資源簡(jiǎn)介

(共14張PPT)
1.1 空間向量及其運(yùn)算
知識(shí) 清單破
1.1.1　空間向量及其運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn) 1 空間向量的概念
名稱 定義
空間向量 空間中既有大小又有方向的量稱為空間向量(簡(jiǎn)稱為向量),空間向量的大小稱為向量的模(或長(zhǎng)度)
單位向量 模等于1的向量
零向量 始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量,規(guī)定零向量與任意向量平行
相等向量 大小相等、方向相同的向量
相反向量 大小相等、方向相反的向量
平行(共 線)向量 如果兩個(gè)非零向量的方向相同或者相反,那么稱這兩個(gè)向量平行(共線)
共面向量 對(duì)于空間中的多個(gè)向量,如果表示它們的有向線段通過(guò)平移之后,都能在同一平面內(nèi),則稱這些向量共面
知識(shí)點(diǎn) 2 空間向量的線性運(yùn)算
空間向 量的線 性運(yùn)算 加法 三角形法則:a+b= + = ; 平行四邊形法則:a+b= + =
減法 三角形法則:a-b= - = 數(shù)乘 (1)當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí),λa的模為|λ||a|,而且λa的方向: ①當(dāng)λ>0時(shí),與a的方向相同; ②當(dāng)λ<0時(shí),與a的方向相反. (2)當(dāng)λ=0或a=0時(shí),λa=0 運(yùn)算律 (λ,μ ∈R) 交換律 a+b=b+a
結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c),λ(μa)=(λμ)a
分配律 (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb
知識(shí)點(diǎn) 3 空間向量的數(shù)量積
1.向量的數(shù)量積
兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積)定義為a·b=|a||b|cos,其中為a與b的夾角,
范圍為[0,π].
　　規(guī)定零向量與任意向量的數(shù)量積為0.
2.空間向量數(shù)量積的幾何意義
兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義與投影有關(guān).一般地,給定空間向量a和空間中的直線l(或平面α),
過(guò)a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別作直線l(或平面α)的垂線,假設(shè)垂足為A,B,則向量 稱為a在直線l(或
平面α)上的投影.
a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影a'的數(shù)量與b的長(zhǎng)度的乘積,即向量a在向量b上的投影的數(shù)
量為 =|a|cos.
3.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)
(1)a⊥b a·b=0;
(2)a·a=|a|2=a2;
(3)|a·b|≤|a||b|;
(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);
(5)a·b=b·a(交換律);
(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
知識(shí)辨析 判斷正誤，正確的畫(huà)“ √” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ” .
1.若兩個(gè)向量是共線向量,則表示這兩個(gè)向量的有向線段必在同一條直線上. (　 )

表示這兩個(gè)向量的有向線段所在的直線平行或重合.
提示
2.向量a,b,c共面,即表示這三個(gè)向量的有向線段所在的直線共面. (　 )
提示
向量共面時(shí),向量所在的直線不一定共面,只有這些向量都過(guò)同一點(diǎn)時(shí),向量所在的直線才共面.

3.對(duì)于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=(b·c)·a. (　 )

向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法的結(jié)合律,(a·b)·c與c共線,(b·c)·a與a共線,但c與a不一定共
線.
提示
4.若a,b,c為非零向量,|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|. (　 )
提示

|a·c|=|a||c||cos θ|,其中θ是向量a和c的夾角,|b·c|=|b||c|·|cos α|,其中α是向量b和c的夾角,而
|cos θ|和|cos α|不一定相等,故錯(cuò)誤.
疑難 情境破
疑難 向量的數(shù)量積
1.求兩個(gè)向量的數(shù)量積的方法
(1)當(dāng)所求數(shù)量積中兩向量的夾角和模已知時(shí),直接利用a·b=|a||b|cos求解.
(2)當(dāng)所求數(shù)量積中兩向量的夾角和模未知,但其他向量的模和夾角已知時(shí),將所求數(shù)量積中
兩向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式,再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律展開(kāi),轉(zhuǎn)化成已
知模和夾角的向量的數(shù)量積.
(3)利用向量數(shù)量積的幾何意義求解.
講解分析
2.向量數(shù)量積的應(yīng)用
(1)利用數(shù)量積求向量的夾角(或夾角的余弦值):可利用cos= 求兩個(gè)向量的夾角(或
夾角的余弦值).若a·b>0,則∈ ;若a·b=0,則= ;若a·b<0,則∈ .
(2)利用數(shù)量積求向量的模:求向量的模時(shí),一般將此向量表示為已知的幾個(gè)向量的和或差的
形式,求出已知向量?jī)蓛芍g的夾角以及它們的模,利用公式|a|= (推廣公式:|a±b|=
= )求解即可.
典例 如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,F,G分別是AB,
AD,CD的中點(diǎn).
(1)求 · ;
(2)求| |;
(3)求cos< , >.

解析 (1)因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以 = ,所以 · = · = | || | cos 120°
=- .
(2)連接BG.由題意得 = + = + ( + )= ( + - ),所以| |2= ( + - )2= ×
( + + +2 · -2 · -2 · )= × 12+12+12+2×1×1× -2×1×1× -2×1×1×
= ,所以| |= .
(3)由題意得 = ( + ), = + = - ,
所以 · = ( + )· = · - + · - · = ×1×1× - +
×1×1× - ×1×1× =- ,| |2= ( + )2= ( + +2 · )= ×(1+1+1)= ,| |2=
= - · + = -1×1× +1= ,
所以| |= ,| |= ,
所以cos< , >= = =- .第一章　空間向量與立體幾何
1.1　空間向量及其運(yùn)算
1.1.1　空間向量及其運(yùn)算
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　空間向量的概念
1.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.|
C.向量共線　　　　D.向量共面
2.下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法正確的是(　　)
A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量
B.任意兩個(gè)空間向量總是共面的
C.零向量沒(méi)有方向
D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等
3.下列說(shuō)法正確的是(　　)
A.將空間中所有的單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
B.若空間向量a,b滿足|a|=|b|,則a=b
C.若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p
D.若a與b共線,b與c共線,則a與c共線
題組二　空間向量的線性運(yùn)算
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式的運(yùn)算結(jié)果為向量的是(　　)
①
.
A.①②　　　　B.②③　　　　C.③④　　　　D.①④
5.已知四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且,則四邊形ABCD是(　　)
A.空間四邊形　　　　B.平行四邊形
C.等腰梯形　　　　 D.矩形
6.如圖所示,在空間四邊形OABC中,=a,=b,=c,點(diǎn)M在OA上,且,N為BC的中點(diǎn),則=(　　)
A.a-b+c　　　　B.-a+b+c
C.a+b-c　　　　D.a+b-c
7.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,
=a,=b,=c,點(diǎn)P在A1C上,且A1P∶PC=2∶3,則=(　　)
A.a+b+c　　　　 B.a+b+c
C.-a+b+c　　　　D.a-b-c
8.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算,其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1C1,BB1的中點(diǎn),G是MN的中點(diǎn),若,則x+y+z=(　　)
A.1　　　　B.
9.在四面體O-ABC中,=a,
=b,=c,G為△ABC的重心,點(diǎn)M在線段OC上,且OM=2MC,則=(　　)
A.a+b-c　　　　 B.a+b+c
C.-a+b+c　　　　D.a-b+c
題組三　空間向量的數(shù)量積
10.如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1,F,G分別是AD,CD的中點(diǎn),則=
(　　)
A.
11.已知空間向量a,b,若|a|=1,|b|=2,
c=a+b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為(　　)
A.30°　　　　 B.60°　　　　
C.120°　　　　D.150°
12.已知|a|=2,|b|=3,=
60°,則|2a-3b|等于(　　)
A.　　　　B.97　　　　
C.　　　　D.61
13.已知|a|=1,|b|=,a與b的夾角為45°,若c=a+b,d=a-b,則c在d上的投影數(shù)量為(　　)
A.　　　　C.1　　　　D.-1
14.在三棱錐P-ABC中,PA=8,AB=6,
AC=4,BC=5,∠PAC=45°,∠PAB=60°,則向量的夾角的余弦值是(　　)
A.　　　　
C.　　　　D.0
15.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABCD是正方形,AA1=5,AB=2,∠A1AB=∠A1AD=60°,則BD1的長(zhǎng)為(　　)
A.　　　　B.7　　　　
C.6　　　　 D.
16.在空間四邊形ABCD中,=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.不確定
17.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,=135°,m⊥n,則λ=　　　　.
18.已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120°,當(dāng)a+2b與ka-b的夾角為鈍角時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍為　　　　.
能力提升練
題組　空間向量的數(shù)量積
1.在三棱錐A-BCD中,AD⊥AB,AD⊥AC,給出下列結(jié)論:
①;
②若∠BAC是銳角,則>0;
③若∠BAC是鈍角,則∠BDC是鈍角;
④若||且||,則∠BDC是銳角.
其中正確結(jié)論的序號(hào)為(　　)
A.①②④　　　　B.①④　　　　C.②③　　　　D.②④
2.若空間向量e1,e2滿足|e1|=|2e1
+e2|=3,則e1在e2上的投影數(shù)量的最大值是(　　)
A.3　　　　B.0　　　　C.-
3.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)P是四邊形A1B1C1D1的內(nèi)切圓上一點(diǎn),O為四邊形ABCD的中心,則的最大值為(　　)
A.5　　　　 B.6　　　　
C.5+
4.如圖所示,在平面角為120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分別為A,B,
AC=AB=BD=6,則||=　　　　.
5.如圖,在△ABC和△AEF中,B是EF的中點(diǎn),AB=2,EF=4,CA=CB=3.若=7,則的夾角的余弦值為　　　　.
6.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,∠A1AD=∠A1AB=∠BAD=60°,AB=AD=2,AA1=1,P為線段BC的中點(diǎn).
(1)求||;
(2)求夾角的余弦值.
答案與分層梯度式解析
第一章　空間向量與立體幾何
1.1　空間向量及其運(yùn)算
1.1.1　空間向量及其運(yùn)算
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.C
9.A 10.B 11.C 12.C 13.D 14.B 15.D 16.B
1.D　的長(zhǎng)度相等,方向相反,故,A錯(cuò)誤;無(wú)法確定||與||的大小關(guān)系,故B錯(cuò)誤;不是共線向量,但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C錯(cuò)誤,D正確.
2.B　大小相等,方向相反的向量是相反向量,故A中說(shuō)法錯(cuò)誤;零向量的方向是任意的,故C中說(shuō)法錯(cuò)誤;不相等的兩個(gè)空間向量的模可以相等,如相反向量,故D中說(shuō)法錯(cuò)誤.故選B.
3.C　將空間中所有的單位向量的起點(diǎn)平移到同一個(gè)點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面,故A中說(shuō)法錯(cuò)誤;兩個(gè)向量相等不僅要保證模相等,還要保證方向相同,但a與b的方向不一定相同,故B中說(shuō)法錯(cuò)誤;向量的相等具有傳遞性,故C中說(shuō)法正確;向量的平行不具有傳遞性,若b=0,則a與b共線,b與c共線,但a與c不一定共線,故D中說(shuō)法錯(cuò)誤.
4.C　,①不符合;,②不符合;,③符合;,④符合.故選C.
5.B　由已知可得,由相等向量的定義可知,四邊形ABCD的一組對(duì)邊平行且相等,所以四邊形ABCD是平行四邊形,無(wú)法判斷其是不是矩形.故選B.
6.B　連接ON,則,又=a,=b,=c,∴+-.故選B.
7.B　連接AC.因?yàn)锳1P∶PC=2∶3,所以,所以,又=a,=b,=c,所以++.故選B.
8.C　連接AM,AN. ∵G是MN的中點(diǎn),∴.故選C.
9.A　如圖,因?yàn)镚為△ABC的重心,所以.因?yàn)镺M=2MC,所以,所以+-.故選A.
10.B　由題意得,所以×1×1×cos 60°=.故選B.
11.C　設(shè)向量a與b的夾角為θ.∵c⊥a,∴c·a=(a+b)·a=0,則
|a|2+|a||b|cos θ=0,∴cos θ=-,∴θ=120°.
12.C　|2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2 =4×22-12×2×3×cos 60°+9×32=61,∴|2a-3b|=.
13.D　由題意得a·b=1××cos 45°=1,|d|==1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d 上的投影數(shù)量為=
-1.故選D.
14.B　設(shè)向量的夾角為θ.易得)·|·||cos 45°-||·||cos 60°=4×8×-24,所以cos θ=.故選B.
15.D　連接AD1,則,所以
=33,所以|.故選D.
16.B　令=a,=b,=c,則=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
17.答案　-
解析　由m⊥n得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+(1+λ)a·b+λb2=0,
∴18+(λ+1)×3×4cos 135°+16λ=0,即2λ+3=0,∴λ=-.
18.答案　k>-7且k≠-
解析　由題意得(a+2b)·(ka-b)=ka2+(2k-1)a·b-2b2=16k+(2k-1)×4×8×cos 120°-128=-16k-112<0,解得k>-7.
又當(dāng)k=-時(shí),a+2b與ka-b反向共線,
∴k>-7且k≠-.
名師點(diǎn)睛　兩向量a,b的夾角為銳角時(shí),a·b>0,但a·b>0時(shí),a,b的夾角為銳角或零角;兩向量a,b的夾角為鈍角時(shí),a·b<0,但a·b
<0時(shí),a,b的夾角為鈍角或平角.故在實(shí)際解題中,要考慮兩向量同向、反向的情形.
能力提升練
1.D 2.C 3.C
1.D　因?yàn)锳D⊥AB,AD⊥AC,所以=0.
對(duì)于①,)·(
,故①錯(cuò)誤;
對(duì)于②,若∠BAC是銳角,則>0,所以)·
>0,故②正確;
對(duì)于③,設(shè)AB=AC=AD=1,∠BAC=120°,則>0,此時(shí)∠BDC是銳角,故③錯(cuò)誤;
對(duì)于④,若||且||,則|·||cos∠BAC>||·||·||cos∠BAC
=||·||(1+cos∠BAC),因?yàn)椤螧AC∈(0,π),所以||·
(1+cos∠BAC)>0,即>0,所以∠BDC是銳角,故④正確.
故選D.
2.C　設(shè)向量e1,e2的夾角為θ,
則e1在e2上的投影數(shù)量為|e1|cos θ.
因?yàn)閨e1|=|2e1+e2|=3,所以|e2|2+4|e1|2+4|e1||e2|·cos θ=9,即|e2|2+12|e2|cos θ+27=0,易知|e2|≠0,所以cos θ=-,所以|e1|cos θ=-≤-2,當(dāng)且僅當(dāng),即|e2|=3時(shí),等號(hào)成立,所以e1在e2上的投影數(shù)量的最大值為-.故選C.
3.C　設(shè)正方形A1B1C1D1的中心為O1,連接OO1,DO,O1B1,O1P,如圖所示.
易得,OO1⊥平面ABCD,OO1⊥平面A1B1C1D1,∴OO1⊥O1B1,OO1⊥O1P,∴
=0.
∴)·()
=
=0+22+0+|>+0+1
=5+>.
∵<>∈[0,π],∴cos<>∈[-1,1],
∴(.故選C.
4.答案　12
解析　∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴=0.
∵二面角α-AB-β的平面角為120°,
∴<>=180°-120°=60°.
∴=3×62+2×62×cos 60°=144,
∴||=12.
5.答案　
解析　由題意得=9,所以=2.由=7,可得·(·(·(-·(=7,所以=2,即4×3×cos<>=2,所以cos<.
6.解析　(1)連接AP,AD1,則,
∴|.
(2)由(1)知,.
∵,
∴)·.
1

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