資源簡介

(共25張PPT)
1.2 空間向量在立體幾何中的應用
知識 清單破
1.2.1　空間中的點、直線與空間向量 1.2.2　空間中的平面與空間向量
知識點 1 空間中點、直線的向量表示及平面的法向量
1.點的位置向量
一般地,如果在空間中指定一點O,那么空間中任意一點P的位置,都可以由向量 唯一確定,
此時, 通常稱為點P的位置向量.
2.直線的方向向量
　　一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個非零向量,且表示v的有向線段所在
的直線與l平行或重合,則稱v為直線l的一個方向向量.此時,也稱向量v與直線l平行,記作v∥l.
3.平面的法向量
(1)平面的法向量的概念:如果α是空間中的一個平面,n是空間中的一個非零向量,且表示n的
有向線段所在的直線與平面α垂直,則稱n為平面α的一個法向量.此時,也稱n與平面α垂直,記
作n⊥α.
(2)求平面的法向量的步驟:
①設平面的一個法向量為n=(x,y,z);
②在平面內找兩個不共線向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(可以利用平面上點的坐標來求向量的
坐標)
③建立方程組
④解方程組:用一個未知量表示其他兩個未知量,然后對用來表示兩個未知量的未知量賦予
特殊值(不能取0,賦值時一般盡量保證x,y,z∈Z,這樣求得的法向量在后續解題運算中更為簡
便),從而得到平面的一個法向量.
知識點 2 空間中線面的位置關系
位置關系 向量表示
線線平行 設u1,u2分別是直線l1,l2的方向向量,則u1∥u2 l1∥l2或l1與l2重合
線面平行 設u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,則l∥α或l α u⊥n
面面平行 設n1,n2分別是平面α,β的法向量,則α∥β或α與β重合 n1∥n2
線線垂直 設直線l1,l2的方向向量分別為u1,u2,則l1⊥l2 u1⊥u2
線面垂直 設直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α u∥n
面面垂直 設平面α,β的法向量分別為n1,n2,則α⊥β n1⊥n2
設v1,v2分別是空間中直線l1,l2的方向向量,且l1與l2所成角的大小為θ,則θ=或θ=π-.
特別地,sin θ=sin,cos θ=|cos|.
注意:異面直線所成角的范圍為 .
知識點 3 空間中兩條直線所成的角
知識點 4 三垂線定理及其逆定理
1.三垂線定理
　　如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在該平面內的射影垂直,則它也和這條斜線垂
直.三垂線定理可表述為:設l為平面α的一條斜線,l'是l在平面α內的射影,直線a α,若a⊥l',則a
⊥l.
2.三垂線定理的逆定理
如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在該平面內的射影垂
直.三垂線定理的逆定理可表述為:設l為平面α的一條斜線,l'是l在平面α內的射影,直線a α,
若a⊥l,則a⊥l'.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.直線的方向向量是唯一的. (　 )

2.若兩條直線平行,則它們的方向向量的方向相同或相反. (　 )
√
3.若直線l⊥平面α,則l的方向向量一定是平面α的法向量. (　 )
√
4.若點A,B在平面α上,且 ∥ ,則直線CD與平面α平行. (　 )

提示
題目未說明直線CD在平面α外,所以有兩種可能,直線CD在平面α內或與平面α平行.
5.一條直線若垂直于斜線,則它必垂直于斜線在平面內的射影. (　 )

講解分析
疑難 情境破
疑難 1 利用空間向量解決平行問題
1.利用空間向量證明線線平行
(1)基底法:用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量,通過線性運算,證明方向向量共線
即可.
(2)坐標法:建立空間直角坐標系,利用直線的方向向量的坐標之間的線性關系進行證明.
2.利用空間向量證明線面平行
(1)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
(2)根據線面平行的判定定理,要證明一條直線和一個平面平行,只需在平面內找一個向量與
已知直線的方向向量是共線向量即可,需要特別說明的是已知直線不在平面內.
3.利用空間向量證明面面平行
(1)證明兩個平面的法向量平行.
(2)轉化為線面平行、線線平行來證明.
典例 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是CC1,B1C1的中點.求證:
(1)MN∥平面A1BD;
(2)平面A1BD∥平面CB1D1.

證明 如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,

設正方體的棱長為1,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),M ,N ,
∴ =(1,0,1), =(1,1,0), =(0,-1,1), =(1,1,0), = .
(1)證法一:設平面A1BD的一個法向量為n=(x,y,z),則
令x=1,則y=-1,z=-1,
∴平面A1BD的一個法向量為n=(1,-1,-1).
∵ ·n= ×1+0×(-1)+ ×(-1)=0,
∴ ⊥n.
又MN 平面A1BD,∴MN∥平面A1BD.
證法二:∵ = = (1,0,1)= ,
∴ ∥ .
又MN 平面A1BD,DA1 平面A1BD,
∴MN∥平面A1BD.
(2)設平面CB1D1的一個法向量為m=(x1,y1,z1),則
令y1=1,則x1=-1,z1=1,
∴平面CB1D1的一個法向量為m=(-1,1,1).
又平面A1BD的一個法向量為n=(1,-1,-1),
∴m=-n,∴m∥n,故平面A1BD∥平面CB1D1.
疑難 2 利用空間向量解決垂直問題
1.利用空間向量證明線線垂直只需證明兩直線的方向向量垂直即可.
2.利用空間向量證明線面垂直
(1)基底法:先用基底分別表示直線與平面內兩條相交直線的方向向量,然后利用直線的方向
向量與平面內兩條相交直線的方向向量的數量積分別為0得到線線垂直,從而得到線面垂直.
(2)坐標法:建立空間直角坐標系,證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
3.利用空間向量證明面面垂直
(1)利用兩個平面垂直的性質定理將面面垂直轉化為線面垂直,進而轉化為線線垂直.
(2)直接求解兩個平面的法向量,證明兩個平面的法向量垂直,從而得到兩個平面垂直.
典例1 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點,求證:EF⊥平面B1AC.

證明 證法一:設 =a, =c, =b,連接BD,則 = + = ( + )= ( + )=
( + - )= (-a+b+c).
∵ = + =a+b,∴ · = (-a+b+c)·(a+b)= (b2-a2+c·a+c·b)= (|b|2-|a|2+0+0)=0,∴
⊥ ,即EF⊥AB1.
同理可證EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1,AB1,B1C 平面B1AC,∴EF⊥平面B1AC.
證法二:設正方體的棱長為2a,建立空間直角坐標系,如圖,

則A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,2a,a),F(a,a,2a),∴ =(-a,-a,a), =(0,2a,2a), =(-2a,2a,0).
∵ · =-a×0+(-a)×2a+a×2a=0,
· =2a2-2a2+0=0,∴EF⊥AB1,EF⊥AC.
又AB1∩AC=A,AB1,AC 平面B1AC,
∴EF⊥平面B1AC.
典例2 如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,E為BB1的中點,證明:平
面AEC1⊥平面AA1C1C.

證明 由題意得BA,BC,BB1兩兩互相垂直.以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y
軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖,

則A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E ,∴ =(0,0,1), =(-2,2,0), =(-2,2,1), =
.
設平面AA1C1C的一個法向量為n=(x1,y1,z1),則 即
令x1=1,得y1=1,∴n=(1,1,0).
設平面AEC1的一個法向量為m=(x2,y2,z2),則 即
令z2=4,得x2=1,y2=-1,∴m=(1,-1,4).
∵n·m=1×1+1×(-1)+0×4=0,
∴n⊥m,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.
利用空間向量求異面直線所成的角(或夾角的余弦值)的方法
(1)坐標法:
①建立適當的空間直角坐標系,并寫出相應點的坐標;
②求出兩條異面直線的方向向量;
③利用公式cos= 求向量夾角的余弦值;
④將所求向量夾角的余弦值加上絕對值,得異面直線所成角的余弦值,進而求出異面直線所
成角的大小.
(2)基底法:在一些不適合建立坐標系的題目中,我們經常用基底法.在由公式cos=
疑難 3 利用空間向量求異面直線所成的角(或夾角的余弦值)
講解分析
求向量a,b的夾角時,一般是把a,b用一組基底表示出來,再求有關的量.
典例 直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則異面直
線BM與AN所成角的余弦值為 (　 )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
C
解析 以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖.

設BC=CA=CC1=2,則A(2,0,0),N(1,0,2),M(1,1,2),B(0,2,0),∴ =(-1,0,2), =(1,-1,2),
∴cos< , >= = = ,∴異面直線BM與AN所成角的余弦值為 .
疑難 4 利用空間向量解決立體幾何中與平行、垂直相關的探索性問題
講解分析
1.存在、判斷型
先假設存在,設出空間點的坐標,轉化為代數方程“是否有解”或“是否有規定范圍內的
解”的問題.若有解且滿足題意,則存在;若有解但不滿足題意或無解,則不存在.
2.位置探究型
借助向量,引入參數,綜合題目信息列關系式,解出參數,從而確定位置.
典例 如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點M,N分別在BB1,DD1上,且AM⊥A1B,AN⊥A1D.
(1)求證:A1C⊥平面AMN;
(2)當AB=2,AD=2,A1A=3時,問:在線段AA1上是否存在一點P,使得C1P∥平面AMN 若存在,試確
定點P的位置;若不存在,請說明理由.

解析 (1)證明:因為CB⊥平面AA1B1B,AM 平面AA1B1B,所以CB⊥AM.
又因為AM⊥A1B,A1B∩CB=B,
所以AM⊥平面A1BC,所以A1C⊥AM.
同理可證A1C⊥AN.
又AM∩AN=A,所以A1C⊥平面AMN.
(2)存在.
以C為坐標原點,CD所在直線為x軸,CB所在直線為y軸,CC1所在直線為z軸,建立空間直角坐標
系Cxyz,如圖.

因為AB=2,AD=2,A1A=3,所以C(0,0,0),A1(2,2,3),C1(0,0,3),所以 =(2,2,3).
由(1)知CA1⊥平面AMN,
故平面AMN的一個法向量為 =(2,2,3).
假設線段AA1上存在一點P(2,2,t)(0≤t≤3),使得C1P∥平面AMN,則 =(2,2,t-3).
因為C1P∥平面AMN,所以 ⊥ ,
所以 · =4+4+3t-9=0,解得t= ,所以P ,所以在線段AA1上存在一點P ,使得C1P∥平面AMN.1.2.2　空間中的平面與空間向量
基礎過關練
題組一　平面的法向量
1.(多選題)已知平面ABC內的兩個向量=(0,2,-2),則平面ABC的一個法向量可以是(　　)
A.(,1,1)
C.(-3,)
2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E為棱DD1的中點,以A為坐標原點建立空間直角坐標系(如圖),則平面ABE的一個法向量為(　　)
A.(1,0,-2)　　　　B.(0,1,2)
C.(0,2,-4)　　　　D.(-2,1,4)
3.已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=90°,AD∥BC,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,試建立空間直角坐標系,求平面SAB、平面SDC的一個法向量.
題組二　用法向量解決平行問題
4.已知兩個不重合的平面α與平面ABC,若平面α的一個法向量為n=(2,-3,1),向量=
(1,1,1),則(　　)
A.平面α∥平面ABC
B.平面α⊥平面ABC
C.平面α與平面ABC相交但不垂直
D.以上均有可能
5.已知n1=(1,y,-2),n2=(x,-2,1)分別是平面α,β的法向量,若α∥β,則x+y=(　　)
A.-　　　　
C.3　　　　 D.
6.已知n為平面α的一個法向量,l為一條直線,則“l⊥n”是“l∥α”的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,點N在線段AC上,點M在線段A1D上,且A1M=,MN∥平面AA1B1B,則MN的長為(　　)
A.　　　　
C.2　　　　 D.
題組三　用法向量解決垂直問題
8.若直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則下列能使l⊥α成立的是(　　)
A.u=(2,1,1),n=(-1,1,1)
B.u=(1,-2,0),n=(-2,4,0)
C.u=(1,2,4),n=(1,0,1)
D.u=(1,-1,2),n=(0,3,1)
9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點,則下列結論正確的是(　　)
A.BD1⊥平面B1EF　　　　B.BD⊥平面B1EF　　　　
C.A1C1∥平面B1EF　　　　D.A1D∥平面B1EF
10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱DD1的中點,求證:
(1)BD1⊥平面AB1C;
(2)平面EAC⊥平面AB1C.
題組四　三垂線定理的應用
11.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1C1的中點,則直線CE垂直于(　　)
A.AC　　　　B.BD　　　　C.A1D　　　　D.A1A
12.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD.若在BC上有且僅有一個點Q滿足PQ⊥QD,則a=　　　　.
13.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分別是△ABC,△PBC的垂心,求證:OQ⊥平面PBC.
能力提升練
題組一　利用空間向量研究平行、垂直問題
1.(多選題)在三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BB1的中點,AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,則下列結論錯誤的是(　　)
A.平面ABC1⊥平面ACC1A1
B.平面A1BC⊥平面ABC1
C.A1D∥平面ABC1
D.A1D⊥AC1
2.如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是線段AD的中點,動點P在底面正方形ABCD內(不包括邊界),若直線B1P∥平面A1BM,則||的取值范圍是　　　　.
3.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2AC=4,
AA1=2,AB⊥AC,AD⊥BC1,垂足為D,E為線段A1B上一點.
(1)若E為線段A1B的中點,證明:DE∥平面ABC;
(2)若平面ADE⊥平面A1BC1,求的值.
題組二　利用空間向量解決立體幾何中的探索性問題
4.如圖,在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,E,F,G分別是BC,PC,CD的中點.
(1)求證:BG⊥平面PAE;
(2)在線段BG上是否存在點H,使得FH∥平面PAE 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
5.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC=BC=AA1=1,AC⊥BC,且D,E,F分別為棱AB,BC,AC的中點.
(1)證明直線A1F與B1E共面,并求其所成角的余弦值;
(2)在棱CC1上是否存在點M,使得DM⊥平面A1B1EF 若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
答案與分層梯度式解析
1.2.2　空間中的平面與空間向量
基礎過關練
1.BC 2.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C
11.B
1.BC　設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),
則取y=1,得n=(-,1,1);取y=,得n=(-3,).故選BC.
2.C　易得A(0,0,0),E(0,2,1),B(2,0,0),
所以=(2,0,0).
設平面ABE的一個法向量為m=(x,y,z),
則取y=1,得m=(0,1,-2),
所以平面ABE的一個法向量為m=(0,1,-2),
所以2m=(0,2,-4)也是平面ABE的一個法向量.
故選C.
3.解析　由已知得SA,AB,AD兩兩垂直,
∴以A為坐標原點,AD,AB,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.
∵SA=AB=BC=1,AD=,
∴S(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),D,
∴.
易知平面SAB的一個法向量為.
設平面SDC的一個法向量為m=(x,y,z),
則取z=1,則x=2,y=-1,
∴平面SDC的一個法向量為m=(2,-1,1).
解后反思　求解平面的法向量時,如果題目中已經給出坐標,可以直接利用坐標運算來求解法向量,如果題目中未給出坐標,需先分析條件,利用共點的相互垂直的三條直線建立恰當的空間直角坐標系,再利用坐標運算求解法向量.
4.A　因為n·=0,n·=0,AB∩AC=A,所以n也是平面ABC的一個法向量,又平面α與平面ABC不重合,所以平面α與平面ABC平行.故選A.
5.D　∵α∥β,∴n1∥n2,∴,解得x=-.故選D.
6.B　若l⊥n,則l在平面α內或l∥α.若l∥α,則l⊥n.故“l⊥n”是“l∥α”的必要不充分條件.故選B.
7.A　以D為坐標原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.
因為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,所以D(0,0,0),A(2,0,0),則平面AA1B1B的一個法向量為=(2,0,0).
因為A1M=,所以M為A1D的中點,所以M(1,0,1).
因為點N在線段AC上,所以設N(m,2-m,0)(0≤m≤2),則=(m-1,2-m,-1).
因為MN∥平面AA1B1B,所以,
則2(m-1)=0,所以m=1,所以=(0,1,-1),
所以MN=|.
8.B　若l⊥α,則u∥n.故選B.
9.C　以D為坐標原點,建立空間直角坐標系Dxyz,如圖所示.
設正方體的棱長為2,則B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2),D(0,0,0),所以
=(2,0,2).
設平面B1EF的一個法向量為m=(x,y,z),
則令z=-1,則y=2,x=2,
所以m=(2,2,-1).
因為與m不平行,所以BD1與平面B1EF不垂直,故A錯誤;
因為與m不平行,所以BD與平面B1EF不垂直,故B錯誤;
因為·m=0,且A1C1 平面B1EF,所以A1C1∥平面B1EF,故C正確;
因為·m=2≠0,所以A1D與平面B1EF不平行,故D錯誤.
10.證明　以D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz.設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則E(0,0,1),A(2,0,0),
C(0,2,0),B1(2,2,2),B(2,2,0),D1(0,0,2).
(1)易得=(-2,-2,2).
設平面AB1C的一個法向量為m=(x,y,z),
則取x=1,則y=1,z=-1,
∴m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.
∵=-2m,∴∥m,∴BD1⊥平面AB1C.
(2)易得=(-2,0,1).
設平面EAC的一個法向量為n=(x',y',z'),
則取x'=1,則y'=1,z'=2,
∴n=(1,1,2)是平面EAC的一個法向量.
由(1)知m=(1,1,-1)是平面AB1C的一個法向量.
∵m·n=1+1-2=0,∴平面EAC⊥平面AB1C.
11.B　直線CE在平面ABCD內的射影為AC,又AC⊥BD,∴BD⊥CE,故選B.
12.答案　2
解析　連接AQ,∵PA⊥平面ABCD,∴AQ是PQ在平面ABCD內的射影.由PQ⊥QD,得AQ⊥QD,則△AQD為直角三角形.
設BQ=x,則CQ=a-x,∴AQ2=1+x2,QD2=1+(a-x)2,
則a2=1+x2+1+(a-x)2,整理得x2-ax+1=0.
由題意知,該方程有兩個相等的實數根,
∴Δ=a2-4=0.又∵a>0,∴a=2.
13.證明　如圖,連接AO并延長,交BC于點E,連接PE.
∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC(由于O是△ABC的垂心),∴PE⊥BC(三垂線定理),∴點Q在PE上.
∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,∴BC⊥平面PAE,
∵OQ 平面PAE,∴BC⊥OQ.①
連接BO并延長,交AC于點F,則BF⊥AC.
連接BQ并延長,交PC于點M,則BM⊥PC.
連接MF.
∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC(三垂線定理).
∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,
∴PC⊥平面BMF,
∵OQ 平面BMF,∴PC⊥OQ.②
由①②知,OQ⊥平面PBC.
能力提升練
1.ABC　易得BB1,BA,BC兩兩垂直,故以點B為坐標原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設AA1=2,所以AB=BC=2,則A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),
D(0,0,),所以).
設平面ABC1的一個法向量為u=(x1,y1,z1),
則取y1=,則u=(0,,-1).
設平面ACC1A1的一個法向量為m=(x2,y2,z2),
則取x2=1,則m=(1,1,0).
設平面A1BC的一個法向量為n=(x3,y3,z3),
則取x3=,則n=(,0,-1).
對于A,因為u·m=≠0,所以平面ABC1與平面ACC1A1不垂直,A中結論錯誤;
對于B,因為u·n=1≠0,所以平面A1BC與平面ABC1不垂直,B中結論錯誤;
對于C,因為·u=≠0,所以A1D與平面ABC1不平行,C中結論錯誤;
對于D,因為=4-4=0,所以AC1⊥A1D,D中結論正確.故選ABC.
2.答案　
解析　以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則M.
設P(x,y,0)(0設平面A1BM的一個法向量為n=(x1,y1,z1),
則
令x1=2,則y1=z1=-1,∴n=(2,-1,-1).
若B1P∥平面A1BM,則n⊥,即n·=2(x-1)-(y-1)+1=2x-y=0,∴y=2x.
∴=(x,y-1,-1)=(x,2x-1,-1),
∴|
≤|.
3.解析　(1)證明:連接AC1,易得AC1==4,∴AC1=AB.又AD⊥BC1,∴D為BC1的中點.
又E為A1B的中點,∴DE∥A1C1.
∵AC∥A1C1,∴DE∥AC,
又DE 平面ABC,AC 平面ABC,∴DE∥平面ABC.
(2)以A為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略),
則A(0,0,0),C1(2,0,2),所以).
設,0≤λ≤1,則E(0,4λ,2λ),所以λ).
設平面A1BC1的一個法向量為n=(x1,y1,z1),
則取z1=2,得n=(0,,2).
設平面ADE的一個法向量為m=(x2,y2,z2),
則
取z2=-2λ,得m=(4λ,-2λ).
∵平面ADE⊥平面A1BC1,
∴n·m=3-3λ-4λ=0,解得λ=.
∴當平面ADE⊥平面A1BC1時,.
4.解析　因為四棱錐P-ABCD的底面是正方形,且PA⊥平面ABCD,所以PA,AB,AD兩兩互相垂直.
以A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(2,1,0),F(1,1,1),G(1,2,0).
(1)證明:=(2,1,0).
因為=0,所以BG⊥AP,BG⊥AE,
又AE∩AP=A,AE,AP 平面PAE,所以BG⊥平面PAE.
(2)假設在線段BG上存在點H,使得FH∥平面PAE.連接FB.設(0≤λ≤1),則=(1-λ,2λ-1,-1).
因為FH∥平面PAE,BG⊥平面PAE,
所以=-1×(1-λ)+2×(2λ-1)+0×(-1)=5λ-3=0,所以λ=,所以在線段BG上存在點H,使得FH∥平面PAE,且.
5.解析　(1)∵E,F分別是棱BC,AC的中點,∴EF∥AB.由棱柱的性質易得A1B1∥AB,∴EF∥A1B1,
∴E,F,A1,B1四點共面,即直線A1F與B1E共面.
取A1B1的中點H,連接EH(圖略).
易知四邊形EFA1H為平行四邊形,故A1F∥HE,則∠HEB1(或其補角)為直線A1F與B1E所成的角.
∵AC=BC=1,AC⊥BC,∴AB=A1B1=,
在△HEB1中,HB1=,HE=A1F=B1E=,
∴cos∠HEB1=,
即直線A1F與B1E所成角的余弦值為.
(2)以C為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A1(0,1,1),B1(1,0,1),F.
所以.
設M(0,0,m)(0≤m≤1),則.
要使DM⊥平面A1B1EF,則
即
解得m=∈[0,1],即.
故在棱CC1上存在點M,使得DM⊥平面A1B1EF,且.
21.2　空間向量在立體幾何中的應用
1.2.1　空間中的點、直線與空間向量
基礎過關練
題組一　點的位置關系和直線的方向向量
1.在空間直角坐標系Oxyz中,點A(-3,1,5),B(4,3,1),P為線段AB的中點,則點P的位置向量的坐標是(　　)
A.
C.(-12,3,5)　　　　D.
2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直線l上,則直線l的一個方向向量為(　　)
A.(1,2,3)　　　　B.(1,3,2)
C.(2,1,3)　　　　D.(3,2,1)
3.兩條不同的直線l1,l2的方向向量分別為m=(1,1,-2),n=(2,-2,1),則這兩條直線(　　)
A.相交或異面　　　　B.相交
C.異面　　　　 D.平行
4.設直線l1,l2的方向向量分別為a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,則m等于(　　)
A.-2　　　　B.2　　　　
C.6　　　 　D.10
5.已知向量a,b分別是直線l1,l2的方向向量,且a=(2,4,5),b=(3,
x,y),若l1∥l2,則(　　)
A.x=6,y=15　　　　 B.x=3,y=15
C.x=
6.已知直線l的一個方向向量為m=(2,-1,3),且直線l過點A(0,a,3)和B(-1,2,b)兩點,則a+b=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.3
題組二　空間中兩條直線所成的角
7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則異面直線ON,AM所成的角是　　　　.
8.在四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,∠ADC=90°,AD=AB=
3,PD=4,DC=6,則異面直線DB與CP所成角的余弦值為　　　　.
9.在如圖所示的幾何體中,正方形ABCD與梯形ABEF所在的平面相交,EB∥FA,FA=AB=EB.
(1)證明:DF∥平面BCE;
(2)若BE⊥平面ABCD,求異面直線DE與CF所成角的余弦值.
答案與分層梯度式解析
1.2　空間向量在立體幾何中的應用
1.2.1　空間中的點、直線與空間向量
基礎過關練
1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.D
1.B　由空間直角坐標系中的中點坐標公式可得點P的坐標為,則點P的位置向量.故選B.
2.A　由題意可得直線l的一個方向向量為=(2,4,6),又∵(1,2,3)
=(2,4,6),∴(1,2,3)也是直線l的一個方向向量.
3.A　令m=λn,即(1,1,-2)=λ(2,-2,1),則無解,則直線l1,l2不平行,即相交或異面.故選A.
4.D　∵l1⊥l2,∴a·b=0,即-2×3+2×(-2)+1×m=0,解得m=10.
5.D　∵l1∥l2,向量a,b分別是l1,l2的方向向量,
∴a∥b,∴.故選D.
6.D　由題意得∥m,
所以設=λm,即(-1,2-a,b-3)=(2λ,-λ,3λ),
所以所以a+b=3.故選D.
7.答案　
解析　建立如圖所示的空間直角坐標系,
設正方體的棱長為2,
則M(0,0,1),A(2,0,0),O(1,1,0),N(2,1,2),
所以=(1,0,2),
所以cos<=0,
所以,故異面直線ON,AM所成的角為.
8.答案　
解析　以D為坐標原點,DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),B(3,3,0),C(0,6,0),
P(0,0,4),所以=(0,-6,4).
設異面直線DB與CP所成的角為α,
則cos α=.
9.解析　(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴AD∥BC,又BC 平面BCE,AD 平面BCE,
∴AD∥平面BCE.
∵EB∥FA,EB 平面BCE,FA 平面BCE,
∴FA∥平面BCE.
又AD∩FA=A,AD,FA 平面FAD,
∴平面FAD∥平面BCE,
∵DF 平面FAD,
∴DF∥平面BCE.
(2)易知BA,BC,BE兩兩互相垂直.
以B為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系(圖略).
設AB=2,
則D(0,2,2),E(4,0,0),F(2,2,0),C(0,0,2),
∴=(2,2,-2),
∴|cos<,
∴異面直線DE與CF所成角的余弦值為.
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