資源簡介

(共15張PPT)
知識 清單破
1.1.3　空間向量的坐標與空間直角坐標系
知識點 1 空間向量的坐標與運算
1.空間向量的坐標
如果空間向量的基底{e1,e2,e3}中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基
底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p=xe1
+ye2+ze3,則稱有序實數組(x,y,z)為向量p的坐標,記作p=(x,y,z),其中x,y,z都稱為p的坐標分量.
名稱 坐標表示
線性運算 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
λa=(λa1,λa2,λa3)
數量積 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
模 |a|= =
夾角 cos= = (a≠0,b≠0)
2.空間向量坐標的運算
設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R.
平行 a∥b(a≠0) b=λa b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3;當a的每一個坐標分量都不為零時,a∥b = =
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
知識點 2 空間直角坐標系
1.空間直角坐標系
在空間中任意選定一點O作為坐標原點,選擇合適的平面先建立平面直角坐標系xOy,然后過
O作一條與xOy平面垂直的數軸z軸,這樣建立的空間直角坐標系記作Oxyz.
2.相關概念
在空間直角坐標系Oxyz中,x軸、y軸、z軸是兩兩互相垂直的,它們都稱為坐標軸;通過每兩個
坐標軸的平面都稱為坐標平面,分別記為xOy平面、yOz平面、zOx平面,它們把空間分成八個
部分,如圖所示.

　　注意:在平面內畫空間直角坐標系Oxyz時,一般把x軸、y軸畫成水平放置,x軸正方向與y
軸正方向夾角為135°(或45°),z軸與y軸(或x軸)垂直.
3.空間直角坐標系下點的坐標
空間一點M的位置完全由有序實數組(x,y,z)確定,因此將(x,y,z)稱為點M的坐標,記作M(x,y,z).
此時,x,y,z都稱為點M的坐標分量,且x稱為點M的橫坐標(或x坐標),y稱為點M的縱坐標(或y坐
標),z稱為點M的豎坐標(或z坐標).
知識拓展 空間直角坐標系中對稱點的問題常常用“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相
反”這個結論來解決.
(1)點(a,b,c)關于原點O的對稱點為(-a,-b,-c);
(2)點(a,b,c)關于x軸的對稱點為(a,-b,-c);
(3)點(a,b,c)關于y軸的對稱點為(-a,b,-c);
(4)點(a,b,c)關于z軸的對稱點為(-a,-b,c);
(5)點(a,b,c)關于xOy平面的對稱點為(a,b,-c);
(6)點(a,b,c)關于yOz平面的對稱點為(-a,b,c);
(7)點(a,b,c)關于zOx平面的對稱點為(a,-b,c).
知識點 3 空間向量坐標的應用
1.兩點之間的距離公式
設P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空間直角坐標系中的兩點,O是坐標原點,則 = - =(x2-x1,y2-y1,
z2-z1),所以P1P2=| |= .
2.中點坐標公式
已知空間直角坐標系中的兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),則線段P1P2的中點的坐標為
.
知識拓展 已知△ABC的三個頂點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC重心的坐標為
.
在這里要強調b的每一個坐標分量都不為0.
提示
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)(b≠0),則a∥b的充要條件是 = = . (　 )

2.空間向量 的坐標就是點P的坐標.(　 )

提示
當O為坐標原點時,向量 的坐標才是點P的坐標.
3.點(2,1,3)關于xOy平面的對稱點為(-2,-1,3). (　 )

提示
根據“關于誰對稱,誰保持不變,其余坐標相反”知,對稱點為(2,1,-3).
4.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量 與 的夾角為60°. (　 )
提示
由已知得 =(0,3,3), =(-1,1,0),所以cos< , >= = ,故< , >=60°.
√
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用空間向量的坐標運算解決空間平行、垂直問題
1.與向量坐標有關的平行、垂直問題主要有兩種類型:一是判定平行或垂直;二是已知平行
或垂直求參數.
2.利用空間向量的坐標運算解決空間平行、垂直問題的一般步驟:
(1)建立適當的空間直角坐標系,寫出相關點的坐標;
(2)求出相關向量的坐標;
(3)設a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),利用“a∥b(a≠0) b=λa(λ∈R) b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3”“a⊥b
a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0”建立關系;
(4)得出結論.
典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,G,H分別是CC1,CD,A1C1的中點.
(1)求證: ∥ , ⊥ ;
(2)若點M在線段AC1上,且 ⊥ ,求點M的坐標.

解析 以A為坐標原點,{ , , }為單位正交基底建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),B(1,0,
0),B1(1,0,1),C1(1,1,1),E ,G ,H .

(1)證明: =(1,0,1), = , = .因為 =2 , · =1× +0+1× =
0,所以 ∥ , ⊥ .
(2)設M(x,y,z),則 =(x,y,z), =(x-1,y,z).易知 =(1,1,1).
由 ⊥ ,得 · =0,即x-1+y+z=0.①
因為點M在AC1上,所以設 =μ (0≤μ≤1),得x=μ,y=μ,z=μ.②
由①②得μ= ,
所以x= ,y= ,z= .
所以點M的坐標為 .
利用空間向量的坐標運算求夾角或線段長度的步驟
(1)建立適當的空間直角坐標系,寫出相關點的坐標;
(2)求出相關向量的坐標;
(3)利用向量數量積的坐標公式求兩向量的夾角,利用兩點之間的距離公式求線段的長度.
疑難 2 利用空間向量的坐標運算求夾角和長度
講解分析
典例 在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是DD1,BD的中點,點G在棱CD上,且CG=
CD,H是C1G的中點.
(1)求 與 夾角的余弦值;
(2)求FH的長.
解析 如圖所示,以{ , , }為單位正交基底建立空間直角坐標系Dxyz,

則E ,F ,C1(0,1,1),G ,H .
(1) = , = ,
∴| |= ,| |= , · = ,
∴cos< , >= = .
(2)FH= = .1.1.3　空間向量的坐標與空間直角坐標系
基礎過關練
題組一　空間向量的坐標
1.已知{e1,e2,e3}是單位正交基底,下列說法正確的是(　　)
A.若p=2e1-e2+3e3,則p=(2,1,3)
B.若q=-e1+2e2,則q=(-1,2)
C.若r=e1+3e2-e3,則r=(1,3,-1)
D.若s=-3e2,則s=(0,0,-3)
2.已知{a,b,c}是空間向量的一組基底,{a+b,a-b,c}是空間向量的另外一組基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐標為(1,2,3),則向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(　　)
A.
C.
題組二　空間向量坐標的運算
3.已知向量a=(1,-2,1),b=(1,0,2),則a-b=(　　)
A.(2,-2,3)　　　　B.(-2,2,-3)
C.(0,2,1)　　　　 D.(0,-2,-1)
4.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a與b的夾角為鈍角,則實數x的取值范圍是(　　)
A.x>4　　　　B.x<-4　　　　C.05.已知點A(2,2,7),B(-2,4,3),若,則點C的坐標為(　　)
A.(2,-1,2)　　　　B.(-2,1,-2)
C.(0,3,2)　　　　 D.(0,3,5)
6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,
-2),c=(4,5,λ),若a,b,c共面,則實數λ的值為(　　)
A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3
題組三　利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直問題
7.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),則k的值為(　　)
A.
8.已知向量a=(1,-1,3),b=(2,2,3),
c=(m,2,n),且(a+b)∥c,則m+n=　　　　.
9.已知空間中三點A(2,1,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),設a=,b=.
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c的坐標;
(2)已知向量ka+b與b互相垂直,求實數k的值.
題組四　利用空間向量的坐標運算解決夾角、模(長度)問題
10.已知a=(1-t,2t-1,0),b=(3,2t-2,2),則|b-a|的最小值為(　　)
A.　　　　C.6　　　　D.5
11.已知空間中三點A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,
-4,6),若向量的夾角為60°,則實數m=(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.-2
12.若空間向量a=(3,0,4),b=(-3,2,
5),則向量b在向量a上的投影數量為　　　　.
13.已知點A(0,1,2),
B(1,-1,3),C(1,5,-1).
(1)若D為線段BC的中點,求||;
(2)若=(2,a,1),且=1,求實數a的值及向量夾角的余弦值.
題組五　空間直角坐標系及其應用
14.(多選題)在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,以空間中某個點作為坐標原點建立空間直角坐標系,則
B,D1的坐標可能為(　　)
A.(0,0,4),(4,4,2)
B.(0,4,0),(-4,0,4)
C.(2,2,0),(-2,-2,2)
D.(2,2,-2),(-2,-2,2)
15.(多選題)在空間直角坐標系中,O為坐標原點,點P的坐標為(2,-2,1),則(　　)
A.點P到點O的距離是3
B.點P關于x軸對稱的點的坐標是(-2,-2,1)
C.點P關于點(1,1,1)對稱的點的坐標是(2,1,3)
D.點P關于xOy平面對稱的點的坐標是(2,-2,-1)
16.已知點B是點A(1,2,3)在坐標平面xOy內的射影,則||=　　　　.
17.在三棱錐P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分別是PC,AC的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則線段MN的中點的坐標為　　　　.
18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,點O,O1分別是AC,A1C1的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求正三棱柱的側棱長;
(2)求夾角的余弦值.
能力提升練
題組一　空間向量坐標的應用
1.(多選題)已知空間中三個向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),則下列說法正確的是(　　)
A.a與c是共線向量
B.與a同向的單位向量是
C.c在a上的投影是(-1,-2,0)
D.a與b的夾角為90°
2.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,
-2,z),若a∥b,b⊥c,則a+c與b+c夾角的余弦值為(　　)
A.-
3.在空間直角坐標系中,O(0,0,0),E(2,0),B為EF的中點,C為空間中一點且滿足||=3,若cos<,則=(　　)
A.9　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.3
4.已知O為坐標原點,向量=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當取得最小值時,點Q的坐標為(　　)
A.
C.
5已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb與2a+b所成的角為銳角,則實數k的取值范圍為　　　　　　.
6.已知空間向量
=(1,1,2),則以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為　　　　.
7.已知空間直角坐標系中四個點A(1,1,1),B(1,2,3),C(4,5,6),D(7,8,x).
(1)求||;
(2)若,求x的值;
(3)若點D在平面ABC內,直接寫出x的值.
題組二　空間直角坐標系的應用
8.三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點,(λ∈R),,若,則λ=
(　　)
A.
9.如圖,在三棱錐P-ABC中,△ABC為等邊三角形,△PAC為等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D為AB的中點,則夾角的余弦值為(　　)
A.-
10.如圖所示的幾何體由半圓柱體與直三棱柱構成,半圓柱體底面直徑BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D為半圓弧的中點,若cos<,則該幾何體的體積為(　　)
A.16+8π　　　　B.32+16π
C.32+8π　　　　D.16+16π
11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC
=,AB=AC=AA1=1,G,E分別為A1B1,CC1的中點,D,F分別為線段AC,AB上的動點(不包括端點),若,則的模的取值范圍為(　　)
A.
C.
12.(多選題)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,點P在側面BCC1B1上運動,并且總是保持AP⊥BD1,則下列結論正確的是(　　)
A.
B.點P必在線段B1C上
C.AP⊥BC1
D.AP∥平面A1C1D
13.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,側棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AA1=,E為線段AB上的一個動點,則|D1E|+|CE|的最小值為(　　)
A.2
14.如圖,以棱長為1的正方體的三條棱所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系Oxyz,點P在線段AB上,點Q在線段DC上.
(1)當PB=2AP,且點P關于y軸的對稱點為M時,求|PM|;
(2)當點P是AB的中點,點Q在DC上運動時,探究|PQ|的最小值.
答案與分層梯度式解析
1.1.3　空間向量的坐標與空間直角坐標系
基礎過關練
1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 10.B
11.B 14.BD 15.AD
1.C　由空間向量的坐標的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1,
3,-1),s=(0,-3,0).
2.B　依題意可知p=a+2b+3c.
設向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,
由空間向量基本定理可得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為.
3.D　由題意可得a-b=(1,-2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故選D.
4.B　由題意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共線,故選B.
5.D　由題意得=(-4,2,-4),所以=(-2,1,-2),所以C(0,3,5).故選D.
6.B　若a,b,c共面,則存在實數x,y,使c=xa+yb,即(4,5,λ)=x(2,
-1,3)+y(-1,4,-2),故故選B.
7.D　由題意得=(-3,2,-k).
∵∠C=90°,∴
.故選D.
8.答案　18
解析　由題意得a+b=(3,1,6).
因為(a+b)∥c,所以,解得m=6,n=12,所以m+n=18.
9.解析　(1)由題意得=(2,1,-2).
∵c∥,
∴設c=m=(2m,m,-2m),m∈R,
∴|c|==3|m|=3,∴m=±1,
故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).
(2)由題意得a==(-1,-2,0),b==(1,-1,-2),∴ka+b=(1-k,-1-2k,-2).
∵向量ka+b與b互相垂直,
∴(ka+b)·b=1-k+1+2k+4=0,解得k=-6.
10.B　由題意得b-a=(t+2,-1,2),所以|b-a|=,當且僅當t=-2時,等號成立,故|b-a|的最小值為.故選B.
11.B　∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6),
∴=(4-m,-4-m,6-m).
由題意得cos 60°==,
∴m2-4m+4=0,∴m=2.
12.答案　
解析　由題意得a·b=-9+0+20=11,|a|=5,所以向量b在向量a上的
投影數量為.
13.解析　(1)由題意得D(1,2,1),∴.
(2)易知=2-2a+1=1,解得a=1,
∴=(2,1,1),
∴cos<,
即向量.
14.BD　在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中,|BD1|=4.
對于A,|BD1|==6≠4;
對于B,|BD1|=;
對于C,|BD1|==6≠4;
對于D,|BD1|=.
故選BD.
15.AD　對于A,|OP|==3,故A正確;
對于B,點P關于x軸對稱的點的坐標是(-2,2,-1),故B錯誤;
對于C,設點P關于點(1,1,1)對稱的點的坐標是(x,y,z),則即對稱點的坐標為(0,4,1),故C錯誤;
對于D,點P關于xOy平面對稱的點的坐標是(2,-2,-1),故D正確.
故選AD.
16.答案　
解析　易得B(1,2,0),所以=(1,2,0),所以|.
17.答案　
解析　由題意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),所以線段MN的中點的坐標為.
18.解析　(1)設正三棱柱的側棱長為h.
由題意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),則,1,h).因為AB1⊥BC1,所以=
-3+1+h2=0,解得h=(負值舍去).故正三棱柱的側棱長為.
(2)由(1)可知,1,0),
所以|=2,
所以cos<.
能力提升練
1.BC 2.A 3.D 4.C 8.C 9.B 10.A 11.A
12.BD 13.B
1.BC　對于A,因為,所以a,c不共線,A錯誤;
對于B,與a同向的單位向量是,B正確;
對于C,c在a上的投影是|c|cos··a=-(1,2,0)=(-1,
-2,0),C正確;
對于D,因為a·b=3≠0,所以a,b不垂直,D錯誤.
故選BC.
2.A　因為a∥b,所以,解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1),
b=(-2,-4,-1).
因為b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2),
所以a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),
所以(a+c)·(b+c)=5-12+3=-4,|a+c|=,|b+c|=
.
所以cos=.故選A.
3.D　易得B(,0),設C(x,y,z),則,0).
由cos<=,
整理可得x-y=-①.
由||=3,得,化簡得x+y=②.
聯立①②,解得x=,則·(0,2,0)=3.故選D.
4.C　∵點Q在直線OP上運動,∴存在唯一的實數λ,使得=(λ,λ,2λ),
∴=(2-λ,1-λ,2-2λ),
∴=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2-
16λ+10=6,
當且僅當λ=時,上式取得最小值,
此時點Q的坐標為.故選C.
5.答案　
解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2).
由題意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共線,
∴1-k+2+4k>0,且不成立,解得k>-1且k≠,∴實數k的取值范圍為.
6.答案　
解析　因為=(1,1,2),
所以cos∠BAC=,
所以sin∠BAC=,
故以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的面積為||·||sin∠BAC=
.
7.解析　(1)易得=(3,4,5),所以|.
(2)由題意得=(3,3,x-6).
因為,所以=3+2x-12=2x-9=0,解得x=.
(3)由(1)(2)知=(3,4,5).
因為點D在平面ABC內,所以可設,
即(6,7,x-1)=(0,a,2a)+(3b,4b,5b)=(3b,a+4b,2a+5b),所以
8.C　如圖,以AB,AC,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系Axyz,
則A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴=(λ,0,0),則P(λ,0,1),又N,所以,所以=0,解得λ=.故選C.
9.B　取AC的中點O,連接OP,OB.
∵PA=PC,∴AC⊥OP.
∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP 平面PAC,∴OP⊥平面ABC.
∵AB=BC,∴AC⊥OB.
以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,
∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC為等邊三角形,
∴A(2,0),
∴),
∴cos<.
故選B.
10.A　如圖,設D在底面半圓上的射影為D1,連接AD1,交BC于點O,連接A1D,交B1C1于點O1.
依題意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分別是下底面、上底面半圓的圓心,則OA⊥OB,連接OO1,則OO1與上、下底面垂直,所以OO1⊥OB,OO1⊥OA.
以OB,OA,OO1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.設幾何體的高為h(h>0),則B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B1(2,0,h),所以=(2,-2,h).
所以cos<,即,所以h=4(負值舍去).所以幾何體的體積為×4×2×4=16+8π.故選A.
11.A　建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,
則G.設D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1),則.
∵=0,即-=0,即x+2y=1,又∵0∴0<1-2y<1,∴0|,∴當
y=時,|;當y=0時,||=1;當y=時,
|,故.
12.BD　∵點P在側面BCC1B1上運動,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴點P到平面AA1D1D的距離即為點C到平面AA1D1D的距離,即為正方體的棱長,∴·CD=,故A中結論錯誤.
以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1).設P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),則=(x-1,1,z).
∵AP⊥BD1,∴=1-x-1+z=0,∴x=z,
∴P(x,1,x),∴,即B1,P,C共線,∴點P必在線段B1C上,故B中結論正確.
易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=1-x+x=1,∴AP與BC1不垂直,故C中結論錯誤.
易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(1,0,1),又 (其中0≤x≤1),∴共面,又AP 平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中結論正確.
故選BD.
13.B　建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,
則D1(0,1,),C(1,1,0).
∵E為線段AB上的一個動點,
∴設E(t,0,0)(0≤t≤1),
則|D1E|=,
故問題轉化為求y=(0≤t≤1)的最小值,即轉化為求平面直角坐標系tOy中的一個動點P(t,0)到兩定點M(0,-2),
N(1,1)的距離之和的最小值問題,如圖所示:
由此可知,當M,P,N三點共線時,
,故.故選B.
14.解析　(1)由PB=2AP得P,
所以M,
所以|PM|=.
(2)由題意得P.設點Q(a,1,a),a∈[0,1],則|PQ|=,所以當a=時,|PQ|取得最小值,此時點Q的坐標為.
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