資源簡介

1.2.5　空間中的距離
基礎過關練
題組一　空間中兩點之間的距離和點到直線的距離
1.如圖所示,在空間直角坐標系中,有一棱長為a的正方體OABC-D'A'B'C',則A'C的中點E與AB的中點F之間的距離為(　　)
A.a
2.已知直線l經過A(1,1,1),B(0,2,0)兩點,則點P(0,0,2)到直線l的距離是(　　)
A.4
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=2,則點C到直線AB1的距離為(　　)
A.
4.定義:兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線A1C1與AD1之間的距離是(　　)
A.
題組二　點到平面的距離
5.已知A(1,2,1)是平面α內一點,n=(-1,-1,1)是平面α的法向量,若點P(2,0,3)是平面α外一點,則點P到平面α的距離為(　　)
A.
6.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是AD,AA1,A1B1的中點,則點B到平面EFG的距離為(　　)
A.a
7.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,中心為O,,則四面體O-EBF的體積為(　　)
A.
8.如圖所示,多面體ABCDFC1E是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1,四邊形AEC1F為平行四邊形.
(1)求BF的長;
(2)求點C到平面AEC1F的距離.
9.如圖,AD∥BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG∥AD且EG=AD,CD∥FG且CD=2FG,DG⊥平面ABCD,DA=DC=DG=2.
(1)若M為CF的中點,N為EG的中點,求證:MN∥平面CDE;
(2)求二面角E-BC-F的正弦值;
(3)若點P在線段DG上,且直線BP與平面ADGE所成的角為45°,求點P到平面CDE的距離.
題組三　相互平行的直線與平面之間、相互平行的平面與平面之間的距離
10.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O為正方形ADD1A1的中心,則直線A1B1到平面OD1B的距離為(　　)
A.
11.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4,M,N,E,F分別為A1D1,A1B1,C1D1,B1C1的中點,則平面AMN與平面EFBD之間的距離為　　　　.
12.如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E為線段AB的中點,F為線段A1B1的中點.
(1)求A1B1與平面A1EC所成角的正弦值;
(2)求證:FC1∥平面A1EC,并求直線FC1與平面A1EC之間的距離.
答案與分層梯度式解析
1.2.5　空間中的距離
基礎過關練
1.B 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 10.A
1.B　由題意得A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),則Fa.
2.D　由題意得=(-1,-1,1),所以點P到直線l的距離為.故選D.
3.B　取AC的中點O,連接OB,則OB⊥AC,OB=.
以O為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸的正方向建立空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B1(,0,2),C(0,1,0),所以=(0,-2,0),所以點C到直線AB1的距離為.故選B.
4.B　易知直線A1C1與AD1為異面直線.
以點D為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖,則A(2,0,0),D1(0,
0,2),A1(2,0,2),C1(0,2,2),所以=(-2,2,0).
設,則M(2-2λ,0,2λ),N(2-2μ,2μ,2),
所以|MN|==2
=2≥2,
當且僅當μ=時,等號成立,
又,當且僅當λ=時,等號成立,
所以|MN|≥,當且僅當λ=2μ=時,等號成立,
故直線AD1與A1C1之間的距離是.故選B.
5.C　由題意得=(1,-2,2),故點P到平面α的距離d=.故選C.
6.B　以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則B(a,a,0),E,所以.
設平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令x=1,則y=1,z=-1,所以n=(1,1,-1),
故點B到平面EFG的距離d=a.
7.D　如圖所示,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
則O,
所以,
所以|.
易知BE⊥BF,所以S△EBF=.
設平面EBF的一個法向量為n=(x,y,z),
則令z=1,得n=,
所以點O到平面EBF的距離為,
所以四面體O-EBF的體積V=.
8.解析　(1)因為四邊形AEC1F為平行四邊形,所以.設DF=a.建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則B(2,4,0),A(2,0,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),F(0,0,a),所以
=(-2,0,2),所以(-2,0,a)=(-2,0,2),所以a=2,所以F(0,0,2),所以=(-2,-4,2),所以|,即BF的長為2.
(2)易知C(0,4,0),又C1(0,4,3),A(2,0,0),E(2,4,1),所以=(0,4,1).
設平面AEC1F的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令x=1,則y=-,z=1,所以n=.
所以點C到平面AEC1F的距離d=.
9.解析　(1)證明:取GD的中點Q,連接NQ,MQ.
因為M為CF的中點,N為EG的中點,Q為GD的中點,所以NQ∥ED,MQ∥DC.
又ED,DC 平面EDC,NQ,MQ 平面EDC,NQ,MQ 平面MNQ,NQ∩MQ=Q,所以平面MQN∥平面CDE.
又MN 平面MQN,所以MN∥平面CDE.
（2）因為DG⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以DG⊥DC,DG⊥DA,
又AD⊥DC,所以以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0,0,0),C(0,2,0),B(1,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),所以
=(-1,-1,2).
設平面BCE的一個法向量為n1=(x1,y1,z1),
則取y1=1,得n1=(0,1,1).
設平面BCF的一個法向量為n2=(x2,y2,z2),
則取y2=2,得n2=(0,2,1).
所以|cos|=.
所以二面角E-BC-F的正弦值為.
(3)設P(0,0,t),t∈[0,2],則=(-1,-2,t).
易得平面ADGE的一個法向量為(0,1,0),記為n3.
因為直線BP與平面ADGE所成的角為45°,
所以|cos所以).
由(2)得=(2,0,2).
設平面CDE的一個法向量為n4=(x4,y4,z4),
則取x4=1,得n4=(1,0,-1),
則點P到平面CDE的距離d=.
10.A　以D為坐標原點,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,如圖所示.
則B(1,1,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),B1(1,1,1),O,所以=,=(0,0,1).
設平面OD1B的一個法向量為n=(x,y,z),
則
令x=1,則y=0,z=1,所以n=(1,0,1).
因為·n=0,且A1B1 平面OD1B,所以直線A1B1∥平面OD1B.
設直線A1B1到平面OD1B的距離為d,則d=.故選A.
11.答案　
解析　以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,
則A(4,0,0),M(2,0,4),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4),N(4,2,4),
∴=(-2,0,4),
∴,∴EF∥MN,BF∥AM,
又EF∩BF=F,MN∩AM=M,EF,BF 平面EFBD,MN,AM 平面AMN,∴平面AMN∥平面EFBD.
設平面AMN的一個法向量是n=(x,y,z),
則令z=1,則x=2,y=-2,
∴n=(2,-2,1).
∵=(0,4,0),∴平面AMN與平面EFBD之間的距離d=.
12.解析　(1)如圖,以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
則A1(1,0,1),B1(1,2,1),E(1,1,0),C(0,2,0),F(1,1,1),所以=(-1,1,0).
設平面A1EC的一個法向量為m=(x,y,z),
則令x=1,可得y=1,z=1,
所以m=(1,1,1).
設A1B1與平面A1EC所成的角為θ,
則sin θ=|cos所以A1B1與平面A1EC所成角的正弦值為.
(2)連接EF,因為E為線段AB的中點,F為線段A1B1的中點,所以EF BB1 CC1,則四邊形EFC1C是平行四邊形,所以FC1∥EC.
因為EC 平面A1EC,FC1 平面A1EC,
所以FC1∥平面A1EC.
由(1)知,平面A1EC的一個法向量為m=(1,1,1),=(0,0,1),所以直線FC1與平面A1EC之間的距離d=.
2(共15張PPT)
知識 清單破
1.2.5　空間中的距離
知識點 空間中的距離
1.兩點之間的距離
(1)構造三角形,通過解三角形求解.
(2)利用|a|2=a·a,通過向量運算求|a|.
(3)用坐標法求向量的長度,從而得到兩點間的距離,此法適用于求解的圖形適宜建立空間直
角坐標系的情況.
2.點到直線的距離
　　如圖①,若A是直線l外一點,B是直線l上一點,a是直線l的方向向量,則點A到直線l的距離
d= .

3.點到平面的距離
　　如圖②,若A是平面α外一點,B是平面α內一點,n是平面α的一個法向量,則點A到平面α的
距離d= .
4.其他距離
(1)兩平行直線之間的距離:在其中一條直線上取定一點,轉化為直線外一點到直線的距離.
(2)平行的線面、面面之間的距離:轉化為平面外一點到平面的距離.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.若直線l平行于平面α,則直線l上任意一點與平面α內任意一點的距離就是直線l與平面α的
距離. (　 )

2.已知平面α的一個法向量為n=(-2,-2,1),點A(x,3,0)在平面α內,若點P(-2,1,4)到平面α的距離為
,則x=-1.(　 )

=(x+2,2,-4),由題意得 = ,即 = ,解得x=-1或x=-11.
提示
講解分析
疑難 情境破
疑難 利用空間向量研究距離問題
1.用向量法求距離問題的兩種思路
(1)轉化為求向量模的問題,過已知點作直線、平面的垂線段,利用待定系數法求出垂足的坐
標,然后求出向量的模,這是求各種距離的通法.
(2)直接套用相關公式求解.
2.利用空間向量解決與距離有關的探索性問題
解決幾何體中與距離有關的探索性問題的方法與解決幾何體中與空間角有關的探索性問題
的方法相同,一般通過求距離的基本方法把問題轉化為求關于某個參數的方程的解的問題,
根據方程解的存在性來解決.
典例1 如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為線段DD1的中點,F為線段BB1的中點.
(1)求點A1到直線B1E的距離;
(2)求直線FC1到直線AE的距離;
(3)求直線FC1到平面AB1E的距離.

解析 以點D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖,

則A(1,0,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E ,F .
(1)解法一:設點H滿足 =λ 且A1H⊥B1E,連接DH,DB1,則 = + = +λ =(1,1,
1)+λ = 1-λ,1-λ,1- λ ,所以H ,所以 = .
因為A1H⊥B1E,所以 · =0,即-λ×(-1)+(1-λ)×(-1)+ × =0,解得λ= ,所以 =
,所以點A1到直線B1E的距離為| |= = .
解法二:易得 =(0,1,0), = ,
所以點A1到直線B1E的距離為 = = .
(2)易得 = , = ,所以 = ,又 與 不共線,所以C1F∥AE,所以直線
FC1到直線AE的距離等于點F到直線AE的距離.
易得 =(1,1,0),所以直線FC1到直線AE的距離為 = = .
(3)因為FC1∥AE,FC1 平面AB1E,AE 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直線FC1到平面
AB1E的距離等于點C1到平面AB1E的距離.
易得 =(0,1,1), = .
設平面AB1E的一個法向量為n=(x,y,z),
則 取x=1,得z=2,y=-2,所以n=(1,-2,2).
又 =(-1,1,1),所以直線FC1到平面AB1E的距離為 = .
典例2 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PB⊥BC,PD⊥CD,且PA=2,E
為PD的中點.

(1)求證:PA⊥平面ABCD;
(2)求PC與平面ACE所成角的正弦值;
(3)在線段BC上是否存在點F,使得點E到平面PAF的距離為 若存在,確定點F的位置;若不
存在,請說明理由.
解析 (1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴BC⊥AB,CD⊥AD.
∵PB⊥BC,BC⊥AB,PB∩AB=B,
∴BC⊥平面PAB.
∵PA 平面PAB,
∴PA⊥BC.
∵PD⊥CD,CD⊥AD,PD∩AD=D,
∴CD⊥平面PAD.
∵PA 平面PAD,
∴PA⊥CD.
∵BC∩CD=C,
∴PA⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,
∴以點A為坐標原點,AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖,則A(0,
0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),∴ =(2,2,0), =(0,1,1), =(2,2,-2).

設平面ACE的一個法向量為m=(x,y,z),
則
取y=1,則x=-1,z=-1,
∴m=(-1,1,-1).
cos= = = ,
∴PC與平面ACE所成角的正弦值為 .
(3)假設存在滿足題意的點F,且F(2,t,0)(0≤t≤2).
易得 =(2,t,0), =(0,0,2), =(0,1,1).
設平面PAF的一個法向量為n=(a,b,c),
則
取a=t,則b=-2,c=0,
∴n=(t,-2,0).
又 =(0,1,1),∴點E到平面PAF的距離d= = = ,解得t=1(負值舍去),即F(2,1,0),
∴在線段BC上存在點F,使得點E到平面PAF的距離為 ,且F為BC的中點.

展開更多......

收起↑