資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　直線與拋物線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線與拋物線的位置關(guān)系
1.(多選題)過點(diǎn)(1,0)且與拋物線C:x2=4y只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的方程可能是(　　)
A.x=1　　　　B.y=0　　
C.x-y-1=0　　　　D.x+y-1=0
2.(多選題)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),M為線段AB的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.若|AB|=8,則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為4
B.過點(diǎn)(0,1)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條
C.P是準(zhǔn)線上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|FP|=6
D.9|AF|+|BF|≥16
3.(多選題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l繞點(diǎn)P(-2,1)旋轉(zhuǎn),點(diǎn)Q為C上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則(　　)
A.以Q為圓心,|QF|為半徑的圓與直線x=-1相切
B.若直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則這樣的直線l有兩條
C.線段PF的垂直平分線的方程為3x-y+2=0
D.過點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線有2條
4.已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為　　　　　　　.
5.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(2,y0)為拋物線上一點(diǎn),且|AF|=4.
(1)求拋物線的方程;
(2)不過原點(diǎn)的直線l:y=x+m與拋物線交于不同兩點(diǎn)P,Q,若OP⊥OQ,求m的值.
題組二　弦長(zhǎng)及中點(diǎn)弦問題
6.已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),斜率為-2且經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線l交該拋物線于M,N兩點(diǎn),若|MN|=,則該拋物線的方程是(　　)
A.y2=x　　B.y2=2x　　C.y2=4x　　D.y2=6x
7.已知拋物線y2=2px(p>0)的一條弦AB恰好以P(1,1)為中點(diǎn),且弦AB的長(zhǎng)是,則p=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
8.設(shè)直線y=k(x-2)(k>0)與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),若|AB|=2,則k的值為　　　　.
9.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,位于第一象限的兩點(diǎn)A,B均在拋物線上,且滿足|BF|-|AF|=4,|AB|=4.若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則拋物線的方程為　　　　　　　.
10.已知直線l與拋物線y2=2x交于點(diǎn)A,B,且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)P,Q,且A為線段PQ的中點(diǎn).若|QA||PB|=,則直線l的方程為　　　　　　　　　　.
11.已知拋物線C:x2=-2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,P(x0,-6)是拋物線C上的點(diǎn),且|PF|=9.
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且MN的中點(diǎn)為(3,-6),求直線l的方程.
12.已知F是拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,點(diǎn)Q滿足=2,點(diǎn)Q的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與曲線E交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=4,求直線l的方程.
13.已知點(diǎn)P到F(0,4)的距離與它到x軸的距離的差為4,P的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)若直線l與C交于A,B兩點(diǎn),且弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4,求l的斜率.
14.以拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線切于點(diǎn)(-2,-3).
(1)求這個(gè)圓的方程;
(2)求△AOB的面積.
能力提升練
題組　直線與拋物線的綜合應(yīng)用
1.斜率為k的直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=9相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn),則k=(　　)
A.±　　B.±　　C.±　　D.±
2.已知點(diǎn)A,B在拋物線y2=x上且位于x軸的兩側(cè),·=2(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則直線AB一定過點(diǎn)(　　)
A.(2,0)　　B.　　C.(0,2)　　D.
3.如圖,拋物線Γ1的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l1,焦準(zhǔn)距為4;拋物線Γ2的頂點(diǎn)為B,焦點(diǎn)也為F,準(zhǔn)線為l2,焦準(zhǔn)距為6.Γ1和Γ2交于P,Q兩點(diǎn),分別過P,Q作直線與兩準(zhǔn)線垂直,垂足分別為M,N,T,S,過F的動(dòng)直線與封閉曲線APBQ交于C,D兩點(diǎn),有下列說法:①|(zhì)AB|=5;②四邊形MNST的面積為100;③·=0;④|CD|的取值范圍為.其中正確的是(　　)
A.①②④　　B.①③④　　C.②③　　D.①③
4.已知直線AB是曲線y=-及拋物線y2=2px(p>0)的公切線,切點(diǎn)分別為A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>0),則x1y1=　　　　,若|AB|=,則p=　　　　.
5.已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B,求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn).
6.如圖,已知橢圓C1:+y2=1,拋物線C2:y2=2px(p>0),點(diǎn)A是橢圓C1與拋物線C2在第一象限內(nèi)的交點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交橢圓C1于點(diǎn)B,交拋物線C2于點(diǎn)M(B,M不同于A).
(1)若p=,求拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l使M為線段AB的中點(diǎn),求p的最大值.
7.已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1,-2),過點(diǎn)Q(0,-1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(1)求直線l的斜率的取值范圍;
(2)證明:存在定點(diǎn)T,使得=λ,=μ,且+=-4.
8.設(shè)拋物線E:y2=2px(p>0),過焦點(diǎn)F的直線與拋物線E交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),|AB|=2.
(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)如圖,已知點(diǎn)P(1,0),當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí),直線AP,BP分別與拋物線E交于點(diǎn)C,D.
①求證:直線CD過定點(diǎn);
②求△PAB與△PCD面積之和的最小值.
9.已知拋物線C:y2=4x,點(diǎn)P(4,4).
(1)設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),若△PAB的面積為2,求直線l的方程;
(2)是否存在定圓M:(x-m)2+y2=4,使得過曲線C上任意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線,與曲線C交于另外兩點(diǎn)A,B時(shí),總有直線AB也與圓M相切 若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
答案與分層梯度式解析
第2課時(shí)　直線與拋物線的位置關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.ABC 2.CD 3.AC 6.B 7.B
1.ABC　由拋物線C:x2=4y,可知其對(duì)稱軸為直線x=0.
當(dāng)所求直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí),其方程為x=1,此時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),成立;
當(dāng)所求直線與拋物線的對(duì)稱軸不平行時(shí),可知直線斜率存在,設(shè)直線方程為y=k(x-1),
聯(lián)立消去y,得x2-4kx+4k=0,
由直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),可知Δ=(-4k)2-4×4k=16k2-16k=0,解得k=0或k=1,
所以直線方程為y=0或y=x-1,即y=0或x-y-1=0.
綜上所述,所求直線方程為x=1或y=0或x-y-1=0,
故選ABC.
2.CD　因?yàn)閽佄锞€C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,則拋物線C:y2=4x,所以焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8,解得x1+x2=6,
又M為線段AB的中點(diǎn),故M,
所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為=3,故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B選項(xiàng),若過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率不存在,則該直線為y軸,易知y軸與拋物線C相切,二者只有一個(gè)公共點(diǎn);
若過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率為零,則該直線的方程為y=1,聯(lián)立可得
故直線y=1與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn);
若過點(diǎn)(0,1)的直線的斜率存在且不為零,設(shè)該直線的方程為y=kx+1,
聯(lián)立可得k2x2+(2k-4)x+1=0,
則解得k=1,
即直線y=x+1與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn),
故滿足條件的直線共有三條,故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C選項(xiàng),不妨設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)D,Q位于第一象限,P在x軸上方,過點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線,垂足為Q',如圖,則|QQ'|=|QF|,
易知△PQ'Q∽△PDF,
因?yàn)?4,所以===,
則|Q'Q|=,則xQ=|QQ'|-1=,所以yQ=,
即|Q'D|=,所以|PD|=4,則|PF|==6,故C正確.
對(duì)于D選項(xiàng),依題意可設(shè)過點(diǎn)F的直線的方程為x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),
由消去x得y2-4my-4=0,
顯然Δ>0,所以yA+yB=4m,yAyB=-4,則xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xAxB==1,
所以+=+===1,
所以9|AF|+|BF|=(9|AF|+|BF|)
=10++≥10+2=16,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即|AF|=,|BF|=4時(shí)取等號(hào),故D正確.
故選CD.
3.AC　由拋物線C:y2=4x可知,C的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.
對(duì)于A,由拋物線的定義可知A正確.
對(duì)于B,當(dāng)過點(diǎn)P(-2,1)的直線的斜率不存在時(shí),直線與拋物線無公共點(diǎn);當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則過點(diǎn)P(-2,1)的直線方程為y=k(x+2)+1,當(dāng)k=0時(shí),直線方程為y=1,此時(shí)直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),
當(dāng)k≠0時(shí),聯(lián)立整理可得k2x2+(4k2+2k-4)x+4k2+4k+1=0,
所以Δ=(4k2+2k-4)2-4k2(4k2+4k+1)=0,化簡(jiǎn)得2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,
所以過P(-2,1)與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條,故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C,線段PF的中點(diǎn)為,又kPF==-,所以線段PF的中垂線方程為y-=3,即3x-y+2=0,故C正確.
對(duì)于D,因?yàn)閨AB|=4=2p,所以線段AB為拋物線的通徑,這樣的直線只有一條,故D錯(cuò)誤.
故選AC.
4.答案　0或-1或-
解析　當(dāng)a=0時(shí),曲線y2=ax為直線y=0,顯然直線y=x-1與y=0有唯一公共點(diǎn)(1,0),因此a=0滿足題意.
當(dāng)a≠0時(shí),由消去y并整理,得(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0,
當(dāng)a=-1時(shí),x=-1,y=-1,此時(shí)直線y=-1與曲線y2=-x有唯一公共點(diǎn)(-1,-1),因此a=-1滿足題意;
當(dāng)a≠-1時(shí),Δ=[-(3a+2)]2-4(a+1)2=5a2+4a=0,則a=-,
此時(shí)直線y=x-1與曲線y2=-x相切,有唯一公共點(diǎn),因此a=-滿足題意.
所以實(shí)數(shù)a的值為0或-1或-.
5.解析　(1)由拋物線y2=2px(p>0)過點(diǎn)A(2,y0),|AF|=4,得2+=4,∴p=4,
所以拋物線方程為y2=8x.
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立得x2+(2m-8)x+m2=0,
所以x1+x2=8-2m,x1x2=m2,由題意知Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,所以m<2,
因?yàn)镺P⊥OQ,所以·=0,則x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,
∴2m2+m(8-2m)+m2=0,即m2+8m=0,解得m=0或m=-8,
當(dāng)m=0時(shí),直線過原點(diǎn),不符合題意,故舍去.
所以m的值為-8.
6.B　由題可得直線MN的方程為y=-2,即y=-2x+p,
與拋物線方程聯(lián)立,可得4x2-6px+p2=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=p,x1x2=,
故|MN|=·=p=,
解得p=1,則該拋物線的方程是y2=2x,故選B.
7.B　易知弦AB所在直線的斜率存在.
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2,y1+y2=2.
又點(diǎn)A,B在拋物線y2=2px上,故
兩式作差可得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),
故=p,即kAB=p,故弦AB所在直線的方程為px-y+1-p=0.
聯(lián)立整理得p2x2-2p2x+(1-p)2=0,所以x1x2=.
所以|AB|=·=·=,得(1+p2)(2p-1)=15,
即8p3-19p2+8p-4=0,即(p-2)(8p2-3p+2)=0,解得p=2.故選B.
8.答案　1
解析　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),將y=k(x-2)代入y2=2x,整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
則Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,
x1+x2==,x1x2=4.
則|AB|=|x1-x2|=·=·=2,整理得(1+k2)(16k2+4)=40k4,所以k2=1,
又k>0,故k=1.
9.答案　y2=8x
解析　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)閨BF|-|AF|=4,
所以-=4,所以x2-x1=4,
又因?yàn)閨AB|=×|x1-x2|=4,所以=1,
因?yàn)锳,B都位于第一象限,所以kAB=1,
又因?yàn)閗AB====1且y1+y2=4×2=8,
所以2p=8,即p=4,所以拋物線的方程為y2=8x.
10.答案　y=-2x+2或y=2x-2
解析　由題意可知,直線l的斜率存在且不為0,
設(shè)直線l的方程為y=kx+b(k≠0,b≠0),則P,Q(0,b),
由A為線段PQ的中點(diǎn),得A,又A在拋物線上,∴=2×,即kb=-4.①
不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立消去y,得k2x2+(2kb-2)x+b2=0,令Δ>0,則kb<,
由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=-,x1x2=,
∴x2=,y2=,即B.
∵|QA||PB|=,且Q,A,P,B四點(diǎn)共線,與同向,∴·=+=,②
由①②可得或
∴直線l的方程為y=-2x+2或y=2x-2.
11.解析　(1)由拋物線的定義可知|PF|=6+=9,
所以p=6,故拋物線C的方程為x2=-12y.
(2)易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,M(x1,y1),N(x2,y2),
則兩式相減得-=-12(y1-y2),
整理得=-,
因?yàn)镸N的中點(diǎn)為(3,-6),所以x1+x2=6,
所以k==-=-,
所以直線l的方程為y+6=-(x-3),即x+2y+9=0.
12.解析　(1)由題意得F(1,0),設(shè)Q(x,y),
則=(1-x,-y),=2=(2-2x,-2y),
所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),即xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y),
由P在拋物線C上可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,則曲線E的方程為9y2=12x-8.
(2)顯然當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),它與曲線E只有一個(gè)交點(diǎn),不符合要求,故可設(shè)直線l的方程為x=my+1,
另設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立消去x得9y2-12my-4=0,
則Δ=144m2+144>0,y1+y2=,y1y2=-,
所以|MN|==·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-.
所以直線l的方程為x-y-1=0或x+y-1=0.
13.解析　(1)設(shè)P(x,y),由題意可知|PF|-|y|=4,即=4+|y|,兩邊同時(shí)平方,得x2+y2-8y+16=16+y2+8|y|,即x2=8y+8|y|,
當(dāng)y≥0時(shí),C:x2=16y;當(dāng)y<0時(shí),C:x=0,
所以C的方程為x2=16y(y≥0)或x=0(y<0).
(2)由題中“弦AB”可知直線l與曲線C在y≥0的部分相交于A,B兩點(diǎn),即l與拋物線x2=16y相交于A,B兩點(diǎn),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2×(-4)=-8.
由A,B均在拋物線上,得兩式作差,
得-=(x1-x2)(x1+x2)=16(y1-y2),
所以l的斜率為==-.
14.解析　(1)由拋物線的方程知其準(zhǔn)線方程為x=-,設(shè)焦點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),由以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點(diǎn)(-2,-3),可知∴所以焦點(diǎn)為(2,0),拋物線方程為y2=8x,記F(2,0).
由題可設(shè)弦AB所在直線的斜率為k(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB:y=k(x-2),
與拋物線方程聯(lián)立,得 ky2-8y-16k=0,所以y1+y2==2y0=-6,y1y2=-16,
∴k=-,∴直線AB:y=-x+.將y0=-3代入,得x0=,則這個(gè)圓的圓心為,半徑為,
故所求圓的方程為+(y+3)2=.
(2)S△AOB=S△AOF+S△BOF=|OF|×|y1-y2|=×2×=10.
能力提升練
1.A 2.A 3.B
1.A　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),則=4x1,=4x2,兩式相減得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),
即=,即k=,即ky0=2,
因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)M,所以=-,所以x0=3,由M在圓上可得(x0-5)2+=9,將x0=3代入,可得y0=±,故M(3,±),
由=-,可得k=±,故選A.
2.A　當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí),直線AB與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn),不符合題意,所以直線AB的斜率不為0,
設(shè)直線AB的方程為x=ty+m,因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線y2=x上,所以可設(shè)A(,yA),B(,yB),
所以·=+yAyB=2,解得yAyB=1或yAyB=-2.
又因?yàn)锳,B位于x軸的兩側(cè),所以yAyB=-2.
聯(lián)立消去x,得y2-ty-m=0,所以Δ=t2+4m>0,yAyB=-m=-2,即m=2,
所以直線AB的方程為x=ty+2,所以直線AB一定過點(diǎn)(2,0).故選A.
3.B　不妨以拋物線Γ1的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
因?yàn)閽佄锞€Γ1的頂點(diǎn)為A,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l1,焦準(zhǔn)距為4,所以|AF|=2,則拋物線Γ1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.
因?yàn)閽佄锞€Γ2的頂點(diǎn)為B,焦點(diǎn)也為F,準(zhǔn)線為l2,焦準(zhǔn)距為6,所以|BF|=3,則|AB|=2+3=5,故①正確.
結(jié)合圖象的平移變換可知拋物線Γ2的方程為y2=-12(x-5),因?yàn)棣?和Γ2交于P,Q兩點(diǎn),所以聯(lián)立解得故P(3,2),Q(3,-2),
從而可得M(-2,2),N(8,2),S(8,-2),T(-2,-2),
則四邊形MNST的面積為10×4=40,故②錯(cuò)誤.
又F(2,0),故=(-4,-2),=(6,-2),
易知·=0,故③正確.
由拋物線的對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)D位于封閉曲線APBQ在x軸上方的部分,C在直線l1上的射影為C1,D在直線l2上的射影為D1,連接CC1,DD1,
當(dāng)點(diǎn)D在拋物線Γ2的曲線段BP上,點(diǎn)C在拋物線Γ1的曲線段AQ上時(shí),由拋物線的定義可知,|CD|=|CF|+|DF|=|CC1|+|DD1|,
故當(dāng)C,D分別與A,B重合時(shí),|CD|最小,最小值為5,
當(dāng)D與P重合,點(diǎn)C在拋物線Γ1的曲線段AQ上時(shí),
因?yàn)镻(3,2),F(2,0),所以直線CD的方程為y=(x-2),即y=2(x-2),
聯(lián)立消去y并整理,得3x2-13x+12=0,不妨設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=,
所以|CD|=x1+x2+4=,所以|CD|∈;
當(dāng)點(diǎn)D在拋物線Γ1的曲線段PA上,點(diǎn)C在拋物線Γ1的曲線段AQ上時(shí),
不妨設(shè)直線CD的方程為x=ty+2,
聯(lián)立消去x并整理,得y2-8ty-16=0,
不妨設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),則y3+y4=8t,
所以|CD|=x3+x4+4=t(y3+y4)+8=8t2+8≥8,
當(dāng)t=0,即CD⊥AB時(shí),等號(hào)成立,
由拋物線的對(duì)稱性可知|CD|∈;
當(dāng)點(diǎn)D在拋物線Γ1的曲線段PA上,點(diǎn)C在拋物線Γ2的曲線段QB上時(shí),
由拋物線的對(duì)稱性可知|CD|∈.
綜上,|CD|∈,故④正確.
故說法正確的有①③④.故選B.
4.答案　-1;或8
解析　易知直線AB的斜率存在,不妨設(shè)直線AB的方程為y=kx+b,
聯(lián)立消去y并整理,得kx2+bx+1=0,此時(shí)k≠0,由Δ1=b2-4k=0,解得k=,
代入kx2+bx+1=0,得b2x2+4bx+4=0,解得x=-(二重根),則A,則x1y1=-×=-1.
聯(lián)立消去y并整理,得k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,此時(shí)k≠0,由Δ2=(2kb-2p)2-4k2b2=0,解得p=2kb,代入k2x2+(2kb-2p)x+b2=0,得k2x2-2kbx+b2=0,解得x=(二重根),所以y=k·+b=2b,則B,
若|AB|=,則+=,
又k=,故b2=2或b2=8,
因?yàn)閜=2kb,且p>0,k=,所以b>0,
當(dāng)b2=2,即b=時(shí),p=2kb=2××b=;
當(dāng)b2=8,即b=2時(shí),p=2kb=2××b=8.
5.解析　(1)因?yàn)閽佄锞€C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),所以22=-2p×(-1),解得p=2,
則拋物線C的方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=1.
(2)證明:由(1)知拋物線C的焦點(diǎn)為(0,-1),
根據(jù)題意,不妨設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k≠0),
聯(lián)立消去y并整理,得x2+4kx-4=0,
不妨設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2=-4,
易知直線OM的方程為y=x,
令y=-1,解得xA=-,同理可得xB=-,
易知以AB為直徑的圓與y軸恒有交點(diǎn),不妨設(shè)定點(diǎn)在y軸上,且定點(diǎn)為D(0,n),則·=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=(n+1)2-4,
由D為以AB為直徑的圓上的點(diǎn),可知·=0,解得n=1或n=-3.
綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).
6.解析　(1)當(dāng)p=時(shí),C2的方程為y2=x,故拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
(2)解法一(根與系數(shù)的關(guān)系+基本不等式法):設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),l:x=λy+m(λ≠0,m≠0),
由得(2+λ2)y2+2λmy+m2-2=0,
∴y1+y2=,y0=,x0=λy0+m=,
由M在拋物線上,可得=,即=4p,①
又 y2=2p(λy+m) y2-2pλy-2pm=0,
∴y1+y0=2pλ,∴x1+x0=λy1+m+λy0+m=2pλ2+2m,
∴x1=2pλ2+2m-.②
由得x2+4px-2=0,
∴x1==-2p+,③
由①②③得-2p+=2pλ2+2m·=2pλ2++8p≥16p,當(dāng)且僅當(dāng)λ2=2,即λ=時(shí)取“=”,
∴≥18p,即p2≤,故0∴p的最大值為,此時(shí)λ=,m=.
解法二(直接法):設(shè)直線l:x=my+t(m≠0,t≠0),A(x0,y0).
將直線l的方程代入橢圓C1的方程+y2=1,
得(m2+2)y2+2mty+t2-2=0,∴y0+yB=,
∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)yM=-.
將直線l的方程代入拋物線C2的方程y2=2px,
得y2-2pmy-2pt=0,
∴y0yM=-2pt,∴y0=,因此x0=,
結(jié)合+=1得=2+4≥160,
∴當(dāng)m=,t=時(shí),p取到最大值,為.
解法三(點(diǎn)差法+判別式法):設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),其中x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.
∵∴+-=0.
整理得·=-,∴·=-.
又=kAB=kAM=,=2px1,=2px0,
∴·=-,整理得+y1y0+8p2=0.
由題意知上述關(guān)于y0的二次方程有解,∴Δ=-32p2≥0.①
由解得x1=-2p+(舍負(fù)).因此=2px1=-4p2+2p,將此式代入①式解得p≤.
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí),p的最大值為.
7.解析　(1)將(1,-2)代入拋物線方程,解得p=2,∴拋物線C:y2=4x,
依題意可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx-1(k≠0),
由得ky2-4y-4=0,
則解得k>-1且k≠0,
又直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N,所以直線l不能過點(diǎn)P(1,-2)及(1,2),∴k≠-1且k≠3.
綜上,k∈(-1,0)∪(0,3)∪(3,+∞).
(2)證明:設(shè)點(diǎn)M(0,yM),N(0,yN),∵=λ,=μ,Q(0,-1),∴可設(shè)T(0,t),則=(0,yM+1),=(0,t+1),∵=λ,∴yM+1=λ(t+1),
故=,同理可得=.
∵kPA==,∴直線PA:y+2=(x-1),
令x=0得yM=,同理可得yN=,
∴==(t+1)·,==(t+1)·,
∴+=(t+1)·=(t+1)·=(t+1)·=2(t+1),
又+=-4,∴t=-3,∴存在定點(diǎn)T(0,-3)滿足題意.
8.解析　(1)由題意知,當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),x1=,代入拋物線方程得y1=±p,則|AB|=2p,所以2p=2,即p=1,所以拋物線E:y2=2x.
(2)①證明:設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4),直線AB:x=my+,
聯(lián)立消去x,得y2-2my-1=0,因此y1+y2=2m,y1y2=-1.
設(shè)直線AC:x=ny+1,聯(lián)立消去x,得y2-2ny-2=0,
因此y1+y3=2n,y1y3=-2,則y3=.同理可得y4=.
所以kCD=====-=,因此直線CD:x=2m(y-y3)+x3,
由對(duì)稱性知,定點(diǎn)在x軸上,
令y=0得,x=-2my3+x3=-2my3+=-2m·+=+=+=2+2=2+2·=2,所以直線CD過定點(diǎn)(2,0),記Q(2,0).
②因?yàn)镾△PAB=|PF|·|y1-y2|=|y1-y2|,
S△PCD=|PQ|·|y3-y4|====|y1-y2|,
所以S△PAB+S△PCD=|y1-y2|==≥,當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取到最小值.
9.解析　(1)設(shè)直線l的方程為y=x+n,A(x1,y1),B(x2,y2),
把y=x+n代入y2=4x,可得x2+(2n-4)x+n2=0,
∴x1+x2=4-2n,x1·x2=n2,
∴|AB|=|x2-x1|==4,
點(diǎn)P到直線l的距離d=,
∴S△PAB=|AB|d=×4×=2,
解得n=-1,∴直線l的方程為y=x-1.
(2)假設(shè)存在.取Q(0,0),設(shè)切線方程為y=kx,
由=2,解得k2=,①
將y=kx代入y2=4x,得k2x2=4x,不妨設(shè)A在B上方,
故A,B,
則直線AB的方程為x=,
若直線AB和圓相切,則=2,②
由①得m2>4,由①②解得m=3.
下面證m=3時(shí),對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,直線AB和圓M相切.
設(shè)Q,當(dāng)a=0時(shí),上面假設(shè)已經(jīng)說明成立;
當(dāng)a=±2,過Q作圓的切線時(shí),一條切線與x軸平行,不能與拋物線交于另一點(diǎn),故a≠±2;
以下就a≠0且a≠±2的情況進(jìn)行證明.
設(shè)過Q的切線方程為x=t(y-a)+a2,A,B,
由=2,可得(a2-4)t2-at+-4=0,
∴t1+t2=,t1t2=.
把x=t(y-a)+a2代入y2=4x,可得y2-4ty+4ta-a2=0,
又切線與拋物線相交于兩點(diǎn)A,B,
故得=4t1(y1-a)+a2,=4t2(y2-a)+a2,
則a,y1是方程y2=4t1(y-a)+a2的兩根,即有ay1=4t1a-a2,即y1=4t1-a,同理可得y2=4t2-a.則有A(4t1-a)2,4t1-a,B(4t2-a)2,4t2-a,
故直線AB:y-(4t1-a)=,
即y-(4t1-a)=,
則圓心(3,0)到直線AB的距離
d=,
由(a2-4)-at1+-4=0,
可得d==2,
則對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)Q,存在實(shí)數(shù)m=3,使得直線AB與圓M相切.
73.3　拋物線
3.3.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　拋物線的定義及應(yīng)用
1.在平面直角坐標(biāo)系中,與點(diǎn)(1,2)和直線x+y-3=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡是(　　)
A.直線　　　　B.拋物線
C.圓　　　　D.雙曲線
2.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),且與直線x=-2相切,則此動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(　　)
A.y2=8x　　B.y2=4x　　C.y2=-8x　　D.y2=-4x
3.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,已知?jiǎng)訄AM與圓x2+y2-2x=0內(nèi)切,且與直線x=-2相切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為　(　　)
A.y2=12x　　B.y2=8x　　C.y2=6x　　D.y2=4x
4.若動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+3=0的距離大1,則M的軌跡方程是　　　　.
5.若點(diǎn)P(x,y)滿足方程=,則點(diǎn)P的軌跡是　　　　　.(填圓錐曲線的類型)
6.動(dòng)點(diǎn)M(x,y)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,求動(dòng)點(diǎn)M(x,y)的軌跡方程.
題組二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及應(yīng)用
7.準(zhǔn)線方程為y=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.y2=-4x　　B.y2=8x　　C.x2=4y　　D.x2=-8y
8.焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.y2=-2x　　B.x2=2y　　C.x2=-4y　　D.y2=-4x
9.以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,焦點(diǎn)在直線4x-5y+10=0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.x2=10y或y2=-8x　　　　B.x2=-10y或y2=8x
C.y2=10x或x2=-8y　　　　D.y2=-10x或x2=8y
10.(多選題)經(jīng)過點(diǎn)P(4,-2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A.y2=x　　B.x2=8y　　C.x2=-8y　　D.y2=-8x
11.如圖,一拋物線形拱橋的拱頂O比水面高2米,水面寬12米,即|AB|=12米.當(dāng)水面下降1米后,水面寬(　　)
A.3米　　B.8米　　C.6米　　D.12米
12.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A,B,若△FAB為等腰直角三角形且面積為8,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)
A.y2=4x　　　　B.y2=8x
C.y2=4x或y2=8x　　　　D.y2=4x
13.已知拋物線y=mx2的準(zhǔn)線方程為y=,則實(shí)數(shù)m=　　　　.
14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P在C上,直線PF交y軸于點(diǎn)Q,若=3,則P到準(zhǔn)線l的距離為　　　　.
15.已知F是拋物線x2=4y的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=5,則線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為　　　　.
16.若拋物線y2=x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到原點(diǎn)的距離,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
17.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在拋物線上,MN垂直于x軸,垂足為N.若|MF|=6,則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為　　　　;△FMN的面積為　　　　.
18.蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑,“門”的造型是東方之門的立意基礎(chǔ),“門”的內(nèi)側(cè)曲線呈拋物線形,如圖1,兩棟建筑第八層由一條長(zhǎng)60 m的連橋連接,在該拋物線兩側(cè)距連橋150 m處各有一個(gè)窗戶,兩個(gè)窗戶的水平距離為30 m,如圖2,則此拋物線頂端O到連橋AB的距離為　　　　m.
　　圖1　　　　　　　　　　圖2
19.(教材習(xí)題改編)一種衛(wèi)星接收天線如圖1所示,其曲面與軸截面的交線為拋物線,在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線,經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處,如圖2所示,已知接收天線的口徑(直徑)為4.8 m,深度為0.5 m.
(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,并求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)為了增強(qiáng)天線對(duì)衛(wèi)星波束的接收能力,擬將接收天線的口徑增大為5.2 m,求此時(shí)衛(wèi)星波束反射聚集點(diǎn)在(1)中所建坐標(biāo)系下的坐標(biāo).
　
20.如圖,A地在B地東偏北45°方向相距2 km處,且B與高鐵線l(近似看成直線)相距4 km.已知曲線形公路PQ上任意一點(diǎn)到B地的距離等于其到高鐵線l的距離,現(xiàn)要在公路旁建造一個(gè)變電房M(變電房與公路之間的距離忽略不計(jì)).
(1)試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并求公路PQ所在曲線的方程;
(2)在(1)的條件下,問變電房M應(yīng)建在相對(duì)于A地的什么位置(方位和距離),才能使得架設(shè)電路所用電線的長(zhǎng)度最短 并求出最短長(zhǎng)度.
能力提升練
題組一　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用
1.設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B,C為該拋物線上三點(diǎn),若++=0,則||+||+||=(　　)
A.6　　B.4　　C.3　　D.2
2.(多選題)()已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為d1,到直線l:4x-3y+11=0的距離為d2,則d1+d2的取值可以為(　　)
A.3　　B.4　　C.　　D.
3.曲線W具有如下3個(gè)性質(zhì):(1)曲線W上沒有一個(gè)點(diǎn)位于第一、三象限;(2)曲線W上位于第二象限的任意一點(diǎn)到點(diǎn)(0,1)的距離等于其到直線y=-1的距離;(3)曲線W上位于第四象限的任意一點(diǎn)到點(diǎn)(2,0)的距離等于其到直線x=-2的距離.那么曲線W的方程可以為(　　)
A.(x2-4y)(8x-y2)=0　　　　B.y=
C.y=　　　　D.y=
4.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A為C上一點(diǎn),以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),B在D上方.若∠ABD=90°,且△ABF的面積為9,則(　　)
A.△ABF是等邊三角形
B.|BF|=3
C.點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D.拋物線C的方程為y2=6x
5.已知P為拋物線C:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),拋物線C的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(3,1),則|PA|+|PF|的最小值為　　　　;若點(diǎn)B(4,5),則|PB|+|PF|的最小值為　　　　.
6.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6),點(diǎn)P是C上的任意一點(diǎn),若當(dāng)P在點(diǎn)P1處時(shí),|PF|-|PA|取得最大值,當(dāng)P在點(diǎn)P2處時(shí),|PF|-|PA|取得最小值,則P1,P2兩點(diǎn)間的距離是　　　　.
7.如圖,拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,圓F:x2+y2-2x=0,M(x,y)為拋物線上一點(diǎn),且x∈[1,3],過M作圓F的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,求|AB|的取值范圍.
8.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線x=3與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),|AF|=4,圓E為△FAB的外接圓,直線OM與圓E切于點(diǎn)M,點(diǎn)N在圓E上,求·的取值范圍.
9.已知F是拋物線y2=4x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)P(4,1)是一個(gè)定點(diǎn),求|AP|+|AF|的最小值;
(2)若焦點(diǎn)F是△AOB的垂心,求點(diǎn)A,B的坐標(biāo).
題組二　拋物線的實(shí)際應(yīng)用
10.黨的二十大報(bào)告指出,必須堅(jiān)持在發(fā)展中保障和改善民生,不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往.為響應(yīng)中央號(hào)召,某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4 m的圓形水池來規(guī)劃噴泉景觀.設(shè)計(jì)如下:在水池中心豎直安裝一根高出水面2 m的噴水管(水管半徑忽略不計(jì)),它噴出的水柱呈拋物線形,要求水柱在與水池中心的水平距離為 m處達(dá)到最高,且水柱剛好落在池內(nèi),則水柱的最大高度為(　　)
A. m　　　　B. m
C. m　　　　D. m
11.(2024陜西渭南期中)已知一個(gè)拋物線形拱橋,在一次暴雨前后橋下水位之差為1.5 m,暴雨后的水面寬為2 m,暴雨來臨之前的水面寬為4 m,求暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x.
12.一隧道內(nèi)設(shè)有雙行線公路,其截面近似由一長(zhǎng)方形和一拋物線構(gòu)成,如圖所示.為保證安全,要求行駛車輛的頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5米.若行車道的總寬度為8米,即|AB|=8米.
(1)計(jì)算車輛通過隧道時(shí)的限制高度;
(2)現(xiàn)有一輛載重汽車寬3.5米,高4.2米,試判斷該車能否安全通過隧道.
答案與分層梯度式解析
3.3　拋物線
3.3.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.A 2.A 3.D 7.D 8.D 9.D 10.AC 11.C
12.C
1.A　因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)在直線x+y-3=0上,所以所求點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)(1,2)且與直線x+y-3=0垂直的直線,故選A.
易錯(cuò)警示　到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡不一定是拋物線:①F l時(shí),為拋物線;②F∈l時(shí),為直線.
2.A　設(shè)M(x,y).因?yàn)閯?dòng)圓M經(jīng)過點(diǎn)A(2,0),且與直線x=-2相切,所以|MA|=|x+2|,即點(diǎn)M到點(diǎn)A(2,0)的距離與其到直線x=-2的距離相等,由拋物線的定義知圓心M的軌跡為拋物線,且焦點(diǎn)為(2,0),準(zhǔn)線方程為x=-2,所以所求軌跡方程為y2=8x.故選A.
3.D　設(shè)圓M的半徑為r,易知圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1,記F(1,0).
因?yàn)閳AM與圓F內(nèi)切,且圓M與直線x=-2相切,
所以|MF|=r-1,且圓心M到直線x=-2的距離為r,
故M到直線x=-1的距離為r-1,故圓心M到點(diǎn)F的距離與其到直線x=-1的距離相等,
由拋物線的定義,可知圓心M的軌跡是以F(1,0)為焦點(diǎn),直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=4x.
故選D.
4.答案　y2=16x
解析　解法一:由題意知,動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離等于它到直線x=-4的距離,
由拋物線的定義知,點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0)為焦點(diǎn),直線x=-4為準(zhǔn)線的拋物線,所以其軌跡方程為y2=16x.
解法二:由題意可知=|x-(-3)|+1,
整理得y2-14x+6=2|x+3|.
由題意知x>-3(若x≤-3,則題中距離差至少為7),所以得y2=16x.
5.答案　拋物線
解析　由=,得=,
易知等式左邊表示點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(1,2)的距離,右邊表示點(diǎn)P(x,y)到直線3x+4y+12=0的距離,即點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)(1,2)的距離與其到直線3x+4y+12=0的距離相等,
又因?yàn)辄c(diǎn)(1,2)不在直線3x+4y+12=0上,所以由拋物線的定義知,點(diǎn)P的軌跡是以(1,2)為焦點(diǎn),直線3x+4y+12=0為準(zhǔn)線的拋物線.
6.解析　當(dāng)x≥0時(shí),∵動(dòng)點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,
∴動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)(2,0)的距離與它到定直線x=-2的距離相等,
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以(2,0)為焦點(diǎn),直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線,此拋物線的方程為y2=8x(x≥0);
當(dāng)x<0時(shí),∵x軸上點(diǎn)(0,0)左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)(2,0)的距離小2,
∴點(diǎn)M的軌跡方程為y=0(x<0).
綜上,得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為y=0(x<0)或y2=8x(x≥0).
7.D　由拋物線的準(zhǔn)線方程為y=2,可知拋物線是焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上的拋物線,設(shè)其方程為x2=-2py(p>0),則其準(zhǔn)線方程為y==2,得p=4.∴該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-8y.
故選D.
名師支招　求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是確定參數(shù)p.當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí),應(yīng)分類討論,為避免對(duì)開口方向的討論,可設(shè)拋物線方程為y2=mx或x2=my.
8.D　∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,0),∴可設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),∴-=-1,得p=2.∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-4x.故選D.
9.D　直線4x-5y+10=0與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,(0,2),當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-10x;當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為(0,2)時(shí),其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=8y.故選D.
10.AC　∵點(diǎn)P(4,-2)在第四象限內(nèi),∴設(shè)所求的拋物線方程為y2=2px(p>0)或x2=-2py(p>0),
將(4,-2)代入,可得4=2p·4或16=-2p·(-2),
∴2p=1或2p=8.
故所求的拋物線方程為y2=x或x2=-8y.
故選AC.
11.C　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,
易得B(6,-2),將(6,-2)代入x2=my,得m=-18,∴x2=-18y,
設(shè)當(dāng)水面下降1米后,水面寬2x0米,易知此時(shí)點(diǎn)(x0,-3)在拋物線上,將(x0,-3)代入x2=-18y,得x0=3,故此時(shí)水面寬6米.故選C.
12.C　由題意得,當(dāng)∠AFB=時(shí),S△AFB=×2p×p=8,解得p=2(舍負(fù));當(dāng)∠FAB=或∠FBA=時(shí),S△AFB=p2=8,解得p=4(舍負(fù)),所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=4x或y2=8x.故選C.
13.答案　-2
解析　由y=mx2可得x2=·y,則拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-=,解得m=-2.
易錯(cuò)警示　已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí),一定要先將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.
14.答案　5
解析　由拋物線C:y2=4x,可知F(1,0),準(zhǔn)線l:x=-1,則|OF|=1,
過點(diǎn)P作y軸的垂線,垂足為N,由△QOF∽△QNP可知==,
所以|PN|=4|FO|=4,所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為5.
15.答案　
解析　拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),∴|AF|+|BF|=y1+1+y2+1=5,解得y1+y2=3,∴線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,∴線段AB的中點(diǎn)到x軸的距離為.
16.答案　或
解析　設(shè)焦點(diǎn)為F,原點(diǎn)為O,P(x0,y0),由條件及拋物線的定義知,|PF|=|PO|,
又F,∴x0=,∴=,∴y0=±,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.
17.答案　5;4
解析　因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,所以p=2且F(1,0).因?yàn)閨MF|=6,所以xM+=6,解得xM=5,故yM=±2,所以S△FMN=×(5-1)×2=4.
18.答案　200
解析　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p>0),D(15,t)(t<0),則B(30,t-150).
由點(diǎn)B,D均在拋物線上,得
解得所以拋物線頂端O到連橋AB的距離為150+50=200 m.
19.解析　(1)在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系Oxy,使接收天線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),焦點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線為x軸,
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0),由題意知點(diǎn)(0.5,2.4)在拋物線上,將(0.5,2.4)代入其方程,可得2.42=2p·0.5,解得p=5.76,
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=11.52x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2.88,0).
(2)設(shè)此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2mx(m>0),
由題意知點(diǎn)(0.5,2.6)在拋物線上,將(0.5,2.6)代入其方程,可得2.62=2m·0.5,解得m=6.76,
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=13.52x,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3.38,0),即衛(wèi)星波束反射聚焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3.38,0).
20.解析　(1)取經(jīng)過點(diǎn)B且垂直于l的直線為y軸,垂足為K,并使原點(diǎn)O與線段BK的中點(diǎn)重合,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
則B(0,2),A(2,4),
∵公路PQ上任意一點(diǎn)到B地的距離等于其到高鐵線l的距離,
∴PQ所在的曲線是以B(0,2)為焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線的拋物線.
設(shè)該拋物線的方程為x2=2py(p>0),則p=4.
∴公路PQ所在曲線的方程為x2=8y.
(2)要使架設(shè)電路所用電線的長(zhǎng)度最短,即使|MA|+|MB|最小,
過M作MH⊥l,垂足為H,∴|MA|+|MB|=|MA|+|MH|,
易知當(dāng)A,M,H三點(diǎn)共線時(shí),|MA|+|MH|取得最小值,即|MA|+|MB|取得最小值,
此時(shí)M,位于A地正南方且與A地相距 km,所用電線的最短長(zhǎng)度為4+2=6 km.
能力提升練
1.A 2.ABD 3.B 4.ACD 10.C
1.A　設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).由題意得拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.因?yàn)?+=0,所以點(diǎn)F是△ABC的重心,故x1+x2+x3=3,則||+||+||=x1+1+x2+1+x3+1=x1+x2+x3+3=3+3=6.故選A.
2.ABD　拋物線上的點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于其到焦點(diǎn)F的距離,過焦點(diǎn)F(1,0)作直線4x-3y+11=0的垂線,垂足為M,則|FM|為d1+d2的最小值,如圖所示:
所以(d1+d2)min==3,結(jié)合選項(xiàng)可知選ABD.
3.B　根據(jù)拋物線的定義,可知到點(diǎn)(0,1)的距離等于到直線y=-1的距離的點(diǎn)的軌跡是以(0,1)為焦點(diǎn),直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為x2=4y.
同理可得,到點(diǎn)(2,0)的距離等于到直線x=-2的距離的點(diǎn)的軌跡方程為y2=8x.
(x2-4y)(8x-y2)=0存在位于第一象限的點(diǎn),根據(jù)性質(zhì)(1)可得A錯(cuò)誤.
根據(jù)性質(zhì)(2)與(3),可知曲線W的方程可以為y=故選B.
4.ACD　根據(jù)題意作圖,如圖所示:
因?yàn)橐訤為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點(diǎn),所以|FA|=|FB|,
又A在拋物線上,所以|FA|=|AB|,所以△ABF為等邊三角形,故A正確;
因?yàn)椤螦BD=90°,所以AB∥x軸,過F作FE⊥AB于點(diǎn)E,則點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),
故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,又點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-,所以|AB|=2|BE|=2p,
所以S△ABF=|AB|2=×4p2=9,解得p=3(舍負(fù)),則|BF|=|AB|=2p=6,故B錯(cuò)誤;
焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p=3,故C正確;
拋物線C的方程為y2=6x,故D正確.故選ACD.
5.答案　4;
解析　拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,
過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線,垂足為點(diǎn)E,如圖,由拋物線的定義得|PF|=|PE|,故|PA|+|PF|=|PA|+|PE|,
易知當(dāng)點(diǎn)A,P,E三點(diǎn)共線,即當(dāng)AP所在直線與直線x=-1垂直時(shí),|PA|+|PF|取得最小值,且最小值為3+1=4.
由三角形的性質(zhì)可知|PB|+|PF|≥|BF|,由兩點(diǎn)間的距離公式可得|BF|=,即當(dāng)P是線段BF與拋物線的交點(diǎn)時(shí),|PB|+|PF|取得最小值,為.
6.答案　
解析　依題意知F(2,0),過P作拋物線準(zhǔn)線:x=-2的垂線,垂足為Q,
一方面:||PF|-|PA||=||PQ|-|PA||≤|AQ| |PF|-|PA|≤|AQ|,
當(dāng)P,A,Q三點(diǎn)共線,即PA平行于x軸時(shí),|PF|-|PA|取得最大值,此時(shí)P1;
另一方面:||PF|-|PA||≤|AF| |PF|-|PA|≥-|AF|,
當(dāng)P,F,A三點(diǎn)共線,且F在P,A之間時(shí),|PF|-|PA|取得最小值,此時(shí)P2(2,-4),
故|P1P2|=.
7.解析　連接MF,由題意知,圓F的圓心為F(1,0),半徑r=1,故拋物線方程為y2=4x,
四邊形MAFB的面積S=|MA|×|AF|×2=|MA|=,
又S=|AB|·|MF|,所以|AB|==2,
由拋物線的定義,得|MF|=x+1,又x∈[1,3],所以|MF|2∈[4,16],
所以∈,所以|AB|∈.
8.解析　由題意,不妨設(shè)A位于第一象限,故A(3,),所以|AF|=3+=4,解得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x,則A(3,2),B(3,-2),F(1,0),所以直線AF的方程為y=(x-1),
由題易知圓E的圓心在x軸上,設(shè)E(x0,0),由|EF|=|EA|得(x0-1)2=(3-x0)2+12,解得x0=5,即E(5,0),∴圓E的方程為(x-5)2+y2=16,不妨設(shè)yM>0,直線OM的方程為y=kx,則k>0,根據(jù)=4,解得k=,由解得或故M.由題可設(shè)N(4cos θ+5,4sin θ),θ∈[0,2π],所以·=cos θ+sin θ+9=(3cos θ+4sin θ)+9,
因?yàn)?cos θ+4sin θ=5sin(θ+φ)∈[-5,5],其中tan φ=,所以·∈[-3,21].
9.解析　(1)由題可知拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1.設(shè)點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影為D,則根據(jù)拋物線的定義可知|AF|=|AD|,
∴要求|AP|+|AF|的最小值,即求|AP|+|AD|的最小值,
易知當(dāng)D,A,P三點(diǎn)共線時(shí),|AP|+|AD|最小,為4-(-1)=5,即|AP|+|AF|的最小值為5.
(2)∵焦點(diǎn)F是△AOB的垂心,∴直線AB⊥x軸,
∴A,B關(guān)于x軸對(duì)稱.
不妨設(shè)A(y1>0),則B.
∴kOB==-,kAF==.
∵焦點(diǎn)F是△AOB的垂心,∴AF⊥OB,
∴kOB·kAF=-1,即-·=-1,∴y1=2.
∴A(5,2),B(5,-2)或A(5,-2),B(5,2).
10.C　取一截面建系如圖,其中A為噴水管管口,B為水池邊緣上的點(diǎn),設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),記水柱的最大高度為h m,
依題意可知A,B在拋物線上,故兩式相除,有=,解得h=.故選C.
11.解析　如圖,以拋物線形拱橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,對(duì)稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p>0),
由已知得A(1,yA),B(2,yB),且yA-yB=1.5,所以yA-yB=-+=1.5,解得p=1,所以yA=-0.5,即暴雨后的水面離橋拱頂?shù)木嚯x為0.5 m.
12.解析　(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為x2=-2py(p>0),
根據(jù)題意,可知此拋物線經(jīng)過點(diǎn)(-5,-5),將(-5,-5)代入拋物線方程,解得p=,所以拋物線的方程為x2=-5y.
在此方程中,令x=-4,得y=-,又7--0.5=3.3,所以車輛通過隧道時(shí)的限制高度為3.3米.
(2)對(duì)于拋物線方程x2=-5y,令x=3.5,得y=-,
因?yàn)?--0.5=4.05<4.2,所以該車不能安全通過隧道.
7(共38張PPT)
3.3　拋物線
　　平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做
拋物線的焦點(diǎn),直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
　　注意:當(dāng)F∈l時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.
知識(shí)點(diǎn) 1 拋物線的定義
必備知識(shí) 清單破
1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn) 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
圖形
性 質(zhì) 焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程 x=- x= y=- y=
范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0
對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn)坐標(biāo) (0,0) 離心率 e=1 　　說明:(1)從表中可知,一次項(xiàng)中的變量決定焦點(diǎn)位于x軸還是y軸,一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定
開口方向.
(2)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p是拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離(即焦準(zhǔn)距),所以p的值一
定大于0.
2.通徑
　　過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于坐標(biāo)軸的直線,交拋物線于A,B兩點(diǎn),則線段AB稱為拋物線的通
徑,通徑是所有焦點(diǎn)弦中長(zhǎng)度最短的弦,其長(zhǎng)度為2p.p越大,通徑越長(zhǎng),拋物線的“張口”越大;
反之,p越小,通徑越短,拋物線的“張口”越小.
　　直線與拋物線有三種位置關(guān)系:相離,相切,相交.以拋物線y2=2px(p>0)為例:
(1)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,代入y2=2px得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.
當(dāng)k=0時(shí),直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與拋物線的對(duì)稱軸重合,直線與拋物線只有一個(gè)公共
點(diǎn).
當(dāng)k≠0時(shí),若判別式Δ>0,則直線與拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn);若判別式Δ=0,則直線與拋物線
相切,有一個(gè)公共點(diǎn);若判別式Δ<0,則直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).
(2)直線的斜率不存在時(shí),設(shè)直線方程為x=m,
顯然,當(dāng)m<0時(shí),直線與拋物線相離,無公共點(diǎn);
當(dāng)m=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)m>0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).
知識(shí)點(diǎn) 3 直線與拋物線的位置關(guān)系
　　如圖所示,AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條弦,其所在直線的傾斜角為α,設(shè)A(x1,
y1),B(x2,y2),AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),拋物線的準(zhǔn)線為l,AA1⊥l,BB1⊥l,MM1⊥l.

(1)以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切;以AF,BF為直徑的圓都與y軸相切.
(2)∠A1FB1=90°.
(3)M1F⊥AB.
(4)直線M1A與M1B是拋物線的兩條互相垂直的切線.
知識(shí)點(diǎn) 4 與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論
(5)|AB|=2 =x1+x2+p= .
(6)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值,即x1x2= ,y1y2=-p2.
(7)S△AOB= .
(8) + = .
(9)|AF|= ,|BF|= ; = .
(10)kOA·kOB= =-4,進(jìn)一步地,若直線過拋物線對(duì)稱軸上一定點(diǎn)(a,0),且與拋物線交于P,Q兩
點(diǎn),則kOP·kOQ=- .
知識(shí)辨析
1.平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線嗎
2.已知拋物線上的一個(gè)點(diǎn)可以確定拋物線的方程嗎
3.方程y=ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ,準(zhǔn)線
方程為x= .正確嗎
4.“直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)”是“直線與拋物線相切”的充分必要條件嗎
一語破的
1.不一定.若點(diǎn)F在直線l上,則點(diǎn)的軌跡是過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線.
2.不可以.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種,故由一個(gè)點(diǎn)能得到兩個(gè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
3.不正確.將方程y=ax2(a≠0)化成標(biāo)準(zhǔn)形式為x2= y,其表示焦點(diǎn)在y軸上的拋物線,且該拋物
線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是 ,準(zhǔn)線方程為y=- .
4.不是.當(dāng)直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),直線與拋物線相切或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行(或
重合);當(dāng)直線與拋物線相切時(shí),直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn).因此“直線與拋物線只有一個(gè)交
點(diǎn)”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件.
求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種常用方法
(1)直接法:利用已知條件確定參數(shù)p及拋物線的開口方向.
(2)待定系數(shù)法:根據(jù)焦點(diǎn)位置先設(shè)出拋物線的方程,再根據(jù)題中條件確定參數(shù)的值.
定點(diǎn) 1 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解
關(guān)鍵能力 定點(diǎn)破
典例 根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線16x2-9y2=144的左頂點(diǎn);
(2)經(jīng)過點(diǎn)(-3,-1);
(3)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為9,且點(diǎn)M到x軸的距離為4 .
解析： (1)將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為 - =1,易知雙曲線的左頂點(diǎn)為(-3,0).
由題意設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),
則- =-3,所以p=6,
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-12x.
(2)因?yàn)辄c(diǎn)(-3,-1)在第三象限內(nèi),
所以設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).
若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=-2p1x(p1>0),
則(-1)2=-2p1×(-3),解得p1= ;
若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=-2p2y(p2>0),
則(-3)2=-2p2×(-1),解得p2= .
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=- x或x2=-9y.
(3)設(shè)點(diǎn)M(x0,y0),由題意可知|y0|=4 ,
所以(4 )2=2px0,解得x0=8.
因?yàn)閨MF|=x0+ =8+ =9,所以p=2.
所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.
規(guī)律總結(jié) 拋物線上一點(diǎn)(x0,y0)到焦點(diǎn)的距離稱為拋物線的焦半徑,公式如下:
標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py
(p>0)
焦半徑 x0+ -x0 y0+ -y0

　　拋物線的定義主要用來進(jìn)行拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離及其與準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化,通過
這種轉(zhuǎn)化可以解決點(diǎn)的軌跡方程、最值、參數(shù)、距離等問題.
定點(diǎn) 2 拋物線定義的應(yīng)用
典例 (1)已知點(diǎn)P是拋物線y2=-2x上的動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)M(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的
距離之和的最小值為(　 )
A. 　 B.3　 C. 　 D.
(2)已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切,且與定圓C:x2+(y+3)2=1外切,則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為　
　　　　 .
A
x2=-12y
解析：(1)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,連接PF,MF,如圖所示.

易知拋物線的焦點(diǎn)F ,準(zhǔn)線方程為x= .由拋物線的定義知,點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P
到焦點(diǎn)F的距離,因此點(diǎn)P到點(diǎn)M(0,2)的距離與點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離之和等于點(diǎn)P到點(diǎn)M(0,2)的距
離與點(diǎn)P到點(diǎn)F 的距離之和,根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”知,其最小值為
點(diǎn)M(0,2)到點(diǎn)F 的距離(此時(shí)點(diǎn)P位于P'的位置),故最小值為 = .
(2)設(shè)動(dòng)圓圓心M(x,y).由題意可得M到C(0,-3)的距離與到直線y=3的距離相等.
由拋物線的定義可知,動(dòng)圓圓心M的軌跡是以C(0,-3)為焦點(diǎn),y=3為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為x2=
-12y.

1.解決拋物線焦點(diǎn)弦問題的關(guān)鍵是熟記有關(guān)焦點(diǎn)弦的結(jié)論,并靈活運(yùn)用.有關(guān)焦點(diǎn)弦的諸多結(jié)
論實(shí)質(zhì)是利用拋物線的定義并結(jié)合相關(guān)知識(shí)推得的.
2.知識(shí)點(diǎn)4中有關(guān)焦點(diǎn)弦的結(jié)論都是針對(duì)方程為y2=2px(p>0)的拋物線而言的,但在實(shí)際應(yīng)用
中,有些拋物線的方程可能不是這種形式,這時(shí)相關(guān)結(jié)論會(huì)隨之變化,不能盲目套用.
定點(diǎn) 3 拋物線的焦點(diǎn)弦問題
典例 已知拋物線y2=4x,經(jīng)過其焦點(diǎn)F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線相交于M,N兩點(diǎn),且|MF|
=3|NF|,則k=　　　 .
解析：解法一:過M,N兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為P,Q,過N向PM作垂線,垂足為S.設(shè)|NF|=m
(m>0),則|MF|=3m.
由拋物線的定義得|MP|=3m,|NQ|=m,
所以|MS|=2m,|MN|=m+3m=4m,
則sin∠MNS= = ,所以∠MNS=30°,
故直線l的傾斜角為60°,所以k=tan 60°= .

解法二:設(shè)直線l的傾斜角為θ,則θ∈ .由于|MF|= ,|NF|= ,且|MF|=3|NF|,所以
= ,
解得cos θ= ,所以θ= ,所以k=tan θ= .
解法三:拋物線y2=4x中,p=2,
所以 + = =1,又因?yàn)閨MF|=3|NF|,所以|MF|=4,|NF|= ,于是|MN|= .設(shè)直線l的傾斜角
為θ,則θ∈ ,所以 = ,解得sin θ= sin θ=- 舍去 ,所以θ= ,故k=tan θ= .

　　研究直線與拋物線的位置關(guān)系的方法與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系的方法類
似,一般是聯(lián)立直線與拋物線的方程,但涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等問題時(shí),要注意
“設(shè)而不求”“整體代入”“點(diǎn)差法”以及定義的靈活應(yīng)用.
定點(diǎn) 4 直線與拋物線的位置關(guān)系
典例1 已知拋物線C:y2=2px(p>0),拋物線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3.
(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;
(2)過(-1,0)的直線l交拋物線C于不同的兩點(diǎn)A,B,交直線x=-4于點(diǎn)E,直線BF交直線x=-1于點(diǎn)D.
是否存在這樣的直線l,使得DE∥AF 若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解析：(1)由題意及拋物線的定義可得1+ =3,解得p=4,所以拋物線C的方程為y2=8x,準(zhǔn)線方
程為x=-2.
(2)假設(shè)存在滿足題意的直線l.顯然直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)(k≠
0),A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立 消去y,得k2x2+(2k2-8)x+k2=0.
由Δ=(2k2-8)2-4k4>0,解得- 所以- 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2= ,x1x2=1.

解法一:易知F(2,0),所以直線BF的方程為y= (x-2),
又xD=-1,所以yD= ,所以D .
因?yàn)镈E∥AF,所以kDE=kAF,
易得E(-4,-3k),所以 = ,
即k= + ,即k= + ,
化簡(jiǎn),得1= + ,
即1= ,即x1+x2=7.
所以 =7,整理得k2= ,解得k=± .
經(jīng)檢驗(yàn),k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).
解法二:因?yàn)镈E∥AF,所以 = ,所以 = ,整理得x1x2+(x1+x2)=8,即 =7,整
理得k2= ,解得k=± .
經(jīng)檢驗(yàn),k=± 符合題意.
所以存在滿足題意的直線l,直線l的方程為y= (x+1)或y=- (x+1).
典例2 已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上位于第一象限的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l
交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D.
(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且△ADF為等邊三角形,求C的方程;
(2)對(duì)于(1)中求出的拋物線C,若點(diǎn)D(x0,0) ,點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為E,AE交x軸于點(diǎn)P,且
AP⊥BP,求證:點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-x0,0),并求點(diǎn)P到直線AB的距離d的取值范圍.
解析： (1)由題意知F ,|FA|=3+ ,則D(3+p,0),
則線段FD的中點(diǎn)坐標(biāo)為 ,則 + =3,解得p=2,故C的方程為y2=4x.
(2)依題可設(shè)直線AB的方程為x=my+x0(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
(這種設(shè)直線方程的方法避免了分類討論,且計(jì)算量小)
則E(x2,-y2),
由 消去x,得y2-4my-4x0=0,
因?yàn)閤0≥ ,所以Δ=16m2+16x0>0.
y1+y2=4m,y1y2=-4x0.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,0),則 =(x2-xP,-y2), =(x1-xP,y1).
由題知 ∥ ,
所以(x2-xP)·y1+(x1-xP)·y2=0,
即(y1+y2)xP=x2y1+x1y2= = ,
因?yàn)閥1+y2=4m≠0,所以xP= =-x0.
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-x0,0).
由題知△EPB為等腰直角三角形,
所以kAP=1,即 =1,即 =1,
所以y1-y2=4,
所以(y1+y2)2-4y1y2=16,
即16m2+16x0=16,m2=1-x0,
所以x0<1,
又因?yàn)閤0≥ ,所以 ≤x0<1.
d= = = ,
令 =t,則t∈ ,x0=2-t2,所以d= = -2t.
易知y= -2t在 上單調(diào)遞減,所以d∈ .
方法總結(jié) 求解范圍問題的常用方法:(1)利用判別式來構(gòu)造不等式,從而確定參數(shù)的取值范
圍;(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解決這類問題的核心在于建立兩個(gè)參數(shù)之間的
等量關(guān)系;(3)利用隱含的或已知的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的范圍;(4)利用基本不
等式求出參數(shù)的取值范圍等.
素養(yǎng)解讀
　　在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中,要樹立“坐標(biāo)化”觀點(diǎn),借助平面直角坐標(biāo)系,將圖形的位置關(guān)系
和度量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)代數(shù)問題,解題時(shí)一般先用圖形探索解決問題的思路,進(jìn)而解決復(fù)雜
的數(shù)學(xué)問題,其前提是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?
通過研究圓錐曲線中圖形的特征和變化,將圓錐曲線中常見的軌跡問題、中點(diǎn)弦問題、角度
問題、面積問題、垂直類問題、平行類問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)意義下的計(jì)算問題,準(zhǔn)確的計(jì)算是必
備素養(yǎng).
學(xué)科素養(yǎng) 情境破
素養(yǎng) 通過圓錐曲線相關(guān)問題的解決發(fā)展邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)
例題 一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面(橢圓繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面)的一
部分.過對(duì)稱軸的截口BAC是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上,片門位于該橢圓
的另一個(gè)焦點(diǎn)F2.橢圓有光學(xué)性質(zhì):從一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線,經(jīng)過橢圓面反射后經(jīng)過另一個(gè)焦
點(diǎn),即橢圓上任意一點(diǎn)P處的切線與直線PF1,PF2的夾角相等.已知BC⊥F1F2,|BF1|=3 cm,|F1F2|=
4 cm,以F1F2所在直線為x軸,線段F1F2的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

(1)求截口BAC所在橢圓的方程;
典例呈現(xiàn)
(2)點(diǎn)P為該橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)和短軸端點(diǎn)外的任意一點(diǎn).
①是否存在m,使得P到F2和P到直線x=m的距離之比為定值 如果存在,求出m的值;如果不存
在,請(qǐng)說明理由;
②若∠F1PF2的平分線PQ交y軸于點(diǎn)Q,設(shè)直線PQ的斜率為k,直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,
問: + 是不是定值 若是,求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
解題思路 (1)設(shè)所求橢圓方程為 + =1(a>b>0).
在Rt△BF1F2中,|BF2|= = =5.
由橢圓的定義知|BF1|+|BF2|=8=2a,
所以a=4,
所以b= = =2 ,
所以所求橢圓的方程為 + =1.
(2)易得F1(-2,0),F2(2,0).
①假設(shè)存在m,使得P到F2和P到直線x=m的距離之比為定值.
設(shè)P(x0,y0),則|PF2|= ,
P到直線x=m的距離d=|m-x0|,
所以 =
=
= ,
所以當(dāng)m=8時(shí), 為定值 .
故存在m=8,使得P到F2和P到直線x=8的距離之比為定值 .
②設(shè)P(x',y'),
則k1= ,k2= ,
橢圓 + =1在點(diǎn)P(x',y')處的切線方程為 + =1,
所以橢圓在點(diǎn)P(x',y')處的切線的斜率為- .
設(shè)橢圓在P(x',y')處的切線為l,
由光學(xué)性質(zhì)可知直線PQ⊥l,
所以- ·k=-1,即k= .
所以 = · = ,
= · = ,
所以 + = + = .
思維升華
　　有關(guān)圓錐曲線的題目往往運(yùn)算量大,解法靈活多變,除了要掌握部分技巧外,更多的是要
關(guān)注通性通法,打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),這就要求我們應(yīng)科學(xué)有效地落實(shí)解題要求,深挖試題內(nèi)部的
隱含條件,按部就班地寫出文字說明,完善解答過程或演算步驟.熟練準(zhǔn)確的運(yùn)算也是完成數(shù)
學(xué)題目的基本要求,在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練,養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣.數(shù)學(xué)運(yùn)算
能力的養(yǎng)成不是一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的,要在思想上重視計(jì)算,行動(dòng)上落實(shí)計(jì)算,習(xí)慣上強(qiáng)化計(jì)
算.3.3.2　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
1.(多選題)已知拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6,則p的值可取為(　　)
A.1　　B.2　　C.9　　D.18
2.已知拋物線C:y2=2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)M(x0,3),點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)F的距離為3,則拋物線C的準(zhǔn)線方程為(　　)
A.x=-　　B.x=-3　　C.x=-1　　D.x=-2
3.等腰直角三角形AOB的三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線y2=2px(p>0)上,O為拋物線的頂點(diǎn),且OA⊥OB,則△AOB的面積是(　　)
A.8p2　　B.4p2　　C.2p2　　D.p2
4.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn),P為拋物線C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(多選題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A∈l,線段AF交拋物線C于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作l的垂線,垂足為H,若=3,則(　　)
A.||=　　　　B.||=4　　
C.||=3||　　　　D.||=4||
6.已知拋物線y2=8x,作拋物線的內(nèi)接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|,O為坐標(biāo)原點(diǎn).若焦點(diǎn)F是△OAB的重心,則△OAB的周長(zhǎng)為　　　　.
7.已知拋物線M:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,O為坐標(biāo)原點(diǎn),M的準(zhǔn)線為l,且與x軸相交于點(diǎn)B,A為M上的一點(diǎn),AO所在直線與直線l相交于C點(diǎn),若∠BOC=∠BCF,|AF|=6,則M的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　.
題組二　拋物線的焦點(diǎn)弦
8.已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F且斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3|BF|,則k=(　　)
A.　　B.±　　C.　　D.±
9.過拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),若直線l過點(diǎn)P(1,0),且|AB|=8,則拋物線C的準(zhǔn)線方程是(　　)
A.y=-3　　　　B.y=-2　　
C.y=-　　　　D.y=-1
10.(多選題)已知斜率為的直線l經(jīng)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限內(nèi)),與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)D,若|AB|=8,則以下結(jié)論正確的是(　　)
A.p=　　　　B.|AF|=6　　
C.|BD|=2|BF|　　　　D.F為AD的中點(diǎn)
11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),P(a,0)(a>0),Q為拋物線y2=x上任意一點(diǎn),且|PQ|≥|PO|恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　.
能力提升練
題組一　拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的最值問題
1.已知過拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點(diǎn),Q為AB的中點(diǎn),P為C上一點(diǎn),則|PF|+|PQ|的最小值為(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)過拋物線反射后,沿平行(或重合)于拋物線對(duì)稱軸的方向射出;反之,平行(或重合)于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,一束平行于x軸的光線沿直線l1從點(diǎn)P(m,n)(n2<4m)射入,經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A(x1,y1)反射后,再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)B(x2,y2)反射,最后沿直線l2射出,則直線l1與l2間的距離的最小值為(　　)
A.2　　B.4　　C.8　　D.16
3.定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A,B均在拋物線y2=x上移動(dòng),則AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值為　　　　,此時(shí)M的坐標(biāo)為　　　　.
4.已知直線l過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,過M作MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線,垂足為N,則+的最小值是　　　　.
題組二　拋物線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用
5.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓+=1的右焦點(diǎn)重合,斜率為k(k>0)的直線l經(jīng)過點(diǎn)F,且與C的交點(diǎn)為A,B.若|AF|=2|BF|,則直線l的斜率為(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
6.(多選題)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑的圓交x軸于M,N兩點(diǎn),設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q.若拋物線C上存在一點(diǎn)E(t,2)到焦點(diǎn)F的距離等于3.則下列說法正確的是(　　)
A.拋物線的方程是x2=2y
B.拋物線的準(zhǔn)線方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是
D.線段AB的長(zhǎng)的最小值是6
7.(多選題)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的下方),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.若|AB|=8,則AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4
B.弦AB的中點(diǎn)的軌跡為拋物線
C.若=3,則直線AB的斜率k=
D.4|AF|+|BF|≥9
8.一束光線從拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F射出,經(jīng)拋物線上一點(diǎn)B反射后,反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)A(5,4),若|AB|+|FB|=6,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　.
9.拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足·=0.設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的射影為N,則的最大值是　　　　.
答案與分層梯度式解析
3.3.2　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)　拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.BD 2.A 3.B 4.D 5.BC 8.D 9.D 10.BCD
1.BD　由拋物線y2=2px(p>0)可得準(zhǔn)線方程為x=-.設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),∴=2px1.
∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6,∴x1+=10,y1=±6,結(jié)合=2px1,解得x1=1,p=18或x1=9,p=2,即p的值可取為18,2.故選BD.
2.A　由已知得所以x0=,p=3,
故拋物線C的準(zhǔn)線方程為x=-=-,故選A.
3.B　不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,由拋物線的對(duì)稱性及題意可知kOA=1,故直線OA的方程為y=x,則A(2p,2p),B(2p,-2p),故S△AOB=×2p×4p=4p2.
4.D　易知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=-,由拋物線的定義得|PF|=xP+=4,解得xP=,所以|yP|==,所以△POF的面積S=|OF||yP|=.故選D.
5.BC　拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線l的方程為x=-1,
設(shè)準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M,如圖,
∵=3,∴由△ABH與△AFM相似得==,
易得|FM|=2,∴|BH|=×2=,即||=,故A錯(cuò)誤;
由拋物線的定義得|BF|=|BH|,∴|AF|=3|BF|=3|BH|=4,即||=4,||=3||,故B、C正確,D錯(cuò)誤.故選BC.
6.答案　2+4
解析　由|OA|=|OB|可知AB⊥x軸,設(shè)垂足為點(diǎn)M,A位于第一象限,如圖所示.
因?yàn)榻裹c(diǎn)F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.因?yàn)镕(2,0),所以|OM|=|OF|=3,所以M(3,0).故可設(shè)A(3,m)(m>0),將(3,m)代入y2=8x,得m2=24,所以m=2,所以A(3,2),B(3,-2),|OA|=|OB|=,
所以△OAB的周長(zhǎng)為2+4.
7.答案　y2=8x
解析　如圖,因?yàn)椤螧OC=∠BCF,∠OBC=∠CBF=90°,所以△OBC∽△CBF,則=,
因?yàn)閨OB|=,|BF|=p,
所以=,
解得|BC|=p(負(fù)值舍去),
所以tan∠AOF=tan∠COB==,即直線OA的斜率為,故直線OA的方程為y=x,與拋物線方程聯(lián)立,得解得或故A(p,p),
所以|AF|=xA+==6,故p=4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.
8.D　當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí),過點(diǎn)A,B分別向準(zhǔn)線作垂線,垂足為M,N,作BC⊥AM,垂足為C,圖略,則BN∥AM∥x軸,設(shè)|BF|=t(t>0),則|AF|=3t,|AB|=4t,由拋物線的定義得|BN|=|BF|=t,|AM|=|AF|=3t,則有|AC|=2t,易知∠BAC等于直線AB的傾斜角,其正切值即為k,又|AC|=|AB|,∴∠ABC=30°,∴∠BAC=60°,于是直線l的傾斜角為60°,故其斜率k=.當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí),根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得斜率k=-.故選D.
9.D　因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F,P(1,0),所以其斜率kPF==-,所以直線l的方程為y=-(x-1),
由消去y,整理可得x2+p2x-p2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-p2,x1x2=-p2,則y1+y2=-(x1+x2-2)=-(-p2-2)=+p,由拋物線的定義可得|AB|=y1+y2+p=+p+p=8,即p3+4p-16=0,即(p-2)(p2+2p+8)=0(小技巧:對(duì)p3+4p-16降次分解的方法為p3-23+4(p-2)=(p-2)(p2+2p+4)+4(p-2)=(p-2)(p2+2p+8)),解得p=2,
所以拋物線C的準(zhǔn)線方程為y=-=-1.故選D.
(速解:解決選擇題,可直接將各選項(xiàng)中的p值代入方程進(jìn)行檢驗(yàn))
知識(shí)積累　過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線與它交于兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則①y1y2=-p2,x1x2=;②|AB|=x1+x2+p;③+=.
10.BCD　過點(diǎn)A,B作拋物線C的準(zhǔn)線(記為m)的垂線,垂足分別為點(diǎn)E,M,如圖.
設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線m交x軸于點(diǎn)P,則|PF|=p,
∵直線l的斜率為,∴其傾斜角為60°,∵AE∥x軸,∴∠EAF=60°,連接EF,由拋物線的定義可知,|AE|=|AF|,則△AEF為等邊三角形,∴∠EFP=∠AEF=∠AFE=60°,則∠PEF=30°,∵∠EAF=60°,∴∠EDA=30°,設(shè)|BD|=x,可得|BM|=,∴|BF|=|BM|=,易得Rt△DBM∽R(shí)t△DAE,則=,∴|AE|=4+,∴|AF|=|AE|=4+,則|AB|=|AF|+|BF|=4++=4+x=8,解得x=4,∴|BF|=2,|AF|=6,∴B正確.
易得P為ED的中點(diǎn),由|AF|=|EF|=2|PF|=2p=6,得p=3,∴A錯(cuò)誤.
|BD|=x=4,|BF|==2,故|BD|=2|BF|,∴C正確.
|DF|=|BD|+|BF|=4+2=6=|AF|,∴D正確.
故選BCD.
11.答案　
解析　設(shè)Q(x0,y0),則=x0.
因?yàn)閨PQ|≥|PO|恒成立,所以=≥a2,即-2ax0+x0=x0(x0-2a+1)≥0,
因?yàn)閤0≥0,所以有x0-2a+1≥0,
故a≤恒成立,故a≤=,
又a>0,所以a的取值范圍是.
能力提升練
1.B 2.B 5.D 6.BC 7.BCD
1.B　易知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為x=-,直線AB的方程為y=,聯(lián)立消去y并整理,得12x2-20x+3=0,
不妨設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1>y2,則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=,
則線段AB的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)xQ==,
在拋物線C上任取一點(diǎn)P,過P作準(zhǔn)線x=-的垂線,垂足為D,連接PF,PQ,DQ,過Q作準(zhǔn)線x=-的垂線,垂足為D',交拋物線于P',連接P'F,
則|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|≥|DQ|≥|QD'|=+=,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P'與點(diǎn)P重合時(shí),等號(hào)成立,
所以|PF|+|PQ|的最小值為.故選B.
2.B　由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知,直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),
設(shè)直線AB的方程為x=ty+1,將直線AB的方程代入y2=4x,得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,y1y2=-4,
故直線l1與l2間的距離d=|y1-y2|==≥4,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí),d取得最小值4.故選B.
3.答案　;
解析　設(shè)F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),l為其準(zhǔn)線,A,B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC,BD,C,D為垂足,點(diǎn)M到準(zhǔn)線的垂線為MN,N為垂足,如圖,則|MN|=(|AC|+|BD|),
根據(jù)拋物線的定義得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|,
∴|MN|=(|AF|+|BF|)≥=,
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則|MN|=x+,
∴x=|MN|-≥-=,當(dāng)且僅當(dāng)弦AB過點(diǎn)F時(shí)取等號(hào),
由于|AB|>2p=1,
∴弦AB可能過焦點(diǎn),即上述取等號(hào)的條件可以滿足,此時(shí)M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離最短,是,即AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
當(dāng)F在弦AB上時(shí),設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,則y1y2=-p2=-,從而(y1+y2)2=++2y1y2=x1+x2+2y1y2=2×-=2,∴y1+y2=±,
∴此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為.
4.答案　4
解析　由題意可知,直線l的斜率不為0,故可設(shè)直線l:x=my+1,另設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),
將x=my+1與y2=4x聯(lián)立,消去x可得y2-4my-4=0,
則y1+y2=4m,y1y2=-4,x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,
所以|AB|=x1+x2+p=4m2+2+2=4(1+m2),yM==2m,xM==1+2m2,故M(1+2m2,2m),
易得準(zhǔn)線方程為x=-1,F(1,0),N(-1,2m),
所以|NF|2=(1+1)2+(-2m)2=4(1+m2)=|AB|>4,
所以+=+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)=,即|AB|=8時(shí)取等號(hào).
5.D　因?yàn)闄E圓的方程為+=1,所以c2=25-16=9,即c=3,所以右焦點(diǎn)為(3,0),
因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=2px,所以拋物線的焦點(diǎn)為,所以=3,即p=6,所以拋物線的方程為y2=12x,所以直線l的方程為y=k(x-3),拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-3,易知橢圓的左焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上,記左焦點(diǎn)為F1,則|F1F|=6.
不妨設(shè)A位于第一象限,過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線x=-3的垂線,垂足為N,M,取AF的中點(diǎn)E,過E作準(zhǔn)線的垂線,垂足為H,如圖,
由|AF|=2|BF|,得|AB|=3|BF|,又E為AF的中點(diǎn),所以|AB|=|BE|,所以|FE|=|BF|,即F為BE的中點(diǎn),設(shè)|BF|=m,則|AF|=2m,|BM|=|BF|=m,|AN|=|AF|=2m,所以|EH|=3+m,
所以|F1F|==6,所以m=,所以B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,代入拋物線的方程可知B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3,所以B,把B點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線l的方程,得-3=k,即k=2,故選D.
6.BC　拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線方程為y=-,由點(diǎn)E(t,2)到焦點(diǎn)F的距離等于3,可得2+=3,解得p=2,則拋物線C的方程為x2=4y,所以A不正確.
拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1,所以B正確.
由題知直線l的斜率存在,F(0,1),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l的方程為y=kx+1,
由消去y得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2k,2k2+1),
又|AB|=y1+y2+p=4k2+2+2=4k2+4,
所以圓Q的半徑r=2k2+2,
在等腰三角形QMN中,sin∠QMN===1-≥1-=,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)取等號(hào),所以sin∠QMN的最小值為,所以C正確.
|AB|=4k2+4≥4,所以D不正確.故選BC.
7.BCD　由拋物線的方程可得焦點(diǎn)為F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y1<0.
A中,由拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8,所以x1+x2=6,
所以AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離d=(x1+x2)=3,故A不正確;
B中,由題可設(shè)直線AB的方程為x=my+1,弦AB的中點(diǎn)為(x0,y0),
由消去x得y2-4my-4=0,
則Δ=16m2+16>0,y1+y2=4m,y0=2m,x0=my0+1=2m2+1,故=2x0-2,即弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為y2=2x-2,易知此軌跡為拋物線,故B正確;
C中,設(shè)直線AB交準(zhǔn)線于Q,分別過A,B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,B1,如圖,
設(shè)|FA|=|AA1|=t,|AQ|=s,則|FB|=|BB1|=3t,
易知△QAA1∽△QBB1,所以=,
則=,解得s=2t,故∠A1AQ=60°,
故直線AB的斜率k=tan 60°=,故C正確;
D中,由拋物線的定義知|AF|=x1+=x1+1,|BF|=x2+=x2+1,
又x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,
+=+===1,
所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即|BF|=2|AF|時(shí)取得等號(hào),故D正確.
故選BCD.
8.答案　y2=4x
解析　拋物線具有光學(xué)性質(zhì),即從焦點(diǎn)出發(fā)的光線經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后,反射光線會(huì)沿平行(或重合)于拋物線對(duì)稱軸的方向射出,∵|AB|+|FB|=6,∴xA-xB+xB+=6,即5+=6,∴p=2,∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.
9.答案　
解析　如圖,過A點(diǎn)作AC⊥l,垂足為C,過B作BD⊥l,垂足為D,
設(shè)|AF|=m,|BF|=n,則由拋物線的定義知|BD|=|BF|=n,|AC|=|AF|=m,由題意知|MN|=(|BD|+|AC|)=(n+m),因?yàn)椤?0,所以AF⊥BF,則|AB|2=|AF|2+|BF|2=m2+n2,又m2+n2≥,當(dāng)且僅當(dāng)m=n,即|AF|=|BF|時(shí)等號(hào)成立,所以|AB|2≥2|MN|2,即≤,所以≤.故答案為.
7

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