4n2=4a2-4an+n2,
∴12n2=4an,則n=,∴|MF1|=,|MF2|=,
在Rt△MF1F2中,|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2,即4c2=+,∴36c2=20a2,即e2==,
又∵e∈(0,1),∴e=.故選C.
3.B　設M是PF2的中點,連接IM,如圖,則+=2,又3+2=2,故3+2+2=3+4=0,∴F1,I,M三點共線,且3=4,∴=.易知F1M平分∠PF1F2,又F1M是PF2邊上的中線,故F1M⊥PF2,|PF1|=|F1F2|=2c,∴|PF2|=2a-2c,|MF2|=a-c.作IN⊥x軸于點N,則Rt△F1IN∽Rt△F1F2M,且|IN|=|IM|,
∴====,
∴4a=10c,∴e==.
4.A　不妨設橢圓C1的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a1,b1,c1,橢圓C2的長半軸長、短半軸長、半焦距分別為a2,b2,c2,
因為橢圓C2經過橢圓C1的兩個頂點與兩個焦點,
所以a2=b1,b2=c1,
故=1-,=1-=1-=2-,
因為a2>b2,即b1>c1,所以>=-,可得2>,
故<<1,即1<<2,故0<1-<,0<2-<1,
即0<<,0<<1.不妨令t=,
則+=3-=3-,t∈,
易知函數y=t+在上單調遞減,
所以+=3-∈.故選A.
5.答案　
解析　因為P,Q為橢圓C上關于坐標原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF1QF2為矩形,并且c≥b,設|PF1|=m,|PF2|=n,m,n>0,由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=m+n=2a,所以m2+2mn+n2=4a2,在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=4(a2-b2),所以mn=2b2,因為四邊形PF1QF2的面積為|PF1||PF2|=mn=2b2,所以△PF2Q的面積S=b2,又S≥|PQ|2,故b2≥·4c2,即2(a2-c2)≥c2,可得-≤≤,故0又c≥b,故c2≥a2-c2,可得e≥,所以e∈.
6.ABC　由橢圓C的方程為+=1,可知a=3,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,
圓E:(x-2)2+(y-4)2=2的圓心為E(2,4),半徑r=,
當k=時,可通過畫圖得出圓E與橢圓C相離,如圖,而0所以|PQ|+|PF2|≥|PE|+|PF2|-≥|EF2|-,當且僅當E,Q,P,F2四點共線(Q,P在E,F2之間)時等號成立,
所以|EF2|==4,解得c=2(二重根),
所以9-k2=4,解得k=(負值舍去),故A正確;
·=(+)·(+)=+·+·+·=+·
(+)-·=-=-4,
又||∈[,3],所以||2∈[5,9],所以·∈[1,5],即·的最大值為5,當且僅當P為左或右頂點時取最大值,故B正確;
設B為橢圓的上頂點,則|OB|=,|OF2|=2,
所以tan∠OBF2=>,所以∠OBF2>,所以∠F1BF2>,則存在點P使得∠F1PF2=,故C正確;
因為|PQ|-|PF2|=|PQ|-(6-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-6≥|PE|+|PF1|-6-≥|EF1|-6-=3-6,當且僅當E,Q,P,F1四點共線(Q,P在E,F1之間)時取等號,故D錯誤.
故選ABC.
7.答案　
解析　易知圓(x+3)2+y2=的圓心為(-3,0),半徑r=,且橢圓+=1的左、右焦點分別為(-3,0),(3,0),a=5,c=3,記F1(-3,0),F2(3,0).
因為|PM|==,所以要求|PM|的最小值,即求焦半徑PF1的長的最小值.
由焦半徑公式知,當點P位于橢圓的左頂點時,|PF1|取得最小值,為a-c=2,
則|PM|min===.
歸納總結　焦半徑公式
設P(x0,y0)是橢圓+=1(a>b>0)上任一點,F1(-c,0),F2(c,0)是橢圓的兩個焦點,
則|PF1|====,
∵-a≤x0≤a,∴a+≥a-c>0,∴|PF1|=a+ex0.
8.答案　
解析　根據題意可作圖如下:
易知點P為短軸的端點時,∠F1PF2最大,因為橢圓C:+=1,所以a=4,b=2,c=2,則∠F1PF2的最大值為.
不妨設∠F1PF2=2θ,因為PD平分∠F1PF2,所以|DA|=|DB|,
不妨設|DA|=|DB|=m,易知=b2tan θ=12tan θ,
又因為=m(|PF1|+|PF2|)=ma=4m,所以12tan θ=4m,解得m=3tan θ,
而S△DAB=m2sin∠ADB=m2sin(π-2θ)=m2sin 2θ=9tan2θsin θcos θ=,
所以==sin2θ,
則+=sin2θ+,
因為0<θ≤,所以sin θ∈,不妨令sin2θ=t,則t∈,+=t+,
易知函數y=t+在t∈上單調遞減,所以+≥×+×4=.
7第三章　圓錐曲線的方程
3.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標準方程
基礎過關練
題組一　橢圓的定義及其應用
1.(教材習題改編)如圖,一圓形紙片的圓心為O,F是圓內一定點,M是圓周上一動點,把紙片折疊使M與F重合,然后抹平紙片,折痕為CD,設CD與OM交于點P,則點P的軌跡是(　　)
A.橢圓　　B.雙曲線　　C.拋物線　　D.圓
2.已知M是橢圓C:+=1上的一點,則點M到兩焦點的距離之和是(　　)
A.6　　B.9　　C.10　　D.18
3.已知橢圓C:+=1,A(0,-4),B(0,4),過A作直線PQ與C交于P,Q兩點,則△BPQ的周長為(　　)
A.24　　B.20　　C.16　　D.12
4.已知F1,F2為橢圓+=1的兩個焦點,P為橢圓上一點且|PF1|=2|PF2|,則△PF1F2的面積為(　　)
A.2　　B.　　C.4　　D.
5.已知F1,F2是橢圓+=1的兩個焦點,P是橢圓上一點,則|PF1|·|PF2|的最大值是(　　)
A.　　B.9　　C.16　　D.25
題組二　橢圓的標準方程
6.已知圓C的方程為(x-1)2+y2=16,B(-1,0),A為圓C上任意一點,若P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點,則點P的軌跡方程為(　　)
A.+=1　　　　B.-=1
C.+=1　　　　D.-=1
7.已知直線x+2y+4=0與橢圓+=1(a>b>0),若橢圓過直線與坐標軸的交點,則橢圓的方程為(　　)
A.+=1　　　　B.+=1
C.+=1　　　　D.+=1
8.已知動圓M過定點A(-3,0),并且內切于定圓B:(x-3)2+y2=64,則動圓圓心M的軌跡方程是　　　　　　　.
9.過點(2,3)且與橢圓x2+2y2=8有相同焦點的橢圓方程為　　　　　　　　　　.
10.已知P是圓O:x2+y2=4上一動點,P點在x軸上的射影是D點,點M滿足=.求動點M的軌跡方程.
11.求適合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)焦點的坐標分別是(-4,0),(4,0),并且經過點;
(2)經過兩點(2,-),.
題組三　橢圓標準方程的應用
12.“1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
13.已知橢圓+=1的焦點在y軸上,且焦距為4,則m等于(　　)
A.4　　B.5　　C.7　　D.8
14.(多選題)已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,且不和橢圓與x軸的交點重合,則下列關于△PF1F2的說法正確的有(　　)
A.△PF1F2的周長為4+2
B.當∠PF1F2=90°時,△PF1F2的邊PF1的長為2
C.當∠F1PF2=60°時,△PF1F2的面積為
D.橢圓上有且僅有6個點P,使得△PF1F2為直角三角形
15.已知橢圓M與橢圓N:+=1有相同的焦點,且橢圓M過點.
(1)求橢圓M的標準方程;
(2)設橢圓M的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓M上,且△PF1F2的面積為1,求點P的坐標.
能力提升練
題組一　橢圓的定義及其應用
1.方程+=10的化簡結果是(　　)
A.+=1　　　　B.+=1　　
C.+=1　　　　D.+=1
2.已知F是橢圓+=1的左焦點,P是橢圓上一動點,若A(1,1),則|PA|+|PF|的最小值為(　　)
A.6-　　B.6-　　C.6-　　D.6-
3.如圖,F1,F2分別為橢圓+=1的左、右焦點,P為橢圓上的點,直線PT為△F1PF2的外角平分線所在直線,F2T⊥PT,則|OT|=(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.4
4.已知橢圓的兩個焦點F1,F2在x軸上,P(2,)是該橢圓上一點,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,則該橢圓的方程為　　　　　　.
題組二　橢圓的標準方程及其應用
5.已知F1,F2是橢圓+=1的兩個焦點,P為橢圓上一點,且|PF1|=|F1F2|,則點P到y軸的距離為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(多選題)已知橢圓+=1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在橢圓上,△PF1F2的面積為6,則(　　)
A.點P的橫坐標為
B.△PF1F2的周長為16
C.△PF1F2的內切圓的半徑為
D.△PF1F2的外接圓的半徑為
7.在平面直角坐標系Oxy中,點B與點A關于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-.
(1)求動點P的軌跡方程,并注明x的范圍;
(2)設直線AP與BP分別與直線x=3交于點M,N,問是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等 若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
第三章　圓錐曲線的方程
3.1　橢圓
3.1.1　橢圓及其標準方程
基礎過關練
1.A 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 12.B
13.D 14.ACD
1.A　由題意知,CD所在直線是線段MF的垂直平分線,∴|MP|=|PF|,
∴|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=|MO|,為定值,
顯然|MO|>|FO|,∴根據橢圓的定義可推斷出點P的軌跡是以F,O為焦點的橢圓.故選A.
2.A　由題意可知a==3,因為點M是橢圓C:+=1上的一點,所以根據橢圓的定義可知,點M到兩焦點的距離之和是2a=2×3=6.故選A.
3.A　由橢圓方程可知a=6,b=2,則c==4,
所以A(0,-4),B(0,4)是橢圓C的兩個焦點,
所以△BPQ的周長為|AP|+|BP|+|AQ|+|BQ|=4a=24.故選A.
4.B　由橢圓方程+=1可知a=3,b=,c==2,故|PF1|+|PF2|=2a=6,
結合|PF1|=2|PF2|,可得|PF1|=4,|PF2|=2,而|F1F2|=2c=4,
故△PF1F2為等腰三角形,其面積為×2×=,故選B.
5.D　由題意知,|PF1|+|PF2|=10,
∵|PF1|+|PF2|≥2,
∴10≥2,∴|PF1|·|PF2|≤25,當且僅當|PF1|=|PF2|=5時等號成立,
∴|PF1|·|PF2|的最大值是25.故選D.
6.C　因為P為線段AB的垂直平分線與直線AC的交點,所以|PA|=|PB|,
所以|PB|+|PC|=|PA|+|PC|=|AC|=4,而|BC|=2,且4>2,所以P點的軌跡是以B,C為焦點的橢圓,
設其方程為+=1(a>b>0),
則2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,則b==,
所以P點的軌跡方程是+=1.故選C.
7.B　易得直線x+2y+4=0交x軸于點(-4,0),交y軸于點(0,-2),依題意知,a=4,b=2,
所以橢圓的方程為+=1.故選B.
8.答案　+=1
解析　設動圓M與定圓B的切點為N,M(x,y),
依題意有|MA|+|MB|=|MN|+|MB|=|BN|=8(定值),所以點M的軌跡是以A,B為焦點的橢圓,且a=4,c=3,所以b===,
所以動圓圓心M的軌跡方程為+=1.
9.答案　+=1
解析　橢圓x2+2y2=8即+=1,可得c2=8-4=4,可得c=2,故橢圓的焦點為(±2,0),設所求橢圓的方程為+=1(a>b>0),
由題意可得+=1,a2-b2=4,所以a=4,b=2,
故所求的橢圓方程為+=1.
10.解析　設P(x0,y0),M(x,y),則D(x0,0).
因為=,所以(x-x0,y)=(0,y0),從而x0=x,y0=2y,
又點P在圓O上,所以+=4,即x2+4y2=4,
即+y2=1,故動點M的軌跡方程是+y2=1.
11.解析　(1)由已知得c=4,且焦點在x軸上,
由橢圓的定義得2a=+=10,所以a=5,b2=a2-c2=9,所以所求橢圓的標準方程為+=1.
(2)設橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),
則解得
所以所求橢圓的標準方程為+=1.
方法總結　求橢圓方程的常見方法
(1)當焦點位置能確定時,直接根據條件求出a,b的值,即可求得方程;
(2)當焦點位置不能確定時,可以分兩種情況討論并求解,也可直接設所求橢圓方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
12.B　方程+=1表示橢圓
解得1∴“113.D　依題意得a2=m-2>0,b2=10-m>0,且m-2>10-m,解得614.ACD　由橢圓的方程+=1可得a=2,c=,所以F1(-,0),F2(,0),
所以△PF1F2的周長為2a+2c=4+2,故A正確.
當∠PF1F2=90°時,xP=-,代入橢圓方程可得yP=±1,所以|PF1|=1,故B錯誤.
當∠F1PF2=60°時,設|PF1|=r1,|PF2|=r2,在△PF1F2中,
由余弦定理得(2)2=+-2r1r2cos 60°,
所以(r1+r2)2-3r1r2=8,所以r1r2=,所以=××sin 60°=,故C正確.
當∠PF1F2=90°時,由B中的分析知滿足題意的點P有2個;
同理,當∠PF2F1=90°時,滿足題意的點P也有2個;
當∠F2PF1=90°時,有解得|PF1|=2(二重根),所以滿足題意的點P為橢圓與y軸的交點,有2個,
綜上,滿足題意的點P共6個,故D正確.
故選ACD.
知識積累　焦點三角形F1MF2的常用公式
(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.
(2)在△F1MF2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos∠F1MF2.
(3)焦點三角形的面積=|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2=b2tan .
15.解析　(1)由題意知橢圓N的焦點坐標分別為(-2,0),(2,0).
設橢圓M的標準方程為+=1(a>b>0),
則化簡并整理得5b4+11b2-16=0,
解得b2=1或b2=-(舍去),所以a2=5,
故橢圓M的標準方程為+y2=1.
(2)由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),
設P(x0,y0),則△PF1F2的面積為×4×|y0|=1,所以y0=±.又+=1,所以=,解得x0=±.所以滿足條件的點P有4個,坐標分別為,,,-,-.
能力提升練
1.B 2.C 3.B 5.C 6.BCD
1.B　題中所給方程可理解為點(x,y)到定點(4,0),(-4,0)的距離之和為10,又10>4+4,故由橢圓的定義可知點(x,y)的坐標滿足以(4,0),(-4,0)為焦點,且2a=10的橢圓方程,即滿足+=1.故選B.
2.C　由橢圓+=1,可得a=3,b=,c==2,如圖,設橢圓的右焦點為F',則F'(2,0),
|PF|+|PF'|=2a=6,
∴|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|=6+|PA|-|PF'|,
由圖可知,當P在直線AF'上(即P為直線AF'與橢圓的交點)時,||PA|-|PF'||=|AF'|=,
當P不在直線AF'上時,根據三角形中兩邊之差小于第三邊,可得||PA|-|PF'||<|AF'|=.
∴當P為F'A的延長線與橢圓的交點時,|PA|-|PF'|取得最小值-,∴|PA|+|PF|的最小值為6-.故選C.
3.B　延長F2T,交F1P的延長線于點M,如圖所示,
因為直線PT為∠MPF2的平分線所在直線,F2T⊥PT,
所以△PTF2≌△PTM,所以|PF2|=|PM|,|TF2|=|TM|,
結合橢圓的定義得|MF1|=|PF1|+|PM|=|PF1|+|PF2|=4,
又T為F2M的中點,O為F1F2的中點,
所以在△F1F2M中,|OT|=|MF1|=2.故選B.
4.答案　+=1
解析　∵橢圓的兩個焦點F1,F2在x軸上,
∴設橢圓方程為+=1(a>b>0),
∵P(2,)是橢圓上一點,且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,
∴又a2=b2+c2,∴a=2,b=,c=,
∴該橢圓的方程為+=1.
5.C　不妨設F2,F1分別為上、下焦點,如圖.
由橢圓方程可得a2=16,b2=7,c2=9,
∴|PF1|+|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=6,
∴|PF1|=|F1F2|=6,故|PF2|=2.在△PF1F2中,
cos∠F1PF2=
==,
∵cos2∠F1PF2+sin2∠F1PF2=1,且sin∠F1PF2>0,
∴sin∠F1PF2=,
設P的坐標為(x0,y0),則=|F1F2|·|x0|=|PF2|·|PF1|sin∠F1PF2,
∴|x0|=,∴點P到y軸的距離為.故選C.
6.BCD　由橢圓方程+=1,可知a=5,b=4,c=3,
∴△PF1F2的面積為×2c×|yP|=3|yP|=6,
∴|yP|=2.
對于A選項,將|yP|=2代入+=1,可得|xP|=,即xP=±,∴A錯誤;
對于B選項,△PF1F2的周長為2a+2c=16,∴B正確;
對于C選項,設△PF1F2的內切圓的半徑為r,
則△PF1F2的面積為(2a+2c)r=8r=6,∴r=,∴C正確;
對于D選項,不妨設P在第一象限內,
則由上述分析可得P,又F1(-3,0),F2(3,0),∴=,=,
∴cos<,>===,
∴sin<,>===,
設△PF1F2的外接圓的半徑為R,
則2R==,∴R=,∴D正確.
故選BCD.
7.解析　(1)因為點B與點A關于原點O對稱,所以點B的坐標為,設點P的坐標為(x,y),由題意得直線AP,BP的斜率均存在,故x≠±1,且·=-,整理得+=1(x≠±1),故動點P的軌跡方程為+=1(x≠±1).
(2)設存在點P(x0,y0)使得△PAB與△PMN的面積相等,則|PA|·|PB|·sin∠APB=|PM|·|PN|·sin∠MPN,因為sin∠APB=sin∠MPN,所以=,所以=,即(3-x0)2=|-1|,解得x0=,因為點P的坐標滿足+=1(x≠±1),所以將x0=代入,可得y0=±,故存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等,此時點P的坐標為.
7(共46張PPT)
3.1　橢圓
1.橢圓的定義
平面內與兩個定點F1 ,F2 的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點
叫做橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距.
2.定義的三個要點
(1)在平面內,F1,F2是兩個定點;
(2)|MF1|+|MF2|=2a為定長;
(3)定長2a>|F1F2|.
注意:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c為常數,當2a>|F1F2|時,點M的軌
知識點 1 橢圓的定義
必備知識 清單破
跡是橢圓;當2a=|F1F2|時,點M的軌跡是線段F1F2;當2a<|F1F2|時,點M的軌跡不存在.
知識拓展 1.橢圓的第二定義:平面內到定點F的距離與到定直線l(定點F不在定直線l上)的
距離之比為常數e(0的準線,常數e叫做橢圓的離心率.
2.與兩定點A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積為- (a>b>0)或e2-1(0圓(不含A1,A2兩點).
焦點位置 在x軸上 在y軸上
圖形
標準方程 + =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
知識點 2 橢圓的標準方程與簡單幾何性質
性 質 焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c= ) 范圍 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
對稱性 對稱軸:x軸,y軸;對稱中心:原點 頂點 (±a,0),(0,±b) (0,±a),(±b,0)
軸長 長軸(線段A1A2)長為2a, 短軸(線段B1B2)長為2b 離心率 e= = (0一點,F1,F2為橢圓的兩個焦點,e為橢圓的離心率,記r1=|PF1|,r2=|PF2|,則
①當焦點在x軸上時,r1=a+ex0,r2=a-ex0;
②當焦點在y軸上時,r1=a+ey0,r2=a-ey0.
已知點P(x0,y0),橢圓 + =1(a>b>0)的焦點為F1,F2,則
①|PF1|+|PF2|=2a 點P在橢圓上 + =1;
②|PF1|+|PF2|<2a 點P在橢圓內部 + <1;
③|PF1|+|PF2|>2a 點P在橢圓外部 + >1.
知識點 3 點與橢圓的位置關系
1.聯立直線與橢圓的方程,根據方程組解的情況可得直線與橢圓的公共點個數(位置關系).
直線y=kx+m與橢圓 + =1(a>b>0)的位置關系的判斷方法:由 消去y(或x)得到一
個一元二次方程,則
知識點 4 直線與橢圓的位置關系
位置關系 解的個數 判別式Δ
相交 兩個不等的解 Δ>0
相切 兩個相等的解 Δ=0
相離 無解 Δ<0
2.弦長公式
　　設直線斜率為k,直線與橢圓的兩交點為A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|= ·|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|= (k≠0).
3.橢圓的通徑
　　過橢圓的焦點且垂直于長軸的直線被橢圓所截得的弦叫做橢圓的通徑,其長度為 .
4.焦點弦
　　過焦點的直線與橢圓相交形成的弦.焦點弦中通徑最短.
知識辨析
1.平面內到兩個定點F1,F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓,這種說法正確嗎
2.橢圓 + =1(a>b>0)和橢圓 + =1(a>b>0)的焦點雖然不同,但都滿足a2=b2+c2,這種說
法正確嗎
3.若F1為橢圓 + =1(a>b>0)的左焦點,P為橢圓上一動點,則|PF1|的取值范圍是什么
4.橢圓的離心率e決定著橢圓的扁平程度,e越大,橢圓越扁;e越小,橢圓越圓,這種說法正確嗎
5.兩個點可以確定橢圓的標準方程嗎
一語破的
1.不正確.常數大于|F1F2|時,軌跡才是橢圓.
2.正確.焦點無論是落在x軸上還是落在y軸上,都滿足a2=b2+c2,且a>b,a>c.
3.[a-c,a+c].當P為橢圓的左頂點時,|PF1|最小,為a-c;當P為橢圓的右頂點時,|PF1|最大,為a+c.
4.正確.由e= = 可知,e越大, 越小,即b與a相差越大,則橢圓越扁;e越小, 越大,即b與a
相差越小,則橢圓越圓.橢圓的離心率也可被形象地理解為在橢圓的長軸長不變的前提下,兩
個焦點偏離橢圓中心的程度,因此e越大,即c越大,焦點越偏離中心,橢圓也就越扁;反之,e越小,
焦點越靠近中心,橢圓也就越圓.
5.不一定.由橢圓的標準方程可知,橢圓關于x軸,y軸,原點對稱,故不關于上述對稱的兩個點才
能確定橢圓的標準方程.
定點 1 橢圓標準方程的求解
關鍵能力 定點破
1.定義法
　　根據橢圓的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出橢圓的標準方程.
2.待定系數法
(1)如果明確橢圓的焦點在x軸上,那么設所求的橢圓方程為 + =1(a>b>0);
如果明確橢圓的焦點在y軸上,那么設所求的橢圓方程為 + =1(a>b>0);
如果中心在原點,但焦點的位置不能明確是在x軸上還是在y軸上,那么設所求的橢圓方程為
mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
(2)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同離心率的橢圓的方程可設為 + =k1(k1>0,a>b>0)或 +
=k2(k2>0,a>b>0).
(3)與橢圓 + =1(a>b>0)有相同焦點的橢圓的方程可設為 + =1(k典例1 求過點A(2,0)且與圓B:x2+4x+y2-32=0內切的圓M的圓心的軌跡方程.
思路點撥： 由兩圓內切確定圓心距與半徑的關系 尋找動點滿足的幾何條件 判定幾
何條件符合橢圓的定義 求出橢圓方程.
解析：將圓B的方程化成標準形式為(x+2)2+y2=36,則圓心B的坐標為(-2,0),半徑為6.
易知點A(2,0)在圓x2+4x+y2-32=0的內部.
設M(x,y),圓M與圓B相切于點C.
由于圓M與圓B內切,
所以|BC|-|CM|=|BM|.

因為|BC|=6,所以|BM|+|CM|=6.
又因為|CM|=|AM|,所以|BM|+|AM|=6>|AB|=4.
所以根據橢圓的定義知點M的軌跡是以B(-2,0)和A(2,0)為焦點,線段AB的中點(原點O)為中心
的橢圓,所以圓心M的軌跡方程為 + =1.
技巧點撥 觀察幾何圖形,根據幾何圖形的直觀性質得到動點軌跡的幾何屬性,由曲線的定
義直接得到動點軌跡的方程.注意要檢驗是否有要剔除的點.
典例2 求符合下列條件的橢圓的標準方程:
(1)焦點在x軸上,a=4,e= ;
(2)焦點在y軸上,c=6,e= ;
(3)短軸的一個端點到一個焦點的距離為5,焦點到橢圓中心的距離為3;
(4)過點( ,- ),且與橢圓 + =1有相同的焦點;
(5)焦點在坐標軸上,且經過A( ,-2)和B(-2 ,1)兩點.
解析： (1)由a=4,e= = ,得c=2,故b2=16-4=12.又焦點在x軸上,所以橢圓的標準方程為 +
=1.
(2)由c=6,e= = ,得a=9,故b2=81-36=45.又焦點在y軸上,所以橢圓的標準方程為 + =1.
(3)由題意知,a=5,c=3,故b2=25-9=16,因為焦點可以在x軸上,也可以在y軸上,所以橢圓的標準
方程為 + =1或 + =1.
(4)解法一:因為所求橢圓與橢圓 + =1的焦點相同,所以所求橢圓的焦點在y軸上,且c2=25-
9=16.
設所求橢圓的標準方程為 + =1(a>b>0).
因為c2=16,且c2=a2-b2,所以a2-b2=16.①
因為點( ,- )在橢圓上,
所以 + =1,即 + =1.②
由①②得b2=4,a2=20.
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
解法二:設所求橢圓的方程為 + =1(λ>-9).因為點( ,- )在橢圓上,所以 +
=1,
化簡得λ2+26λ+105=0,
解得λ=-5或λ=-21(舍).
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
(5)設所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
因為點A( ,-2)和點B(-2 ,1)在橢圓上,
所以
即 解得
所以所求橢圓的標準方程為 + =1.
1.焦點三角形
橢圓上異于長軸端點的一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關于
橢圓的焦點三角形問題,通常要利用橢圓的定義,再結合正弦定理、余弦定理等知識.
2.焦點三角形的性質
(1)焦點三角形的周長C=2a+2c.
(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.
(3)設P(xP,yP),則焦點三角形的面積S=c|yP|= |PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan .當yP=±b,即點P
位于短軸端點時,S取得最大值bc.
(4)當且僅當點P位于短軸端點時,∠F1PF2最大,此時滿足cos∠F1PF2=1-2e2.
定點 2 橢圓焦點三角形的相關問題
(5)設∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則橢圓的離心率e= = = = =
.
典例 (1)已知P為橢圓 + =1上一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.
(2)設P是橢圓 + =1上一動點,F1,F2是橢圓的兩個焦點,求cos∠F1PF2的最小值.
解析： (1)由已知得a=2 ,b= ,
所以c= = =3,所以|F1F2|=2c=6.
在△PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①
由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=4 ,
所以48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以 = |PF1|·|PF2|·sin 60°= .
(2)由題意得a=3,b=2,c= ,因此|PF1|+|PF2|=2a=6,|F1F2|=2c=2 .
所以cos∠F1PF2=
=
= -1.
因為|PF1|·|PF2|≤ =9,當且僅當|PF1|=|PF2|=3時取等號,
所以cos∠F1PF2≥ -1=- ,
所以cos∠F1PF2的最小值為- .

1.求橢圓離心率的兩種常用方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e= 求解;若已知a,b或b,c,可利用a2=b2+c2求出c或a,再代入公
式e= 求解.
(2)方程法:若a,c的值不可求,則可根據條件建立a,b,c的關系式,利用a2=b2+c2,轉化為關于a,c的
齊次方程,再將方程兩邊同除以a的最高次冪,得到關于e的方程,即可求得e的值.
2.求橢圓離心率的取值范圍
求離心率的取值范圍時,應根據題意建立關于a,c的不等式(仿照求離心率中建立方程的方
法),結合e∈(0,1)確定離心率的范圍.
定點 3 橢圓離心率的求解
典例 (1)已知F1為橢圓的左焦點,A,B分別為橢圓的右頂點和上頂點,P為橢圓上的點,若PF1⊥
F1A,PO∥AB(O為橢圓的中心),則橢圓的離心率為　　　 .
(2)已知橢圓 + =1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,橢圓上存在點P使得PF1⊥PF2,
則橢圓的離心率的取值范圍為　　　 .
思路點撥 : (1)根據題意得點P的坐標 利用kAB=kOP或△PF1O∽△BOA得關于a,b,c的等式
求離心率.
(2)由條件列出關于a,c的不等式,將其轉化為關于e的不等式,結合e∈(0,1),解不等式得到e的
取值范圍.
解析：(1)解法一:由已知可設橢圓的方程為 + =1(a>b>0),c2=a2-b2(c>0),則F1(-c,0).
∵PF1⊥F1A,∴P 或P .
∵AB∥PO,
∴P ,kAB=kOP,故- =- ,
∴b=c,∴a2=2c2,∴e= = .
解法二:同解法一得P .
易知△PF1O∽△BOA,∴ = ,
∴ = ,即b=c,∴a2=2c2,∴e= = .
(2)連接OP(O為坐標原點).
若PF1⊥PF2,則△F1PF2是直角三角形,
所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤ c,所以e≥ ,又01.求相交弦的弦長的兩種方法
(1)求出直線與橢圓的兩交點坐標,用兩點間的距離公式求弦長.
(2)聯立直線(斜率存在)與橢圓的方程,消元,得到一個一元二次方程,利用弦長公式|AB|=
|xA-xB|= |yA-yB|(k≠0),其中xA,xB(或yA,yB)是上述一元二次方程的兩根,由根與系數的
關系求出兩根之和與兩根之積后可求得弦長.
2.與橢圓中點弦有關的三種題型及解法
(1)利用根與系數的關系求中點坐標:聯立直線方程和橢圓方程構成方程組,消去x(或y)得到關
于y(或x)的一元二次方程,利用根與系數的關系以及中點坐標公式求解.
(2)利用“點差法”求直線斜率或方程:利用弦的端點在曲線上,端點坐標滿足橢圓方程,將端
定點 4 直線與橢圓的相交弦問題
點坐標分別代入橢圓方程,然后作差,構造出中點坐標和斜率的關系式,即若橢圓方程為 +
=1(a>b>0),直線與橢圓相交于點A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠±x2,且弦AB的中點為M(x,y),則
①-②,整理得a2( - )+b2( - )=0,所以 =- · =- · .這樣就建立
了中點坐標與直線斜率之間的關系,從而使問題得以解決.
(3)利用中點坐標公式求直線方程:若橢圓 + =1(a>b>0)的弦AB的中點為P(x0,y0),設其中一
個端點為A(x,y),則另一個端點為B(2x0-x,2y0-y),所以 + =1, + =1(a>b>0),
兩式作差即可得所求的直線方程.
　　這三種方法中“點差法”最常用,“點差法”體現了“設而不求,整體代入”的解題思
想;“點差法”還可用于解決對稱問題,因為此類問題一般也與弦的中點和直線斜率有關.
典例 已知橢圓 + =1和點P(4,2),直線l經過點P且與橢圓交于A,B兩點.
(1)當直線l的斜率為 時,求線段AB的長度;
(2)當點P恰好為線段AB的中點時,求l的方程.
解析：(1)由已知可得直線l的方程為y-2= (x-4),即y= x.
由 得 或
不妨令A ,B ,
所以|AB|= =3 .所以線段AB的長度為3 .
(2)由題意知直線l的斜率存在.
設A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,
則 兩式相減,得 + =0,
整理,得kAB= =- .
因為P(4,2)是線段AB的中點,
所以x1+x2=8,y1+y2=4,所以kAB=- =- ,所以直線l的方程為y-2=- (x-4),即y=- x+4.

1.解決與橢圓有關的最大(小)值問題的常用方法
(1)利用定義轉化為幾何問題,利用幾何方法,即利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中
的定理、性質等進行求解;
(2)利用換元法轉化為三角函數的最值問題來處理;
(3)利用代數法轉化為函數的最值問題來處理,此時,應注意橢圓中x,y的取值范圍.
2.定值問題
(1)求定值問題的常用方法:
①從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關;
②直接推理、計算,并在推理、計算的過程中消去變量,從而得到定值.
定點 5 與橢圓有關的最值、定值及定點問題
(2)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題,基本思路是使用參數表示要解決的問題,
然后證明要解決的問題與參數無關.在這類問題中選擇消元的方向是非常關鍵的.
3.解決定點問題需要注意兩個方面
　　一是抓“特值”,涉及的定點多在兩條坐標軸上,所以可以先從斜率不存在或斜率為0的
特殊情況入手找出定點,為解題指明方向.
二是抓“參數之間的關系”,定點問題多是直線過定點,所以要熟悉直線方程的特殊形式,若
直線的方程為y=kx+b,則直線恒過點(0,b);若直線的方程為y=k(x-a),則直線恒過點(a,0).
典例1 已知橢圓E: + =1,點P(x,y)是橢圓上一點.
(1)求x2+y2的最值;
(2)若四邊形ABCD內接于橢圓E,點A的橫坐標為5,點C的縱坐標為4,求四邊形ABCD面積的最
大值.
解析： (1)解法一:x2+y2=(x-0)2+(y-0)2,它表示點P與原點O之間的距離d的平方,由橢圓E的方程
可得a=5,b=4,由橢圓的性質知4≤d≤5,∴16≤d2≤25,∴x2+y2的最大值為25,最小值為16.
解法二:令x=5cos θ,y=4sin θ,θ∈[0,2π],則x2+y2=25cos2θ+16sin2θ=16+9cos2θ.
又∵cos2θ∈[0,1],∴x2+y2的最大值為25,最小值為16.
解法三:由 + =1,得y2=16 ,∴x2+y2=x2+16 =16+ .
∵x∈[-5,5],∴16≤x2+y2≤25,∴x2+y2的最大值為25,最小值為16.
(2)如圖所示,易知A(5,0),C(0,4),

設B(5cos α,4sin α),α∈ ,
易得直線AC的方程為 + =1,即4x+5y-20=0,
所以點B到直線AC的距離
d1=
= ∈ .
同理可得,點D到直線AC的距離d2∈ .
所以四邊形ABCD的面積S= |AC|(d1+d2)≤20 ,故四邊形ABCD面積的最大值為20 .
典例2 已知橢圓C: + =1,N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交橢圓C于異于N的A,B兩點,直線NA,
NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.
思路點撥：當直線l的斜率存在時,設直線l的斜率為k,將k1+k2用斜率k表示,通過運算消去k,得
到定值;當直線l的斜率不存在時,可求得A,B兩點的坐標,進而得到k1,k2的值,從而得k1+k2為定
值.
證明： 當直線l的斜率存在時,設直線l的斜率為k,顯然k≠0,又直線l不過點N,所以k≠4,則l的
方程為y+2=k(x+1)(k≠0且k≠4).
由 得(1+2k2)x2+4k(k-2)x+2k2-8k=0.
由Δ=56k2+32k>0得k<- 或k>0,
故k∈ ∪(0,4)∪(4,+∞).
設A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=- ,x1x2= .
所以k1+k2= +
=
=2k-(k-4)· =4.
當直線l的斜率不存在時,不妨設A在x軸上方,則A ,B ,此時k1=2- ,k2=2+
,所以k1+k2=4.
綜上,k1+k2為定值.
典例3 已知橢圓E: + =1(a>b>0)經過點 ,離心率為 .
(1)求E的方程;
(2)若點P是橢圓E的左頂點,直線l交E于A,B兩點(異于點P),直線PA和PB的斜率之積為- .
(i)證明:直線l恒過定點;
(ii)求△PAB面積的最大值.
解析：(1)由題意得 解得
所以E的方程為 + =1.
(2)(i)證明:由(1)知P(-2,0).
當直線l的斜率存在時,設A(x1,y1),B(x2,y2),x1,x2≠-2,l:y=kx+m.
由 消去y,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,則x1+x2= ,x1x2= .
所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= .
因為kPA·kPB= · =- ,
所以(x1+2)(x2+2)+4y1y2=0,
即x1x2+2(x1+x2)+4+4y1y2=0,
所以 + +4+ =0,整理得m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(m+k)=0,解得m=2k
或m=-k.
當m=2k時,直線l的方程為y=kx+2k=k(x+2),此時直線l恒過點(-2,0),顯然不符合題意;
當m=-k時,直線l的方程為y=kx-k=k(x-1),此時直線恒過點(1,0).
當直線l的斜率不存在時,設l:x=t(-2不妨設點A,B的坐標分別為 , ,
由kAP·kBP=- ,得 · =- ,所以t=1,所以直線l的方程為x=1,過點(1,0).
綜上,直線l恒過點(1,0).
(ii)當直線l的斜率存在時,易知k∈R且k≠0.由(i)知x1+x2= ,x1x2= .
所以|AB|= ·
= ·
= .
又點P(-2,0)到直線l:kx-y-k=0的距離d= ,
所以S△PAB= × × = =18 .
令u=4k2+3,則u>3,k2= ,
所以S△PAB=
=
= ,
由u>3得0< < ,
所以0< < ,
即S△PAB∈ .
當直線l的斜率不存在時,由(i)知直線l:x=1,
此時|AB|=3,
所以S△PAB= ×3×3= .
綜上,△PAB面積的最大值為 .

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