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3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
基礎過關練
題組一　雙曲線的簡單幾何性質
1.雙曲線9x2-16y2=144的焦點坐標為(　　)
A.(-,0),(,0)　　　　B.(0,-),(0,)　　
C.(-5,0),(5,0)　　　　D.(0,-5),(0,5)
2.雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m等于(　　)
A.-　　B.-4　　C.4　　D.
3.中心在原點,實軸在x軸上,一個焦點在直線3x-4y+12=0上的等軸雙曲線的方程是(　　)
A.x2-y2=8　　　　B.x2-y2=4
C.y2-x2=8　　　　D.y2-x2=4
4.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點F(c,0)到其漸近線的距離為c,則=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.已知雙曲線-=1(a>0)的兩條漸近線的夾角為,則a的值為(　　)
A.　　　　B.2　　
C.或2　　　　D.2
6.(教材習題改編)已知雙曲線C的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則雙曲線C的標準方程為(　　)
A.-=1　　　　B.-=1
C.-=1　　　　D.-=1
7.已知F1,F2分別是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若C的右支上存在一點M,滿足2|MF1|=3|MF2|,則雙曲線C經過第一、三象限的漸近線的斜率的取值范圍為(　　)
A.(0,2]　　　　B.[2,+∞)
C.(0,5]　　　　D.[5,+∞)
8.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦點F到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3∶1,則雙曲線C的漸近線方程為　　　　.
9.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,其右焦點F(c,0)到漸近線的距離為,O為坐標原點,P(x0,y0)為雙曲線右支上一動點.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)求·的最小值.
題組二　求雙曲線的離心率的值或者范圍
10.雙曲線-=1的離心率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
11.已知雙曲線C的中心在原點處,焦點在坐標軸上,漸近線方程為y=±2x,則C的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.或　　D.或
12.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為e,若點(2,)與點(e,2)都在雙曲線上,則e=(　　)
A.　　B.或　　C.2或3　　D.
13.若雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與直線y=2圍成了一個等邊三角形,則C的離心率為(　　)
A.　　B.+1　　C.　　D.2
14.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的下、上焦點分別為F1,F2,點M在C的下支上,過點M作C的一條漸近線的垂線,垂足為D.若|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,則C的離心率的取值范圍為(　　)
A.　　　　B.
C.(1,2)　　　　D.
15.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,左、右頂點分別為A1,A2,坐標原點為O,以F1F2為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于點P,且∠PA1A2=45°,則雙曲線C的離心率為　　　　.
16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上(點P不在x軸上),且|PF1|=5|PF2|.
(1)用a表示|PF1|,|PF2|;
(2)若∠F1PF2是鈍角,求雙曲線的離心率e的取值范圍.
17.雙曲線-=1(a>1,b>0)的焦距為2c,直線l過點(a,0)和(0,b),且點(1,0)到直線l的距離與點(-1,0)到直線l的距離之和s≥c.求雙曲線的離心率e的取值范圍.
能力提升練
題組一　雙曲線的離心率及其應用
1.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點M在C上,且MF1⊥MF2,△OMF1的面積為(O為坐標原點),則雙曲線C的離心率為(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
2.設橢圓C1:+=1(a>b>0)與雙曲線C2:-=1的離心率分別為e1,e2,且雙曲線C2的漸近線的斜率k小于,則的取值范圍是(　　)
A.(1,4)　　　　B.(4,+∞)　　
C.(1,2)　　　　D.(2,+∞)
3.如圖所示,F1,F2分別是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,C的右支上存在一點B滿足BF1⊥BF2,BF1與C的左支的交點A滿足=,則雙曲線C的離心率為(　　)
A.3　　B.2　　C.　　D.
4.雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,離心率為e,O為坐標原點,且=k(k>1),以P為圓心,|PF|為半徑的圓與雙曲線有公共點,則k-8e的最小值為(　　)
A.-9　　B.-7　　C.-5　　D.-3
5.已知雙曲線C:-y2=1(a>0)的右焦點為F,點A(0,-a),若雙曲線的左支上存在一點P,使得|PA|+|PF|=7,則雙曲線C的離心率的取值范圍是(　　)
A.　　　　B.(1,]　　
C.　　　　D.[,+∞)
6.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點F1,F2,M是它們的一個交點,且cos∠F1MF2=,記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1,e2,則的最大值為　　　　.
7.如圖,過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點F作直線l,使直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直,垂足為A,且與另一條漸近線交于點B(A,B均在y軸右側).已知O為坐標原點,若△OAB的內切圓的半徑為a,則雙曲線C的離心率為　　　　.
題組二　雙曲線性質的綜合應用
8.(多選題)已知圓錐曲線C1:mx2+ny2=1(n>m>0)與C2:px2-qy2=1(p>0,q>0)的公共焦點為F1,F2,M為C1,C2的一個公共點,且滿足∠F1MF2=90°,若圓錐曲線C1的離心率為e1,C2的離心率為e2,則下列說法正確的是(　　)
A.+=2
B.+=2
C.當e1=時,C2的漸近線方程為y=±x
D.當e1=時,C2的漸近線方程為y=±x
9.(多選題)設雙曲線C:x2-y2=2的左、右頂點分別為A1,A2,左、右焦點分別為F1,F2,l為雙曲線C的一條漸近線,過F2作F2M⊥l,垂足為M,P為雙曲線C在第一象限內的一點,則　(　　)
A.|F2M|=2
B.∠PA2A1-∠PA1A2=90°
C.若PF1⊥PF2,則△PF1F2的面積為2
D.若PM平行于x軸,則|PF2|=|PM|
10.(多選題)已知雙曲線C:x2-=1,C的兩條漸近線分別為l1,l2,P為C右支上任意一點,它到l1,l2的距離分別為d1,d2,到右焦點F的距離為d3,則(　　)
A.d1的取值范圍為
B.d3的取值范圍為[2,+∞)
C.d1+d2的取值范圍為[,+∞)
D.d1+d3的取值范圍為[,+∞)
11.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦點與橢圓+=1的焦點重合,離心率互為倒數,設F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,P為其右支上任意一點,則雙曲線C的離心率為　　　　;的最小值為　　　　.
12.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為2,左、右焦點分別為F1,F2,且F1到漸近線的距離為3,過F2的直線與雙曲線C的右支交于A,B兩點,O為坐標原點,若△AF1F2和△BF1F2的內心分別為M,N,則|MN|的最小值為　　　　.
13.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦點在圓O:x2+y2=26上,圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于點P,Q,若點E(a,0)滿足+=-,求△OPQ的面積.
答案與分層梯度式解析
3.2.2　雙曲線的簡單幾何性質
第1課時　雙曲線的簡單幾何性質
基礎過關練
1.C 2.A 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 10.C
11.D 12.D 13.D 14.A
1.C　將雙曲線方程9x2-16y2=144化為標準形式為-=1,則a2=16,b2=9,
所以c2=a2+b2=16+9=25,即c=5,
易知焦點在x軸上,所以焦點坐標為(-5,0),(5,0).故選C.
2.A　將雙曲線方程化為標準形式為y2-=1,則a2=1,b2=-.由題意得2=,解得m=-.
3.A　設等軸雙曲線的方程為-=1(a>0).在方程3x-4y+12=0中,令y=0,得x=-4,∴等軸雙曲線的一個焦點坐標為(-4,0),∴c=4,∴a2=c2=×16=8,故所求雙曲線的方程是x2-y2=8.故選A.
4.A　根據雙曲線的幾何性質可知,右焦點F(c,0)到漸近線bx±ay=0的距離為=b=c,∴=.
故選A.
5.C　雙曲線-=1(a>0)的漸近線方程為y=±x,因為雙曲線-=1(a>0)的兩條漸近線的夾角為,所以=tan 或=tan ,解得a=或a=2.
故選C.
6.C　由題意可設雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),因為雙曲線C的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,所以解得(負值舍去),所以雙曲線C的標準方程為-=1.故選C.
7.A　由題易得雙曲線C的漸近線方程為y=±x,其中過第一、三象限的漸近線的方程為y=x,其斜率為.設|MF1|=s,|MF2|=t,由2|MF1|=3|MF2|,可得2s=3t①,
因為M在雙曲線的右支上,所以根據雙曲線的定義可知s-t=2a②,由①②解得s=6a,t=4a.
由于M在雙曲線的右支上,所以|MF1|=6a≥a+c,即5a≥c,兩邊平方得25a2≥c2,又c2=a2+b2,所以24a2≥b2,即≤24,所以∈(0,2].故選A.
8.答案　y=±x
解析　易知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦點在y軸上,其漸近線方程為y=±x,
由雙曲線的焦點F到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3∶1,可知c=3a(依據:相似三角形對應邊成比例),則b==2a,
則雙曲線C的漸近線方程為y=±x.
9.解析　(1)因為雙曲線C:-=1的漸近線方程為y=±x,所以a=b,
又右焦點F(c,0)到漸近線y=±x的距離為,故=,解得c=2,
又c2=a2+b2,所以a2=b2=2,
所以雙曲線C的標準方程為-=1.
(2)由(1)及題知F(2,0),x0≥,=(x0,y0),=(x0-2,y0),=-2,則·=x0(x0-2)+=2-2x0-2=-,
所以當x0=時,·取得最小值,為2-2.
10.C　由雙曲線-=1可知,a2=4,b2=3,所以c2=a2+b2=7,故離心率e==.故選C.
11.D　當焦點在x軸上時,=2,可得e===;
當焦點在y軸上時,=2,可得e===.
(易錯點:焦點位置不確定,應分類討論)
故選D.
12.D　由點(2,),(e,2)在雙曲線-=1上,得則-=0,即===e2-1,
整理得e4-5e2+6=0,解得e2=2或e2=3.
當e2=2時,a2=b2,此時方程-=1無解,不滿足題意;
當e2=3時,b2=2a2,又-=1,所以a=1,b=,滿足題意.
所以e=.故選D.
13.D　由題意得,漸近線y=x與y軸的夾角為30°,則其傾斜角為60°,故其斜率為,所以=,
所以C的離心率e===2.故選D.
14.A　由題知|F1F2|=2c,點F1到漸近線y=±x的距離d==b.由雙曲線的定義可得|MF2|-|MF1|=2a,故|MF2|=|MF1|+2a,則|MD|+|MF2|=|MD|+|MF1|+2a的最小值為d+2a=2a+b,由|MD|>|F1F2|-|MF2|恒成立,得|MD|+|MF2|>|F1F2|恒成立,即2a+b>2c,即b>2c-2a,即b2>4c2+4a2-8ac,即c2-a2>4c2+4a2-8ac,故1<<,即C的離心率的取值范圍為.故選A.
15.答案　
解析　不妨設P在第一象限內,由已知得PF1⊥PF2,在Rt△PF1F2中,|OP|=|F1F2|=c,
在△OPA2中,tan∠POA2=,則cos∠POA2=,
又|OA2|=a,故由余弦定理得|PA2|2=|OP|2+-2|OP|·|OA2|·cos∠POA2,解得|PA2|=b(負值舍去),
由|OP|2-|OA2|2=|PA2|2知PA2⊥OA2,即PA2⊥A1A2,
所以在Rt△PA1A2中,tan∠PA1A2=,即1=,則=2,
所以雙曲線C的離心率e==.
16.解析　(1)∵點P在雙曲線的右支上(點P不在x軸上),
∴根據雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,
∵|PF1|=5|PF2|,∴|PF2|=a,|PF1|=a.
(2)在△F1PF2中,由余弦定理的推論可得,cos∠F1PF2=,
∵∠F1PF2是鈍角,∴a2+a2-4c2<0,即>,
∴>,即e>,故離心率e的取值范圍為.
17.解析　易得直線l的方程為+=1,即bx+ay-ab=0.
由點到直線的距離公式及a>1,b>0,得點(1,0)到直線l的距離d1=,
同理得到點(-1,0)到直線l的距離d2=,
則s=d1+d2==.
由s≥c,得≥c,即5a≥2c2,
左、右兩側同除以a2,得5≥2e2,即4e4-25e2+25≤0,解得≤e2≤5.
由于e>1,所以e的取值范圍是≤e≤.
能力提升練
1.A 2.C 3.C 4.A 5.C 8.BD 9.BCD 10.CD
1.A　設|MF1|=s,|MF2|=t,由雙曲線的定義可得|s-t|=2a,故s2+t2-2st=4a2,
由MF1⊥MF2,可得△OMF1的面積為st=,即st=,
又s2+t2=4c2,故2st+4a2=+4a2=4c2,即c=a,即e==.故選A.
2.C　不妨設橢圓、雙曲線的半焦距分別為c1,c2.
易知c1=,c2=,又e1=,e2=,
所以=,
若雙曲線C2的漸近線的斜率k小于,即k=±<,則03.C　在△ABF2中,由正弦定理得=①,
在△AF1F2中,由正弦定理得=②,
又∠BAF2+∠F1AF2=π,故sin∠BAF2=sin∠F1AF2,
∴由,得·=,
又=,故·=,即|AB|=|AF1|,
設|AB|=|AF1|=x(x>0),則|BF1|=2x,由雙曲線的定義得|BF2|=2x-2a,|AF2|=x+2a,
由BF1⊥BF2,得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2,即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2,∴x=3a,
∴|BF1|=6a,|BF2|=4a,
在Rt△BF1F2中,由勾股定理得|F1F2|2=|BF1|2+,即(2c)2=(6a)2+(4a)2,整理得c2=13a2,
∴雙曲線C的離心率e==.故選C.
4.A　由題意可知右焦點為F(c,0),由=k,可得P(kc,0),|PF|=(k-1)c,
故以P為圓心,|PF|為半徑的圓的方程為(x-kc)2+y2=(k-1)2c2,
聯立消去y,可得c2x2-2kca2x+a2(2kc2-c2-b2)=0,由圓與雙曲線有公共點,可得Δ≥0,即4k2c2a4-4c2a2(2kc2-c2-b2)≥0,
結合b2=c2-a2,化簡可得(k-1)[(k+1)a2-2c2]≥0,
∵k>1,∴(k+1)a2-2c2≥0,即k≥2e2-1,所以k-8e≥2e2-8e-1=2(e-2)2-9,
又e>1,故當e=2時,k-8e取得最小值,為-9.故選A.
5.C　設雙曲線C的左焦點為F',則|PF|-|PF'|=2a,
故|PA|+|PF|=2a+|PF'|+|PA|≥2a+|F'A|,當且僅當A,F',P三點共線, 且P在A,F'之間時等號成立,
∴|PA|+|PF|的最小值為2a+|F'A|=2a+,
由題意可知2a+≤7,即≤7-2a,∴c2+a2≤4a2-28a+49,又c2=a2+1,∴a2-14a+24≥0,解得a≥12或a≤2,當a≥12時,2a+>7,不滿足題意,∴a≤2,∴a2≤4=4(c2-a2),結合e>1,可得e≥,∴離心率的取值范圍是.故選C.
6.答案　
解析　不妨設M為第一象限內的點,F1為左焦點,橢圓的長半軸長為a1,雙曲線的實半軸長為a2,
則根據橢圓及雙曲線的定義可得|MF1|+|MF2|=2a1,|MF1|-|MF2|=2a2,
所以|MF1|=a1+a2,|MF2|=a1-a2,
在△MF1F2中,cos∠F1MF2=,|F1F2|=2c,由余弦定理得4c2=+-2(a1+a2)(a1-a2)·cos∠F1MF2,
化簡得3+5=8c2,即+=8,
所以+=8≥2,從而≤,
當且僅當=,即e1=,e2=時等號成立,即的最大值為.
7.答案　
解析　設△OAB的內切圓的圓心為M,則M在∠AOB的平分線Ox上,過點M分別作MN⊥OA于N,MT⊥AB于T,如圖,
由FA⊥OA得四邊形MTAN為正方形,由焦點到漸近線的距離為b得|FA|=b,又|OF|=c,所以|OA|=a,
又|NA|=|NM|=a,所以|NO|=a,
所以=tan∠AOF=tan∠NOM==,從而可得e===.
8.BD　不妨設M在第一象限內,F1,F2分別為左、右焦點,且|MF1|=r,|MF2|=s,
設圓錐曲線C1:mx2+ny2=1(n>m>0)與C2:px2-qy2=1(p>0,q>0)的基本幾何量分別為a1,b1,c;a2,b2,c,且a1=,b1=,a2=,b2=,
則根據題意可得∴2(r2+s2)=4(+),
∴r2+s2=2(+)=4c2,
∴+=2,即+=2,∴A錯誤,B正確;
當e1=時,由+=2,可得=,
∴C2的漸近線的斜率為±=±=±=±,∴C2的漸近線方程為y=±x,∴C錯誤,D正確.故選BD.
9.BCD　由雙曲線C:x2-y2=2,可得a=,b=,c=2,∴左、右頂點分別為A1(-,0),A2(,0),左、右焦點分別為F1(-2,0),F2(2,0),
不妨設l為雙曲線C經過第一、三象限的漸近線,則其方程為y=x,則|F2M|==,故A錯誤;
設P(x,y),x>,y>0,則=,=,可得·=·=1,∴=,
∴tan∠PA1A2=tan(90°-∠PA2x),∴∠PA1A2=90°-∠PA2x,∴∠PA1A2=90°-(180°-∠PA2A1),
∴∠PA2A1-∠PA1A2=90°,故B正確;
易得|PF1|-|PF2|=2,兩邊平方得|PF1|2-2|PF1|·|PF2|+|PF2|2=8,
又∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16,
∴|PF1|·|PF2|=4,
則△PF1F2的面積為|PF1|·|PF2|=2,故C正確;
由M在直線y=x上,F2(2,0),可得M(1,1),若PM平行于x軸,則P(,1),
∴|PM|=-1,|PF2|===-=(-1)=|PM|,故D正確.
故選BCD.
10.CD　由題可知,a=1,b=,c===2,設P(x1,y1)(x1≥1),右焦點F到漸近線的距離為d4.
易得兩條漸近線的方程分別為y=x,y=-x,根據雙曲線的對稱性,不妨設它們所對應的直線分別為l1,l2,
則d1=,d2=,d1d2=,d4==,又P(x1,y1)在雙曲線上,故-=1,即3-=3,故d1d2=,
d3===≥1,故B錯誤;
d1+d2≥2=2=,當且僅當d1=d2=時等號成立,故C正確;
由圖可知,d1+d3≥d4=,故D正確;
由雙曲線的性質知,當|x|無窮大時,雙曲線與漸近線無限接近,所以d1的最小值無限趨近于0,所以d1無最小值,故A錯誤.
故選CD.
11.答案　3;8
解析　易知橢圓+=1的離心率為=,半焦距c1==3,
因為雙曲線C與橢圓+=1的離心率互為倒數,
所以雙曲線C的離心率為3,①
因為雙曲線C的焦點與橢圓+=1的焦點重合,
所以雙曲線C的半焦距c2=3,②
又a2+b2=,③
故由①②③可得a=1,b=2,
則雙曲線C的方程為x2-=1.
由F1,F2分別為雙曲線C的左、右焦點,P為其右支上任意一點,可得|PF1|-|PF2|=2a=2,即|PF1|=2+|PF2|,
所以===+|PF2|+4,因為|PF2|≥c2-a=2,
所以+|PF2|+4≥2+4=8,
當且僅當=|PF2|,即|PF2|=2時,等號成立,
則的最小值為8.
12.答案　2
解析　易知在雙曲線C:-=1(a>0,b>0)中,焦點到漸近線的距離為b,則b=3,又離心率為2,c2=a2+b2,
∴解得(舍負).∴雙曲線C的方程為-=1.
不妨設A在第一象限內,△AF1F2的內切圓與邊AF1,AF2,F1F2的切點分別為H,G,E,如圖,
則|AH|=|AG|,|F1H|=|F1E|,|F2G|=|F2E|,
由雙曲線的定義可得|AF1|-|AF2|=2a,即|AH|+|HF1|-(|AG|+|GF2|)=2a,即|HF1|-|GF2|=2a,即|F1E|-|F2E|=2a,
記M的橫坐標為x0,則E(x0,0),
于是x0+c-(c-x0)=2a,解得x0=a,
同理可得內心N的橫坐標也為a,故MN⊥x軸.
設直線AB的傾斜角為θ,則∠OF2N=,∠MF2O=90°-,
在△MF2N中,|MN|=(c-a)tan+tan90°-=(c-a)·=(c-a)·=.
由于直線l與C的右支交于兩點,且C的一條漸近線的斜率為=,對應的傾斜角為60°,
∴60°<θ<120°,即∴|MN|的取值范圍是[2,4),即|MN|的最小值為2.
13.解析　因為雙曲線-=1(a>0,b>0)的焦點在圓O:x2+y2=26上,所以c=.
設線段PQ與x軸的交點為M,結合雙曲線與圓的對稱性可知M為線段PQ的中點,
因為+=-,所以2=-,
又點E(a,0),所以M.
易得直線OP的方程為y=x,所以P,
又點P在圓O上,所以+=26,
又a2+b2=26,所以a2=8,b2=18,故a=2,b=3,
從而P(3,2),故S△OPQ=×3×2×2=12.
7第2課時　直線與雙曲線的位置關系
基礎過關練
題組一　直線與雙曲線的位置關系
1.雙曲線-=1與直線l:y=-x+m(m∈R)的公共點的個數為(　　)
A.0　　　　B.1　　
C.0或1　　　　D.0或1或2
2.已知直線l:y=2x-8,雙曲線C:-y2=1,則(　　)
A.直線l與雙曲線C有且只有一個公共點
B.直線l與雙曲線C的左支有兩個公共點
C.直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點
D.直線l與雙曲線C的左右兩支各有一個公共點
3.已知雙曲線E:-y2=1,直線l:y=kx+1,若直線l與雙曲線E的兩個交點分別在雙曲線的兩支上,則k的取值范圍是(　　)
A.k<-或k>　　　　B.-C.k<-或k>　　　　D.-4.(多選題)已知兩點A(-2,0),B(2,0),若某直線上存在點P,使得|PA|-|PB|=2,則稱該直線為“點定差直線”,下列直線中,是“點定差直線”的有(　　)
A.y=x+1　　　　B.y=3x+1　　
C.y=2x+4　　　　D.y=x+3
5.直線mx-y-2m=0與曲線x2+y|y|=1恰有兩個交點,則實數m的取值范圍為　　　　.
6.已知直線l:y=kx+1與雙曲線C:x2-y2=1,分別求出滿足下列條件的k的值或者取值范圍.
(1)l與C沒有公共點;
(2)l與C只有一個公共點;
(3)l與C有兩個公共點.
7.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率e=2,點M(,)在雙曲線上,O為坐標原點.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)如圖,若直線l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點Q,P,且·=0,求證:+是定值.
題組二　直線與雙曲線的相交弦問題
8.過雙曲線x2-=1的右焦點作直線l交雙曲線于A,B兩點,若滿足|AB|=λ的直線l恰有3條,則實數λ=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
9.已知雙曲線C:-=1(a>0)的右焦點為F,過點F作直線l與C交于A,B兩點,若滿足|AB|=4的直線l有且僅有1條,則雙曲線C的離心率為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.或
10.(多選題)過雙曲線C:-=1的右焦點作直線l與該雙曲線交于A,B兩點,則(　　)
A.存在四條這樣的直線l,使|AB|=6
B.存在直線l,使弦AB的中點為M(4,1)
C.與該雙曲線有相同漸近線且過點(8,10)的雙曲線的標準方程為-=1
D.若A,B都在該雙曲線的右支上,則直線l的斜率的取值范圍是∪
11.已知雙曲線W:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O的直線l與雙曲線W的左、右兩支分別交于點A,B,以AB為直徑的圓過點F,延長BF交右支于另一點C,若|CF|=2|FB|,則雙曲線W的漸近線方程是(　　)
A.y=±2x　　　　B.y=±x　　
C.y=±x　　　　D.y=±3x
12.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F作C的兩條漸近線的平行線,與C分別交于點A,B,若|AB|=2b,則C的離心率為　　　　.
13.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的離心率為,雙曲線C的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線C的右支上,且|PF1|-|PF2|=4.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)過點D(4,0)的直線l交雙曲線C于A,B兩點,且以AB為直徑的圓過原點O,求弦AB的長.
14.在平面直角坐標系Oxy中,設雙曲線2x2-y2=6的左、右焦點分別為F1,F2,一條過F2的直線交雙曲線的右支于P,Q兩點,M為線段PQ的中點.
(1)若M在直線x=4上,求|PQ|;
(2)設I是△F1PQ的內心,求證:O,I,M三點共線.
能力提升練
題組一　“點差法”在雙曲線中的應用
1.(多選題)已知雙曲線E過點(-2,3)且與雙曲線-=1共漸近線,直線l與雙曲線E交于A,B兩點,分別過點A,B且與雙曲線E相切的兩條直線交于點P,則下列結論正確的是(　　)
A.雙曲線E的標準方程是-=1
B.若AB的中點為(1,4),則直線l的方程為9x-16y+55=0
C.若點A的坐標為(x1,y1),則直線AP的方程為9x1x-4y1y+36=0
D.若點P在直線3x-4y+6=0上運動,則直線l恒過點(3,6)
2.已知曲線Γ的對稱中心為O,若對于Γ上的任意一點A,Γ上都存在另兩點B,C,使得O為△ABC的重心,則稱曲線Γ為“自穩定曲線”.現有如下兩個命題:①任意橢圓都是“自穩定曲線”;②存在某雙曲線是“自穩定曲線”.則(　　)
A.①是假命題,②是真命題
B.①是真命題,②是假命題
C.①②都是假命題
D.①②都是真命題
3.過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點F(-3,0)的直線與雙曲線交于M,N兩點,且線段MN的中點坐標為(3,6),則雙曲線的方程為　　　　　　.
4.已知雙曲線E:-=1,過P(4,t)(t>0)作直線l交雙曲線于A,B兩點,若不存在直線l使得P是線段AB的中點,則t的取值范圍是　　　　　.
題組二　雙曲線中的面積問題
5.已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別為A,B,M是E上一點,△ABM為等腰三角形,且△ABM的外接圓的面積為3πa2,則雙曲線E的離心率為(　　)
A.2　　B.　　C.　　D.
6.已知直線2x-y-2=0與雙曲線C:x2-y2=1交于點A(x1,y1),B(x2,y2).P(x3,y3)為C上一點,且x17.雙曲線C:-=1(a>0,b>0)經過點P,且點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之比為4∶1.
(1)求C的方程;
(2)過點P作不平行于坐標軸的直線l1交雙曲線于另一點Q,作直線l2∥l1分別交C的兩條漸近線于點A,B(A在第一象限內),使|AB|=|PQ|,記l1和直線QB的斜率分別為k1,k2.
(i)證明:k1·k2是定值;
(ii)若四邊形ABQP的面積為5,求k1-k2.
題組三　直線與雙曲線的位置關系的綜合應用
8.已知雙曲線C:-=1(a>0)的左頂點為A,右焦點為F,P是直線l:x=上一點,且P不在x軸上,以點P為圓心,線段PF的長為半徑作圓,圓弧AF交C的右支于點N.
(1)證明:∠APN=2∠NPF;
(2)取a=1,若直線PF與C的左、右兩支分別交于點E,D,過E作l的垂線,垂足為R,試判斷直線DR是否過定點,若是,求出定點的坐標;若不是,請說明理由.
9.在平面直角坐標系Oxy中,已知圓O:x2+y2=1,點F(2,0),以線段FG為直徑的圓與圓O相切,記動點G的軌跡為W.
(1)求W的方程;
(2)設點M在x軸上,點N(0,1),在W上是否存在兩點A,B,使得當A,B,N三點共線時,△ABM是以AB為斜邊的等腰直角三角形 若存在,求出點M的坐標和直線AB的方程;若不存在,請說明理由.
10.如圖,橢圓+=1(a>b>0)與一等軸雙曲線相交,并且雙曲線的左、右頂點分別是該橢圓的左、右焦點F1(-2,0),F2(2,0),雙曲線的左、右焦點分別是橢圓的左、右頂點,設P為該雙曲線上異于頂點的任意一點,直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,且直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A,B和C,D.
(1)分別求橢圓和雙曲線的標準方程;
(2)證明:k1k2=1;
(3)是否存在常數λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立 若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
第2課時　直線與雙曲線的位置關系
基礎過關練
1.C 2.C 3.B 4.AD 8.C 9.B 10.ACD 11.C
1.C　易得雙曲線-=1的漸近線方程為y=±x,
所以當m=0時,直線l:y=-x+m與漸近線y=-x重合,此時直線l與雙曲線無公共點;當m≠0時,直線l與漸近線y=-x平行,此時直線l與雙曲線有一個公共點.故選C.
2.C　解法一:易知直線l經過定點(4,0),記M(4,0),因為點M在雙曲線C的右頂點(2,0)的右側,雙曲線的漸近線方程為y=±x,且kl=2>,所以直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點.故選C.
解法二:聯立解得或
所以直線l與雙曲線C的右支有兩個公共點.
故選C.
3.B　聯立消去y并整理,得(1-3k2)x2-6kx-6=0,
由直線l與雙曲線E的兩個交點分別在雙曲線的兩支上,
得解得-所以k的取值范圍是-規律總結　運用方程思想解決直線與雙曲線的位置關系時,可將直線方程與雙曲線方程聯立,消去y(或x),得到一個關于x(或y)的一元二次方程,則二次項系數為0時,直線與雙曲線的漸近線平行(或重合),此時直線與雙曲線只有一個公共點(或無公共點);二次項系數不為0時,若Δ>0,則直線與雙曲線有兩個公共點,若Δ=0,則有一個公共點,若Δ<0,則無公共點.
4.AD　結合雙曲線的定義,可知滿足|PA|-|PB|=2的點P的軌跡是以A,B為焦點的雙曲線的右支,且c=2,a=1,所以b=,此雙曲線的方程為x2-=1,漸近線方程為y=±x.
依題意,若該直線為“點定差直線”,則這條直線必與雙曲線的右支相交,逐項分析可得,直線y=x+1,y=x+3的斜率分別為1,,均小于,且兩直線均與y軸交于正半軸,故與右支有一個交點;直線y=3x+1,y=2x+4的斜率分別為3,2,均大于,且兩直線均與y軸交于正半軸,故與右支無交點.故選AD.
5.答案　
解析　當y≥0時,曲線x2+y|y|=1即x2+y2=1,當y<0時,曲線x2+y|y|=1即x2-y2=1.
當m=0時,直線方程為y=0,與曲線恰好有兩個交點,符合題意.
當m≠0時,直線方程為y=m(x-2),直線過定點(2,0),
若m>0,則直線與雙曲線x2-y2=1在x軸下方的部分恰有兩個交點,又雙曲線的漸近線方程為y=±x,故0若m<0,則直線與圓x2+y2=1在x軸上方的部分恰有兩個交點,所以圓心(0,0)到直線的距離d綜上,m的取值范圍是-6.解析　聯立消去y,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0.
(1)若l與C沒有公共點,則k≠±1,且Δ=4k2+8(1-k2)=8-4k2<0,解得k>或k<-.
(2)當k=-1時,l:y=-x+1;當k=1時,l:y=x+1,均與一條漸近線平行,滿足l與C只有一個公共點;
當k≠±1時,Δ=0,解得k=±.
所以若l與C只有一個公共點,則k=±1或k=±.
(3)若l與C有兩個公共點,則k≠±1,且Δ>0,即-7.解析　(1)因為雙曲線C的離心率e==2,
所以c=2a,又b2=c2-a2=3a2,
故雙曲線C的方程為-=1,即3x2-y2=3a2,
因為點M(,)在雙曲線上,所以6-3=3a2,
解得a2=1,
則雙曲線C的方程為x2-=1.
(2)證明:根據題意,不妨設直線OP的方程為y=kx(k>0),
由(1)知雙曲線C的漸近線方程為y=±x,則k≠.
因為·=0,所以直線OQ的方程為y=-x,
聯立解得x2=,y2=,
則|OP|2=x2+y2=,
同理可得|OQ|2==,
則+===,
故+為定值,定值為.
8.C　若A,B兩點在兩支上,∵雙曲線的兩個頂點之間的距離是2,
∴此時一定有兩條斜率存在且過雙曲線的右焦點的直線,滿足它與雙曲線的兩個交點之間的距離等于3或4或6.
若A,B兩點都在右支上,當所作直線與實軸垂直時,A,B兩點的橫坐標均為,
將x=代入雙曲線方程,可得3-=1,∴y=±2,
此時線段AB的長度最小,是4,且對應直線只有一條.
綜上可知,有三條直線滿足|AB|=4,∴λ=4.故選C.
9.B　易得雙曲線C:-=1(a>0)的實軸長為2a,通徑長為=2a+>2a,∵滿足|AB|=4的直線l有且僅有1條,∴2a=4,解得a=2,∴c==3,
∴雙曲線C的離心率為=,故選B.
10.ACD　對于A,易知雙曲線的通徑長為=5<6,實軸長2a=4<6,故存在四條這樣的直線l,使|AB|=6,故A正確.
對于B,假設存在直線l,使弦AB的中點為M(4,1),
設直線l的方程為y-1=k(x-4),A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去y,可得(5-4k2)x2+(32k2-8k)x-64k2+32k-24=0,則Δ>0恒成立,
則x1+x2==8,y1+y2=k(x1-4)+1+k(x2-4)+1=k·-8k+2==2,
所以k=5,所以直線l的方程為y-1=5(x-4),但此時右焦點(3,0)不在直線l上,故不存在這樣的直線l,故B錯誤.
對于C,設與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的標準方程為-=λ(λ≠0且λ≠1),
將(8,10)代入可解得λ=-4,所以所求雙曲線的標準方程為-=1,故C正確.
對于D,設直線l的方程為x=my+3,A(xA,yA),B(xB,yB),
聯立消去x,得(5m2-4)y2+30my+25=0,則Δ>0恒成立,
則yA+yB=,yAyB=,
若A,B都在該雙曲線的右支上,則yAyB=<0,
即5m2-4<0,解得-故選ACD.
11.C　設雙曲線的左焦點為F',連接BF',AF',CF',AF,如圖,
設|BF|=t,則|CF|=2t,|BF'|=2a+t,|CF'|=2t+2a,
由題意知AF⊥BF,根據雙曲線的對稱性可知四邊形AFBF'為矩形,
在Rt△BCF'中,|CF'|2=|CB|2+|BF'|2,即(2t+2a)2=(3t)2+(2a+t)2,解得t=(t=0舍去),
在Rt△FBF'中,|FF'|2=|BF|2+|BF'|2,即(2c)2=+,得=,∴=-1=,
故雙曲線W的漸近線方程為y=±x.故選C.
12.答案　+2
解析　不妨設雙曲線的左焦點為F1,點A在第一象限內,如圖所示,
易知過F且與漸近線y=x平行的直線的方程為y=(x-c),與雙曲線方程聯立,
解得x=,y=-,
因為|AB|=2b,所以2×=2b,即b2=2ac,即c2-2ac-a2=0,即e2-2e-1=0,
解得e=+2(e=-2舍去).
13.解析　(1)由題意及雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a=4,解得a=2.
因為雙曲線C的離心率為,所以==,解得c=2.因為c2=a2+b2,所以b2=c2-a2=8.
故雙曲線C的標準方程為-=1.
(2)當直線l的斜率為0時,A,B兩點為雙曲線的頂點,此時以AB為直徑的圓不過原點O,舍去.
當直線l的斜率不為0時,設直線l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立消去x,整理得(2m2-1)y2+16my+24=0,則y1+y2=-,y1y2=,
故x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16.
因為以AB為直徑的圓過原點O,所以⊥,
所以·=x1x2+y1y2=0,
所以(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0,
即(m2+1)·+4m·+16=0,
整理得8-8m2=0,即m2=1,
則|y1-y2|===4,
故|AB|=|y1-y2|=×4=8,即弦AB的長為8.
14.解析　(1)由題意知直線PQ的斜率不為0,F2(3,0),
設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線PQ的方程為x=my+3,
由得(2m2-1)y2+12my+12=0,
則解得m2≠.
由根與系數的關系得y1+y2=,y1y2=,
則x1+x2=m(y1+y2)+6=+6=8,解得m2=.
經檢驗,當m2=時,直線與雙曲線的右支有兩個交點,滿足題意,
此時|PQ|=|y1-y2|==6.
(2)證明:設M(xM,yM),直線PQ的傾斜角為θ,
由(1)可知yM==,xM=myM+3=,則kOM==2m.
因為內心I是△F1PQ三個角的平分線的交點,|PF1|+|QF1|-|PQ|=4a,所以由切線長定理可知,△F1PQ的內切圓切PQ邊于點F2.
設內心I(xI,yI),內切圓的半徑為r,
則△F1PQ的面積S=(|PQ|+|PF1|+|QF1|)·r=|F1F2|·|y1-y2|,即(|PQ|+2a)·r=3|y1-y2|,
則·r=,整理得r=2,
又xI=c-rsin θ=c-r·=1,yI=rcos θ=2·=2m,
所以kOI==2m=kOM,即O,I,M三點共線.
能力提升練
1.BC 2.B 5.C
1.BC　因為雙曲線E與雙曲線-=1共漸近線,所以可設雙曲線E的方程為-=λ(λ≠0,λ≠1),又雙曲線E過點(-2,3),所以-=λ,即λ=-1,所以雙曲線E的標準方程是-=1,故A錯誤;
設A(xA,yA),B(xB,yB),由A,B在雙曲線E上,得兩式相減,得-=0,
即-=0,
又AB的中點為(1,4),所以xA+xB=2,yA+yB=8,所以kAB==,故直線l的方程為y-4=(x-1),即9x-16y+55=0,故B正確;
由題可設直線AP:y=k(x-x1)+y1,與雙曲線E的方程聯立,消去y可得(4k2-9)x2+(8ky1-8k2x1)x+(4k2+9)-8kx1y1=0,令Δ=0,得(+4)k2-2kx1y1+-9=0,解得k=(二重根),則直線AP的方程為9x1x-4y1y+36=0,故C正確;
設B(x2,y2),同C中分析,可得直線BP的方程為9x2x-4y2y+36=0,由點P在直線3x-4y+6=0上運動,可設P,
因為點P既在直線AP上,又在直線BP上,所以因此直線l的方程為9ax-(3a+6)y+36=0,即(9x-3y)a+(36-6y)=0,
令解得
所以直線l恒過點(2,6),故D錯誤.
故選BC.
規律總結　涉及直線被圓錐曲線所截弦的中點及直線斜率的相關問題,可以利用“點差法”求解,先設出弦的兩個端點坐標,然后代入曲線方程并作差,還要注意驗證.
2.B　任意橢圓都是“自穩定曲線”.理由如下:
根據對稱性,不妨令橢圓方程為+=1(a2≠b2,a>0,b>0),A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),則b2+a2=a2b2,
假設O是△ABC的重心,則直線BC過點.
當y0=0時,x0=±a,
若A(a,0),易知直線y=-與橢圓有兩個交點,即B,C存在,符合題意;
若A(-a,0),易知直線y=與橢圓有兩個交點,即B,C存在,符合題意,
則當y0=0,即A(±a,0)時,存在兩點B,C,使得△ABC的重心為原點O.
同理,當x0=0,即A(0,±b)時,存在兩點B,C,使得△ABC的重心為原點O.
當x0y0≠0時,由B,C均在橢圓上,得兩式相減得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0,
易得直線BC的斜率為=-,則其方程為y+=-,即y=-x-,
由消去y并整理,得x2+x0x+-·=0,
則Δ=-a2+=-+=>0,即直線BC與橢圓交于兩點,且O是△ABC的重心,
即當x0y0≠0時,對于橢圓上任意一點A,在橢圓上都存在另兩點B,C,使得O為△ABC的重心.
綜上,對橢圓上任意一點A,在橢圓上都存在另兩點B,C,使得O為△ABC的重心,故①為真命題.
任意雙曲線都不是“自穩定曲線”,理由如下:
根據對稱性,不妨令雙曲線方程為-=1(m>0,n>0),A(t,s),B(t1,s1),C(t2,s2),則n2t2-m2s2=m2n2,
假設O是△ABC的重心,則直線BC過點.
當s=0時,t=±m,易知直線x=-、直線x=與雙曲線-=1都不相交,因此s≠0,
由B,C均在雙曲線上,得兩式相減得n2(t1-t2)(t1+t2)-m2(s1-s2)(s1+s2)=0,
易得直線BC的斜率為=,則其方程為y+=,即y=x+,
由消去y并整理,得x2+tx++·s2=0,
則Δ'=t2-m2-s2=s2-s2=-s2<0,即直線BC與雙曲線不相交,
所以對雙曲線上任意一點A,雙曲線上不存在另兩點B,C,使得O為△ABC的重心,故②是假命題.
故選B.
3.答案　-=1
解析　設M(x1,y1),N(x2,y2),則-=1,-=1,兩式相減可得=,所以=,
因為點(3,6)是線段MN的中點,所以x1+x2=6,y1+y2=12,
所以kMN==×=×=,又因為kMN==1,所以=1,即b2=2a2,
因為c2=a2+b2=3a2=9,所以a2=3,b2=6,所以雙曲線的方程是-=1.
規律總結　已知AB是雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條弦,線段AB的中點為M(x0,y0),則直線AB的斜率為.
4.答案　[6,4]
解析　由題知直線l的斜率一定存在.設A(x1,y1),B(x2,y2),若P為線段AB的中點,則x1+x2=8,y1+y2=2t,因為A,B為雙曲線E上的點,所以兩式相減并化簡可得=,
又直線l的斜率k=,故k=,
易得直線l的方程為y-t=k(x-4),
聯立
消去y,整理可得(3-k2)x2-(24-8k2)x-t2+84-16k2=0,
因為直線與雙曲線有兩個不同的交點,
所以Δ=[-(24-8k2)]2-4(3-k2)(-t2+84-16k2)>0,又k=,故t4-84t2+123>0,所以t>4或0所以不存在直線l使得P是線段AB的中點時,t的取值范圍為[6,4].
5.C　不妨設點M在第一象限內,如下圖所示:
由圖可知,|AM|>|BM|,且|AM|>|AB|,
因為△ABM為等腰三角形,所以|BM|=|AB|=2a,
設△ABM的外接圓的半徑為r,則πr2=3πa2,可得r=a,
在△ABM中,由正弦定理可得=2r,
則sin∠AMB===,即sin∠BAM=,
易知∠BAM為銳角,
則cos∠BAM===,
所以tan∠BAM==×=,
又tan∠xBM=tan 2∠BAM=
==2,所以kAM=,kBM=2,
所以直線AM的方程為y=(x+a),直線BM的方程為y=2(x-a),
聯立解得
即點M,
將點M的坐標代入雙曲線E的方程可得-=1,可得=2,
因此雙曲線E的離心率e=====.故選C.
6.答案　
解析　聯立解得或
因為x1由于x1當P距離直線AB最遠時,△PAB的面積取得最大值,
設直線2x-y+t=0(t≠-2)與雙曲線C相切于P點,
由消去y并化簡,得3x2+4tx+t2+1=0,
由Δ=16t2-12(t2+1)=4t2-12=0,解得t=-或t=,
結合圖形(圖略)可知切線方程為2x-y-=0,
直線2x-y-2=0與直線2x-y-=0的距離為,
所以△PAB的面積的最大值為××=.
7.解析　(1)將代入雙曲線C的方程,得-=1,
雙曲線的漸近線方程為y=±x,即bx±ay=0,取l3:bx+ay=0,l4:bx-ay=0,
則點P到l3的距離d1=,點P到l4的距離d2=.
∵a>0且b>0,∴|5b+3a|>|5b-3a|,∴d1>d2,
由題意可得d1=4d2,即|5b+3a|=4|5b-3a|,
又-=1>0,∴5b>3a,故5b+3a=4(5b-3a),解得b=a,∴-=-==1,解得a2=8,
則雙曲線C:-=1.
(2)(i)證明:由題可設l1的方程為y=k1x+m,l2的方程為y=k1x+n,其中k1≠0,m≠n,另設Q(xQ,yQ),
將點P的坐標代入直線l1的方程,得=+m,即m=3-5k1,
聯立直線l1和雙曲線的方程,消去y,得(-1)x2+2k1mx+m2+8=0,
則xP+xQ=-,①
易得雙曲線的漸近線方程為y=±x,
聯立解得x=y=-,
則A,
聯立解得x=-,y=,
則B,∴=,
又l1∥l2,|AB|=|PQ|,∴=,
于是xQ-xP=,②
①-②,得--=2xP,又xP=,
故n=-k1m-5(-1)=-k1(3-5k1)-5(-1)=5-3k1,
則k2=====,即k1·k2=1,故k1·k2為定值1.
(ii)直線l1與l2之間的距離d===.
由(i)可知四邊形ABQP是平行四邊形,
而|AB|=·=·.
故四邊形ABQP的面積S=|AB|·d=··=5,解得k1=5或k1=,
又k1k2=1,故k1-k2=或k1-k2=.
8.解析　(1)證明:過N作l的垂線并延長,垂足為H,交圓弧AF于點M,則MN∥AF,連接AM,PM,NF.
因為在圓P中,PH⊥AF,PH⊥MN,所以|AM|=|NF|,|MH|=|HN|.
證法一:由題易知右焦點為F(2a,0),設點N(x0,y0),則-=1,整理得=3-3a2.
因為=====2,所以|NF|=2|HN|,
所以|AM|=|NF|=|MN|.
由同一圓中等長的弦所對的圓心角相等,可得∠APM=∠MPN=∠NPF,所以∠APN=2∠NPF.
證法二:易知直線l:x=為雙曲線C:-=1(a>0)的準線,根據雙曲線的第二定義,可知==2,即|NF|=2|HN|,即得|AM|=|NF|=|MN|.
由同一圓中等長的弦所對的圓心角相等,可得∠APM=∠MPN=∠NPF,所以∠APN=2∠NPF.
(2)由題知雙曲線C:x2-=1,其漸近線方程為y=±x,右焦點為F(2,0),直線PF的斜率不為0,設直線PF的方程為x=my+2,
因為直線PF與C的左、右兩支分別交于點E,D,所以m∈∪.
設D(x1,y1),E(x2,y2),R(y1≠y2),
聯立消去x,得(3m2-1)y2+12my+9=0,
則y1+y2=-,y1y2=.
易得直線DR的方程為y-y2=,
令y=0,得x=====
=,所以直線DR過定點.
9.解析　(1)設F1(-2,0),以線段FG為直徑的圓的圓心為點C,圓C與圓O相切于點H,則|CF|=|CH|.
因為C為FG的中點,O為F1F的中點,所以|FG|=2|CF|,|GF1|=2|CO|.
當圓C與圓O內切時,|GF|-|GF1|=2(|CF|-|CO|)=2(|CH|-|CO|)=2|OH|=2;
當圓C與圓O外切時,|GF1|-|GF|=2(|CO|-|CF|)=2(|CO|-|CH|)=2|OH|=2,
所以||GF1|-|GF||=2,為定值,又因為|F1F|=4>2,所以動點G的軌跡是以F1,F為焦點的雙曲線,設它的方程是-=1(a>0,b>0),則a=1,a2+b2=4,即b2=3,所以W的方程為x2-=1.
(2)假設存在符合題意的兩點A,B,
由A,B,N三點共線,知直線AB的斜率存在.
設直線AB的方程為y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y并整理,得(3-k2)x2-2kx-4=0,
則解得-2則x1+x2=,x1x2=-,
設線段AB的中點為T(x0,y0),
則x0==,y0=+1=.
設點M(m,0),則|AM|=|BM|,AM⊥BM,TM⊥AB,
故·k=-1,即·k=-1,整理得m=,由AM⊥BM,得·=(m-x1,-y1)·(m-x2,-y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=0,
即(x1-m)(x2-m)+(kx1+1)(kx2+1)=0,
即(1+k2)x1x2+(k-m)(x1+x2)+m2+1=0,
所以-+++1=0,整理得3k4-3=0,解得k=±1,滿足-2當k=1時,點M的坐標為(2,0),直線AB的方程為y=x+1;
當k=-1時,點M的坐標為(-2,0),直線AB的方程為y=-x+1.
所以存在滿足題意的兩點A,B,此時M(2,0),直線AB的方程為y=x+1,或M(-2,0),直線AB的方程為y=-x+1.
10.解析　(1)設雙曲線的標準方程為-=1(a1>0,b1>0).由題意知,a1=b1=2,故雙曲線的標準方程為-=1.在橢圓中,c=2,a=2,故b==2,
故橢圓的標準方程為+=1.
(2)證明:設點P(x0,y0),則k1=,k2=,則k1k2=·=.
由點P在雙曲線上,可知-=1,即有-4=,從而=1,故k1k2=1.
(3)假設存在常數λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
由(2)知k1k2=1,又直線AB過點F1,直線CD過點F2,所以可設直線AB的方程為y=k(x+2),直線CD的方程為y=(x-2).
將直線AB的方程y=k(x+2)與橢圓方程聯立,消去y,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-,x1x2=,
因此|AB|==.同理可得|CD|=.
因此由|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|知λ=+=+==.
所以存在常數λ=,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
7(共38張PPT)
3.2　雙曲線
1.雙曲線的定義
　　平面內與兩個定點F1 ,F2 的距離的差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做
雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點,兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
2.注意:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c為常數且a>0,c>0,當2a<|F1F2|時,點M的軌
跡是雙曲線;當2a=|F1F2|時,點M的軌跡是兩條射線,端點分別是F1,F2;當2a>|F1F2|時,點M的軌跡
不存在.
知識點 1 雙曲線的定義
必備知識 清單破
知識拓展 1.雙曲線的第二定義:平面內到定點F的距離與到定直線l(定點F不在定直線l上)
的距離之比為常數e(e>1)的點的集合,其中定點F為雙曲線的焦點,定直線l稱為雙曲線的準線.
2.與兩定點A1(-a,0),A2(a,0)(a>0)連線的斜率之積為 或e2-1(e>1)的點的軌跡為雙曲線(不含
A1,A2兩點).
1.雙曲線的標準方程與簡單幾何性質
知識點 2 雙曲線的標準方程與簡單幾何性質
焦點位置 在x軸上 在y軸上
圖形
標準方程 - =1(a>0,b>0) - =1(a>0,b>0)
性 質 焦點 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c(c2=a2+b2) 范圍 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
對稱性 對稱軸:x軸,y軸;對稱中心:原點 頂點 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
軸 實軸(線段A1A2)的長:2a;虛軸(線段B1B2)的長:2b;實半軸長:a;虛半軸長:b 漸近線 y=± x y=± x
離心率 e= = (e>1)
2.等軸雙曲線
　　實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線,其標準方程為x2-y2=±a2(a>0),等軸雙曲線的
離心率e= ,兩條漸近線互相垂直.
3.雙曲線 - =1(a>0,b>0)的焦點到漸近線的距離d= =b.
4.雙曲線 - =1(a>0,b>0)的右支上任意一點到左焦點的最小距離為c+a,到右焦點的最小
距離為c-a.
1.將直線方程代入雙曲線的方程,根據消元后的方程解的情況可得直線與雙曲線的公共點個
數(位置關系).
設直線l:y=kx+m(m≠0)①,雙曲線C: - =1(a>0,b>0)②,
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
(1)當b2-a2k2=0,即k=± 時,直線l與雙曲線C的漸近線平行,直線與雙曲線相交于一點.
(2)當b2-a2k2≠0,即k≠± 時,Δ= -4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
Δ>0 直線與雙曲線有兩個公共點;
Δ=0 直線與雙曲線有一個公共點;
Δ<0 直線與雙曲線沒有公共點.
知識點 3 直線與雙曲線的位置關系
注意:與雙曲線只有一個公共點的直線有兩種,一種是與漸近線平行的直線,另一種是與雙曲
線相切的直線.
2.弦長公式
　　斜率為k的直線l與雙曲線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則|AB|= ·|x1-x2|=
或|AB|= |y1-y2|= · (k≠0).
3.雙曲線的通徑
　　過雙曲線的焦點且垂直于實軸的直線被雙曲線所截得的弦叫做雙曲線的通徑,其長度為
.
知識辨析
1.平面內到兩個定點F1,F2的距離之差等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的點的軌跡是雙曲線,這
種說法正確嗎
2.雙曲線 - =1(a>b>0)和雙曲線 - =1(a>b>0)的焦點雖然不同,但都滿足c2=a2+b2,正確
嗎
3.雙曲線 - =1的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,若|PF1|=5,則|PF2|的值是1或9嗎
4.雙曲線的漸近線和雙曲線存在確定的對應關系,這種說法正確嗎
5.雙曲線的離心率e越大,其“張口”越大嗎
一語破的
1.不正確.在雙曲線的定義中要注意兩點:①0<2a<|F1F2|;②關鍵詞“絕對值”,若去掉定義中
“絕對值”三個字,則動點的軌跡是雙曲線的一支.
2.正確.c2=a2+b2,且c>a,c>b,a與b的大小關系不確定.
3.不是.雙曲線 - =1中,a=2,b=2 ,c= =4,若點P在雙曲線的右支上,則|PF1|≥a+c=6,
若點P在雙曲線的左支上,則|PF1|≥c-a=2,由|PF1|=5可得P在雙曲線的左支上,則|PF2|-|PF1|=2a
=4,故|PF2|=5+4=9.
4.不正確.每一個雙曲線對應一組確定的漸近線,但是對于每一組固定的漸近線,存在焦點在x
軸上的雙曲線和焦點在y軸上的雙曲線(我們稱這一組雙曲線為共軛雙曲線)與之對應.
5.是.e= = = ,故e越大, 越大,即漸近線y= x的斜率越大,從而“張口”越大.
定點 1 雙曲線標準方程的求解
關鍵能力 定點破

1.定義法
　　根據雙曲線的定義確定a,b的值,結合焦點位置寫出雙曲線的標準方程.
2.待定系數法
(1)根據焦點位置,設其方程為 - =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0),焦點位置不定時,可設
為mx2+ny2=1(mn<0).
(2)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的離心率相等的雙曲線方程可設為 - =λ(λ>0)或 - =λ
(λ>0).
注:已知離心率不能確定焦點位置.
(3)與漸近線有關的雙曲線標準方程的設法:
①與雙曲線 - =1(a>0,b>0)具有相同漸近線的雙曲線方程可設為 - =λ(a>0,b>0,λ≠0).
②漸近線方程為y=kx(k≠0)的雙曲線的方程可設為k2x2-y2=λ(k≠0,λ≠0).
③漸近線方程為ax±by=0(a>0,b>0)的雙曲線的方程可設為a2x2-b2y2=λ(a>0,b>0,λ≠0).
(4)與雙曲線 - =1(a>0,b>0)共焦點的雙曲線方程可設為 - =1(λ≠0,-b2<λ典例1 已知動圓M與圓C1:(x+4)2+y2=2外切,與圓C2:(x-4)2+y2=2內切,求動圓圓心M的軌跡方程.
解析：設動圓M的半徑為r.
由題意得|MC1|=r+ ,|MC2|=r- ,
∴|MC1|-|MC2|=2 .
∵C1(-4,0),C2(4,0),∴|C1C2|=8>2 .
根據雙曲線的定義知,點M的軌跡是以C1(-4,0),C2(4,0)為焦點的雙曲線的右支,且a= ,c=4,∴
b2=c2-a2=14,∴點M的軌跡方程是 - =1(x≥ ).
典例2 求適合下列條件的雙曲線的標準方程.
(1)a=2 ,經過點(2,-5),焦點在y軸上;
(2)經過點P ,Q ;
(3)與雙曲線 - =1有公共焦點,且過點(3 ,2);
(4)已知雙曲線的焦點在x軸上,離心率為 ,且經過點(-3,2 );
(5)漸近線方程為y=± x,且經過點(2,-3).
解析：(1)設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).因為a=2 ,且點(2,-5)在雙曲線上,所以
- =1,解得b2=16.故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(2)解法一:若雙曲線的焦點在x軸上,設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
由于點P 和Q 在雙曲線上,
所以 此方程組無實數解.
若雙曲線的焦點在y軸上,設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),
由于點P 和Q 在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的方程為 + =1(mn<0).
因為P,Q兩點在雙曲線上,
所以 解得
所以雙曲線的標準方程為 - =1.
(3)解法一:設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).由題意可得c= =2 .
因為雙曲線過點(3 ,2),所以 - =1.又因為a2+b2=(2 )2,所以a2=12,b2=8,
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的標準方程為 - =1(-4得k=4或k=-14(舍去).
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(4)設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0).由題意得 解得
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
(5)解法一:當焦點在x軸上時,設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .①
因為點(2,-3)在雙曲線上,所以 - =1.②
聯立①②,無解.
當焦點在y軸上時,設雙曲線的標準方程為 - =1(a>0,b>0),則 = .③
因為點(2,-3)在雙曲線上,所以 - =1.④
聯立③④,解得a2=8,b2=32.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.
解法二:設雙曲線的方程為 -y2=λ(λ≠0).
因為(2,-3)在雙曲線上,所以 -(-3)2=λ,即λ=-8.
故所求雙曲線的標準方程為 - =1.

1.雙曲線上一點P(不在坐標軸上)與其兩個焦點F1,F2構成的三角形PF1F2稱為焦點三角形.
令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,|F1F2|=2c,則
①定義:|r1-r2|=2a.
②余弦定理的應用:4c2= + -2r1r2cos θ.
③面積公式: = r1r2sin θ= =c|yP|.
④設∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,則雙曲線的離心率e= = = =
= .
定點 2 雙曲線焦點三角形的相關問題
⑤焦點三角形PF1F2的內切圓圓心的橫坐標恒為定值a或-a.
　　推導:設焦點三角形F1PF2內切圓的圓心為I,P在右支上,設I的橫坐標為xI,△F1PF2的內切
圓與三邊的切點分別為M,N,R,如圖所示,則|F1R|-|F2R|=|F1M|-|F2N|=|F1M|+|PM|-(|F2N|+|PN|)=|PF
1|-|PF2|=2a,即c+xI-(c-xI)=2a,解得xI=a.同理可得點P在左支上時,xI=-a.

2.由三角形的邊角關系(正、余弦定理)和雙曲線的定義等知識可以解決焦點三角形的面
積、周長及有關角、變量的范圍等問題.
典例 (1)設F1,F2分別是雙曲線x2- =1的左、右焦點,P是雙曲線上的一點,且3|PF1|=4|PF2|,則
△PF1F2的面積為(　 )
A.4 　 B.8 　 C.24　 D.48
(2)雙曲線 - =1上的點P到一個焦點的距離為11,則它到另一個焦點的距離為(　 )
A.1或21　 B.14或36
C.1　 D.21
(3)若F1,F2是雙曲線 - =1的兩個焦點,P是雙曲線上的點,且∠F1PF2=60°,則△F1PF2的面積
為　　　　 .
C
D
16
解析：(1)易知點P在雙曲線的右支上,
則 解得
易得|F1F2|=10,∴△PF1F2是直角三角形,
∴ = |PF1|·|PF2|=24.故選C.
(2)設點P到另一個焦點的距離為m(m>0).
∵點P到一個焦點的距離為11,
∴由雙曲線的定義得|11-m|=10,
∴m=1或m=21.
∵a2=25,b2=24,∴a=5,c= =7,
∴m≥c-a=2,∴m=1不符合題意,舍去.
∴m=21.故選D.
(3)由題意可知a=3,b=4,c= =5.
由雙曲線的定義和余弦定理得||PF2|-|PF1||=6,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2·|PF1||PF2|cos 60°,
∴102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
∴|PF1|·|PF2|=64.
∴ = |PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64× =16 .
易錯警示 已知雙曲線上一點到一焦點的距離,根據定義求該點到另一焦點的距離時要注意
雙曲線上的點到焦點的距離的取值范圍,設點P在雙曲線左支上,左焦點為F1,右焦點為F2,則
|PF1|≥c-a,|PF2|≥c+a.
　
1.求雙曲線的離心率
(1)易求a,c時,直接利用e= 求解,有時要結合c2=a2+b2求解.
(2)構建關于a,c的齊次方程,利用e= 將齊次方程轉化為有關e的方程,解方程即可,要注意e>1.
2.求雙曲線離心率的取值范圍
　　利用題設中的條件,結合c2=a2+b2,構造關于a,c的齊次不等式,結合e>1確定離心率的范圍.
解題時注意利用圖形中的位置關系(如三角形中的邊角關系,曲線上的點到焦點的距離的范
圍等).
定點 3 雙曲線離心率的求解
典例 (1)已知F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,P為該雙曲線上一點,若△PF1F2為等腰直角三
角形,則該雙曲線的離心率為 (　 )
A. +1　 B. +1　
C.2 　 D.2
(2)設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂
直,那么此雙曲線的離心率為 (　 )
A. 　 B.
C. 　 D.
(3)已知圓C:x2+y2-10y+21=0與雙曲線 - =1(a>0,b>0)的漸近線相切,則該雙曲線的離心率
是　　　 .
B
D
解析：(1)不妨設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),點P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2a.
∵△PF1F2是等腰直角三角形,
∴∠PF2F1=90°,∴|PF2|=|F1F2|=2c,
∴|PF1|=2a+|PF2|=2a+2c,
∴(2a+2c)2=2·(2c)2,即c2-2ac-a2=0,
兩邊同除以a2,得e2-2e-1=0.
∵e>1,∴e= +1.故選B.
(2)不妨設雙曲線的方程為 - =1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),則與直線FB垂直的漸近線方程為
y= x.
易知kBF=- ,∴ · =-1,即b2=ac,
∴c2-a2-ac=0,兩邊同除以a2,得e2-e-1=0,解得e= 或e= (舍去).故選D.

(3)易得雙曲線 - =1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=± x,即bx±ay=0,圓C:x2+y2-10y+21=0可化
為x2+(y-5)2=4,故圓心為C(0,5),半徑r=2,
由圓C與雙曲線的漸近線相切可得 =2,即 =2,可得e= = .

1.將直線方程與雙曲線方程聯立,消元后,用判別式、根與系數的關系和中點坐標公式求解.
2.用“點差法”和中點坐標公式求解問題時,要注意檢驗.在直線與橢圓的相交弦問題中,也
是利用“點差法”和中點坐標公式求解,因為一定存在過橢圓內一點的直線,并且該點為直
線被橢圓所截得的弦的中點,所以無檢驗環節;但是在直線與雙曲線的中點弦問題中,該直線
不一定存在,因此需要檢驗.
定點 4 直線與雙曲線的中點弦問題
典例 已知雙曲線的方程為x2- =1,是否存在被點B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直
線方程;如果不存在,請說明理由.
解析：解法一:假設存在被B(1,1)平分的弦.易知弦所在直線的斜率一定存在,設其方程為y=k
(x-1)+1,與x2- =1聯立,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0.
令Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k< .
設弦的兩端點分別為M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2= .
∵B(1,1)是弦MN的中點,
∴ =1,解得k=2,不滿足k< .
故不存在被點B(1,1)平分的弦.
解法二:假設存在被B(1,1)平分的弦.
設弦的兩端點分別為M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2=2,y1+y2=2,且
①-②,得(x1+x2)(x1-x2)- (y1+y2)(y1-y2)=0.
∴kMN= =2,
∴直線MN的方程為y-1=2(x-1),即y=2x-1.
由 消去y,得2x2-4x+3=0,
∴Δ=-8<0.
∴直線MN與雙曲線不相交,故不存在被點B(1,1)平分的弦.
易錯警示 “點差法”在求解中點弦問題時較常用,使用時除了注意運算要正確,還有注意
檢驗直線與雙曲線是否有交點.
直線與雙曲線位置關系的問題,常通過聯立直線與雙曲線的方程,消元后利用一元二次方程
的判別式、根與系數的關系構造相關數量關系并求解,注意體會“整體代入”思想.
注意:與雙曲線只有一個公共點的直線,可能與漸近線平行,也可能與曲線相切,所以對于聯立
直線與雙曲線方程后消元得到的方程,要先考慮其二次項系數是不是零,再考慮Δ與0的大小
關系.
定點 5 直線與雙曲線位置關系的應用
典例 (1)已知雙曲線x2-y2=4,直線l:y=k(x-1),討論雙曲線與直線公共點的個數.
(2)已知雙曲線3x2-y2=3,直線l過雙曲線的右焦點F2,且傾斜角為45°,與雙曲線交于A,B兩點,
則A,B兩點是否在雙曲線的同一支上 并求弦AB的長.
(3)若直線l:y=kx-1與雙曲線C:x2-y2=1交于A,B兩點,O是坐標原點,且△AOB的面積為 ,求實
數k的值.
思路點撥：(1)
(2)根據條件求得直線l的方程,設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立直線與雙曲線的方程,消元得一元二次方
程,根據根與系數的關系得到x1+x2,x1x2,由x1x2的正負,得出交點位置,由弦長公式求得|AB|.
(3)設A(x1,y1),B(x2,y2),聯立直線與雙曲線的方程,消元得一元二次方程,根據根與系數的關系得
到x1+x2,x1x2,并求出k的范圍,根據△AOB的面積為 列出等式,進而求出k的值.
解析：(1)聯立 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
①當1-k2=0,即k=±1時,方程(*)只有一個根x= .故k=±1時,直線與雙曲線有一個公共點,此時直
線l與漸近線平行.
②當1-k2≠0,即k≠±1時,易得Δ=4(4-3k2).
(i)令Δ>0,得- 個公共點.
(ii)令Δ=0,得k=± ,此時方程(*)有兩個相等的實數根,故直線與雙曲線只有一個公共點,此
時直線l與曲線相切.
(iii)令Δ<0,得k<- 或k> ,此時方程(*)無實數解,故直線與雙曲線無公共點.
綜上所述,當k=±1或k=± 時,直線與雙曲線有一個公共點;當- 時,直線與雙曲線有兩個公共點;當k<- 或k> 時,直線與雙曲線無公共點.
(2)因為雙曲線的方程可化為x2- =1,所以a=1,b= ,c=2,所以F2(2,0),又直線l過點F2,且斜率k
=tan 45°=1,所以l的方程為y=x-2.設A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去y并整理得2x2+4x-7=0,
則x1+x2=-2,x1x2=- <0,所以A,B兩點分別在雙曲線的左、右兩支上,|AB|= ·|x1-x2|= ·
= × =6.
(3)設A(x1,y1),B(x2,y2).
由 消去y,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0,則x1+x2=- ,x1x2=- .
由 解得- 易知直線l恒過點(0,-1),設為D.
①當x1x2<0時,S△OAB=S△OAD+S△OBD= |x1|+ |x2|= |x1-x2|= .
②當x1x2>0時,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|
= = |x1-x2|= .
所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2 )2,
即 + =8,
解得k=0或k=± .
經檢驗,均符合題意,所以k=0或k=± .
技巧點撥 對直線與雙曲線的兩交點(x1,y1),(x2,y2)的位置分以下三種情況討論:
①若兩交點均在右支上,則
②若兩交點均在左支上,則
③若兩交點分別在左、右兩支上,則 3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
基礎過關練
題組一　雙曲線的定義及其應用
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),動點P滿足|PF1|-|PF2|=8,則P點的軌跡是(　　)
A.雙曲線　　　　B.雙曲線的一支　　
C.直線　　　　D.一條射線
2.如圖所示,平面直角坐標系中有兩點O1(-1,0)和O2(1,0).以O1為圓心,正整數i為半徑的圓記為Ai.以O2為圓心,正整數j為半徑的圓記為Bj.對于正整數k,點Pk是圓Ak與圓Bk+1的交點,若點P1,P2,P3,P4,P5都位于第二象限,則這五個點都在(　　)
A.直線上　　　　B.橢圓上
C.射線上　　　　D.雙曲線上
3.與圓x2+y2=4及圓x2+y2-8x-6y+24=0都外切的圓的圓心在(　　)
A.一個橢圓上　　　　B.雙曲線的一支上
C.一條直線上　　　　D.一個圓上
4.已知P是雙曲線-=1(a>0)上一點,F1,F2分別為左、右焦點,且|PF1|=9,則“a=4”是“|PF2|=17”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
5.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點為F1,右焦點為F2(2,0),O為坐標原點,P為雙曲線右支上的一點,且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2的周長為10,M為線段PF2的中點,則|OM|=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
6.已知雙曲線方程為-=1(m>0),焦距為8,左、右焦點分別為F1,F2,點A的坐標為(1,2),P為雙曲線右支上一動點,則|PF1|+|PA|的最小值為　　　　.
題組二　雙曲線的標準方程
7.與橢圓C:+=1共焦點且過點P(2,)的雙曲線的標準方程為(　　)
A.-=1　　　　B.-=1　　
C.-=1　　　　D.-=1
8.(教材習題改編)“m>2”是“方程-=1表示雙曲線”的(　　)
A.充分不必要條件　　　　
B.必要不充分條件
C.充分必要條件　　　　
D.既不充分也不必要條件
9.如圖,F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,且F1(-,0),過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點A,B.若△ABF2為等邊三角形,則雙曲線的方程為(　　)
A.-=1　　　　B.-y2=1
C.x2-=1　　　　D.-=1
10.-=4表示的曲線的標準方程為(　　)
A.-=1(x≤-2)　　　　B.-=1(x≥2)
C.-=1(y≤-2)　　　　D.-=1(y≥2)
11.在△ABC中,已知B(-1,0),C(1,0),則滿足sin C-sin B=sin A時頂點A的軌跡方程為　　　　　　　.
12.根據下列條件,求雙曲線的標準方程.
(1)與雙曲線-=1有相同的焦點,且經過點(3,2);
(2)過點P,Q且焦點在坐標軸上.
題組三　雙曲線標準方程的應用
13.已知方程-=1表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值范圍是(　　)
A.(-1,3)　　　　B.(-1,)
C.(0,3)　　　　D.(0,)
14.設F1,F2分別是雙曲線-=1的下、上焦點,P是該雙曲線上的一點,且3|PF1|=5|PF2|,則△PF1F2的面積等于(　　)
A.12　　B.24　　C.12　　D.24
15.雙曲線4x2-y2+64=0上一點M到它的一個焦點的距離等于1,那么點M到另一個焦點的距離等于　　　　.
16.已知雙曲線C的焦點分別為F1(-,0),F2(,0),且C與x軸的兩個交點間的距離為4.
(1)求雙曲線C的標準方程;
(2)若雙曲線C上存在一點P使得PF1⊥PF2,求△PF1F2的面積.
能力提升練
題組一　雙曲線的方程及其應用
1.(多選題)已知方程+=1表示的曲線為C,則下列四個結論中正確的是(　　)
A.當1B.當t>5或t<1時,曲線C是雙曲線
C.若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,則3D.若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線,則t>5
2.雙曲線C:-=1(b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,A為雙曲線C左支上一點,直線AF2與雙曲線C的右支交于點B,且|AB|=15,∠F1AF2=,則|AF1|+|AF2|=(　　)
A.　　　　B.26　　
C.25　　　　D.23
3.黃金分割是指將整體一分為二,較大部分與整體的比值等于較小部分與較大部分的比值,此比值為,稱為黃金分割數.已知雙曲線-=1(m>0)與x軸的兩交點間的距離與焦距的比值恰好是黃金分割數,則m的值為(　　)
A.2-2　　B.+1　　C.2　　D.2
4.過雙曲線x2-=1的右支上一點P,分別向圓C1:(x+4)2+y2=4和圓C2:(x-4)2+y2=1引切線,切點分別為M,N,則|PM|2-|PN|2的最小值為　　　　.
5.若橢圓+=1(t>15)與雙曲線-=1在第一象限內有交點A,且雙曲線的左、右焦點分別是F1,F2,∠F1F2A=120°,P是橢圓上任意一點,則△PF1F2的面積的最大值是　　　　.
題組二　雙曲線的實際應用
6.A,B,C是我方三個炮兵陣地,A在B正東6 km處,C在B北偏西30°方向,相距4 km處,P為敵炮陣地.某時刻,在A處發現敵炮陣地的某種信號,由于B,C兩地比A地距P地遠,因此經過4 s后,B,C才同時發現這一信號,此信號的傳播速度為1 km/s,若A地需炮擊P地,則炮擊的方向角為北偏東　　　　.
7.如圖所示,B地在A地的正東方向4 km處,C地在B地的北偏東30°方向2 km處,河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比其到B的距離遠2 km.現要在曲線PQ上選一處M建一座碼頭,向B,C兩地轉運貨物.經測算,從M到B,C兩地修建公路的費用都是m萬元/km,求修建這兩條公路的最低總費用.
答案與分層梯度式解析
3.2　雙曲線
3.2.1　雙曲線及其標準方程
基礎過關練
1.B 2.D 3.B 4.B 5.B 7.C 8.A 9.C
10.C 13.A 14.B
1.B　由于|F1F2|=2+8=10,|PF1|-|PF2|=8,8<10,所以結合雙曲線的定義可知,P點的軌跡是雙曲線的右支,故選B.
2.D　由題意可知|PiO2|-|PiO1|=1<|O1O2|(i=1,2,3,4,5),又因為Pi(i=1,2,3,4,5)都位于第二象限,所以這五個點都在某雙曲線的左支上.故選D.
3.B　圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑r1=2,記O1(0,0),圓x2+y2-8x-6y+24=0可化為(x-4)2+(y-3)2=1,其圓心為(4,3),半徑r2=1,記O2(4,3),
設所求圓的圓心為P,半徑為r,
由題意可知|PO1|=r+2,|PO2|=r+1,
則|PO1|-|PO2|=1<|O1O2|,
故由雙曲線的定義可知,所求圓的圓心的軌跡為雙曲線的一支.故選B.
4.B　由雙曲線的定義可知||PF1|-|PF2||=2a,
當a=4時,||PF1|-|PF2||=8,
則|PF1|-|PF2|=8或|PF1|-|PF2|=-8,
因為|PF1|=9,所以|PF2|=1或|PF2|=17.
由a=4推不出|PF2|=17,但由|PF2|=17能推出a=4,則“a=4”是“|PF2|=17”的必要不充分條件.
故選B.
5.B　因為右焦點為F2(2,0),所以|F1F2|=4,
又因為|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2,
又因為|F1F2|+|PF1|+|PF2|=10,所以|PF1|=4,
由O為坐標原點,且M為線段PF2的中點,可知OM為△PF1F2的中位線,所以|OM|=|PF1|=2.故選B.
6.答案　4+
解析　因為焦距為8,所以c=4,故c2=16,即2m=16,故m=8,所以雙曲線的方程為-=1,所以a=2,F2(4,0),由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a=4,所以|PF1|=4+|PF2|,|PF1|+|PA|=4+|PF2|+|PA|,如圖所示,
當P,A,F2三點共線,且點P在點A與點F2之間時,|PF2|+|PA|取得最小值,為|AF2|==,
故=4+|AF2|=4+.
C　因為橢圓C的焦點為(±,0),即(±3,0),所以c=3,
記F1(-3,0),F2(3,0),
所以||PF1|-|PF2||=|-|=2=2a,
所以a=,所以b==,
所以雙曲線的標準方程為-=1.故選C.
8.A　若方程-=1表示雙曲線,則(m-2)(m-1)>0,解得m<1或m>2,
所以“m>2”是“方程-=1表示雙曲線”的充分不必要條件.故選A.
9.C　根據雙曲線的定義,可得|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,
由于△ABF2為等邊三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,則|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,
又因為∠F1BF2=60°,所以在△F1BF2中,由余弦定理得(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,則b2=c2-a2=6,所以雙曲線的方程為x2-=1.故選C.
10.C　易知-=4表示動點P(x,y)到(0,3)與(0,-3)兩點的距離之差等于4,又兩個定點(0,3),(0,-3)間的距離大于4,所以根據雙曲線的定義可知,動點P在雙曲線上,且a=2,c=3,所以b2=32-22=5,由焦點在y軸上,得雙曲線的方程為-=1,又因為P(x,y)到點(0,3)的距離比到點(0,-3)的距離大,所以y≤-2,即曲線的標準方程為-=1(y≤-2).
11.答案　-=1
解析　在△ABC中,由正弦定理得==,
∵sin C-sin B=sin A,∴|AB|-|AC|=|BC|=1<|BC|=2,∴頂點A的軌跡是以B,C為焦點的雙曲線的右支且除去與x軸的交點,
∴可設此雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),
由已知得2a=1,c=1,∴a=,∴b2=c2-a2=,
∴頂點A的軌跡方程為-=1.
易錯警示　注意△ABC構成的前提條件為A,B,C三點不共線,求點的軌跡方程時要根據去除的點來限定變量的范圍.
12.解析　(1)解法一:由題可設所求雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0),
則c2=16+4=20,即a2+b2=20①,
∵雙曲線經過點(3,2),∴-=1②.
由①②得a2=12,b2=8,
∴雙曲線的標準方程為-=1.
解法二:設所求雙曲線的方程為-=1(-4<λ<16).∵雙曲線經過點(3,2),
∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去).
∴雙曲線的標準方程為-=1.
(2)解法一:當焦點在x軸上時,設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0).
∵點P,Q在雙曲線上,∴此方程組無解.
當焦點在y軸上時,設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0).
∵點P,Q在雙曲線上,∴解得
∴雙曲線的標準方程為-=1.
解法二:設雙曲線的方程為+=1,mn<0.
∵點P,Q在雙曲線上,∴解得∴雙曲線的標準方程為-=1.
13.A　由題意得(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m214.B　由雙曲線-=1得a=2,b=2,c=4,
又3|PF1|=5|PF2|,且||PF1|-|PF2||=2a=4,
故|PF1|=10,|PF2|=6,
所以-=64=(2c)2=,
即△PF1F2為直角三角形,∠PF2F1=90°,
所以=|PF2||F1F2|=×6×8=24.故選B.
規律總結　雙曲線中與焦點三角形有關的問題可以根據雙曲線的定義結合余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行求解,在求解過程中要注意整體思想和一些變形技巧的靈活運用.
15.答案　17
解析　由雙曲線4x2-y2+64=0,可得-=1,所以a2=64,所以a=8,
設雙曲線-=1的兩個焦點分別為F1,F2,則||MF1|-|MF2||=16,
因為雙曲線-=1上一點M到一個焦點的距離為1,所以不妨令|MF2|=1,則||MF1|-1|=16,所以|MF1|=-15(舍去)或|MF1|=17.
故點M到另一個焦點的距離為17.
16.解析　(1)由題可知c=,2a=4,∴a=2,b=1,
∴雙曲線方程為-y2=1.
(2)由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=±4,
∵PF1⊥PF2,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=20,
∴|PF1|·|PF2|=2,
∴△PF1F2的面積S=|PF1|·|PF2|=×2=1.
能力提升練
1.ABD 2.B 3.A
1.ABD　當1當t>5或t<1時,(5-t)(t-1)<0,則曲線C是雙曲線,∴B正確;
若曲線C是焦點在x軸上的橢圓,則5-t>t-1>0,∴1若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線,則∴t>5,∴D正確.
故選ABD.
2.B　由題可知,|AF2|-|AF1|=|BF1|-|BF2|=2a=10,
令|BF2|=x,則|AF1|=x+15-10=x+5,|BF1|=x+10,
在△ABF1中,|AB|=15,∠F1AB=,
則cos∠F1AB==,
即=,則x=3,故|AF1|=8,則|AF2|=18,所以|AF1|+|AF2|=26.故選B.
3.A　由題意得,a2=(-1)2,b2=m,
∴c2=a2+b2=(-1)2+m.由題意知==,
∴==,∴=,
解得m=2-2.故選A.
4.答案　13
解析　由x2-=1,得c2=1+15=16,所以雙曲線的焦點坐標為(±4,0),
由圓C1,C2的方程知,圓C1的圓心為C1(-4,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(4,0),半徑r2=1,
∵PM,PN分別為兩圓C1,C2的切線,∴|PM|2=-=-4,|PN|2=|PC2|2-=|PC2|2-1,
∴|PM|2-|PN|2=|PC1|2-|PC2|2-3=(|PC1|+|PC2|)·(|PC1|-|PC2|)-3,
∵P為雙曲線右支上的點,且雙曲線的兩個焦點分別為C1,C2,∴|PC1|-|PC2|=2,
又|PC1|+|PC2|≥|C1C2|=8(當P為雙曲線與x軸正半軸的交點時取等號),
∴|PM|2-|PN|2=(|PC1|+|PC2|)(|PC1|-|PC2|)-3≥8×2-3=13,即|PM|2-|PN|2的最小值為13.
5.答案　25
解析　依題意有|F1F2|=2×5=10,結合雙曲線的定義可知|AF1|-|AF2|=8,設|AF2|=m,則|AF1|=8+m,
在△AF1F2中,由余弦定理得(8+m)2=m2+102-2·m·10·cos 120°,解得m=6,即|AF2|=6,|AF1|=14.
對橢圓來說,t+10-(t-15)=25,故F1,F2也分別為橢圓的左、右焦點,故|AF1|+|AF2|=14+6=20=2,解得t=90,故t-15=75,
所以橢圓方程為+=1.
易知當P為橢圓短軸的頂點,即(0,-5)或(0,5)時,△PF1F2的面積取得最大值,為|F1F2|×5=×10×5=25.
6.答案　30°
解析　如圖,以直線BA為x軸,線段BA的中垂線為y軸建立坐標系,
則B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).因為|PB|=|PC|,所以點P在線段BC的垂直平分線上.
由題可知直線BC的斜率kBC=-,BC的中點為(-4,),記D(-4,),所以直線PD:y-=(x+4).①
又B地比A地晚4 s發現信號,故-=4,即|PB|-|PA|=4<|AB|=6,故P在以A、B為焦點的雙曲線的右支上.
設P(x,y),則其所在雙曲線的方程為-=1(x≥2).②
由①②,得x=8,y=5,所以P(8,5).
因此直線PA的斜率kPA==.故炮擊的方向角為北偏東30°.
7.解析　由題意可得|AB|=4,
以AB的中點為坐標原點O,AB所在直線為x軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,
可得A(-2,0),B(2,0),C(3,),
由河流的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離比其到B的距離遠2 km,可得|MA|-|MB|=2,
因為2<|AB|=4,所以由雙曲線的定義可得,M在以A,B為焦點的雙曲線的右支上,且a=1,c=2,
∴b==,
∴點M所在的雙曲線的方程為x2-=1(x≥1).
設修建這兩條公路的總費用為s萬元,
則s=m(|MB|+|MC|)=m(|MA|+|MC|-2)≥m(|AC|-2)=(2-2)m,當且僅當A,M,C三點共線時取等號.
故修建這兩條公路的最低總費用為(2-2)m萬元.
7

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