資源簡介

(共10張PPT)
2.2　直線及其方程
知識 清單破
2.2.1　直線的傾斜角與斜率
知識點 1 直線的傾斜角
1.傾斜角的概念
　　一般地,給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,如果這條直線與x軸相交,將x軸繞著它們的
交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為θ,則稱θ為這條直線的傾斜角.
　　如果一條直線與x軸平行或重合,那么規(guī)定這條直線的傾斜角為0°.
2.傾斜角的范圍
平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都有唯一的傾斜角,傾斜角的取值范圍是[0,π).
知識點 2 直線的斜率
1.若直線l的傾斜角為θ,則當(dāng)θ=90°時,直線l的斜率不存在;當(dāng)θ≠90°時,直線l的斜率k=tan θ.
2.已知直線l經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x1=x2,則直線l的斜率不存在;若x1≠x2,則直線l的斜率
k= .
知識點 3 直線的方向向量和法向量
1.直線的方向向量與斜率的關(guān)系
(1)當(dāng)直線的斜率k存在時,直線的一個方向向量為(1,k);
(2)當(dāng)直線的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y)(x≠0)時,直線的斜率k= .
2.直線的法向量
(1)一般地,如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直,則稱向量v為l的法向量,記
作v⊥l.
(2)一條直線的方向向量與法向量互相垂直.特別地,當(dāng)x0與y0不全為0時,因為向量(x0,y0)與(y0,-x0)
是互相垂直的,所以,如果其中一個為直線l的一個方向向量,則另一個一定是直線l的一個法向量.
只有當(dāng)0°≤α<180°,且α≠90°時,才能由直線的斜率為tan α推出其傾斜角為α,否則不能,例如直線的斜率可以為tan 240°,但其傾斜角為60°.
知識辨析 判斷正誤，正確的畫“ √” ，錯誤的畫“ ” .
1.直線與x軸的夾角稱為直線的傾斜角.(　 )

2.每一條直線都有唯一的傾斜角與斜率.(　 )

3.若直線的傾斜角為60°,則它的一個方向向量為(1, ). (　 )
√
4.若直線的斜率等于tan α,則α就是直線的傾斜角. (　 )

提示
5.直線的傾斜角越大,斜率就越大. (　 )

只有當(dāng)傾斜角α∈ 或α∈ 時,直線的斜率才隨傾斜角的增大而增大.
提示
6.若直線的一個法向量是(2,-3),則它的一個方向向量為(3,2). (　 )
√
講解分析
疑難 情境破
疑難 1 傾斜角與斜率的關(guān)系及應(yīng)用
所有直線都有傾斜角,但并非所有直線都存在斜率.當(dāng)直線的傾斜角α滿足0°≤α<90°時,斜率
非負(fù),傾斜角越大,斜率越大;當(dāng)直線的傾斜角α滿足90°<α<180°時,斜率為負(fù),傾斜角越大,斜率
越大.k=tan α 的圖象如圖所示:

　　由斜率k的范圍截取函數(shù)圖象,可得到傾斜角α的范圍;反過來,由傾斜角α的范圍截取函數(shù)
圖象,可得到斜率k的范圍.
典例 已知兩點A(-3,4),B(3,2),過點P(1,0)的直線l與線段AB有公共點.
(1)求直線l的傾斜角α的取值范圍;
(2)若直線l的斜率存在,求直線l的斜率k的取值范圍.
解析 如圖,由題意可知kPA= =-1,kPB= =1.

(1)由圖可知,直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間(包括PB與PA的傾斜角),
∵PB的傾斜角是 ,PA的傾斜角是 ,
∴直線l的傾斜角α的取值范圍是 ≤α≤ .
(2)根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系知,直線l的斜率k的取值范圍是k≤-1或k≥1.
疑難 2 直線斜率的應(yīng)用
講解分析
1.若點A,B,C都在某條斜率存在的直線上,則任意兩點的坐標(biāo)都可以確定這條直線的斜率,即
kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),則直線AB與AC(或AB與BC或AC
與BC)的傾斜角相同,又過同一點A(或B或C),所以點A,B,C在同一條直線上.
2.形如 的范圍(最值)問題,可以利用 的幾何意義(過定點(a,b)與動點(x,y)的直線的斜
率),借助圖形,將求 的范圍(最值)問題轉(zhuǎn)化為求直線斜率的范圍(最值)問題,從而簡化運
算過程.
典例 已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求 的最大值和最小值.
思路點撥 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直線
的斜率,結(jié)合圖形求出斜率的最大值和最小值即可.
解析 的幾何意義是過點(-2,-3)和曲線y=x2-2x+2(-1≤x≤1)上任意一點(x,y)的直線的斜
率.
作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的圖象,如圖.

由圖可知,當(dāng)直線經(jīng)過點P(-2,-3)和B(-1,5)時,斜率最大;
當(dāng)直線經(jīng)過點P(-2,-3)和A(1,1)時,斜率最小.
又kPA= = ,kPB= =8,
所以 的最大值為8,最小值為 .2.2　直線及其方程
2.2.1　直線的傾斜角與斜率
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　直線的傾斜角與斜率
1.下列說法中錯誤的是(　　)
A.任何一條直線都有唯一的傾斜角
B.若兩條直線的傾斜角相等,則它們的斜率也一定相等
C.直線的傾斜角的取值范圍是[0,π)
D.若k是直線l的斜率,則k∈R
2.直線l:x=0的傾斜角為(　　)
A.0　　　　B.　　　　C.π　　　　D.不存在
3.如圖,斜率最小的直線是(　　)
A.l1　　　　B.l2　　　　C.l3　　　　D.l4
4.已知直線l1的傾斜角是直線l2的傾斜角的2倍,且l1的斜率為-,則l2的斜率為(　　)
A.3或-或-3　　　　D.
5.已知直線l的斜率為k,傾斜角為α,若45°<α<135°,則k的取值范圍為(　　)
A.(-1,1)　　　　B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.[-1,1]　　　　D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
6.設(shè)直線l的斜率為k,且-1≤k<,則直線l的傾斜角α的取值范圍為(　　)
A.
C.
題組二　直線的斜率公式及其應(yīng)用
7.若傾斜角為120°的直線經(jīng)過點(2,)和(3,a),則實數(shù)a=(　　)
A.0　　　　B.2
8.已知A(0,3),B(1,2),C(3,m)三點共線,則實數(shù)m的值為　　　　.
9.若以A(3,1),B(-2,k),C(8,1)三點為頂點能構(gòu)成三角形,則實數(shù)k的取值范圍為　　　　.
題組三　直線的方向向量和法向量
10.(多選題)若直線l的傾斜角為,則下列向量是l的方向向量的是(　　)
A.(1,-,-1)
C.(-2,2,-2)
11.若直線l的一個法向量是,則其傾斜角為(　　)
A.30°　　　　 B.60°　　　　
C.120°　　　　D.150°
12.若直線l的方向向量是(2,2cos θ),則直線l的傾斜角α的取值范圍是(　　)
A.
C.
能力提升練
題組一　直線的傾斜角與斜率
1.若直線l經(jīng)過A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)兩點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是(　　)
A.0≤α≤<α<π
C.≤α<<α≤
2.過點A(2,1),B(m,3)的直線l的傾斜角α的取值范圍是,則實數(shù)m的取值范圍是(　　)
A.(0,2]　　　　B.(0,4)
C.[2,4)　　　　D.(0,2)∪(2,4)
3.已知兩點M(-1,-3),N(2,-3),直線l過點P(1,1)且與線段MN相交,則直線的斜率k的取值范圍是　　　　　　　　.
題組二　直線斜率的綜合應(yīng)用
4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過原點,n=(3,4)是l的一個法向量,則直線l的傾斜角的余弦值為(　　)
A.-
5.如圖,在矩形ABCD中,|BC|=|AB|,
直線AC的斜率為,則直線BC的斜率為(　　)
A.
6.(多選題)若點P(x,y)在以A(-3,1),
B(-1,0),C(-2,0)為頂點的△ABC的內(nèi)部運動(包括邊界),則的可能取值為(　　)
A.
7.臺球運動中的反彈球技法是常見的技巧,其中無旋轉(zhuǎn)反彈球是最簡單的技法,主球撞擊目標(biāo)球后,目標(biāo)球撞擊臺邊,然后按照光線反射的方向彈出,想要讓目標(biāo)球沿著理想的方向反彈,就要事先根據(jù)需要確認(rèn)臺邊的撞擊點,同時做到用力適當(dāng),方向精確,這樣才能通過反彈來將目標(biāo)球成功擊入袋中.如圖,現(xiàn)有一目標(biāo)球從點A(-2,3)無旋轉(zhuǎn)射入,經(jīng)過x軸(桌邊)上的點P反彈后,經(jīng)過點B(5,7),則點P的坐標(biāo)為　　　　.
8.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).
(1)求直線AB的斜率并寫出直線BC的一個方向向量;
(2)若點D在線段BC(包括端點)上移動,求直線AD的斜率的變化范圍.
答案與分層梯度式解析
2.2　直線及其方程
2.2.1　直線的傾斜角與斜率
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 6.D 7.A 10.AC
11.C 12.C
1.B　A,C,D顯然正確;若兩條直線的傾斜角均為90°,則它們的斜率不存在,故B錯誤.
2.B
3.B　由題圖可知,,故斜率最小的直線是l2.故選B.
4.B　設(shè)l2的傾斜角為α,則l1的傾斜角為2α.
由題意得tan 2α=,即3tan2α-8tan α-3=0,
解得tan α=3或tan α=-.
因為2α∈[0,π),所以α∈,所以tan α=3,即l2的斜率為3.故選B.
5.B　由45°<α<135°可知,k>tan 45°=1或k6.D　由-1≤k<,得-1≤tan α<,
∵α∈[0,π),∴α∈.故選D.
7.A　由題意得tan 120°=,解得a=0.故選A.
8.答案　0
解析　由題意得kAB=kBC,即,解得m=0.
規(guī)律方法　用斜率證明三點共線的方法
9.答案　(-∞,1)∪(1,+∞)
解析　因為以A,B,C三點為頂點能構(gòu)成三角形,所以A,B,C三點不共線,所以kAB≠kAC,即,解得k≠1,故實數(shù)k的取值范圍為(-∞,
1)∪(1,+∞).
10.AC　由題意得直線l的斜率為tan.
對于A,對應(yīng)的斜率為-,A符合題意;對于B,對應(yīng)的斜率為
,B不符合題意;對于C,對應(yīng)的斜率為,C符合題意;對于D,對應(yīng)的斜率為,D不符合題意.故選AC.
11.C　由于直線l的一個法向量為,所以直線l的一個方向向量為,所以其斜率k=,所以直線l的傾斜角為120°.
12.C　由題意得,直線l的斜率k==cos θ.因為-1≤cos θ≤1,所以-1≤k≤1.又直線l的傾斜角α∈[0,π),所以0≤α≤≤α<π.故選C.
能力提升練
1.C 2.B 4.A 5.A 6.BC
1.C　由題意可知,直線l的斜率k==1+m2≥1,即tan α≥1,因為0≤α<π,所以≤α<.故選C.
2.B　畫出直線傾斜角α與斜率k的關(guān)系的圖象,如圖,
當(dāng)直線l的斜率存在,即α∈時,k>1或k<-1,且m≠2,又k=,∴<-1或>1,解得0當(dāng)直線l的斜率不存在,即α=時,m=2.
綜上,實數(shù)m的取值范圍是(0,4).故選B.
方法技巧　已知傾斜角的范圍求直線斜率的范圍或已知斜率的范圍求直線傾斜角的范圍時,可結(jié)合直線的傾斜角與斜率關(guān)系的圖象,即k=tan α,α∈的圖象進(jìn)行求解,特別要注意傾斜角為,即斜率不存在的情況,必要時要分類討論.
3.答案　(-∞,-4]∪[2,+∞)
解析　如圖,若直線l與線段MN相交,則k≥kMP或k≤kNP.
易得kMP==-4,所以k≥2或k≤-4.
4.A　因為n=(3,4)是直線l的一個法向量,所以直線l的一個方向向量為(4,-3),所以直線l的斜率k=-.
設(shè)直線l的傾斜角為θ,則tan θ=-,
由且0°≤θ<180°,得cos θ=-.故選A.
5.A　在Rt△ABC中,∠ABC=|AB|,所以tan∠ACB=,即∠ACB=.設(shè)直線AC的傾斜角為θ,則tan θ=,直線BC的傾斜角為θ+,故kBC=tan.故選A.
6.BC　的幾何意義是過動點P(x,y)與定點(1,2)(記為M)的直線的斜率,如圖,由已知得kAM=,
結(jié)合圖可得,,結(jié)合選項知,k的可能取值為,1.
7.答案　
數(shù)學(xué)建模　將臺球中的無旋轉(zhuǎn)反彈問題轉(zhuǎn)化為光線的反射問題,運用的知識是①點關(guān)于線對稱,求A點關(guān)于x軸的對稱點A'或B點關(guān)于x軸的對稱點B';②三點共線,即A',P,B三點共線或A,P,B'三點共線.再用所學(xué)公式解決問題.
解析　設(shè)P(x,0).易知A點關(guān)于x軸對稱的點A'的坐標(biāo)為(-2,-3),則kA'P=.∵A',B,P三點共線,∴kA'P=kA'B,即,解得x=,故點P的坐標(biāo)為.
方法點撥　求解光線的反射問題通常用到對稱的知識,若A點經(jīng)x軸上的P點反射至B點,則A點關(guān)于x軸的對稱點A'與P,B共線,B點
關(guān)于x軸的對稱點B'與P,A共線.
8.解析　(1)kAB==-1,
∴直線BC的一個方向向量為(1,-1)(答案不唯一).
(2)如圖,當(dāng)點D由點B運動到點C時,直線AD的斜率由kAB增大到kAC.易知kAB=,
∴直線AD的斜率的變化范圍為.
2

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